Méthodes d'échantillonnage appliquées à l'imagerie de défauts dans un guide d'ondes élastiques

221 Pages·2017·8.68 MB·French

by  Arnaud Recoquillay

Méthodes d’échantillonnage appliquées à l’imagerie de
défauts dans un guide d’ondes élastiques
Arnaud Recoquillay
To cite this version:
Arnaud Recoquillay. Méthodes d’échantillonnage appliquées à l’imagerie de défauts dans un guide
d’ondes élastiques. Physique mathématique [math-ph]. Université Paris Saclay (COmUE), 2018.
Français. ￿NNT: 2018SACLY001￿. ￿tel-01712219￿
HAL Id: tel-01712219
https://pastel.archives-ouvertes.fr/tel-01712219
Submitted on 19 Feb 2018
HAL is a multi-disciplinary open access L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
archive for the deposit and dissemination of sci- destinée au dépôt et à la diffusion de documents
entific research documents, whether they are pub- scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
lished or not. The documents may come from émanant des établissements d’enseignement et de
teaching and research institutions in France or recherche français ou étrangers, des laboratoires
abroad, or from public or private research centers. publics ou privés.
NNT : 2018SACLY001
THÈSE DE DOCTORAT
de
L’UNIVERSITÉ PARIS-SACLAY
École doctorale de mathématiques Hadamard (EDMH, ED 574)
Établissement d’inscription : École nationale supérieure de techniques avancées
Laboratoire d’accueil : Unité de mathématiques appliquées, ENSTA-CNRS-INRIA
Spécialité de doctorat : Mathématiques appliquées
Arnaud RECOQUILLAY
Méthodes d’échantillonnage appliquées à l’imagerie de défauts
dans un guide d’ondes élastiques
Date de soutenance : 16 Janvier 2018
PETER MONK (University of Delaware)
Après avis des rapporteurs :
VINCENT PAGNEUX (Université du Maine)
VAHAN BARONIAN (CEA List) Encadrant de thèse
LAURENT BOURGEOIS (ENSTA ParisTech) Directeur de thèse
CÉDRIC BELLIS (Aix-Marseille Université) Examinateur
Jurydesoutenance:
HOUSSEM HADDAR (École Polytechnique) Examinateur
VINCENT PAGNEUX (Université du Maine) Rapporteur
CLAIRE PRADA (ESPCI Paris) Présidente

Remerciements
Je remercie tous les membres du jury pour l’intérêt qu’ils ont porté à mon travail ainsi que
les nombreuses questions et remarques qui y sont liées : MM. Cédric BELLIS et Houssem
HADDAR, Mme Claire PRADA et en particulier MM. Peter MONK et Vincent PAGNEUX qui ont
accepté d’être rapporteurs de mon manuscrit.
Je remercie aussi mes encadrants de thèse, MM. Laurent BOURGEOIS et Vahan BARONIAN
pour leur implication. Votre suivi régulier, la liberté d’action que vous m’avez laissée et votre
bonnehumeurontrenducestroisannéestrèsagréables.J’espèreavoirl’occasiondetravailler
avec vous à l’avenir. J’en profite pour remercier aussi M. Bastien CHAPUIS pour son aide sur
les aspects expérimentaux.
Cette thèse est issue d’une collaboration entre l’équipe POEMS de l’Unité de Mathématiques
Appliquées de l’ENSTA ParisTech et le Département Imagerie et Simulation pour le Contrôle
du CEA/LIST. Il est clair que je n’aurais pas pu aller aussi loin sur mon sujet sans l’aide qui
m’a été apportée de part et d’autre. Je tiens donc à remercier les membres des deux équipes
pour leur accueil et leur aide. J’ai vraiment apprécié cette chance qui m’était offerte de tra-
vailler dans deux environnements différents, de profiter de deux points de vue sur une même
thématique.
Je tiens aussi à remercier les membres des deux équipes pour la bonne ambiance qui règne
dans les deux équipes. Merci notamment à tous mes partenaires de sport pour ces paren-
thèses toujours appréciées.
Enfin, je remercie ma famille et mes amis pour m’avoir supporté (avec ou sans anglicisme)
durant cette thèse.
ii
T
ABLE DES MATIÈRES
Introduction 1
1 Cadre théorique de la Linear Sampling Method 7
1.1 Espaces fonctionnels et prolongement unique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Défaut volumique à cœur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Défaut volumique débouchant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Défaut de type fissure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5 Données partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Extension aux données en surface 31
2.1 Analyse modale de la LSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 LSM fondée sur des sollicitations et mesures à la surface . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Lien entre la formulation modale et des sollicitations et mesures sur la surface 42
2.4 Conditionnement des matrices d’émission et de réception . . . . . . . . . . . . 46
2.4.1 Étude théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.2 Étude numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 Extension au régime temporel et applications numériques 61
3.1 Extension aux données temporelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.1 Lien entre problème fréquentiel et problème temporel . . . . . . . . . 62
3.1.2 Résolution multi-fréquentielle du problème d’imagerie . . . . . . . . . 66
3.1.3 Lien avec la Linear Sampling Method temporelle . . . . . . . . . . . . 67
3.2 Synthèse des données artificielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.1 Calcul direct en régime fréquentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.2 Calcul direct en régime temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3 Applications numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3.1 Choix de la fonction d’excitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3.2 Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4 Application de la Linear Sampling Method à un guide d’ondes élastiques 89
4.1 Modes guidés et formalisme XY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
iv
4.2 Linear Sampling Method dans un guide d’ondes élastiques . . . . . . . . . . . 95
4.3 Analyse modale de la LSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.4 Extension aux données surfaciques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.5 Étude du conditionnement des matrices d’émission et de réception . . . . . . 113
4.5.1 Étude théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.5.2 Étude numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.6 Extension au régime temporel et applications numériques . . . . . . . . . . . 120
4.6.1 Extension au régime temporel. Choix de la forme de la source en temps 121
4.6.2 Synthèse de données artificielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.6.3 Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5 Validation expérimentale 131
5.1 Dispositif expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.1.1 Instrumentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.1.2 Protocole expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.1.3 Détermination des paramètres matériau . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.1.4 Modélisation des fonctions de source et de mesure . . . . . . . . . . . 135
5.1.5 Détermination des fréquences d’intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.2 Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.2.1 Résultat préliminaire : obtention des courbes de dispersion . . . . . . 137
5.2.2 Imagerie d’un défaut calibré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.2.3 Conclusions sur les résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . 147
6 Cas d’une seule sollicitation : l’approche “extérieure” 149
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.2 The abstract framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.2.1 A general ill-posed problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.2.2 A mixed formulation of Tikhonov regularization . . . . . . . . . . . . . 153
6.3 Two examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.3.1 The Cauchy problem for the Laplace equation . . . . . . . . . . . . . . 155
6.3.2 The backward heat equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.4 An inverse obstacle problem in an acoustic waveguide . . . . . . . . . . . . . 159
6.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.4.2 Application of the mixed Tikhonov formulation . . . . . . . . . . . . . 159
6.4.3 The “exterior approach” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.4.4 Some numerical experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.5 A relaxed mixed formulation of Tikhonov regularization . . . . . . . . . . . . 165
6.5.1 Back to the abstract case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.5.2 Back to the inverse obstacle problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.5.3 Some numerical experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Conclusions et perspectives 171
A Expression de la solution fondamentale pour une sollicitation au bord 177
A.1 Guide d’ondes acoustiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
A.2 Guide d’ondes élastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
B Conditionnement des matrices de Vandermonde à coefficients sur le cercle unité183
C Inversibilité de la matrice des modes de Lamb 189
T
ABLE DES FIGURES
1 Exemples d’applications de Contrôle Non Destructif . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Défaut à coeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Solution de λ k k2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
m
p q “
1.3 Défaut débouchant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Défaut de type fissure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5 Configuration “back-scatterring” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1 Sources et mesures à la surface du guide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2 Évolution de δ λ en fonction de λ 2d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
opt
{ {
2.3 Encadrement donné par (2.31) (traits pointillés) du logarithme du condition-
nement de V (traits pleins) dans le cas carré (M P) en fonction de δ λ . . . 56
“ {
(a) 4 modes propagatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
(b) 8 modes propagatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
(c) 12 modes propagatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4 Logarithme du conditionnement de V en fonction de δ λ . . . . . . . . . . . . 57
{
(a) 4 modes propagatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
(b) 8 modes propagatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
(c) 12 modes propagatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5 Comparaison du logarithme du conditionnement de V (trait rouge) avec celui
de sa borne supérieure (2.32) (trait bleu) en fonction de M . . . . . . . . . . 58
2.6 Logarithme du conditionnement de V en fonction de la fréquence k . . . . . . 59
(a) Large plage de fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
(b) Plage de fréquences correspondant à 8 modes propagatifs . . . . . . . . 59
3.1 Variations de ξ en fonction de ω et s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
0
3.2 Schéma de principe du calcul direct fréquentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3 Comparaison des champs incidents. De haut en bas : champ incident numé-
rique, champ incident analytique avec P 2 modes, erreur relative entre les
`
champs incidents numérique et analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4 Champ incident analytique pour différents nombres de modes dans la somme 75
(a) P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
vi Table des figures
(b) P 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
`
(c) P 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
`
3.5 Schéma de principe des PMLs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.6 Influence de la fonction d’excitation. Champ diffracté en deux points d’obser-
vation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
(a) Source en temps de la forme χ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
(b) Source en temps de la forme ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.7 LSM modale, un obstacle carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
(a) P 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
“
(b) P 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
“
(c) P 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
“
3.8 LSM modale, deux obstacles rectangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
(a) P 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
“
(b) P 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
“
(c) P 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.9 Données“temporelles avec χ 12 χ . Imagerie à une fréquence pour P
“ n 1 n
modes propagatifs . . . . . . . . . “. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
ř
(a) P 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
“
(b) P 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
“
(c) P 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.10 Données“temporelles avec χ 12 χ . Imagerie à une fréquence correspon-
“ n 1 n
dant à P modes propagatifs . . . “. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
ř
(a) P 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
“
(b) P 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
“
(c) P 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.11 Données“temporelles avec χ 12 χ . Imagerie avec plusieurs fréquences
“ n 1 n
dans le support de χ . . . . . . . .“. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
P
ř
(a) P 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
“
(b) P 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
“
(c) P 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.12 Données“temporelles avec χ 12 χ . Imagerie avec plusieurs fréquences
“ n 1 n
dans l’union des supports de χ , n “8,...,12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
n
ř“
3.13 Imagerie dans le cas du back-scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
(a) LSM modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
(b) LSM multi-fréquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.14 Comparaison des fonctions caractéristiques avec des données temporelles. . . 84
(a) ψp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
(b) ψs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
(c) ψp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
χ
(d) ψs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
χ
(e) ψp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
max
(f) ψs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
max
3.15 Influence de la valeur de M. Données temporelles avec χ 12 χ . Imagerie
“ n 1 n
pour une fréquence correspondant à P 12 modes propagatifs“. . . . . . . . . 85
“ ř
(a) M P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
“
(b) M 2P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
“
(c) M 3P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
“
3.16 Influence de la forme de la source en espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
(a) Source ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Table des figures vii
(b) Source à support de largeur 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
(c) Source à support de largeur 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
(d) Source à support de largeur 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.17 Cas des données bruitées. Données temporelles avec χ 12 χ . Imagerie
“ n 1 n
avec plusieurs fréquences dans l’union des supports χ , n 8,.“..,12. . . . . . 87
n
“ř
(a) σ 0.01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
“
(b) σ 0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
“
(c) σ 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
“
4.1 Défaut à coeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2 Schémas des modes de Lamb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
(a) Mode symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
(b) Mode antisymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.3 Conditionnement de la matrice des modes dans le cas 2D. En haut : évolu-
tion du logarithme du conditionnement en fonction de la fréquence. En bas :
courbes de dispersion des modes symétrique (bleu continu), antisymétrique
(rouge continu), SH (vert pointillé) et “pseudo-Lamb” (noir pointillé) . . . . . 117
4.4 Logarithme du conditionnement de V en fonction de δ δ . . . . . . . . . . . 118
0
{
4.5 Schéma du guide 3D et du placement des lignes . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.6 Position des lignes sur le bord de la section dans la première configuration (I)
en haut et dans la seconde (II) en bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.7 Conditionnement en fonction du nombre de lignes Q dans le cas d’un guide de
section rectangulaire. Logarithme du conditionnement de la matrice de Van-
dermonde (en bleu), de la matrice TQ (en rouge), de la matrice T (en jaune)
r r
et de la matrice de réception R (en violet). En haut : bonne répartition des
points évitant les symétries. En bas : points mal répartis . . . . . . . . . . . . 120
4.8 Un défaut de type Dirichlet, dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
(a) Full-scattering, mesure du déplacement normal . . . . . . . . . . . . . . 124
(b) Full-scattering, mesure du déplacement tangentiel . . . . . . . . . . . . 124
(c) Back-scattering, mesure du déplacement normal . . . . . . . . . . . . . 124
(d) Back-scattering, mesure du déplacement tangentiel . . . . . . . . . . . . 124
4.9 Deux défauts de type Dirichlet, dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
(a) Full-scattering, mesure du déplacement normal . . . . . . . . . . . . . . 124
(b) Full-scattering, mesure du déplacement tangentiel . . . . . . . . . . . . 124
(c) Back-scattering, mesure du déplacement normal . . . . . . . . . . . . . 124
(d) Back-scattering, mesure du déplacement tangentiel . . . . . . . . . . . . 124
4.10 Influence de la polarisation, cas de la fissure de Neumann . . . . . . . . . . . 126
(a) Polarisation u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
S
(b) Polarisation u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3
(c) Polarisation t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
S
(d) Polarisation t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3
4.11 Optimisation de la normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
(a) ... à chaque fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
(b) ... sur les fonctions caractéristiques combinées . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.12 Influence du temps final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
(a) T 0.75T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
max
“
(b) T 0.5T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
max
“
4.13 Influence de l’atténuation : mesures effectuées pour R 1 (gauche) et R 2
“ “
(droite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128