Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales r´ıgidas. Aplicación a la semidiscretización del ...

309 Pages·2014·8.27 MB·Spanish

M´etodos num´ericos para ecuaciones diferenciales r´ıgidas.
Aplicaci´on a la semidiscretizaci´on del M´etodo de Elementos Finitos.
Elisabete Alberdi Celaya
dirigida por:
Dr. Juan Jos´e Anza
Departamento de Matema´tica Aplicada UPV/EHU
Para la obtencio´n del grado de Doctor
bajo el programa de doctorado de la Universidad del Pa´ıs Vasco:
Ingenier´ıa Meca´nica de Sistemas Meca´nicos y Estructurales.

Nire ingurune hurbilekoei,
bereziki hurbilenekoei:
zuri aita, zuri ama,
zuei Alaz eta Imanol, zuri Joseba,
zuei, nire bihotz eta memorian zaudeten
nire bi amamei
eta zuri Aitor.

Eskertza
Hasitako lanak bukatzea ohitura ona izaten da, batzuetan kosta egiten bada ere.
Behar beste denbora izan ez dugulako, bide gogor eta luzeek ibiltaria nekatu eta frus-
tatzeko gaitasun handia dutelako edo biderako bota onik eduki ez dugulako, batzuetan
ez da izaten posible hasitako hori bukatzea, ordea.
Tesia egitea nire betiko ametsa izan da eta azken lau urteotan, buru-belarri eta bi-
hotz, batez ere honexetan aritu naiz. Umetatik liluratu izan naute Matematikek eta
epealdi honetan bergogorazi didate zeinen zorrotzak eta batera ederrak diren. Berriz
ohartunaiz,bestegauzabatzuetanbezalaxe,matematiketanere,lehenengoanezengauza
gutxi ateratzen direla eta beraiek ulertzeko eta ikasteko egin beharreko esfortzua ez dela
eskutakada baten sartzen den horietakoa. Baina gauza bat ulertzea edo hobetzea lor-
tutakoan sentitzen duzun barne-sariak -hau ere eskutakadaz gaindi-, egindako esfortzua
aise gainditzen duela ere frogatu didate.
8000korik uste dut sekula ez dudala igoko nahiz eta esperantzarik galdu behar ez
den baina, niretzat, pausoz-pauso, artikuluz-artikulu, ekaitz, denbora gaizto eta neke
uneetan eguraldi eta moralaren araberako entrenamenduak eginez eta beti ere helmuga
amestuz, tontorra egin dudalakoa daukat. Ametsa egi bihurtu dut, bota onek zerikusia
izan dute nonbait.
Lea Artibai ikastetxeko hamahiru urteko ibilbidearen ondoren, iaz aldi berria hasi
nuen Euskal Herriko Unibertsitatean. Eskakizun berriak dituen aldia da berau: tesia
bukatzea da bat eta unibertsitateko irakasle ziurtagiria lortzea beste bat. Beraz, lan
erdiak bete baditut ere, beste erdiak ditut zain.
Tesi honek ez du olaturik harrotuko, ez dio munduari zirkinik edo ikararik eragin-
go, tesien unibertso zabalean izar txiki bat baino ez baita; nahiz eta niretzat berezia
den, beharbada neuk sortutako izarra delako. Bereziak zareten bezalaxe bide honetan
animatu eta lagundu didazuen guztiok. Nire eskerrik beroenak konszienteki edo inkons-
zienteki lagun egin didazuen sherpoi: Aitorri, bere mugarik gabeko pazientziagatik (in-
finitua existitzen denaren adibide eta froga); etxekoei, asko geratzen zitzaidanean ere
gutxi geratzen zela esateagatik, hau da, kalkuluak hain ondo egiteagatik; txiki-txikitatik
mantentzen ditudan lagunei eta nagusitu ahala egin ditudan berriei, zelan nindoan eta
nengoen uneoro -hau da beti- arduratzeagatik; nire lankide-ohi eta lagun Arantza, Dolo,
Jose Ramon eta Rikardori, besteak beste zuekin talde-lanean aritutako urteetan irakatsi
dizkidazuen teoremengatik; etxe-ondoko eskolari, hau da, Lea Artibai ikastetxeari, eman
dizkidanerraztasunguztiengatiketaingelesezesatendenbezalaxe,last but not least nire
tutore Juanjo Anzari, gidaririk gabe nekezago aurkituko bainuen gorako bidea. Eta izen
gehiago aipatzea luze joango litzatekeenez -eta Matematikei erreferentzi eginez-, 2 eta 2
lau diren bezalaxe (2+2 = 4) bukatuko nuenaren sinismena berbaz eta animoz adierazi
didazuen guztioi.
Mila esker bihotz-bihotzez

Agradecimientos
Esbuenoterminarlostrabajosquesehanempezado,aunqueavecescuesta.Elhecho
de no disponer de suficiente tiempo, el cansancio y la frustracio´n que genera cualquier
proceso largo, o simplemente, no tener unas buenas botas, pueden dificultar o incluso
impedir la consecuci´on de los mismos.
Siempre he tenido el suen˜o de terminar la tesis y estos cuatro u´ltimos an˜os, me he
dedicado en cuerpo y alma a ello. Desde pequen˜ita me han sorprendido las Matema´ticas
y en este periodo me han vuelto a recordar el rigor que se necesita al trabajar con
ellas y que su esencia se encuentra en su belleza. Me he dado cuenta de nuevo que,
como en otras tantas disciplinas, tampoco en ´esta salen las cosas a la primera; que la
constancia, la tenacidad y el esfuerzo que se requieren para entenderlas, demostrarlas,
etc. son enormes. Pero que la satisfaccio´n que un@ siente en la meta es directamente
proporcional al esfuerzo requerido.
Creo que en mi vida nunca subir´e ningu´n 8000 -aunque no haya que perder la
esperanza-. Pero para m´ı, paso a paso, art´ıculo tras art´ıculo, realizando entrenamientos
acordes al tiempo y a la moral y siempre sin perder de vista la meta, me parece que he
hecho cumbre en un 8000. He cumplido mi suen˜o -ese suen˜o que de momento so´lo era
real en mi dimensi´on imaginativa- y parece que las buenas botas han tenido algo que ver.
Tras dar fin a un recorrido de trece an˜os en Lea Artibai ikastetxea, el an˜o pasado
empec´e una nueva etapa en la Universidad del Pa´ıs Vasco. Es una etapa con nuevas
exigencias: terminar la tesis es una de ellas y conseguir la acreditaci´on de profesor uni-
versitario es otra. Por lo que, todav´ıa tengo trabajo por hacer.
Esta tesis no hara´ que las olas azoten ma´s fuertemente, o que notemos que la tierra
gira “y sin embargo se mueve...”, ya que tan so´lo es una estrella ma´s en el universo
infinito de las tesis; aunque para m´ı es especial, quiz´a u´nicamente porque es mi estrella.
Como sois especiales tod@s l@s que me hab´eis animado y apoyado durante este proceso.
Mi ma´s sincero agradecimiento a los sherpas que consciente o inconscientemente me
hab´eis ayudado: a Aitor, por su ilimitada paciencia (prueba de que el infinito existe); a
mi familia, por decirme que ya quedaba poco, incluso cuando faltaba mucho, es decir,
por lo bien que hac´eis los ca´lculos; a mis amig@s, a aqu´ell@s que mantengo desde mi
nin˜ez y a l@s que he ido haciendo segu´n crec´ıa, por vuestro constante inter´es de c´omo
iba la tesis y c´omo me encontraba yo; a mis excompan˜eros y amigos Arantza, Dolo,
Jose Ramon y Rikardo, entre otras cosas por los teoremas que me hab´eis ensen˜ado en el
tiempo que hemos trabajado juntos; a esa escuela que est´a junto a nuestra casa, es decir,
a Lea Artibai ikastetxea, por todas las facilidades que me ha dado y como se dice en
ingl´es, last but not least a mi tutor Juanjo Anza, porque sin gu´ıa hubiese sido ma´s dif´ıcil
encontrar el camino hacia la cima. Y haciendo referencia a las Matema´ticas, a todos los
que me hab´eis animado y dicho que lo iba a terminar como 2 y 2 son cuatro (2+2 = 4).
Gracias de todo coraz´on

´
Indice general
´Indice general IX
1. Introduccio´n, objetivos y organizacio´n 1
1.1. Introduccio´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Algunos ejemplos MEF en Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1. Ejemplo 1: Soluci´on exacta y soluci´on MEF modal . . . . . . . . . 10
1.2.1.1. Soluci´on del continuo. Desarrollo en serie, D’Alembert . . 11
1.2.1.2. Semidiscretizacio´n MEF. Superposici´on modal . . . . . . 14
1.2.2. Ejemplo 2: Soluci´on MEF num´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.2.1. Difusi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.2.2. Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.3. Ejemplo 3: Una versio´n no lineal de la ecuacio´n de onda . . . . . . 34
1.3. Objetivos y organizaci´on del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2. M´etodos para EDOs de orden 1 45
2.1. Error, estabilidad y rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.1.1. Error y orden de precisio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.1.2. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.3. Rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2. M´etodos multipaso lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2.1. Interpolaci´on polino´mica. Diferencias regresivas . . . . . . . . . . . 53
2.2.2. M´etodos de Adams Bashforth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2.3. M´etodos de Adams Moulton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2.4. M´etodos BDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2.5. M´etodos NDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.2.6. M´etodos multipaso lineales mejorados . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2.6.1. M´etodos multipaso lineales que utilizan la 2a derivada . . 61
2.2.6.2. M´etodos multipaso extendidos . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.6.3. Combinaci´on de m´etodos multipaso . . . . . . . . . . . . 64
2.3. M´etodos Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.3.1. Introduccio´n al m´etodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.3.2. Condiciones de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
ix
2.3.3. Caracter´ısticas de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.3.4. M´etodos expl´ıcitos anidados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3. M´etodos lineales multipaso para EDOs de orden 2 77
3.1. M´etodos lineales multipaso para EDOs de orden 2 . . . . . . . . . . . . . 78
3.2. M´etodo alfa-generalizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.2.1. M´etodo de Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.2.2. M´etodo alfa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3. M´etodo de Houbolt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.4. M´etodo Collocation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.5. M´etodos que disipan la energ´ıa y conservan el momento . . . . . . . . . . 95
3.6. Otros para´metros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4. ode45, ode15s 99
4.1. ode45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.1.1. Estimacio´n del error en la ode45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.1.2. Estimacio´n del error local vs. regiones de estabilidad ode45 . . . . 103
4.1.3. Control del taman˜o de paso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.1.3.1. Primer taman˜o de paso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.1.3.2. Nuevo taman˜o de paso tras h bueno . . . . . . . . . . . . 107
4.1.3.3. Nuevo taman˜o de paso tras h fallido . . . . . . . . . . . . 108
4.2. ode15s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.2.1. Aspectos computacionales ode15s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.2.1.1. La matriz de diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2.2. Estimacio´n del error en la ode15s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.2.3. Estimador del error local vs. regiones de estabilidad ode15s . . . . 115
4.2.4. Control del taman˜o de paso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.2.4.1. Primer taman˜o de paso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.2.4.2. Nuevo taman˜o de paso tras h bueno . . . . . . . . . . . . 115
4.2.4.3. Nuevo taman˜o de paso tras h fallido . . . . . . . . . . . . 117
4.2.4.4. Actualizaci´on de la matriz de diferencias . . . . . . . . . 118
4.3. Aplicacio´n de ode45 y ode15s a ejemplos sencillos . . . . . . . . . . . . . . 120
4.3.1. Resolucio´n de EDOs de orden 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.3.2. Resolucio´n de EDOs de orden 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.3.3. Estimacio´n del error en la ode15s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.3.4. Resolucio´n de la ecuacio´n de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.3.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5. M´etodos resultantes de cambiar los predictores en EBDF y MEBDF 139
5.1. Introduccio´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.2. Caracter´ısticas de los m´etodos BDF, NDF, EBDF, MEBDF . . . . . . . . 140
5.2.1. Esquema de los m´etodos BDF y NDF . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.2.2. Esquema de los m´etodos EBDF y MEBDF . . . . . . . . . . . . . 141
5.3. Esquema de los nuevos m´etodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
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