Methoden der analytischen Störungsrechnung und ihre Anwendungen

303 Pages·1978·7.12 MB·German

by  Dr. sc. math. Urs Kirchgraber

u. KirchgraberjE. Stiefel
Methoden der analytischen Störungsrechnung
und ihre Anwendungen
Leitfäden der angewandten
Mathematik und Mechanik
Unter Mitwirkung von
Prof. Dr. E. Becker, Darmstadt Prof. Dr. G. Hotz, Saarbrücken
Prof. Dr. P. KaU, Zürich Prof. Dr. K. Magnus, München
Prof. Dr. E. Meister, Darmstadt Prof. Dr. Dr. h.c. F. K. G. Odqvist, Stockholm
Prof. Dr. Dr. h.c. Dr. h.c. Dr. h.c. E. Stiefel, Zürich
herausgegeben von
Prof. Dr. Dr. h.c. H. GörtIer, Freiburg
Band 44
B.G. Teubner Stuttgart
Methoden der analytischen
Störungsrechnung
und ihre Anwendungen
Von Dr. sc. math. Urs Kirchgraber
Eidg. Technische Hochschule Zürich
und Dr. math. Eduard Stiefel
o. Professor an der Eidg. Technischen Hochschule Zürich
Mit 39 Figuren und zahlreichen Beispielen
B. G. Teubner Stuttgart 1978
Dr. sc. math. Urs Kirchgraber
Geboren 1945 in Zürich. Von 1964 bis 1969 Studium der Mathematik und
Physik, 1972 Promotion an der ETH Zürich. Von 1969 bis 1975 Assistent am
Seminar für Angewandte Mathematik der ETH. Seit 1975 Oberassistent und
Lehrbeauftragter am Mathematik-Seminar der ETH. 1977/78 Gastaufenthalt
an der Universität Würzburg.
Prof. Dr. math. Eduard Stiefel
1909 geboren in Zürich. 1928 bis 1932 Studium der Mathematik an der
Eidgenössischen Technischen Hochschule Zürich, 1932 bis 1933 Studium in
Hamburg und Göttingen. 1935 Promotion, 1936 bis 1942 wissenschaftlicher
Assistent, 1942 Privatdozent, 1943 ord. Professor, 1948 Direktor des Instituts
für Angewandte Mathematik an der ETH Zürich. 1956 Präsident der
Schweizerischen Mathematischen Gesellschaft. 1966 bis 1970 Präsident des
Schweizerischen Komitees für Raumforschung. 1968 Professeur agree de
l'Universite Libre de Bruxelles. 1970 bis 1974 Präsident der Gesellschaft für
Angewandte Mathematik und Mechanik. Mitglied der Deutschen und Nor
wegischen Akademie der Wissenschaften. 1971 Dr. h.c. Universität Louvain,
1974 Dr. h.c. Universität Würzburg, 1975 Dr. h.c. Technische Universität
Braunschweig.
CIP-Kurztltelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Kirchgntber, Urs:
Methoden der analytischen Storungsrechnung
und ihre Anwendungen/von Urs Kirchgraber u.
Eduard Stiefel.-1. Aufl.-Stuttgart: Teubner,
1978.
(Leitfaden der angewandten Mathematik und
Mechanik; Bd. 44)
ISBN 978-3-322-92148-2 ISBN 978-3-322-92147-5 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-92147-5
NE Stiefel, Eduard:
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Übersetzung, des Nachdrucks, der Bildentnahrne, der Funksendung, der Wiedergabe auf photo
mechanischen oder ähnlichem Wege, der Speicherung und Auswertung in Datenverarbeitungsan
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Bei gewerblichen Zwecken dienender Vervielfältigung ist an den Verlag gemäß § 54 UrhG eme
Verglitung zu zahlen, deren Höhe mit dem Verlag zu vereinbaren ist.
© B. G. Teubner, Stuttgart 1978
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1978
Satz: Universities Press LId., Belfast
Vorwort
Dieses Buch (es ist aus Vorlesungen und Vorträgen entstanden, die die
Verfasser an der ETH, Zürich, an der Universität Texas in Austin und
anderswo gehalten haben) möchte eine Einführung in die Mittelwertmethode
bei gewöhnlichen Differentialgleichungssystemen geben, die auch neueren Ent
wicklungen Rechnung trägt. Diese Methode hat sich in Theorie und Anwen
dung als so fruchtbar erwiesen, daß es gerechtfertigt erscheint, ihr auch ein
Buch in der LAMM-Reihe zu widmen. Es gliedert sich wie folgt: Formale
Untersuchungen (erstes und drittes Kapitel), Anwendungen (zweites Kapitel),
mathematische Begründung der Methode (viertes Kapitel).
Das Buch besitzt folgende Merkmale, auf die hingewiesen sei: (i) Wir ent
wickeln die Mittelwertmethode konsequent auf der Grundlage der Lieschen
Reihen und befassen uns ausführlich mit den Implikationen dieses Grundkon
zepts. (ii) Wir versuchen, anwendungsnahe Beispiele vorzuführen, insbe
sondere werden auch höherdimensionale Probleme behandelt. Wann immer
möglich leiten wir die zu Grunde liegenden Differentialgleichungen her oder
interpretieren sie zumindest. (iii) Obwohl wir uns mit diesem Buch an
anwendungsorientierte Mathematiker, Ingenieure und Naturwissenschaftler
richten, haben wir es für richtig gehalten, im theoretischen Teil des Buches
auch tieftiegende Resultate herzuleiten. Wir haben uns jedoch um einfache
und durchsichtige Beweise bemüht, die wir ausführlich darlegen. Auch in den
theoretischen Teilen wird immer wieder die Brücke zu den Anwendungen
geschlagen.
An Vorkenntnissen setzt das Buch die üblichen Vorlesungen über Analysis und
Lineare Algebra voraus, wie sie in den ersten vier Semestern an Hochschulen
geboten werden.
Die Verfasser haben die Freude, sich bei verschiedenen Persönlichkeiten zu
bedanken, die in der einen oder anderen Weise zum Zustandekommen dieses
Buches beigetragen haben und zwar bei:
Herrn H. Rüssmann, Mainz, für einen neuen Beweis des Twist-Theorems, der
in dieses Buch Eingang gefunden hat; Herrn H. W. Knobloch, Würzburg, für
Anregungen zu den Fehlerabschätzungssätzen und Diskussionen über die
Theorie der Integralmannigfaltigkeiten; Herrn J. Henrard, Namur, für
Gespräche über die formalen und mathematischen Aspekte der
Störungstheorie; Herrn N. Sigrist, Zürich, für seine Untersuchungen zur
kanonischen Störungstheorie und zu den Anwendungen des Twist-Theorems,
die uns beeinftußt haben; Herrn M. Vitins, Zürich, für seine Beiträge zur
Kreisel- und Satellitentheorie, die verwendet wurden und endlich bei Herrn
F. Spirig, Zürich, für seine Arbeiten über algebraische Aspekte der
Störungstheorie, die wir benutzt haben.
VI Vorwort
Die folgenden Herren haben Teile des Manuskripts überprüft und Druck
fahnen gelesen: F. Spirig, K. Flöscher, W. Hein, K. Nipp.
Ein Wort des Dankes gebührt unserer Sekretärin, Frau C. Blum, die die
Reinschrift dieses typographisch anspruchsvollen Buches mit Einfühlung und
speditiv besorgt hat.
Schließlich danken wir dem Verlag für seine Geduld und die gute Zusam
menarbeit.
Zürich, im Sommer 1978 U. Kirchgraber E. Stiefel
Inhalt
Einführung. 1
Kapitel I. . 15
1 Transformation von Ditlerentialgleichungssystemen, Elemente 15
1.1 Autonome Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Das Transformieren von Ditlerentialgleichungssystemen 15
1.3 Elementtransformationen 17
2 Die Störungsgleichungen .. . . 21
2.1 Notationen . . . . . . . . 21
2.2 Die grundlegenden Formeln 22
2.3 Die Störungsgleichungen . . 26
2.4 Der Zusammenhang mit der Mittelwertmethode 30
3 Integration der Störungsgleichungen . . . . 32
3.1 Mittelwert-und Integrationsoperator 32
3.2 Die Integration der Störungsgleichungen 34
3.3 Unwesentlich ausgeartete Systeme 38
Kommentare und Literaturhinweise zu Kapitel I 47
Kapitel U . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4 Kreiselprobleme . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1 Dynamische Grundlagen der Kreiseltheorie 49
4.2 Der schnelle Kreisel . . . 58
5 Das Satellitenproblem .... 69
5.1 Die Bewegungsgleichungen 70
5.2 Elemente ....... 78
5.3 Die Störungsrechnung . . 81
5.4 Diskussion der Bewegung 85
5.5 Verschwindende Nenner . 87
6 Bifurkation periodischer Lösungen 88
6.1 Ein, autonomes System mit einer Familie von Gleich-
gewichtslösungen , . . , . . . . . . . . 88
6.2 Die Hauptbetrachtung . . . . . . . . . . . 90
6.3 Beweis des Lemmas . . . . . . . . . . . . 94
6.4 Anwendung auf ein neuro-biologisches Problem 98
Kommentare und Literaturhinweise zu Kapitel 11 101
Kapitel UI . ..... . 103
7 Strukturbetrachtungen 103
7.1 Vorbereitungen . 104
VIII Inhalt
7.2 Erste Resultate . . . . . . . . . . 106
7.3 Unwesentlich ausgeartete Systeme 110
8 Hamiltonsche Differentialgleichungssysteme 111
8.1 Kanonische Systeme und Transformationen 112
8.2 Störungsprobleme, Elementtransformationen 114
8.3 Die Störungsgleichungen . . . . . . . 116
8.4 Die Integration der Störungsgleichungen 118
8.5 Gekoppelte harmonische Oszillatoren 121
9 Singularitäten . . . . . . . . . 129
9.1 Einführende Betrachtungen l30
9.2 Modifizierte Störungstheorie 133
9.3 Anwendungen ...... 143
9.4 Begründung der modifizierten Störungstheorie 145
10 Algebraische Aspekte der Störungstheorie 158
10.1 Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . 159
10.2 Die Hausdorff-CampbelI-Formel .... 161
10.3 Die Zusammensetzung zweier Lie-Reihen 167
10.4 Eine Herleitung der Störungsgleichungen 170
Kommentare und Literaturhinweise zu Kapitel 111 171
Kapitel IV . . . . . . . . . . . . . . 173
11 Fehlerabschätzungen . . . . . . . . 173
11.1 Transformation durch Lie-Reihen 173
11.2 Ein Approximationslemma . . . . . . . . . 181
11.3 Fehlerabschätzungen für die Mittelwertmethode 184
11.4 Anwendungen .............. ...... 190
11.5 Fehlerabschätzung unter Benutzung einer Liapunov-Funktion 196
11.6 Ein Resonanzproblem . . . . . . . . . . . . 200
12 Invariante Mannigfaltigkeiten bei dissipativen Systemen ..... 207
12.1 Invariante Mannigfaltigkeiten für Abbildungen. ..... 207
12.2 Diflerenzierbarkeitseigenschaften der invarianten Mannigfaltig-
keit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
12.3 Existenz invarianter Tori . . . . . . . . . . . . . 226
12.4 Anwendung .................. 235
13 Invariante Mannigfaltigkeiten bei Hamiltonschen Systemen 239
13.1 Einführende Betrachtungen, das Twist-Theorem 239
13.2 Der Beweis des Twist-Theorems ..... 246
13.3 Stabilität periodischer Lösungen ..... 268
Kommentare und Literaturhinweise zu Kapitel IV 284
Referenzliste . 286
.........................
Sacbverzeidmis 293
Einführung
Gegenstand dieses Buches sind Systeme von gewöhnlichen Differential
gleichungen (fortan DGI.-Systeme genannt), wie sie z.B. in der Technik und
Physik, aber auch in der Biologie und Chemie oft vorkommen. Während die
Frage nach der Existenz von Lösungen bei Anfangswertproblemen für
gewöhnliche Differentialgleichungen vollkommen geklärt ist und zur appro
ximativen Berechnung einzelner Lösungen wirksame numerische Methoden zur
Verfügung stehen, erfordert die Beschreibung des qualitativen Verhaltens der
Gesamtheit der Lösungen in jedem Fall gesonderte Untersuchungen. Die
vollständige Diskussion der geometrischen Eigenschaften eines Systems ist ein
hochgestecktes Ziel, das am ehesten noch für Probleme des folgenden Typs
erreicht werden kann: Betrachten wir ein DGl.-System
;i = f(x) (1)
(Hierbei ist x = (x1o' •• , xnl eine 1-kolonnige Matrix (welche wir aus
Platzgründen als transponierte Zeile schreiben), f(x) = (/1(X), 12(X), ... , In (X»T
eine auf einem Gebiet GeRn definierte Funktion mit Werten in Rn, von der
wir voraussetzen, daß sie bezüglich x mindestens stetig differenzierbar ist;
unter einer Lösung von (1) verstehen wir eine auf einem offenen Intervall I eR
definierte Funktion x(t) mit Werten in Rn, die bezüglich t stetig differenzierbar
ist und für die ;i(t) = dx(t)/dt = f(x(t», tEl, gilt). Nehmen wir an, für f(x) gelte
eine Aufspaltung der Form:
f(x) = g(x) + Ia(x), (2)
wobei IIa(x)1 "klein" sei im Vergleich zu Ig(x)1 (I I bezeichnet eme Norm im
Rn), und überdies könne das Verhalten des Systems
; =
g(y) (3)
ermittelt werden; ferner sei garantiert, daß die Lösungen von (1) und die
jenigen von (3) für alle Zeiten "wenig" voneinander abweichen. Dann ist das
Ziel erreicht.
Die Mittelwertmethode, der dieses Buch gewidmet ist, kann als
Algorithmus verstanden werden, der für gestörte schwingende Systeme
eine Aufspaltung der Form (2) liefert.
Bevor wir die Grundidee der Mittelwertmethode skizzieren, zeigen wir anhand
einiger Beispiele ihren Anwendungsbereich.
Beispiel 1 Betrachten wir das in Fig. 1 gezeigte Modell eines Fundaments,
das durch die Asymmetrien eines auf dem Fundament gelagerten, gleichförmig
drehenden Motors zum Schwingen angeregt wird. Die Auslenkung x gehorcht
2 Einführung
Fig.l
folgender DGI.:
i = -(x + Bx3)-2Di+ A cos wt.
Hierbei bedeutet die unabhängige Variable t die Zeit, -(x + Bx3) beschreibt
die nicht -lineare Rückstellkraft der Feder, - 2Di die Reibung, A cos wt die durch
den Exzenter bewirkte Anregung des Systems. Es soll vorausgesetzt werden, daß
die Nichtlinearität, die Dämpfung und die Anregung klein sind. Um das
auszudrücken, führen wir einen Störungsparameter e ein, indem wir
B = eb, D = ed, A = ea
setzen. Dann lautet die DGI.:
i + x = e[ -2di - bx3 + a cos wt] ~f ef(wt, x, i) (4)
Im Spezialfall e = 0 ist (4) die DGI. des harmonischen Oszillators
x+x=O (5)
Seine Lösungen
x(t) = a cos cp, i(t) = -a sin cp, cp = t+ -& (6)
(a, -& bezeichnen Integrationskonstanten) sind alle periodisch mit Periode 21T.
Den zu e proportionalen Term in (4) bezeichnen wir als Störung, die DGI. (5)
nennen wir das zu (4) gehörige ungestörte Problem. Man könnte an dieser
Stelle vermuten, daß eine Aufspaltung im Sinne von (2), (3) möglich ist,
einfach indem man e = 0 setzt, so daß das approximierende System (3) das
ungestörte Problem (5) wäre. Es ist jedoch nicht wahr, daß die Systeme (4) und
(5) für alle Zeiten dasselbe Verhalten zeigen. Beispielsweise besitzt die GI. (4)
unter geeigneten Voraussetzungen einzelne isolierte periodische Lösungen; im
Gegensatz dazu sind, wie wir schon festgestellt haben, sämtliche Lösungen von
(5) periodisch. Für ein endliches Zeitintervall allerdings unterscheiden sich die
Systeme (4) und (5) wenig, wie der folgende Satz über die stetige Abhängigkeit
der Lösung eines DGI.-Systems von der rechten Seite zeigt. Seien x(t) bzw.
y(t) Lösungen von (4) bzw. (5) mit: x(O) = y(O), i(O) = y(O). Dann gibt es zu
jedem T>O Zahlen eo>O, k>O, so daß für tE[O, T], eE[O, eo] gilt:
Ix(t)- y(t)l,,;;;; ke.
Bevor wir zum nächsten Beispiel übergehen, wollen wir zeigen, daß das
DGI.-System (4) durch Transformation der abhängigen Variablen auf
eine für gestörte schwingende Systeme typische Form gebracht werden kann.