Table Of ContentMeccanica Classica - versione provvisoria
realizzato da
i Matematici e i Fisici del primo anno
(a.a. 2006-2007)
2
Introduzione alla prima
RI-edizione
`
E forse opportuno spiegare perch´e abbiamo preso questa folle iniziativa di
traduzione, integrazione e rivisitazione de il Rutherford.
L’anno scorso, Normalisti novizi, seguendo le premurose direttive del prof.
Fo`a, ci siamo diligentemente procurati quel libro di testo cui `e tanto affezio-
nato: chi in biblioteca, chi da studenti dell’anno passato, chi in copisteria.
Nessuno, pero`, lo ha acquistato. Un motivo, non meramente venale, per`o,
c’era: la terza ed ultima edizione di questo best seller `e del lontano 1964 per
le Oxford Edition.
Ora, non `e nelle mie intenzioni insinuare che una ragione, in fondo, ci sia
stata del fatto che nessuno abbia mai deciso di rivedere ed aggiornare questo
libro. Ma `e un dato di fatto che, per quanto abbia la lodevole intenzione
di voler presentare sinteticamente ma non per questo meno rigorosamente la
meccanica classica (pregio, a mio parere, quasi del tutto assente nella mag-
gior parte dei testi universitari su cui oggi vengono basati i nostri corsi), `e
un dato di fatto che il Rutherford sia ricco di passaggi criptici e/o farragi-
nosi, nonch´e di innumerevoli barbatrucchi e magheggi. Sar`a, forse, che il
neo-Normalista medio di oggi `e carente in analisi (specialmente vettoriale)
o che non sa destreggiarsi agevolmente n´e con talune formule di geometria
analitica (come quelle delle coniche in forma polare) n´e coi tensori, o sempli-
cemente con l’inglese, ma piu` e piu` volte abbiamo perso delle ore per cercare
di decifrare passaggi a nostro (certo inesperto) parere per lo meno arditi.
Premurosi (e direi quasi paterni) come siamo, abbiamo cos`ı deciso di rispar-
miare questo genere di fatiche alle generazioni di matematici, fisici e (sic!)
biologi che ci avrebbero seguito. Mi auguro, insomma, che questo testo allevi
le vostre, gia` per loro conto considerevoli, fatiche (mi rivolgo in particolare
ai fisici, e non certo ai matematici...) di questo primo anno; voglio, pero`,
che sappiate che quelle ore che abbiamo perso a discutere, interrogarci e di-
sperare, non sono state del tutto buttate, anzi! Spesso `e proprio attraverso
questo tipo di confronto e di sforzo che si impara di piu`. Ma soprattutto, e
i
ii INTRODUZIONE ALLA PRIMA RI-EDIZIONE
lo scoprirete da voi, tra i piu` bei momenti dell’anno che state per trascorrere
in Normale ci sono proprio quelle discussioni corali attorno ai piu` disparati
problemi.
Come ultima nota, vorrei chiedervi di dare voi a noi una mano, segnalandoci
eventuali errori e sviste (tanto di ortografia, grammatica, traduzione, quanto
di ordine fisico-matematico) e passaggi ancora troppo criptici.
Buono studio, allora!
Aldo
Indice
Introduzione alla prima RI-edizione i
INTRODUZIONE vii
1 Cinematica 1
1.1 Spazio e Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Velocit`a e Accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Velocit`a relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Velocit`a angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Assi complanari in movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 Variazioni di vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7 Cinematica del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8 Assi istantanei di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 La natura della forza 15
2.1 Le leggi di Newton sul moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Considerazioni sulle leggi di Newton . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Il poligono delle forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Le leggi di Keplero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 La legge di gravitazione di Newton . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5.1 Attrazione dovuta ad un anello circolare uniforme su
un punto lungo l’asse di simmetria . . . . . . . . . . . 21
2.5.2 Attrazione dovuta ad un guscio sferico uniforme . . . . 22
2.5.3 Attrazione dovuta ad una distribuzione di materia a
simmetria sferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6 La forza peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.7 Forze elettromagnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.8 Forze elastiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.9 Forze centrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.10 Forze centrifughe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.11 Forze conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
iii
iv INDICE
2.12 Energia potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.13 Conservazione dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.14 Moto vincolato e attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.14.1 Piano inclinato con attrito . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 La dinamica del punto 37
3.1 Moto rettilineo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.1 Forza costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.2 Resistenza del mezzo, proporzionale alla velocita` . . . . 38
3.1.3 Goccia di pioggia che cade nell’atmosfera . . . . . . . . 39
3.1.4 Moto armonico semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.5 Oscillatore armonico smorzato con forza esterna perio-
dica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.6 Un altro tipo di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Moto nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.1 Moto di un proiettile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Orbita dovuta ad forza centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.1 Caso della forza gravitazionale . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4 Moto dei pianeti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5 Equazioni del tempo di Keplero . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.6 Dall’orbita alla forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.7 Il pendolo semplice e problemi connessi . . . . . . . . . . . . . 55
3.8 Particella carica in un campo magnetico . . . . . . . . . . . . 58
3.9 Quantit`a di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.9.1 Rinculo di un cannone . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.9.2 Moto rettilineo di un razzo . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.10 Momento di un vettore applicato . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.11 Momento della quantit`a di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.12 Forze impulsive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.13 Un esempio di moto vincolato . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.14 Il pendolo di Focault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4 Dinamica del corpo rigido 71
4.1 Il centro di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2 Il moto del centro di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.3 Momento angolare di un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4 Energia cinetica di un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.5 Corpi rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.6 Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.7 Lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.8 Equazioni del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
INDICE v
4.9 Energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.9.1 Moto impulsivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.10 Piccole oscillazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.10.1 Pendolo fisico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.11 Equilibrio stabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.12 Il tensore d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.12.1 Considerazioni sul tensore d’inerzia . . . . . . . . . . . 93
4.13 Rotazioni degli assi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.14 Traslazione degli assi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.15 Energia cinetica di un corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.16 Equazioni di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.16.1 Nutazioni euleriane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.16.2 Precessione di un girostato . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5 Equazioni di Lagrange - parte 1 103
5.1 Coordinate generalizzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2 Vincoli olonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3 Equazioni di Lagrange per un sistema olonomo . . . . . . . . . 106
5.4 Equazioni di Lagrange per le forze impulsive . . . . . . . . . . 111
5.5 La funzione di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.6 Coordinate cicliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.7 Piccole oscillazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.7.1 Appendice al capitolo
Rivisitazione in forma vettoriale delle equazioni . . . . 117
6 Equazioni di Lagrange - parte 2 119
6.1 Cenni di calcolo delle variazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.2 Il principio di minima azione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.3 Sistemi inerziali e principio di relativita` di Galilei . . . . . . . 123
6.4 Teorema del viriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7 Relativit`a speciale 129
7.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.2 I postulati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.3 Spazio-tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.3.1 Dilatazione del tempo e contrazione dello spazio
Un altro modo di ricavare le equazioni . . . . . . . . . 135
7.4 Quadrivettori e scalari universo . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.5 Quantit`a di moto relativistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
vi INDICE
8 Appendice 149
8.1 Coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.1.1 Ellisse: forma cartesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.1.2 Ellisse: forma polare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
8.1.3 Iperbole: forma cartesiana . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8.1.4 Iperbole: forma polare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8.1.5 Parabola: forma cartesiana . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.1.6 Parabola: forma polare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.1.7 Coniche in forma polare . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.2 Equazioni differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.2.1 Caso omogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.2.2 Caso non omogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
8.3 Equazioni di Focault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
INTRODUZIONE
Un libro di meccanica puo` essere visto in diversi modi in accordo con gli
interessi e gli scopi dell’autore, e in accordo con il tipo di lettore per cui
il lavoro `e inteso. In questo volume la fisica `e vista come una parte della
matematica applicata; cio`e a dire, l’enfasi `e posta su quegli aspetti della
meccanica che si possano trattare in modo matematico e che possano essere
basati su certi assiomi. Naturalmente ci dovremo limitare a quegli assiomi
che sembrino avere una qualche validit`a nel mondo fisico, ma deve essere
ben chiaro come alcune di queste apparenze siano ingannevoli alla luce delle
recenti scoperte fisiche. Possiamo, dunque, aspettarci che la costruzione della
meccanica classica, come ritratta in questo libro, non sia sempre in accordo
con l’esperienza. E’ comunque all’infuori dagli scopi di questo libro trattare
le piu` moderne teorie di meccanica relativistica e di fluidomeccanica, teorie
che pur rispondono piu` da vicino a certi esperimenti fisici.
Per poter seguire questo libro il lettore avra` bisogno di alcuni strumenti
matematici. Tra questi `e probabile che gi`a possieda un’adeguata conoscenza
del calcolo e della geometria analitica. Una certa familiarita` con la teoria
delle equazioni differenziali pu`o essere senz’altro utile, ma per la maggior
parte questi metodi sono spiegati non appena ne sorga la necessit`a. Quindi
restano solo alcuni elementi di algebra vettoriale, senza la quale la gran parte
di questo libro sarebbe incomprensibile. Limitazioni di spazio impongono
purtroppo di escludere la teoria elementare dei vettori. Il lettore che manchi
di queste conoscenze deve dapprima trovarle altrove.
Saranno adottate le seguenti convenzioni notazionali. I vettori sono in-
dicati in grassetto, gli scalari in corsivo. Il modulo del vettore a `e pertanto
indicato con a, e in modo analogo per le altre lettere.
i, j, k denotano i vettori unitari nelle direzioni coordinate OX, OY, OZ e
le componenti del vettore a in queste direzioni sono indicate come a , a , a
x y z
. Il prodotto scalare e vettoriale di a e b sono indicati rispettivamente con
a·b e a×b.
In questo libro `e stato fatto lo sforzo di sviluppare la teoria della meccani-
ca in un modo logico ma altres`ı conciso. Come risultato si puo` trovare che
vii
viii INTRODUZIONE
i vari argomenti correlati non sono ordinati per difficolt`a crescente. Molti
lettori potrebbero pertanto trovare utile leggere le varie sezioni in un ordine
diverso da quello in cui esse sono presentate. Gli insegnanti, senza dubbio,
spingeranno i loro studenti in questa direzione, basandosi sulla loro maturita`.
