Table Of ContentH. Lippmann
Mechanik des
Plastischen Fließens
Grundlagen und technische Anwendungen
Mit 129 Abbildungen
Springer-Verlag Berlin Heide1berg New York 1981
Dr. rer. nato HORST LIPPMANN
o. Professor am Lehrstuhl A für Mechanik
und Leiter des Staatlichen Materialprüfamtes für
den Maschinenbau der Technischen Universität München
Arcisstraße 21, D-8000 München 2
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Lippmann, Horst:
Mechanik des Plastischen Fließens.
Grundlagen u. techno Anwendungen/Horst Lippmann.
Berlin, Heidelberg, NewYork: Springer, 1981
ISBN 978-3-642-52210-9 ISBN 978-3-642-52209-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-52209-3
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© Springer-Verlag Berlin, Heidelberg 1981
Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1981
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der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von
jedermann benutzt werden dürften.
2163/3020-543210
Vorwort
Nachdem im Jahre 1967 der gemeinsam mit o. Mahrenholtz verfaßte 1. Band einer
"Plastomechanik der Umformung metallischer Werkstoffe" erschienen war, führte
der berufliche Werdegang beide Autoren an verschiedene Orte. Ich selbst zog im
Anschluß an meine hannoversche Tätigkeit von Braunschweig über Karlsruhe nach
München um. Es war die Zeit der Studentenunruhen, der Hochschulreformen,
der anwachsenden Gremien- und Verwaltungsaktivitäten. Manche wissenschaftliche
Arbeit blieb auf der Strecke.
So auch erging es dem geplanten 2. Band der "Plastomechanik". Als ich mich
ihm vor einigen Jahren wieder intensiver widmen konnte, stellte es sich als sinnvoll
heraus, jetzt ein unabhängiges, in sich geschlossenes Buch über Plastizitätstheorie
und ihre Anwendungen zu schreiben. Es enthält zwar den ursprünglich für den
2. Band geplanten Stoff, aber auch Teile von Band I sowie Abschnitte, die deutlich
über umformtechnische Probleme hinausgehend Fragen der Tragfähigkeit von
Strukturen, der Boden- und der Felsmechanik behandeln. Einiges ist bislang un
veröffentlicht. An das ursprünglich zweibändige Konzept erinnern im wesentlichen
noch einige Fußnoten mit Berichtigungen zu "Band I"; entsprechende Hinweise
stammen u. a. von meinen Kollegen F. Hecker (Braunschweig) und A. Troost
(Aachen).
Dem Springer-Verlag zolle ich Respekt für seine immerwährende Geduld sowie
Dank für die dennoch hervorragende Zusammenarbeit und die gute Ausstattung
des Werkes trotz gestiegener Kosten. Leider mußte das alphabetische Namens
und Autorenregister zugunsten eines (noch) endlichen Preises dem Rotstift zum
Opfer fallen.
Bei der Abfassung des Manuskriptes unterstützten mich zahlreiche Mitarbeiter,
Freunde und Kollegen direkt oder indirekt durch Rat und Kritik, unter ihnen
insbesondere Herr Obering. Dr.-Ing. V. Mannl (München). Es seien auch die stets
anregenden Diskussionen im Arbeitskreis "Grundlagen der bildsamen Formgebung"
des Vereins deutscher Eisenhüttenleute sowie im Arbeitskreis "Wissenschaftliche
Grundlagen" des Steinkohlenbergbauvereins erwähnt. Den Herren Dipl.-Ing.
M. Kirchner und Dipl.-Ing. W. Winter (München) danke ich für das Mitlesen der
Korrekturen.
München, Oktober 1980 H. Lippmann
Inhaltsverzeichnis
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Stab, Stabwerk und Kontinuum . 5
1.1 Plastostatik des Einzelstabes 5
1.2 Stabwerke . . . . . . . . 13
1.2.1 Grundbegriffe . . . . 13
1.2.2 Fließort, Fließbedingung 18
1.2.3 Konvexität . . . . . . 26
1.2.4 Fließregel und Fließgesetz . 29
1.2.5 Extremalsätze . . . 35
1.3 Das plastische Kontinuum . . 37
1.3.1 Grundlagen . . . . . . 37
1.3.2 Allgemeines Fließgesetz . 41
1.3.3 Extremalsätze . . . . . 47
1.3.4 Spezielle Fließgesetze für isotropes, inkompressibles Material 49
1.3.4.1 Hauptzustandsraum . . . . . . . . . 49
1.3.4.2 Fließgesetz nach Tresca. . . . . . . . 53
1.3.4.3 Fließgesetz nach Levy-Huber-v. Mises . 55
1.3.4.4 Ebenes Fließen . . . . . . . . . . . 56
1.3.5 Anisotrope Fließgesetze nach v. Mises-Hill und Sawczuk-Ivlev . 58
1.3.6 Fließgesetz nach Coulomb-Mohr für isotropes, kompressibles Ma
terial und Verallgemeinerungen. . . . . . . . . . . . . . . . 68
2 Einige geschlossene Lösungen und deren Erweiterungen . . . . . 74
2.1 Zug-, Druck- und Torsionsbeanspruchung gerader Stäbe mit
Voll- und Hohlquerschnitten . . . . . . . . . . . . . 74
2.1.1 Torsion von Rundstäben und Kreiszylindern .... 74
2.1.2 Längenänderung bei der Torsion anisotroper Stäbe. 78
2.1.3 Isotropes Rohr unter kombinierter Beanspruchung . 79
2.1.4 Torsion von Stäben mit beliebigen Vollquerschnitten 82
VIII Inhaltsverzeichnis
2.2 Biegen. . . . . . . . . . . . . 89
2.2.1 Einführung . . . . . . . . 89
2.2.2 Blechbiegen (ebenes Fließen). 91
2.2.3 Rückfederung und Restspannungen . 99
2.2.4 Hochkantbiegen (ebener Spannungszustand) . 103
2.2.5 Ergänzungen. . . . . . . . . . . . . . . 107
2.3 Axialsymmetrische Umformung von Blech und dünnwandigen
Hohlprofilen . . . . . . . . . . . 109
2.3.1 Tiefziehen. . . . . . . . . . 109
2.3.2 Ziehen durch konische Matrizen 117
2.3.3 Streckziehen . . . . . . . . . 122
2.3.4 Hydrostatisches Abstrecken . . 128
2.3.5 Membran unter Stoßbelastung . 131
2.4 Rotationssymmetrisches ebenes Fließen eines körnigen Materials 135
3 Elementare Plastizitätstheorie . 143
3.1 Stauchen und Schmieden. 143
3.2 Ziehen von Draht und metallischen Rundstäben. 151
3.3 Walzen von Blech. 156
3.4 Gebirgsschlag. . . 161
4 Schranken verfahren und verwandte Methoden 168
4.1 Trennvorgänge in Metallen. . . . . . 168
4.1.1 Lochen, Stanzen und Schneiden; Traglast einer Platte auf gelochtem
Fundament . . . . . . . . . . . 168
4.1.2 Spanen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 175
4.2 Zug- und Druckumformung von Metallen . . . . . . . . . . .. 182
4.2.1 Strang- und Fließpressen mit rechtwinkligem Block-Aufnehmer. 182
4.2.2 Ziehen und Pressen durch Düsen . 190
4.2.3 Stauchen und Schmieden . . . . . . . . . . . . 194
4.3 Traglastprobleme bei körnigem Material . . . . . . . . 198
4.3.1 Rechteckfundament auf "gewichtlosem" Untergrund 198
4.3.2 Abstützung eines bergmännischen Hohlraumes. 201
4.4 Numerische Methoden. 204
5 Charakteristikenverfahren 210
5.1 Plastokinetik des Einzelstabes . 210
5.1.1 Grundlagen . . . . . . 210
5.1.2 Geschwindigkeitsunabhängiger Werkstoff 216
5.1.2.1 Charakteristische Gleichungen. 216
5.1.2.2 Charakteristiken und Wellen 217
5.1.2.3 Schockfronten . . . . 219
5.1.2.4 "Bilineares" Material . . . 221
Inhaltsverzeichnis IX
5.1.3 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 223
5.1.3.1 Belastung und Entlastung des halb-unendlichen Stabes 223
5.1.3.2 Hochgeschwindigkeitsschmieden . 224
5.2 Ebenes Fließen . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
5.2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . 229
5.2.2 Gleitlinientheorie für inkompressibles Material. 232
5.2.2.1 Charakteristische Gleichungen des Spannungszustandes . 232
5.2.2.2 Charakteristische Gleichungen des
Geschwindigkeitszustandes . . . . . . . . . 236
5.2.2.3 Gleitliniennetze in der Fließ-, Spannungs- und
Hodographenebene . . . . . . 238
5.2.2.4 Unstetigkeiten und starre Zonen. 245
5.2.3 Anwendungen. . . . . . . . . . . . 250
5.2.3.1 Strangpressen mit 2/3-Reduktion . 250
5.2.3.2 Strangpressen mit beliebiger Reduktion. 258
5.2.3.3 Eindringen eines Starrkörpers in den plastischen Halbraum 263
5.2.3.4 Weitere Beispiele . . . . . . . . . 265
5.2.4 Isotropes granulares, kompressibles Material. 268
5.3 Axialsymmetrisches Fließen. 271
5.3.1 Grundlagen . . . 271
5.3.2 Zwei Sonderfälle. 273
5.3.3 Gleitlinientheorie . 275
5.3.3.1 Allgemein 275
5.3.3.2 Anwendung: Drahtziehen . 276
5.3.4 Hauptlinientheorie . . . . . . . 280
5.3.4.1 Allgemein . . . . . . . 280
5.3.4.2 Weitere Sonderfälle und Anwendungen. 285
5.4 Ergänzungen 289
Anhang .............. . 291
A. 1 Erinnerung an die Matrizenalgebra . 291
A. 1.1 Matrizen und Determinanten . 291
A. 1.2 Lineare Gleichungssysteme . . 294
A.2 Grundbegriffe der stoffunabhängigen Kontinuumsmechanik 296
A.2.1 Spannungen, Formänderungen, Formänderungsleistung 296
A.2.2 Gleichgewicht und Verträglichkeit. . . . . 301
A.2.3 Koordinatendrehung . . . . . . . . . . 305
A.3 Systeme linearer partieller Differentialgleichungen. 308
A.3.1 Problemstellung . . . . . . . 308
A.3.2 Charakteristiken . . . . . . . 309
A.3.3 Massausche Gitterkonstruktion . 312
A.3.3.1 Allgemein . . . . . . 312
A.3.3.2 Erstes Anfangswertproblem . 314
A.3.3.3 Zweites Anfangswertproblem 317
x
Inhaltsverzeichnis
A.3.3.4 Drittes Anfangswertproblem 317
A.3.3.5 Umkehrproblem . 317
A.3.3.6 Spezialfall n = 2 319
A.3.4 Ergänzungen . 319
Literatur . ... 321
Sachverzeichnis . 345
Einleitung
Plastische Formänderungen fester Körper oder körniger Haufwerke bleiben nach voll
ständigem Entfernen der äußeren Belastung erhalten. Diese Charakterisierung reicht
jedoch nicht aus. Denn eine etwa halbkreisförmig vorgespannte Blattfeder kann durch
äußere Kraft in eine spiegelbildliche Lage übergeführt werden, die nach Ent
lastung ebenfalls erhalten bleibt, obschon es sich um einen rein elastischen Durch
schlag handelt. Drückt man die Blattfeder nun wieder in die Ausgangsstellung
zurück, so beträgt die insgesamt aufgebrachte äußere Arbeit bei einer genügend
langsamen, im Grenzfall also statischen Bewegung exakt Null: Elastische Verfor
mungen sind konservativ. Im Gegensatz hierzu fordert man von plastischen Defor
mationen, daß sie dissipativ seien: Alle äußere Arbeit werde "verbraucht " , also in
Wärme umgewandelt.
Auch Dissipativität allein reicht als Charakterisierung des plastischen Verhaltens
nicht aus. So schließt sich eine elastisch gefederte Schwingtür nach dem Öffnen stets
von selbst wieder, hinterläßt also keine bleibende Auslenkung, selbst wenn sie mit
einem Dämpfer verbunden ist, der sämtliche Energie dissipiert. Man spricht bei einem
im allgemeinen flüssigkeitsgefüllten Dämpfer von Viskosität, in Verbindung mit der
Türfeder von Viskoelastizität.
Demgegenüber besitzt die Plastizität nach allgemeinem Verständnis heide Merk
male: Bleibende Formänderungen und Dissipativität.
Natürlich idealisieren solche Merkmale das wahre Materialverhalten und gelten praktisch niemals
streng. Wie in den Naturwissenschaften und den Grundlagen der Technik üblich, beschreibt man
reale Gegebenheiten näherungsweise durch Modelle, welche festgefügten Regeln (Grundannahmen,
Axiomen) genügen. Modelle sind nicht eindeutig. Es gibt (in bezug auf die experimentelle Verifi
zierbarkeit) gute und weniger gute oder (in bezug. auf ihr mathematisches Skelett) aufwendige und
weniger aufwendige. Dies wird sich auch in der Plastomechanik zeigen. Leider gehen Güte und
Aufwand eines Modells oft Hand in Hand. Dann erstrebt man sinnvollerweise einen Kompromiß.
Zurück zur Plastizität.
Neben den beiden oben genannten Merkmalen "bleibend" und "dissipativ" führt
man als weitere Grundannahme das Kontinuum ein. Wir sehen also von der
kristallinen Kornstruktur der Metalle oder der durch Fugen gekennzeichneten
Kornstruktur granularer Medien wie Sand ab und nehmen an, daß sich die be
trachteten Materialien beliebig fein unterteilen lassen, ohne dabei ihre makroskopi
schen Eigenschaften einzubüßen. Die hierbei verloren gehende Mikrostruktur behält
man dennoch bei der modellmäßigen Formulierung der Stoffeigenschaften im Auge.
2 Einleitung
Sie legt auch die Mindestgröße der Körper fest, auf welche man die am Modell
entwickelte Theorie anwenden darf.
In der Praxis ist das plastische Stoffverhillten vom elastischen Stoffverhalten über
lagert. Dies erkennt man unmittelbar eigentlich nur unter gewissen Bedingungen, so
etwa anhand eines materiell in jedem Punkte gleichen ("homogenen") Körpers, dessen
Werkstoffeigenschaften richtungsunabhängig sind ("Isotropie"), und der zudem noch
überall nach Größe und Richtung in gleicher Weise ("homogen") verformt wurde.
Bei ihm geht nämlich nach Entlastung der elastische Formänderungsanteil vollständig
zurück. Einfachstes Beispiel ist der homogene, isotrope gerade Stab konstanten Quer
schnitts unter reiner, homogen verteilter Längsdehnung. Über ihn werden wir unser
plastomechanisches Modell entwickeln.
Inhomogen verformte elastisch-plastische Kontinua bewahren nach der Entlastung
eine elastische Rest- oder Eigenspannungsverteilung1, die man experimentell von der
plastischen Deformation nur durch im Grenzfall unendlich feines Zerschneiden des
Körpers trennen könnte und die bei theoretischen Untersuchungen auch zu erheb
lichen mathematischen Schwierigkeiten führt. Ein einfacheres, noch übersichtliches
Beispiel hierzu liefern die Stab- oder Fachwerke, auf die wir ebenfalls im ersten
Kapitel eingehen. Sie dienen uns ihrerseits als Modell des dreidimensionalen
plastischen Kontinuums.
Dessen so aufzubauende Stoffgesetze werden wir vorwiegend auf solche plastische
Formänderungen anwenden, die groß sind im Vergleich zur überlagerten elastischen
Verformung, so daß wir diese vernachlässigen und statt des elastisch-plastischen ein
starr-plastisches Material betrachten. Wegen historischer Analogien zur Strömungs
mechanik nennt man seine Deformationen auch plastisches Fließen.
Dem Vorteil stark vereinfachten Stoffverhaltens stehen zwei Nachteile gegenüber.
Erstens spielt bei großen Formänderungen der Unterschied zwischen der momentanen
Konfiguration (äußere Gestalt des Körpers sowie Lage seiner Partikel zum Zeitpunkt
der Betrachtung) und der Anfangskonfiguration eine Rolle, wobei wir in der Regel
die Momentankonfiguration untersuchen. Zweitens wird in solchen Fällen, wo nicht
der ganze Körper plastifiziert ist, der verbleibende starre Bereich statisch unbe
stimmt, so daß auch global keine Eindeutigkeit der Lösung des jeweiligen Problems
zu bestehen braucht. Glücklicherweise vermitteln selbst mehrdeutige Lösungen noch
Einsichten und richtige (Teil-)Resultate, die es auszuwerten lohnt.
Dem elastischen und dem plastischen Formänderungsanteil mag ferner ein visko
elastischer überlagert sein, den wir generell vernachlässigen. Soweit er nicht seinerseits
zu einer großen Rückverformung nach dem Entlasten führt, kann er indirekt als pla
stischer Anteil betrachtet werden, dessen Stoffparameter von der Formänderungs
geschwindigkeit abhängen, also viskoses Verhalten simulieren (Viskoplastizität).
Einfachster Sonderfall ist die zähe Flüssigkeit. Darüberhinaus lassen sich neben kalt
und warmverformten Metallen oder neben granularen, d. h. körnigen, boden- und
felsartigen Materialien auch einige Kunststoffe mit einbeziehen. Hier spielt zusätzlich
der Temperatur- und Zeiteinfluß eine Rolle. In der allgemeinen Theorie könnte
(und kann) man dies berücksichtigen. Bei den Anwendungen setzt jedoch der Rechen
aufwand Grenzen.
Diese Anwendungen unterteilen sich hauptsächlich in zwei Gruppen.
I Sogenannte Makro-Eigenspannungen oder Eigenspannungen I. Art.
Description:Nachdem im Jahre 1967 der gemeinsam mit o. Mahrenholtz verfaßte 1. Band einer "Plastomechanik der Umformung metallischer Werkstoffe" erschienen war, führte der berufliche Werdegang beide Autoren an verschiedene Orte. Ich selbst zog im Anschluß an meine hannoversche Tätigkeit von Braunschweig üb
