Métodos Numéricos em Matemática Aplicada à Engenharia

115 Pages·2013·5.91 MB·Portuguese

Métodos Numéricos em Matemática Aplicada à
Engenharia
Nelson Luís Dias
Departamento de Engenharia Ambiental e
Lemma — Laboratório de Estudos em Monitoramento e
Modelagem Ambiental
Universidade Federal do Paraná
18 de setembro de 2013
2
©2013 Nelson Luís da Costa Dias. Todos os direitos deste documento estão reserva-
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mentoédistribuídosemnenhumagarantia,dequalquerespécie,contraeventuaiserros
aquicontidos.
Sumário
0 Formalismosmatemáticos 13
1 Ferramentascomputacionais 15
1.1 Antesdecomeçaratrabalhar, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1 StringseInteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Númerosdepontoflutuante“reais”e“complexos” . . . . . . . . 18
1.2.3 Obtençãodeumacurvadepermanência . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.4 Arquivostextoearquivosbinários . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3 Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Umpoucodepolinômios,integrais,sérieseequaçõesdiferenciais 31
2.1 Integraçãonumérica: motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Aregradotrapézio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Aproximaçãodeintegraiscomséries: afunçãoerro . . . . . . . . . . . . 40
2.4 Soluçãonuméricadeequaçõesdiferenciaisordinárias . . . . . . . . . . . 46
2.5 Soluçãonumérica;métododeEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6 Ummétodoimplícito,comtratamentoanalítico . . . . . . . . . . . . . . 50
2.7 Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.8 OmétododeRunge-Kuttamultidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.9 Soluçãonuméricadeumproblemanão-linear . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.10 Poluiçãoorgânicaemrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3 Soluçãonuméricadeequaçõesdiferenciaisparciais 73
3.1 Advecçãopura: aondacinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2 Difusãopura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3 Difusãoem2Dimensões: ADI,eequaçõeselíticas . . . . . . . . . . . . . 103
A ParaascoisasfuncionarememWindows 111
B Dadosdevazãomédiaanualevazãomáximaanual,RiodosPatos,1931–
1999 113
3
Sumário 4
Lista de Tabelas
1.1 VazõesMáximasAnuais(m3s−1)noRiodosPatos,PR,1931–1999 . . . . 20
2.1 Estimativasnuméricasde I eseuserrosrelativosδ. . . . . . . . . . . . . 36
5
Sumário 6
Lista de Figuras
1.1 FDAempíricadavazãomáximaanualnoRiodosPatos. . . . . . . . . . . 23
1.2 Afunção f(x) = x/(1+x7/3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1 Integraçãonuméricadeumafunção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Aregradotrapézio,comn = 4en = 8trapézios. . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Função erf(x) calculada por integração numérica, com trapepsilon e
ϵ = 1 × 10−6,versusaerf pré-definidanoprogramadeplotagem. . . . . 41
2.4 Função erf(x) calculada com série de Taylor, com erf_1, versus a erf
pré-definidanoprogramadeplotagem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5 Soluçãodaequação(2.14). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.6 Comparação da solução analítica da equação (2.14) com a saída de
sucesso.py,para∆x = 0,01. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.7 Comparação da solução analítica da equação (2.14) com a saída de
sucesso.py,para∆x = 0,5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.8 Comparação da solução analítica da equação (2.14) com a saída de
sucimp.py,para∆x = 0,5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.9 Comparação da solução analítica da equação (2.14) com a saída de
euler2.py,para∆x = 0,5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.10 Comparação da solução analítica da equação (2.14) com a saída de
rungek4.py,para∆x = 0,5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.11 Ointegrandoγ(x,t)parax = 1,...,5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.12 Cálculo de Γ(x) com o método de Runge-Kutta: saída de intgam1 com-
paradacomafunção Γ(x)doprogramadeplotagem(Gnuplot) . . . . . . 60
2.13 SoluçãonuméricapeloMétododeRunge-Kuttadeumsistemade2equa-
çõesdiferenciaisordinárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.14 Drenagem de um maciço poroso semi-infinito inicialmente totalmente
saturado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.15 Resultado da integração numérica do problema de Boussinesq para um
aquíferosemi-infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.16 Solução numérica do modelo de Streeter-Phelps com o método de
Runge-Kutta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.1 Condiçãoinicialdaequação3.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2 Soluçãonuméricaproduzidaporonda1d-ins.py,parat = 250∆t,500∆t
e750∆t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3 Solução numérica produzida por onda1d-lax.py, para t = 500∆t,
1000∆t e1500∆t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7
Sumário 8
3.4 Solução numérica produzida pelo esquema upwind, para t = 500∆t,
1000∆t e1500∆t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.5 Solução analítica da equação de difusão parat = 0,t = 0,05,t = 0,10 e
t = 0,15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.6 Soluçãonuméricacom ométodoexplícito(3.35)(círculos)versusasolu-
ção analítica (linha cheia) da equação de difusão para t = 0, t = 0,05,
t = 0,10 e t = 0,15. Apenas 1 a cada 5 pontos da grade numérica são
mostrados,parafacilitaracomparaçãocomasoluçãoanalítica. . . . . . 91
3.7 Solução numérica com o método implícito (3.39) (círculos) versus a so-
lução analítica (linha cheia) da equação de difusão parat = 0,t = 0,05,
t = 0,10 e t = 0,15. Apenas 1 a cada 5 pontos da grade numérica são
mostrados,parafacilitaracomparaçãocomasoluçãoanalítica. . . . . . 95
3.8 Solução numérica com o método de Crank-Nicholson ( (3.45)) (círculos)
versusasoluçãoanalítica(linhacheia)daequaçãodedifusãoparat = 0,
t = 0,05,t = 0,10et = 0,15. Apenas1acada5pontosdagradenumérica
sãomostrados,parafacilitaracomparaçãocomasoluçãoanalítica. . . . 98
3.9 Comparação entre as soluções analítica (linhas) e numérica com um es-
quemaimplícito(pontos)daequaçãodadifusão-advecçãocomtermode
decaimento,parat = 0,333,t = 0,666et = 0,999. . . . . . . . . . . . . . . 101
3.10 Soluçãoanalíticadaequaçãodadifusãobidimensional,parat = 0,t = 0,
t = 0,1,t = 0,2et = 0,3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.11 Solução numérica da equação da difusão bidimensional com o esquema
ADI,parat = 0,t = 0,t = 0,1,t = 0,2et = 0,3 . . . . . . . . . . . . . . . 109
Lista de Listagens
1.1 binint.py—exemplodestrings,einteiros. . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 floats.py—exemplodeusodefloatecomplex. . . . . . . . . . . . . 19
1.3 patos-medmax.dat—vazõesmédiaemáximaanuais,RiodosPatos . . 21
1.4 fqiemp.py—cálculodeumaFDAempírica . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 fqiemp.dat—FDAempíricadavazãomáximaanualnoRiodosPatos. . 23
1.6 bintext.py—Exemplodearquivotextoearquivobinário . . . . . . . . 24
1.7 writearr.py — Escreve um arquivo binário contendo 3 “linhas”, cada
umadasquaiscomumarrayde10float’s. . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.8 readarr.py—Lêumarquivobináriocontendo3“linhas”,cadaumadas
quaiscomumarrayde10float’s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9 ObtençãodopontodemáximodeumafunçãocomMaxima . . . . . . . 28
1.10 mulambdak.max—cálculodamédiadadistribuiçãoWeibullememfun-
çãodeseusparâmetros λ ek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.11 Saídadoprogramamulambdak.max . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1 achapol.max—Polinômiocompropriedadesdefinidas . . . . . . . . . . 32
2.2 Saídadeachapol.max . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Cálculodaintegraldeumpolinômioanaliticamente,comMaxima . . . . 33
2.4 passaquad.max — parábolah(x) = ax2 +bx +c passando por (1, f(1)),
(3, f(3))e(5, f(5)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5 Saídadepassaquad.max . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.6 numint.py—Integraçãonumérica,regradotrapézio . . . . . . . . . . . 37
2.7 quadraver1.py—Integraçãonuméricade f(x)com8trapézios . . . . . 37
2.8 numint.py — Integração numérica ineficiente, com erro absoluto pré-
estabelecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.9 quadraver2.py — Integração numérica ineficiente de f(x) com ϵ =
0,0001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.10 numint.py — Integração numérica eficiente, com erro absoluto pré-
estabelecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.11 quadraver3.py — Integração numérica eficiente de f(x) com
ϵ = 0,000001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.12 vererf.py—Cálculodafunçãoerroporintegraçãonumérica . . . . . . 41
2.13 Cálculodeerf(x)comumasériedeTaylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.14 vererf1.py—CálculodafunçãoerrocomsériedeTaylorentre0e3. . 44
2.15 erfs.py—Cálculodeerf(x)comsériedeTaylor,limitadoanomáximo
43termos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.16 resolve-eqdif —SoluçãodeumaEDOcomMaxima . . . . . . . . . . 46
2.17 fracasso.py—UmprogramacomométododeEulerquenãofunciona 48
2.18 sucesso.py—UmprogramacomométododeEulerquefunciona . . . 50
9
Sumário 10
2.19 sucimp.py—MétododeEulerimplícito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.20 euler2—Ummétodoexplícitodeordem2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.21 rungek4—MétododeRunge-Kutta,ordem4 . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.22 Primeiroprotótipoparaocálculode Γ(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.23 Programadefinitivoparaocálculode Γ(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.24 ListasemPython . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.25 tentaarray.py: arrayscomNumpy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.26 rungek4v.py: ométododeRunge-Kuttamultidimensional . . . . . . . . 64
2.27 Solução numérica do modelo de Streeter-Phelps com o método de
Runge-Kutta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1 onda1d-ins.py — Solução de uma onda 1D com um método explícito
instável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2 surf1d-ins.py—Selecionaalgunsintervalosdetempodasoluçãonu-
méricaparaplotagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3 onda1d-lax.py — Solução de uma onda 1D com um método explícito
laxtável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.4 surf1d-lax.py—Selecionaalgunsintervalosdetempodasoluçãonu-
méricaparaplotagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.5 difusao1d-ana.py—Soluçãoanalíticadaequaçãodadifusão . . . . . 86
3.6 divisao1d-ana.py — Seleciona alguns instantes de tempo da solução
analíticaparavisualização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.7 difusao1d-exp.py — Solução numérica da equação da difusão: mé-
todoexplícito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.8 divisao1d-exp.py — Seleciona alguns instantes de tempo da solução
analíticaparavisualização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.9 alglin.py — Exporta uma rotina que resolve um sistema tridiagonal,
baseadaemPressetal.(1992) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.10 difusao1d-imp.py — Solução numérica da equação da difusão: mé-
todoimplícito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.11 difusao1d-ckn.py — Solução numérica da equação da difusão: es-
quemadeCrank-Nicholson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
sana.max . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.12 Implementação de um esquema numérico implícito para a equação da
difusão-advecção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.13 difusao2d-ana.py—Soluçãoanalíticadaequaçãodadifusãobidimen-
sional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.14 difusao2d-adi.py — Solução numérica da equação da difusão bidi-
mensional,esquemaADI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
patos–medmax.dat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113