Modelle mit generalisierter bedingter autoregressiver Heteroskedastie und Anwendungen in der ...

251 Pages·2004·3.41 MB·German

Modelle mit generalisierter bedingter
autoregressiver Heteroskedastie und
Anwendungen in der Kapitalmarkttheorie
vorgelegt von
Diplom Volkswirt
Master of Arts
Jens-Christian Oelker
aus Berlin
an der Fakult(cid:127)at IV-Elektrotechnik und Informatik
der Technischen Universit(cid:127)at Berlin
zur Erlangung des akademischen Grades
Doktor der Wirtschaftswissenschaften
-Dr. rer. oec.-
genehmigte Dissertation
Promotionsausschuss:
Vorsitzender: Prof. Dr. Ulrich Kockelkorn
Berichter: Prof. Dr. Dieter Friedrich
Berichter: Prof. Dr. Gernot Wei(cid:25)huhn
Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 13. Februar 2004
Berlin 2004
D83
"The only way to a position in which our science might give positive advice on
a large scale to politicians and business men, leads through quantitative work.
For as long as we are unable to put our arguments into (cid:12)gures, the voice of our
science, although occasionally it may help to dispell gross errors, will never be
heard by practical men. They are, by instinct, econometricians all of them, in
their distrust of anything not amenable to exact proof."
Aus Joseph Schumpeter: "The Common Sense of Econometrics", Econome-
trica, Ausgabe 1, 1933, S.12.
Danksagungen
Die vorliegende Arbeit entstand im Rahmen meiner T(cid:127)atigkeit als wissenschaft-
licher Mitarbeiter am Fachgebiet fu(cid:127)r Statistik und O(cid:127)konometrie der Fakult(cid:127)at
IV der Technischen Universit(cid:127)at Berlin bei Prof. Dr. Dieter Friedrich. Ihm gilt
als Hauptbetreuer der Arbeit mein besonderer Dank. Durch seine kontinuierli-
che Unterstu(cid:127)tzung und Beratung u(cid:127)ber die gesamte Zeit der Erstellung und viele
Anregungen und Hinweise trug er wesentlich zum Gelingen dieser Arbeit bei.
Ebensom(cid:127)ochteichmeinemZweitgutachter,HerrnProf.Dr.GernotWei(cid:25)huhn,
herzlichdafu(cid:127)rdanken,sichzurBetreuungdieserArbeitbereitgefundenzuhaben.
Zu Dank verp(cid:13)ichtet bin ich auch den Doktoranden und Dozenten des Gra-
duiertenkollegs "Angewandte Mikro(cid:127)okonomik" von Humboldt und Freier Uni-
versit(cid:127)at Berlin, insbesondere Herrn Prof. Dr. Helmut Lu(cid:127)tkepohl, fu(cid:127)r wertvolle
Hinweise und anregende Diskussionen.
Ein herzlicher Dank geht au(cid:25)erdem an meinen Kollegen, Herrn Diplom-
Volkswirt Ronald Franken, fu(cid:127)r gro(cid:25)e Hilfsbereitschaft und Unterstu(cid:127)tzung.
ii
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
2 Grundlagen der Modellierung (cid:127)okonomischer Zeitreihen 3
2.1 Theoretische Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1 Stochastische Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.2 Ein einfaches Beispiel zu bedingten Erwartungswerten . . . 10
2.1.3 Modellierung der bedingten Verteilung . . . . . . . . . . . 12
2.1.4 Modelle fu(cid:127)r bedingte Erwartungswerte . . . . . . . . . . . 15
2.1.5 Modelle fu(cid:127)r Varianzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.6 Instrumente der Modellspezi(cid:12)kation und Diagnose . . . . . 36
2.2 Empirische Charakteristika von Finanzzeitreihen . . . . . . . . . . 45
2.2.1 Die untersuchten Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.2 Stilisierte Charakteristika der Zeitreihen . . . . . . . . . . 48
2.2.3 Untersuchung der kontempor(cid:127)aren Korrelationen . . . . . . 61
3 GARCH-Modelle 67
3.1 Univariate GARCH-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1.1 ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.1.2 GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.1.3 GARCH und Regressionsmodelle . . . . . . . . . . . . . . 79
3.1.4 Asymmetrische GARCH-Modelle . . . . . . . . . . . . . . 84
3.1.5 Andere univariate Modelltypen . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2 Multivariate GARCH-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2.1 Vech-GARCH-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.2.2 BEKK-GARCH-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.2.3 Diagonale Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.2.4 GARCH-Modelle mit konstanter bedingter Korrelation . . 102
3.2.5 GARCH-Modelle mit dynamischer bedingter Korrelation . 103
3.2.6 Faktoren-GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.2.7 Orthogonale multivariate GARCH-Modelle . . . . . . . . . 105
iii
INHALTSVERZEICHNIS iv
3.2.8 Flexible-Multivariate-GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.2.9 Andere Modelltypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.3 Kritische Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4 Sch(cid:127)atzen und Testen in GARCH-Modellen 121
4.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.1.1 Zweistu(cid:12)ge Methode der Kleinsten Quadrate . . . . . . . . 121
4.1.2 Maximum-Likelihood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.1.3 Numerische Optimierungsverfahren . . . . . . . . . . . . . 129
4.1.4 Gro(cid:25)e-Stichproben Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . 132
4.1.5 Spezi(cid:12)kations- und Diagnosetests . . . . . . . . . . . . . . 135
4.2 Kleine-Stichproben Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.2.1 Monte-Carlo-Simulationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.2.2 Univariate Simulationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.2.3 Multivariate Simulationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.3 Sch(cid:127)atzergebnisse univariater GARCH-Modelle . . . . . . . . . . . 158
4.4 Ergebnisse multivariater GARCH-Sch(cid:127)atzungen . . . . . . . . . . . 168
5 GARCH-Modelle und Markov-Switching 175
5.1 Markov-Switching-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.2 Univariate Modelltypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.3 Sch(cid:127)atzung und Zustands-Inferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.4 Markov-Switching Conditional Correlation GARCH . . . . . . . . 184
5.4.1 Das Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.4.2 Sch(cid:127)atzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.4.3 Sch(cid:127)atzergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6 Kapitalmarkttheorie und GARCH-Modelle 196
6.1 GARCH-Modelle und die Bewertung von Aktien und Optionen . . 196
6.1.1 Grundlegendes zur Wertpapierbewertung . . . . . . . . . . 196
6.1.2 CAPM und GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.1.3 Optionsbewertung und GARCH . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.1.4 Value-at-Risk und GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7 Zusammenfassung 222
Literaturverzeichnis 225
Abbildungsverzeichnis
2.1 DAX 1992-1996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Mischverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 Vier Wertpapierkursreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4 Vier Log-Renditereihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5 Kerndichtesch(cid:127)atzer von Log-Renditen . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.6 Standardisierte Log-Renditen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.7 SACF von Log-Renditen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.8 SACF der quadrierten Log-Renditen . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.9 Korrelationssch(cid:127)atzungen mit zwei Verfahren . . . . . . . . . . . . 65
2.10 Korrelation zwischen DAFOX- und Aktienrenditen . . . . . . . . 66
3.1 GARCH-Prognoseintervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2 News-Impact-Curves GARCH(1,1) und GJR-GARCH(1,1) . . . . 86
3.3 Gesch(cid:127)atzte News-Impact-Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.4 Prognosequalit(cid:127)at eines simulierten GARCH(1,1) . . . . . . . . . . 116
4.1 Numerische Integration mit \Hit-or-miss-Monte-Carlo" . . . . . . 141
4.2 Kerndichtesch(cid:127)atzung einer GARCH(1,1)-Sch(cid:127)atzfunktion . . . . . . 147
4.3 Kerndichtesch(cid:127)atzungen GJR-GARCH(1,1) . . . . . . . . . . . . . 148
4.4 Verteilung Teststatistiken BEKK(1,1)-GARCH . . . . . . . . . . . 155
4.5 Bedingte Verteilung der Log-Renditen . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.1 Korrelationen DAFOX-Bayer-Siemens . . . . . . . . . . . . . . . . 186
5.2 Ex-post Zustandswahrscheinlichkeiten DAFOX-Bayer-Siemens . . 193
6.1 DAFOX-Log-Renditen und White-Noise . . . . . . . . . . . . . . 199
6.2 (cid:22) (cid:27)-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
(cid:0)
6.3 Hockey-Stick-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
6.4 Der Wertpapierpreisprozess im Binomialmodell. . . . . . . . . . . 210
6.5 Implizite Volatilit(cid:127)aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
6.6 Value-at-Risk als Quantil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
v
Tabellenverzeichnis
2.1 Empirische Kennzahlen der Log-Renditen . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2 Wochentags-Renditen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3 Ljung-Box-Statistiken von Renditereihen . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4 ARMA-Modelle fu(cid:127)r die Log-Renditereihen . . . . . . . . . . . . . 58
2.5 Ljung-Box-Statistik der quadrierten Residuen . . . . . . . . . . . 59
2.6 Regressionen der quadrierten Residuen . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.7 Unbedingte Korrelationen Wechselkurse . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.8 Unbedingte Korrelationen DAFOX-Log-Renditereihen . . . . . . . 62
2.9 Unbedingte Korrelationen der Aktien-Log-Renditereihen . . . . . 63
3.1 Bestimmtheitsma(cid:25)e Hilfsregression zur Anpassungsqualit(cid:127)at . . . . 113
3.2 Bestimmtheitsma(cid:25)e der Hilfsregressionen . . . . . . . . . . . . . . 115
4.1 Ergebnisse GARCH(1,1)-Simulationen . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.2 Ergebnisse GJR-Simulationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.3 Ablehnh(cid:127)au(cid:12)gkeiten von Teststatistiken im GARCH(1,1)-Modell . 150
4.4 Ergebnisse GRJ(1,1)-Simulationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.5 Simulationen diagonaler BEKK-GARCH . . . . . . . . . . . . . . 153
4.6 Teststatistiken im diagonalen BEKK-GARCH . . . . . . . . . . . 154
4.7 Teststatistiken im simulierten Vech-GARCH . . . . . . . . . . . . 157
4.8 U(cid:127)bersicht univariater Sch(cid:127)atzergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.9 GARCH(1,1)-Sch(cid:127)atzergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.10 GJR-GARCH(1,1)-Sch(cid:127)atzergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.11 Vergleich GARCH und GJR-GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.12 Anpassungsqualit(cid:127)at univariater Sch(cid:127)atzungen . . . . . . . . . . . . 166
4.13 Parametersummen GARCH(1,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.14 Sch(cid:127)atzergebnisse fu(cid:127)r Teilmengen des Gesamtbeobachtungsumfangs. 168
4.15 CCC-GARCH Sch(cid:127)atzergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.16 univariate GARCH(1,1)-Sch(cid:127)atzergebnisse . . . . . . . . . . . . . . 172
4.17 U(cid:127)bersicht multivariater GARCH-Sch(cid:127)atzungen . . . . . . . . . . . 174
vi
TABELLENVERZEICHNIS vii
5.1 Sch(cid:127)atzergebnisse MSCC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Notation und Symbole
Im Allgemeinen werden Zufallsvariablen durch Gro(cid:25)buchstaben dargestellt, Rea-
lisationendurchKleinbuchstaben.EinewichtigeAusnahmestelltdieZufallsvaria-
ble"dar.VektorenundMatrizenwerdendurchFettdruckmarkiert.ImFolgenden
werden die im Text benutzten Symbole erl(cid:127)autert. Symbole, die nur einmal auf-
treten und an Ort und Stelle erkl(cid:127)art werden, sind in der folgenden Tabelle nicht
aufgefu(cid:127)hrt. Die Symbole sind entsprechend ihres Auftretens im Text nach Kapi-
teln geordnet.
Kapitel 1
X Stochastischer Prozess
t
f g
t, T, (cid:28) Zeitindizes
(cid:10) Ergebnismenge
! Ergebnis
i
P Wahrscheinlichkeitsma(cid:25)
Sigma-Algebra, Informationsmenge
F
F(x) Verteilungsfunktion von x
f(x) Dichtefunktion von x
E() Erwartungswert
Var() Varianz
Cov() Kovarianz
(cid:13)() Autokovarianzfunktion
(cid:22) Erwartungswert einer Zufallsvariable
" St(cid:127)orgr(cid:127)o(cid:25)e zum Zeitpunkt t
t
"t St(cid:127)orvektor zum Zeitpunkt t
(cid:27)2 Varianz einer Zufallsvariable
(cid:27)2 bedingte Varianz
t
ist Element von
2
leere Menge
;
Rn Menge der n-dimensionalen reellen Zahlen
viii
NOTATION UND SYMBOLE ix
xt, Xt Vektor der erkl(cid:127)arenden Variablen in einem Regressionsmodell, de-
terministisch bzw. stochastisch
X Matrix der erkl(cid:127)arenden Variablen in einem Regressionsmodell
K Anzahl der erkl(cid:127)arenden Variablen in einem Regressionsmodell
Y abh(cid:127)angige Variable in einem Regressionsmodell
t
Y Vektor der abh(cid:127)angigen Variablen in einem Regressionsmodell
(cid:12) Parametervektor in einem Regressionsmodell
(cid:11) ; (cid:12) Parameter
i i
L Lag-Operator
(cid:11)(L), (cid:12)(L) Lag-Operator-Polynome
p; q Ordnung von ARMA(p,q)- und GARCH(p,q)-Prozessen
(cid:1) Di(cid:11)erenzen-Operator
(cid:21) Wurzel des charakteristischen Polynoms (in Abschnitt 2.1.4.1)
1
(cid:21) Gewichtungsfaktor
Yt Vektor der abh(cid:127)angigen Variablen eines multivariaten Prozesses
I Einheitsmatrix der Dimension n n
n
(cid:2)
n Dimension eines multivariaten Prozesses
! Absolutglied in GARCH-Gleichung
I Indikatorfunktion
xt>c
S Markov-Zustandsprozess
t
f g
m Anzahl der Markov-Zust(cid:127)ande
P Matrix der Markov-U(cid:127)bergangswahrscheinlichkeiten
p Markov-U(cid:127)bergangswahrscheinlichkeit
ij
(cid:25) unbedingte Wahrscheinlichkeit eines Markov-Zustandes i
i
(cid:18) Parametervektor
L Likelihoodfunktion
Log-Likelihoodfunktion
L
(cid:23) unabh(cid:127)angig identisch verteilte Zufallsvariable (meist N(0,1))
t
(cid:17) St(cid:127)orvariable
t
ln natu(cid:127)rlicher Logarithmus
x(cid:22) arithmetisches Mittel
K Kurtosis
B Schiefe
(cid:26) Korrelation
(cid:26)() Autokorrelationsfunktion
Korr(X;Y) Korrelation zwischen X und Y
R Korrelationsmatrix
O() Order in Probability
Q Ljung-Box-Teststatistik
JB Jarque-Bera-Teststatistik