Modeliranje £asovnih vrst z GARCH modeli v Ru

122 Pages·2017·2.4 MB·Slovenian

UNIVERZA V LJUBLJANI
FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Finan£na matematika - 2. stopnja
(cid:131)rt Grahonja
Modeliranje £asovnih vrst z GARCH modeli v R-u
Magistrska naloga
Mentor: izred. prof. dr. Janez Bernik
Somentor: doc. dr. Dejan Velu†£ek
Ljubljana, 2017
iii
Zahvala
Najve£ja zahvala gre mojemu mentorju, doc. dr. Dejanu Velu†£ku, ki mi je skozi
†tudijska leta pomagal z nasveti in razlagami. Iskreno se zahvaljujem star†ema, ki
sta izkazala veliko mero potrpljenja in spodbujanja. Zahvaljujem se tudi Andreju
Mar†i£u, na katerega sem se obrnil, ko sem imel te”ave z manj†im, vendar trdovra-
tnim, gra(cid:28)£nim hro†£em v svoji kodi.
iv
Izvle£ek
Nalogapredstavljateorijoinprakti£nomodeliranjevariance£asovnihvrstzGARCH
modeli v programskem okolju R. V nalogi so razlo”eni tako matemati£na osnova kot
tudiprogramerskodelo, kisemgaizvedelzapotrebeprimerjanjrazli£nihnapovednih
modelov. Posebej sem se pri delu osredoto£il na HMM-GARCH modele, v katerih
predpostavljamo ve£ volatilnostnih re”imov. Cilj naloge je preveriti, £e in kdaj je
modeliranje s speci(cid:28)£nimi volatilnostmi modeli res bolj†e kot splo†no GARCH mo-
deliranje. Preverjanje se je izvedlo na umetno sestavljeni £asovni vrsti.
Klju£nebesede: splo†naavtoregresivnapogojnaheteroskedasti£nost, skriti
Markovski modeli, modeliranje, R
Klasi(cid:28)kacija matemati£nih predmetov: 62M10, 62P05
Abstract
This work presents the theory and practical modelling of GARCH models in the R
program environment. In the thesis I explain the mathematical basis and my pro-
gramming work, which was done for the purpose of comparing di(cid:27)erent forecasting
models. I have especially focused on HMM-GARCH models, in which we assume
severalregimesofvolatility. Theobjectiveofthisworkistocheckwhetherandwhen
the use of speci(cid:28)c volatility models really is better compared to a general GARCH
model. This was done on an arti(cid:28)cial time series.
Key words: general autoregressive conditional heteroscedasticity, hidden
Markov models, modelling, R.
Mathematics Subject Classi(cid:28)cation: 62M10, 62P05
v
vi
Kazalo
1 Uvod 1
2 Modeli za napovedovanje 3
2.1 Stacionarnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1 Skriti Markovski modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Kratek opis osnovnih modelov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1 Metoda najmanj†ih kvadratov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2 Avtoregresivni model, model drse£ih sredin in ARMA . . . . . 10
2.2.3 ARCH in GARCH modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Teoreti£na osnova modelov GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1 Navadni GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.2 Kombinacija osnovnih modelov za napovedovanje povpre£ja
oziroma variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.3 GARCH s skritim Markovskim modelom
(HMM-GARCH) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.4 Razli£ice GARCH modelov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Priprava na delo v R-u 21
3.1 Paketi stats, TSA, tseries in forecast . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Paketi za modeliranje GARCH modelov . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.1 Paket fGarch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.2 Paket rugarch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.3 Paketi za modeliranje HMM-jev . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Opis podatkov in izra£uni 29
4.1 Podatki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.1.1 Modeliranje podatkov z ARMA in GARCH modeli . . . . . . 32
4.2 Rezultati modeliranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.1 Primerjava rezultatov dela na residualih . . . . . . . . . . . . 45
4.2.2 Primerjava rezultatov dela na diferenciranih vrstah . . . . . . 52
5 Zaklju£ek 57
Literatura 59
Dodatek A Matrike najve£jih verjetij in AIC matrike vrst 61
A.1 Residuali vrst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
A.1.1 Modeliranje z fGarch paketom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
A.1.2 Modeliranje z rugarch paketom . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
vii
A.2 Diferencirane vrste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
A.2.1 Modeliranje z fGarch paketom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
A.2.2 Modeliranje z rugarch paketom . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Dodatek B Gra(cid:28) optimalnih ocen σ in napovedi 71
t
B.1 Gra(cid:28) modeliranj z fGarch paketom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
B.2 Gra(cid:28) modeliranj z rugarch paketom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
B.3 Gra(cid:28) napovedi modelov z osve”evanjem . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
B.4 Gra(cid:28) napovedi HMM-GARCH modelov . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
viii
Program dela
V magistrskem delu predstavite modeliranje variance £asovnih vrst z GARCH mo-
deli. Predstavljenih naj bo ve£ razli£nih GARCH volatilnostnih modelov, pri £emer
se posebej osredoto£ite na HMM-GARCH pristop. Vse teoreti£no predstavljene mo-
dele uporabite †e na konkretnih prakti£nih primerih £asovnih vrst iz podro£ja (cid:28)nanc
in primerjajte ter komentirajte dobljene rezultate.
ix
x
Poglavje 1
Uvod
Vtejnalogiobravnavamsplo†no avtoregresivno pogojno heteroskedasti£nost £asovnih
vrst (s kratico modeli GARCH). Take modele uporabljamo ob prisotnosti posebnih
lastnostivolatilnosti£asovnihvrst,insicer,kadarvolatilnostprej†njihobdobijvpliva
na trenutno. S tem pride do skupkov manj†e oziroma ve£je variance skozi ve£ ob-
dobij, kar lahko uporabimo pri napovedovanju v prihodnosti. Modele uporabljamo
v kombinaciji z drugimi, ki modelirajo povpre£ne vrednosti.
Teoriji za GARCH in pred tem tudi za manj splo†ne ARCH modele sta razvila
Engle in Bollerslev v drugi polovici prej†njega stoletja. Njune ugotovitve so zapisane
v [7] in [8]. V delu opi†em tudi nekatere speci(cid:28)£nej†e modele, ki pa jih nisem
uporabil pri prakti£nemu delu naloge. Taki modeli predstavljajo izbolj†ave za delo
na £asovnih vrstah, ki se ne dr”ijo osnovnih predpostavk. Literaturo za take primere
najdemo v [9] in [11].
Poleg dveh osnovnih GARCH modelov iz razli£nih paketov programskega okolja
R primerjam tudi modele z osve”itvijo ter HMM-GARCH modele. Prvi uporabljajo
osve”evanje podatkov za napovedovanje prihodnosti, s £imer pridobimo ve£jo na-
tan£nost napovedi na ra£un kraj†ega napovednega obdobja. Drugi pa uporabijo
posebne Markovske procese, znane pod imenom skriti Markovski modeli (HMM), za
†e natanj£nej†o napoved v naslednjem obdobju. Tako kot modeli z osve”itvijo, tudi
ti izrabljajo kraj†e napovedno obdobje za natan£nej†e napovedovanje.
V poglavju 2 najprej povzamem dva pomembna koncepta, ki ju kasneje upora-
bim pri delu, in sicer stacionarnost ter teorijo skritih Markovskih modelov. Za te je
na spletu dosti £tiva; navajam le tiste, ki sem jih uporabljal za delo v nalogi: teorija
je razlo”ena v virih [1], [2], [3] in na kratko povzeta v [4], [5] ter [6]. Nadaljujem
s pregledom napovednih modelov, ki jih rabim za pripravo podatkov za izvajanje
GARCH modeliranja. Najprej obrazlo”im uporabo linearne regresije za pridobiva-
nje residualov, na katerih potem modeliram povpre£je in volatilnost. Za ta namen
uporabim modele AR, MA ali skupni ARMA, ki so tudi razlo”eni v poglavju. Na
hitro predstavim tudi ARCH modele, vendar se ne spu†£am v podrobnosti. Sledita
dve pomembni podpoglavji. Prvo predstavlja tehni£no ozadje osnovnih GARCH
modelov, drugo pa podrobneje izpostavi idejo GARCH modela z ve£ re”imi vola-
tilnosti. Te predhodno modeliram s HMM procesom. Ozadje ARCH in GARCH
modelovjerazlo”enov”eprejomenjeniliteraturi, ve£re”imskimodelipasoopisaniv
viru [10]. Na koncu poglavja na kratko omenim ”e prej omenjene modele volatilnosti
GARCH.
Glavni cilj naloge je primerjava modeliranja GARCH modelov z razli£nimi pa-
1