Meccanica quantistica - Problemi scelti

221 Pages·2018·1.256 MB·Italian

by  Leonardo Angelini

UNITEXT for Physics
Series editors
Michele Cini, Roma, Italy
Attilio Ferrari, Torino, Italy
Stefano Forte, Milano, Italy
Guido Montagna, Pavia, Italy
Oreste Nicrosini, Pavia, Italy
Luca Peliti, Napoli, Italy
Alberto Rotondi, Pavia, Italy
Paolo Biscari, Milano, Italy
Nicola Manini, Milano, Italy
Morten Hjorth-Jensen, Oslo, Norway
UNITEXTforPhysicsseries,formerly UNITEXT CollanadiFisicae Astronomia,
publishestextbooksandmonographsinPhysicsandAstronomy,mainlyinEnglish
language, characterized of a didactic style and comprehensiveness. The books
published in UNITEXT for Physics series are addressed to graduate and advanced
graduate students, but also to scientists and researchers as important resources for
their education, knowledge and teaching.
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Leonardo Angelini
Meccanica quantistica
Problemi scelti
Seconda Edizione
123
Leonardo Angelini
Dipartimento di Fisica
INFNSezione diBari
Universitàdi Bari
Italia
ISSN 2198-7882 ISSN 2198-7890 (electronic)
UNITEXTfor Physics
ISBN978-88-470-3965-0 ISBN978-88-470-3966-7 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-88-470-3966-7
NumerodicontrollodellaBibliotecadelCongresso:2018931920
1aedizione:©Springer-VerlagItalia,Milano2008
2aedizione:©Springer-VerlagItaliaS.r.l.,partediSpringerNature2018
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Prefazione
PrefazioneallaIedizione
Questo libroe` rivoltoessenzialmente aglistudenti chepreparano l’esamescritto di
un corso di Meccanica Quantistica. Di riflesso questa raccolta puo` risultare molto
utileancheaidocentichedevonoproporreproblemiailorostudentisiaalezioneche
per gli esami. Si assume che i contenuti del corso siano sostanzialmente identici a
quellidiuntradizionalecorsodiIstituzionidiFisicaTeoricadeivecchiordinamenti
delcorsodilaureainFisica.Neinuoviordinamentiglistessiargomentisonostati,in
generale,ripartitisupiu` corsi.
ComemoltialtrilibridiproblemidiMeccanicaQuantisticanonbisognaaspet-
tarsi un particolare sforzo di novita`. L’intento e` quello di presentare dei problemi
che,oltreasondarelacomprensionedellamateriael’abilita` diapplicarlaconcreta-
mentedapartedellostudente,sianorisolubiliinuntempolimitato.Questoproposito
difficilmentesiconiugaconunaricercadioriginalita`.Sitroverannoquindiproblemi
chesonopresentiancheinaltrilibriapartiredaiclassicirussi[1,2],equindinella
raccoltache,apartiredaessi,fucuratadaTerHaar[3,4].Fraglialtrilibridiesercizi
che sono stati consultati vanno ricordati l’italiano Passatore [5] e quello piu` recen-
te edito da Yung-Kuo Lim [6], che raccoglie il lavoro di ben 19 fisici cinesi. Molti
problemi interessanti si trovano anche nei manuali di Meccanica Quantistica. Qui
l’elenco potrebbe essere lunghissimo. Citero` soltanto quelli che ai problemi hanno
dedicato maggiore spazio come il testo di Merzbacher [7], il volume dedicato alla
MeccanicaQuantisticadelcorsodiFisicaTeoricaL.LandaueE.Lifchitz[8],idue
volumidiMessiah[9]eilpiu` recenteShankar[10].Unacitazioneparticolaremerita
il recente testo [11] in italiano di Nardulli, sia per l’abbondanza di problemi con o
senzasoluzionechecontiene,siaperilfattocheiproblemiquipresentatisonostati
propostinegliannipassatiaglistudentidelsuocorso.Ameta`trailmanualeeillibro
di problemi si posizionano i due volumi di Flu¨gge [12] che forniscono utili sugge-
rimenti,anchesespessoiproblemipropostirisultanotroppocomplessirispettoalle
finalita` diquestaraccolta.
Lacategoriaproblemichesipossonorisolvereintempiragionevolinone`l’unico
criteriodisceltaadottato.Rispettoaglialtrilibrinonsitroverannoadesempioipro-
blemichefannonormalmentepartedelprogrammadioraletipoipotenzialiquadrati
VI Prefazione
unidimensionali o l’effetto Stark e la struttura fine. Non sono stati inseriti neanche
iproblemicherichiedonolaconoscenzadimetodimatematicinonsemprepresenti
neicorsistandard,come,adesempio,leequazionidifferenzialifuchsiane.
Si e` preferito scrivere le soluzioni con un certo dettaglio, eliminando soltanto
i passaggi piu` semplici. Questo costa una certa fatica a chi scrive, ma sicuramente
risultera` utileaglistudenti.
Come in ogni altro libro, i problemi sono stati raggruppati in capitoli. In molti
casilasceltadell’attribuzioneaduncapitolopuo` essereconsiderataarbitraria:molti
problemi di esame presentano problematiche trasversali all’intero programma. La
sceltaovviae` stataditenerecontodelledomandepiu` caratterizzanti.
Per un certo periodo questa raccolta e` stata affidata alla rete e utilizzata da do-
centi e studenti. E` merito di alcuni di questi ultimi se molti degli errori presenti
inizialmente sono stati eliminati. Ringrazio il prof. Stefano Forte che mi ha inco-
raggiato a pubblicarlo a stampa dopo aver completato alcune parti e riesaminato la
struttura.Unultimodoverosoringraziamentovaamiamoglie;anchel’impegnoper
lastesuradiquestotestohacontribuitoafarricaderesudileitantapartedeglioneri
familiari.Miscusoinfine,inanticipo,conilettoriperglierrorichesicuramentemi
sarannosfuggiti;ognilorosuggerimentoe` sicuramentegradito.
Bari,marzo2007 LeonardoAngelini
PrefazioneallaIIedizione
Sonotrascorsi10annidallaIedizioneederaindispensabileprocedereaunarevisio-
neche,primaditutto,eliminasse,perquantopossibile,inumerosierroripresenti.Es-
sieranotanti,ingenerediortografiaodovutiaicambiamentidinotazionefinalizzati
adareomogeneita` altesto.
Mi e` sembrato opportuno ampliare la scelta dei problemi presentati ed inserire
ancheunapartesuimetodidiapprossimazionediversidallateoriaperturbativa,gia`
presente nella I edizione. Nella ricerca di nuovi problemi ho trovato molto interes-
santiquellipresentatineitesti,oltreaquelligia` citatinellaIedizione,diGottfriede
Yan[13]ediSakuraieNapolitano[14].
Purlasciandoinvariatalefinalita` dellaraccolta,cioe` quelladipresentareproble-
mi che possono essere risolti nei tempi normalmente dedicati agli esami scritti, ho
voluto inserire anche alcuni problemi che avevo tralasciato, in quanto gia` presen-
ti nei libri di Meccanica quantistica, come i potenziali quadrati. Questo rende piu`
autosufficienteillibroperquantoriguardalanotazioneeiriferimenti.
Ringrazioimieistudentichemihannosegnalatotantierroriemiscusoconilettori
perquellinoncorrettieperinuovisicuramentepresentinellepartiaggiunte.
Bari,luglio2017 LeonardoAngelini
Indice
1 Operatoriefunzionid’onda ..................................... 1
1.1 Commutatoriespettro ..................................... 1
1.2 Costantidelmoto ......................................... 1
1.3 Operatorenumero ......................................... 2
1.4 Proprieta` dell’impulso ..................................... 2
1.5 Funzioned’ondaeHamiltoniano............................. 3
1.6 SpettrodiunHamiltoniano ................................. 4
1.7 Operatorevelocita` perunaparticellacarica .................... 5
1.8 Oscillatoreanarmonicoeteoremadelviriale................... 5
1.9 Potenzialecoulombianoeteoremadelviriale .................. 6
1.10 Teoremadelvirialeperunpotenzialegenerico ................. 7
1.11 TeoremadiFeynman-Hellmann ............................. 9
2 Sistemiunidimensionali......................................... 11
2.1 Cosacidiceunafunzioned’onda? ........................... 11
2.2 ParticellaliberaeParita` .................................... 11
2.3 Gradinodipotenziale ...................................... 12
2.4 ParticellavincolatasuunsegmentoI ......................... 16
2.5 ParticellavincolatasuunsegmentoII......................... 18
2.6 ParticellavincolatasuunsegmentoIII........................ 19
2.7 Diffusionedabucadipotenziale ............................. 20
2.8 ParticellalegatainunabucaI ............................... 22
2.9 ParticellalegatainunabucaII............................... 27
2.10 Barrieradipotenziale ...................................... 29
2.11 Particellalegatainunpotenzialed ........................... 30
2.12 Diffusionedapotenzialed .................................. 31
2.13 Particellalegatainunpotenzialeadoppiad ................... 32
2.14 Diffusionesupotenzialeadoppiad .......................... 35
2.15 Diffusionedapareteinpresenzadipotenzialed ................ 36
2.16 StatilegatidiunpotenzialeV(x)_ coshx−2 ................. 39
−
2.17 OscillatoreArmonico:operatoriposizioneeimpulso............ 40
2.18 OscillatoreArmonico:energiacineticaedenergiapotenziale ..... 40
VIII Indice
2.19 OscillatoreArmonico:aspettazionedix4 ...................... 41
2.20 OscillatoreArmonico:proprieta` dellostatofondamentale ........ 42
2.21 StatodiunOscillatoreArmonicoI ........................... 43
2.22 StatodiunOscillatoreArmonicoII .......................... 44
2.23 Proprieta` generalideipotenzialiperiodici ..................... 45
2.24 PettinediDirac ........................................... 47
2.25 ModellodiKronig-Penney.................................. 49
3 Sistemiin2De3DeMomentoangolare........................... 53
3.1 OscillatoreArmonicopiano................................. 53
3.2 OscillatoreArmonicosferico................................ 55
3.3 Riflessioneerifrazionein3dimensioni ....................... 56
3.4 J2eJ :proprieta` degliautostati.............................. 58
z
3.5 Misuredimomentoangolareinunostatocon`=1............. 60
3.6 Momentoangolarediun’ondapiana.......................... 62
3.7 MisuredimomentoangolareI............................... 63
3.8 MisuredimomentoangolareII .............................. 64
3.9 MisuredimomentoangolareIII ............................. 65
3.10 Momentodidipolo ........................................ 65
3.11 Momentodiquadrupolo.................................... 66
3.12 Particellainunasfera ...................................... 68
3.13 Statilegatidiunaparticellainunabucasfericadipotenziale ..... 68
3.14 Particellainunnucleo ..................................... 72
3.15 Particellainpotenzialecentrale.............................. 73
3.16 Particellacaricaincampomagnetico ......................... 74
3.17 Statilegatidell’atomoidrogenoide ........................... 75
3.18 Atomod’Idrogenounidimensionale?Unasomiglianzaingannevole 77
3.19 Atomod’Idrogeno:determinarnelostato...................... 78
3.20 Atomod’Idrogeno:proprieta` dellostatofondamentale........... 79
3.21 Atomod’Idrogenoincampomagneticoesterno ................ 80
3.22 Modellomolecolare ....................................... 81
4 Spin .......................................................... 85
4.1 Valorediattesadellospintotale ............................. 85
4.2 AutostatidiunacomponentedelloSpinI...................... 86
4.3 AutostatidiunacomponentedelloSpinII ..................... 86
4.4 DeterminazionedellostatodispinI .......................... 87
4.5 DeterminazionedellostatodispinII ......................... 88
4.6 DeterminazionedellostatodispinIII......................... 88
4.7 MisureinapparatoStern-Gerlach ............................ 90
4.8 Autostatidiunsistemadifermioniinteragenti ................. 91
4.9 Misuredispinsuunfermione ............................... 92
Indice IX
5 Evoluzionetemporale........................................... 95
5.1 Sistemaaduelivelli(I)..................................... 95
5.2 Sistemaaduelivelli(II) .................................... 98
5.3 Sistemaaduelivelli(III) ................................... 99
5.4 Sistemaaduelivelli(IV) ................................... 101
5.5 Particellasuunsegmento(I) ................................ 102
5.6 Particellasuunsegmento(II) ............................... 104
5.7 Particellasuunsegmento(III)............................... 105
5.8 OscillatoreArmonico(I) ................................... 106
5.9 OscillatoreArmonico(II)................................... 108
5.10 OscillatoreArmonico(III) .................................. 110
5.11 Fermioneincampomagnetico(I) ............................ 111
5.12 Fermioneincampomagnetico(II) ........................... 113
5.13 Fermioneincampomagnetico(III)........................... 115
5.14 Fermioneincampomagnetico(IV) .......................... 116
5.15 Fermioneincampomagnetico(V) ........................... 117
5.16 Fermioneincampomagnetico(VI) .......................... 118
5.17 Rotatorepiano ............................................ 120
5.18 Rotatoreincampomagnetico(I)............................. 121
5.19 Rotatoreincampomagnetico(II) ............................ 121
5.20 Misurasuunatomod’idrogeno.............................. 122
6 TeoriaPerturbativaindipendentedaltempo....................... 125
6.1 Particellasuunsegmento:perturbazionequadrata .............. 125
6.2 Particellasuunsegmento:perturbazionelineare................ 126
6.3 Particellasuunsegmento:correzionesinusoidale............... 127
6.4 Particellasuunsegmentoinpresenzadipotenzialed ........... 128
6.5 Particellainunquadrato:accoppiamentotraigradidiliberta` ..... 130
6.6 Particellasuunacirconferenzainpresenzadiperturbazione ...... 131
6.7 Dueparticelledebolmenteinteragentisuunacirconferenza ...... 133
6.8 Rotatorecaricoincampoelettrico............................ 135
6.9 Rotatorepiano:correzionidovuteallaforzapeso ............... 136
6.10 Oscillatorearmonico:correzioneanarmonica .................. 137
6.11 Oscillatorearmonico:correzionecubica....................... 138
6.12 Oscillatorearmonico:correzionerelativistica .................. 138
6.13 Oscillatorearmonicoanisotropo ............................. 140
6.14 Oscillatorearmonicocaricoincampoelettrico ................. 141
6.15 Oscillatorearmonico:secondopotenzialearmonicoI............ 142
6.16 Oscillatorearmonico:secondopotenzialearmonicoII........... 143
6.17 Oscillatorearmonicopiano:correzionelineareequadratica ...... 144
6.18 Oscillatoriarmoniciaccoppiati .............................. 146
6.19 Oscillatorearmonicopiano:accoppiamentotraiduegradidiliberta`148
6.20 Pendolo:correzioneanarmonicaallepiccoleoscillazioni......... 149
6.21 Rotturadelladegenerazioneinsistemaaduestati............... 150
6.22 Fermionemassivoincampomagnetico ....................... 152
6.23 Decadimentob inatomoidrogenoide......................... 154