Métodos Numéricos en Fenómenos de Transporte.

310 Pages·2011·2.98 MB·Spanish

Métodos Numéricos en Fenómenos de Transporte.
Norberto Nigro <[email protected]>
Mario Storti <[email protected]>
www: http://www.cimec.org.ar/cfd
Centro Internacional de Métodos Computacionales en Ingeniería
http://www.cimec.org.ar
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(Date: Wed Sep 21 09:07:51 2011 -0300)
Índice general
1. Modelosfisícosymatemáticos 9
1.1. Conceptosintroductorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1. Postuladodelcontinuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2. Tiposdeflujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3. Lasoluciónalosproblemasdemecánicadefluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.4. Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.5. Propiedadesdelosfluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2. Cinemáticadefluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1. Elvolúmenmaterial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.2. Elprincipiodeconservacióndelacantidaddemovimientolineal . . . . . . . . . . . . 16
1.3. TP.I.-TrabajoPráctico#1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2. Nivelesdinámicosdeaproximación 39
2.0.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1. LasecuacionesdeNavier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.1. Modelodefluidoincompresible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.2. LasecuacionesdeNavier-Stokespromediadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.3. Aproximación”Thinshearlayer”(TSL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.4. AproximaciónNavier-Stokesparabolizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.1.5. Aproximacióndecapalímite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2. Modelodeflujoinvíscido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.1. Propiedadesdelassolucionesdiscontinuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3. Flujopotencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.1. Aproximacióndepequeñaspertubaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.2. Flujopotenciallinealizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3. Naturalezamatemáticadelasecuaciones 51
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2. Superficiescaracterísticas.Solucionesdeltipoondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3. Ecuacionesdiferencialesparcialesdesegundoórden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4. Definicióngeneraldesuperficiecaracterística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5. Dominiodedependencia-zonadeinfluencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6. Condicionesdecontornoeiniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1
ÍNDICE GENERAL
ÍNDICEGENERAL
3.6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.6.2. MatLabcomosoftwaredeaplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4. Métododediferenciasfinitas 71
4.1. Diferenciasfinitasen1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1.1. DesarrolloenSeriedeTaylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1.2. Aproximacionesdemayororden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.3. Aproximacióndederivadasdeordensuperior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.4. Númerodepuntosrequeridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.5. Solucióndelaecuacióndiferencialporelmétododediferenciasfinitas . . . . . . . . . 74
4.1.6. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1.7. Análisisdeerror.TeoremadeLax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.8. CondicionesdecontornotipoNeumann(“flujoimpuesto”) . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2. Problemasno-lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2.2. Métodosecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.3. Métodotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3. Precisiónynúmerodepuntosenelesquemadediferenciasfinitas . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4. Métododediferenciasfinitasenmásdeunadimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.5. Aproximaciónendiferenciasfinitasparaderivadasparciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.5.1. Stencildeloperadordiscreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.6. Resolucióndelsistemadeecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.6.1. Estructurabanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.6.2. Requerimientosdememoriaytiempodeprocesamientoparamatricesbanda . . . . . 95
4.6.3. Anchodebandaynumeracióndenodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.7. Dominiosdeformairregular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.7.1. Inmersióndeldominioirregularenunamallahomogénea . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.7.2. Mapeodeldominiodeintegración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.7.3. Coordenadascurvilíneasortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.7.4. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.7.5. Mallasgeneradasportransformaciónconforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.8. Laecuacióndeconvección-reacción-difusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.8.1. Interpretacióndelosdiferentestérminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.8.2. Discretizacióndelaecuacióndeadvección-difusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.8.3. Desacoplamientodelasecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.8.4. Esquemasdediferenciascontracorriente(upwinded). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.8.5. Elcaso2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.8.6. Resolucióndelasecuacionestemporales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.9. Conduccióndelcalorcongeneraciónenuncuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5. Técnicasdediscretización 123
5.1. Métododelosresiduosponderados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.1.2. Aproximaciónporresiduosponderados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
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ÍNDICE GENERAL
ÍNDICEGENERAL
5.1.3. Residuosponderadosparalaresolucióndeecuacionesdiferenciales . . . . . . . . . . 128
5.1.4. Condicionesdecontornonaturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.1.5. Métodosdesolucióndelcontorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.1.6. Sistemadeecuacionesdiferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.1.7. Problemasnolineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.1.8. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.1.9. TP.chapV–TrabajoPráctico#2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6. Métododeloselementosfinitos 146
6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.2. Funcionesdeformalocalesdesoportecompacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.3. Aproximaciónasolucionesdeecuacionesdiferenciales.Requisitossobrelacontinuidaddelas
funcionesdeforma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.4. FormulacióndébilyelmétododeGalerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.5. Aspectoscomputacionalesdelmétododeloselementosfinitos . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.5.1. Ejemplo1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.5.2. Ejemplo2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.5.3. Ejemplo3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.6. Interpolacióndemayorordenen1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.6.1. Gradodelasfuncionesdepruebayvelocidaddeconvergencia . . . . . . . . . . . . . 162
C0
6.6.2. Funcionesdeformadealtoordenstandarddelaclase . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.7. Problemasconadveccióndominante-MétododePetrov-Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.8. Elcasomultidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.8.2. Elementotriangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.8.3. Elementocuadrangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.8.4. Transformacióndecoordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.8.5. Integraciónnumérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.9. Problemasdependientesdeltiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.9.1. Discretizaciónparcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.9.2. Discretizaciónespacio-temporalporelementosfinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.10. Elmétododeloselementosfinitosaplicadoalasleyesdeconservación . . . . . . . . . . . . 184
6.11.TP.VI-TrabajoPráctico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7. Métododelosvolúmenesfinitos 191
7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.2. Formulacióndelmétododelosvolúmenesfinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.2.1. Mallasyvolúmenesdecontrol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.3. Elmétododelosvolúmenesfinitosen2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.3.1. Evaluacióndelosflujosconvectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.3.2. Fórmulasgeneralesdeintegración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.4. Elmétododelosvolúmenesfinitosen3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.4.1. Evaluacióndelareadelascarasdelacelda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.4.2. Evaluacióndelvolúmendelaceldadecontrol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
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ÍNDICE GENERAL
ÍNDICEGENERAL
7.5. TP.VII.-TrabajoPráctico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8. Análisisdeesquemasnuméricos 210
8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
8.2. Definicionesbásicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
8.3. Consistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
8.4. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
8.5. ElmétododeVonNeumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.5.1. Factordeamplificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
8.5.2. Extensiónalcasodesistemadeecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
8.5.3. Análisisespectraldelerrornumérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8.5.4. Extensiónaesquemasdetresniveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
8.5.5. Elconceptodevelocidaddegrupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
8.5.6. AnálisisdeVonNeumannmultidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
8.6. Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.7. TP.TrabajoPráctico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
9. Métodositerativosparalaresolucióndeecuacioneslineales 235
9.1. Conceptosbásicosdemétodositerativosestacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
9.1.1. Notaciónyrepaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
9.1.2. EllemadeBanach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
9.1.3. Radioespectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
9.1.4. Saturacióndelerrordebidoaloserroresderedondeo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
9.1.5. Métodositerativosestacionariosclásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
9.2. MétododeGradientesConjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
9.2.1. MétodosdeKrylovypropiedaddeminimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
9.2.2. Consecuenciasdelapropiedaddeminimización.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
9.2.3. Criteriodedetencióndelprocesoiterativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
9.2.4. Implementacióndegradientesconjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
9.2.5. Los“verdaderosresiduos”.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
9.2.6. MétodosCGNRyCGNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
9.3. ElmétodoGMRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
9.3.1. LapropiedaddeminimizaciónparaGMRESyconsecuencias . . . . . . . . . . . . . . 272
9.3.2. Criteriodedetención: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
9.3.3. Precondicionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
9.3.4. ImplementaciónbásicadeGMRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
9.3.5. Implementaciónenunabaseortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
9.3.6. ElalgoritmodeGram-Schmidtmodificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
9.3.7. Implementacióneficiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
9.3.8. Estrategiasdereortogonalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
9.3.9. Restart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
9.3.10.Otrosmétodosparamatricesno-simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
9.3.11.GuíaNro3.GMRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
9.4. Descomposicióndedominios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
((docver texstuff-1.0.36-58-gb08d323 ’clean) (docdate Wed Sep 21 09:07:51 2011 -0300) (proc-date Wed Sep 21 09:09:19 2011 -0300)) 4
ÍNDICE GENERAL
ÍNDICEGENERAL
9.4.1. Condicionamientodelproblemadeinterfase.AnálisisdeFourier. . . . . . . . . . . . . 288
9.5. GuíadeTrabajosPrácticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
10.Flujoincompresible 296
10.1.Definicióndeflujoincompresible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
10.2.EcuacionesdeNavier-Stokesincompresible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
10.3.Formulaciónvorticidad-funcióndecorriente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
10.4.Discretizaciónenvariablesprimitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
10.5.Usodemallasstaggered . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
10.6.Discretizaciónporelementosfinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
10.7.Eltestdelaparcela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
10.8.LacondicióndeBrezzi-Babuska. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
10.9.MétodosFEMestabilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
((docver texstuff-1.0.36-58-gb08d323 ’clean) (docdate Wed Sep 21 09:07:51 2011 -0300) (proc-date Wed Sep 21 09:09:19 2011 -0300)) 5
Introducción. Contenidos del curso
Este curso básico sobre CFD siguiendo los lineamientos del libro de C. Hirsch [Hirsch] se divide en 2
partes:
1. Fundamentos y técnicas generales aplicables a los fenómenos de transporte en general y al flujo de
calorydefluidosenparticular
a) MODELOSFISICOSYMATEMATICOSENCFD
b) APROXIMACIONESDINAMICAS
c) NATURALEZAMATEMATICADELASECUACIONES
d) TECNICASDEDISCRETIZACIONGLOBAL
e) METODOSESPECTRALES
f) TECNICASDEDISCRETIZACIONLOCAL
g) METODOSDEELEMENTOSFINITOS
h) TECNICASDEDISCRETIZACIONLOCAL
i) METODOSDEVOLUMENESFINITOS
j) ANALISISNUMERICODEESQUEMASDISCRETOS
k) RESOLUCIONDEECUACIONESDISCRETIZADAS
l) APLICACIONES
2. Técnicasespecíficasaplicablesaproblemasdemecánicadefluidosytransferenciadecalor.
a) FLUJOINVISCIDOCOMPRESIBLE
b) FLUJOVISCOSOCOMPRESIBLE
c) FLUJOVISCOSOINCOMPRESIBLE
d) TOPICOSESPECIALES
La primera parte del curso consiste en presentar los principios generales sobre los que se apoyan los
modelosfísicosqueinterpretanmuchasdelassituacionesexperimentalesenmecánicadefluidosytransfe-
renciadecalor.Medianteunavisióndelmaterialpropiadelamecánicadelcontinuoseobtieneposteriormente
un modelo matemático que en general consiste de un conjunto de ecuaciones a derivadas parciales con o
sin restricciones y con sus respectivos valores de contorno e iniciales que completan su definición. Dada la
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ÍNDICE GENERAL
ÍNDICEGENERAL
complejidad matemática de estos modelos, salvo en situaciones muy particulares en las cuales se pueden
obtener soluciones analíticas, requieren de su resolución numérica con lo cual se hace necesario presentar
lasdiferentestécnicasdediscretizaciónhabitualmenteempleadasenproblemasdetransportedecalorymo-
mento. Debido al diferente carácter de las ecuaciones diferenciales, tanto en su visión continua como en su
contraparte discreta y a la presencia de ecuaciones adicionales en los contornos, tambien discretizadas, se
requiereunminuciosoanálisisdelosesquemasnuméricosempleadosprevioasuresolución,conelfindepo-
derinterpretarlastécnicasnuméricasdesdeelpuntodevistadelaprecisión,laconvergencia,laconsistencia
ylaestabilidad.Acontinuaciónseabordaeltemadelaresoluciónnuméricadelsistemaalgebraico/diferencial
de ecuaciones que surge de la discretización empleada. Este tópico tiene alta incidencia en la factibilidad
deresolverproblemasnuméricosyaquedeacuerdoalproblemaenmanoyalosrecursoscomputacionales
disponibles muestra las diferentes alternativas para su resolución. Esta primera parte finaliza con una serie
de aplicaciones de los conceptos adquiridos a la resolución de las ecuaciones de convección difusión tanto
ensuversionestacionariacomotransiente,desdeelsimplecasounidimensionalalmultidimensional,consi-
derandoelcasolinealcomoelnolinealrepresentadoporlaecuacióndeBürgers.Estemodelosencillotiene
especialinterésdadalasimilitudquepresentaconlaestructuradelasecuacionesqueconformanlamayoria
delosmodelosmatemáticosmasfrecuentementeusadosenmecánicadefluidosytransferenciadecalor.En
esta primera parte del curso se introducirán en forma de trabajos prácticos y cuando la explicación teórica
lo requiera algunos ejemplos a resolver tanto analítica como numéricamente. dado que esta parte es intro-
ductoria se verán modelos simplificados de aquellos comúnmente empleados en CFD pero que contienen
muchasdelascaracterísticasmatemático/numéricaspropiasdeaquellosyquelohacenatractivosenposde
ir incorporando conceptos, necesarios para abordar la segunda parte, en forma gradual. Paralelamente con
elcursoteóricosedesarrollarántalleressobrelosaspectosprácticosacubrirenestaprimeraparte.Debido
a que el enfoque del curso está orientado hacia los fundamentos y el aprendizaje de las técnicas que están
implícitas en todo código computacional se hace necesario programar por uno mismo algunas aplicaciones
vistas en la sección teórica. Ya que esto difícilmente se encuentra en un paquete comercial y dado que el
gradode avancequeactualmente existeenel areadesoftware educativoestábastante lejosdepoder con-
tar con herramientas aptas para la enseñanza se hace necesario elegir algún entorno que sea ameno para
el usuario y potente para el ambicioso plan de aprender métodos numéricos desde cero. En este sentido
consideramosqueelusodeMatLabpuedesermuybeneficiosoporvariasrazones,asaber:
1. cuenta con muchas rutinas de alto nivel y otras de bajo nivel que permite ubicarse muchas veces en
diferentesnivelesojerarquiasconlocualcadaunopuedeoptarporelrolquemaslegusta,
2. esunlenguajedeprogramación,porlotantocrearrutinasmuyespecíficas,
3. granyeficienteinteracciónentrecálculoygráficos,
4. posibilidaddedebugearaplicacionesenformainteractiva.
No obstante, por razones de eficiencia y para cuando la necesidad lo requiera es necesario contar con
conocimientosdelenguajesdeprogramaciónmásorientadosasimulacionesdegranescala,comoporejem-
++
plo el Fortran y el C o C . Sin entrar en detalles acerca de la programación el curso incluye el manejo
deunprogramadeelementosfinitosparalaresolucióndealgunosdelosproblemasincluidosenlaprimera
partedelcurso.Estesoftwareseráutilizadoenlasegundapartedelcursopararesolverproblemasdeflujos
compresibleseincompresiblesquerequierenmuchamayorpotenciadecálculo.
((docver texstuff-1.0.36-58-gb08d323 ’clean) (docdate Wed Sep 21 09:07:51 2011 -0300) (proc-date Wed Sep 21 09:09:19 2011 -0300)) 7
ÍNDICE GENERAL
ÍNDICEGENERAL
La segunda parte del curso trata acerca de las técnicas específicas empleadas en la resolución de pro-
blemas de mecánica de fluidos. Básicamente se tomará en primera instancia el caso de flujo invíscido com-
presible representado por el modelo de las ecuaciones de Euler y posteriormente se tratará el caso viscoso
tantocompresiblecomoincompresiblemodeladoporlasecuacionesdeNavier-Stokes.Encadaunodeestos
capítulossevolcaránlosconceptosaprendidosenlaprimerapartedelcursoparadiseñaryanalizaresque-
mas numéricos que permitan resolver estos casos particulares. Dada la complejidad del problema surgen
naturalmente restricciones muy severas en cuanto a la resolución numérica de las ecuaciones lo cual hace
necesario explorar técnicas iterativas específicasa tal fin. Como las soluciones numéricas en los problemas
de flujos de fluidos son altamente dependiente de la malla se hace necesario introducir nociones básicas
sobre generación de mallas en CFD . Este tema forma parte del grupo de tópicos especiales. Otro de los
temas especialesa tratares el modeladode laturbulencia. Es biensabido quela mayoría delos problemas
deinteréssongobernadosporcondicionesdeflujoturbulento.Severáamododeintroducciónalgunosmo-
delos algebraicos típicos en los casos de flujos internos y externos asi como algunos modelos basados en
κ−(cid:15)
ecuacionesaderivadasparcialescomoelcasodelbienpopularmétodo .Finalmentecierraestasección
detópicosespecialeseltratamientodeproblemascondominiosvariableseneltiempo.
((docver texstuff-1.0.36-58-gb08d323 ’clean) (docdate Wed Sep 21 09:07:51 2011 -0300) (proc-date Wed Sep 21 09:09:19 2011 -0300)) 8
Capítulo 1
Modelos fisícos y matemáticos
En este capítulo se presentan los principios o leyes físicas que gobiernan el flujo de fluidos, las reglas
que definen el comportamiento de los materiales involcucrados, los relaciones termodinámicas entre las
variablesquecaracterizanelfenómenoyfinalmentelosmodelosmatemáticosconformadosporsistemasde
ecuacionesdiferencialesqueseránelpuntodepartidahacialabúsquedadesolucionesadiversosproblemas
demecánicadefluidosytransferenciadecalor.
1.1. Conceptos introductorios
Enestasecciónmencionaremosalgunosconceptosbásicosnecesariosparaconformarelmarcoteórico
paraeltratamientodelosproblemasaresolver.
1.1.1. Postulado del continuo
Partiendodeunadescripciónmoleculardelamateriapodemosponeratenciónenelmovimientodeellas
enformaindividualoformarunclusterqueagrupeamuchasdeellasyestudiarelmovimientodelmismo.La
ideadelclusterequivaleaunaespeciedepromediaciónestadísticaquetienesentidosilasescalasdeinterés
aserresueltassonmuchomayoresqueelcaminolibremediodelasmoléculas.Estavisiónfenomenológica
hace que el medio sea interpretado como un continuo a diferencia de la visión microscópica que mira al
material desde una aproximación a las partículas. Desde la óptica del continuo las variables a resolver se
asumenvariarenformacontinuarespectoalascoordenadasespacialesyaltiempo.Enlaaproximacióndel
continuo la operación de promediación antecede a la aplicación del principios termomecánicos. En la apro-
ximacióndepartículasesuelenplantearlasleyesfísicasalaescalamicroscópicayestudiarlosfenómenos
queocurrenaesaescala.Sirealizáramoslapromediacióndespuésdeaplicarlosprincipiostermomecánicos
deberímosencontrarelmismoresultadoqueaquelquesurgedelamecánicadelcontinuo.Detodosmodos
estoúltimonoesmuyprácticoyaqueamenudolainformaciónmicroscópicaquesedisponeesmuyescasa
comoparapoderplantearunmodeloatanpequeñaescalaparadespuéssaltarmediantelapromediacióna
lamacroescala,derealinterésalosfinesingenieriles.
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