matrizes vetores e geometria anal´itica

483 Pages·2015·3.41 MB·Portuguese

MATRIZES VETORES E GEOMETRIA
´
ANALITICA
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matem´atica-ICEx
Universidade Federal de Minas Gerais
http://www.mat.ufmg.br/~regi
[email protected]
13 de dezembro de 2001
Matrizes Vetores e Geometria Anal´ıtica
Copyright c 2001 by Reginaldo de Jesus Santos
(cid:176)
Nenhuma parte desta publicac¸˜ao poder´a ser reproduzida por qualquer meio sem a pr´evia
autorizac¸˜ao, por escrito, do autor.
Editor, Coordenador de Revis˜ao, Supervisor de Produc¸˜ao, Capa e Ilustrac¸o˜es:
Reginaldo J. Santos
ISBN 85-7470-014-2
Ficha Catalogr´afica
Santos, Reginaldo J.
S237m Matrizes Vetores e Geometria Anal´ıtica / Reginaldo J. Santos - Belo
Horizonte: Imprensa Universit´aria da UFMG, 2001.
1. Geometria Anal´ıtica I. T´ıtulo
CDD: 516.3
Conteu´do
Pref´acio vii
1 Matrizes e Sistemas Lineares 1
1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Operac¸o˜es com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Propriedades da A´lgebra Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Apˆendice I: Notac¸˜ao de Somato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.1 M´etodo de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.2.2 Matrizes Equivalentes por Linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.2.3 Sistemas Lineares Homogˆeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.2.4 Matrizes Elementares (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
iii
iv Conteu´do
2 Invers˜ao de Matrizes e Determinantes 68
2.1 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.1.1 Propriedades da Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.1.2 Matrizes Elementares e Invers˜ao (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.1.3 M´etodo para Invers˜ao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.2.1 Propriedades do Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.2.2 Matrizes Elementares e o Determinante (opcional) . . . . . . . . . . . . . . 113
2.2.3 Matriz Adjunta e Invers˜ao (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Apˆendice II: Demonstrac¸˜ao do Teorema 2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3 Vetores no Plano e no Espac¸o 133
3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸˜ao por Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.2 Produtos de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.2.1 Norma e Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.2.2 Projec¸˜ao Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
3.2.3 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3.2.4 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4 Retas e Planos 192
4.1 Equac¸o˜es de Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
4.1.1 Equac¸o˜es do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
4.1.2 Equac¸o˜es da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
4.2 Aˆngulos e Distˆancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
4.2.1 Aˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
4.2.2 Distˆancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Matrizes Vetores e Geometria Anal´ıtica 13 de dezembro de 2001
Conteu´do v
4.3 Posic¸o˜es Relativas de Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
5 Sec¸o˜es Coˆnicas 248
5.1 Coˆnicas N˜ao Degeneradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
5.1.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
5.1.2 Hip´erbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
5.1.3 Par´abola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
5.1.4 Caracterizac¸˜ao das Coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
5.2 Coordenadas Polares e Equac¸o˜es Param´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
5.2.1 Coˆnicas em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
5.2.2 Circunferˆencia em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
5.2.3 Equac¸o˜es Param´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
6 Superf´ıcies e Curvas no Espac¸o 295
6.1 Qu´adricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
6.1.1 Elipso´ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
6.1.2 Hiperbolo´ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
6.1.3 Parabolo´ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
6.1.4 Cone El´ıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
6.1.5 Cilindro Qu´adrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
6.2 Superf´ıcies Cil´ındricas, Coˆnicas e de Revoluc¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
6.2.1 Superf´ıcies Cil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
6.2.2 Superf´ıcies Coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
6.2.3 Superf´ıcies de Revoluc¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
6.3 Coordenadas Cil´ındricas Esf´ericas e Equac¸o˜es Param´etricas . . . . . . . . . . . . . . 344
6.3.1 Coordenadas Cil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
13 de dezembro de 2001 Reginaldo J. Santos
vi Conteu´do
6.3.2 Coordenadas Esf´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
6.3.3 Equac¸o˜es Param´etricas de Superf´ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
6.3.4 Equac¸o˜es Param´etricas de Curvas no Espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
7 Mudanc¸a de Coordenadas 365
7.1 Rotac¸˜ao e Translac¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
7.1.1 Rotac¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
7.1.2 Translac¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
7.2 Identificac¸˜ao de Coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
7.3 Identificac¸˜ao de Qu´adricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
Respostas dos Exerc´ıcios 418
Bibliografia 464
´Indice Alfab´etico 467
Matrizes Vetores e Geometria Anal´ıtica 13 de dezembro de 2001
Pref´acio
Este texto cobre o material para um curso de Geometria Anal´ıtica ministrado para estudantes da
´area de Ciˆencias Exatas. O texto pode, mas n˜ao ´e necess´ario, ser acompanhado do programa
MATLAB .
∗
O conteu´do ´e dividido em sete cap´ıtulos. O Cap´ıtulo 1 trata das matrizes e sistemas lineares.
Aquitodasaspropriedadesda´algebramatricials˜aodemonstradas. Aresoluc¸˜aodesistemaslineares´e
feitausandosomenteom´etododeGauss-Jordan(transformandoamatrizat´equeelaestejanaforma
escalonada reduzida). Este m´etodo requer mais trabalho do que o m´etodo de Gauss (transformando
a matriz, apenas, at´e que ela esteja na forma escalonada). Ele foi o escolhido, por que tamb´em
´e usado no estudo da invers˜ao de matrizes no Cap´ıtulo 2. Neste Cap´ıtulo ´e tamb´em estudado o
determinante, que ´e definido usando cofatores. As subsec¸o˜es 2.2.2 e 2.2.3 s˜ao independentes entre
si. As demonstrac¸o˜es dos resultados deste cap´ıtulo podem ser, a crit´erio do leitor, feitas somente
para matrizes 3 3.
×
∗MATLAB ´e marca registrada de The Mathworks, Inc.
vii
viii Conteu´do
O Cap´ıtulo 3 trata de vetores no plano e no espac¸o. Os vetores s˜ao definidos de forma ge-
om´etrica, assim como a soma e a multiplicac¸˜ao por escalar. S˜ao provadas algumas propriedades
geometricamente. Depois s˜ao introduzidos sistemas de coordenadas de forma natural sem a ne-
cessidade da definic¸˜ao de base. Os produtos escalar e vetorial s˜ao definidos geometricamente. O
Cap´ıtulo 4 trata de retas e planos no espac¸o. S˜ao estudados ˆangulos, distˆancias e posic¸o˜es relativas
de retas e planos.
O Cap´ıtulo 5 traz um estudo das sec¸o˜es coˆnicas. S˜ao tamb´em estudadas as coordenadas polares
e parametrizac¸o˜es das coˆnicas. As superf´ıcies s˜ao estudadas no Cap´ıtulo 6 incluindo a´ı as qu´adricas,
superf´ıcies cil´ındricas, coˆnicas e de revoluc¸˜ao. Neste Cap´ıtulo s˜ao tamb´em estudadas as coordenadas
cil´ındricas, esf´ericas e parametrizac¸˜ao de superf´ıcies e curvas no espac¸o. O Cap´ıtulo 7 traz mudanc¸a
de coordenadas, rotac¸˜ao e translac¸˜ao. Dada uma equac¸˜ao geral de 2o grau em duas ou trˆes vari´aveis,
neste Cap´ıtulo, atrav´es de mudanc¸as de coordenadas´e feita a identificac¸˜ao da coˆnica ou da qu´adrica
correspondente a equac¸˜ao.
Osexerc´ıciosest˜aoagrupadosemtrˆesclasses. Os“Exerc´ıciosNum´ericos”, quecont´emexerc´ıcios
que s˜ao resolvidos fazendo c´alculos, que podem ser realizados sem a ajuda de um computador ou de
uma m´aquina de calcular. Os “Exerc´ıcios Teo´ricos”, que cont´em exerc´ıcios que requerem demons-
trac¸o˜es. Alguns s˜ao simples, outros s˜ao mais complexos. Os mais dif´ıceis complementam a teoria
e geralmente s˜ao acompanhados de sugesto˜es. Os “Exerc´ıcios usando o MATLAB”, que cont´em
exerc´ıcios para serem resolvidos usando o MATLAB ou outro software. Os comandos necess´arios a
resoluc¸˜ao destes exerc´ıcios s˜ao tamb´em fornecidos juntamente com uma explicac¸˜ao r´apida do uso.
Os exerc´ıcios num´ericos s˜ao imprescind´ıveis, enquanto a resoluc¸˜ao dos outros, depende do n´ıvel e
dos objetivos pretendidos para o curso.
O MATLAB ´e um software destinado a fazer c´alculos com matrizes (MATLAB = MATrix LA-
Boratory). Os comandos do MATLAB s˜ao muito pro´ximos da forma como escrevemos expresso˜es
alg´ebricas, tornando mais simples o seu uso. Podem ser incorporados `as rotinas pr´e-definidas, pa-
Matrizes Vetores e Geometria Anal´ıtica 13 de dezembro de 2001
Pref´acio ix
cotes para c´alculos espec´ıficos. Um pacote chamado gaal com func¸o˜es que s˜ao direcionadas para
o estudo de Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear pode ser obtido atrav´es da internet no enderec¸o
http://www.mat.ufmg.br/~regi, assim como um texto com uma introduc¸˜ao ao MATLAB e ins-
truc¸o˜es de como instalar o pacote gaal. Mais informac¸o˜es sobre o que o MATLAB ´e capaz, podem
ser obtidas em [3, 15].
No fim de cada cap´ıtulo temos um “Teste do Cap´ıtulo”, onde o aluno pode avaliar os seus
conhecimentos. Os Exerc´ıcios Num´ericos e os Exerc´ıcios usando o MATLAB est˜ao resolvidos apo´s
o u´ltimo cap´ıtulo utilizando o MATLAB. Desta forma o leitor que n˜ao estiver interessado em usar o
software pode obter apenas as respostas dos exerc´ıcios, enquanto aquele que tiver algum interesse,
pode ficar sabendo como os exerc´ıcios poderiam ser resolvidos fazendo uso do MATLAB e do pacote
gaal.
O programa MATLAB pode ser adquirido gratuitamente na compra do Guia do Usu´ario [15].
Por exemplo, o Guia do Usu´ario j´a foi adquirido, atrav´es da internet, na livraria Blackwell’s na
Inglaterra (http://bookshop.blackwell.co.uk), por US$ 61,00, acompanhado de um CD com
o programa.
Gostaria de agradecer a todos os professores que nos u´ltimos trˆes anos adotaram edic¸o˜es an-
teriores deste texto, em particular aos professores Renato Pedrosa da UNICAMP, Rosa Maria S.
B. Chaves da USP-SP, Lana Mara R. dos Santos da UFV e Ana Tucci de Carvalho da PUC-MG.
Gostaria de agradecer tamb´em aos professores que colaboraram apresentando correc¸o˜es, cr´ıticas e
sugesto˜es, entre eles Dan Avritzer, Joana Darc A. S. da Cruz, Francisco Dutenhefner, Jorge Sa-
batucci, Seme Gebara, Alexandre Washington, Vivaldo R. Filho, Hamilton P. Bueno, Paulo A. F.
Machado, Helder C. Rodrigues, Flaviana A. Ribeiro, Cristina Marques, Rog´erio S. Mol, Maria Laura
M. Gomes, Maria Cristina C. Ferreira, Paulo C. de Lima, Jos´e Barbosa Gomes, Moacir G. dos Anjos
e Daniel C. de Morais Filho.
13 de dezembro de 2001 Reginaldo J. Santos
x Pref´acio
Sugest˜ao de Cronograma
Cap´ıtulo 1 Sec¸o˜es 1.1 e 1.2 4 aulas
Cap´ıtulo 2 Sec¸o˜es 2.1 e 2.2 4 aulas
Cap´ıtulo 3 Sec¸o˜es 3.1 e 3.2 4 aulas
Cap´ıtulo 4 Sec¸o˜es 4.1 e 4.2 4 aulas
Cap´ıtulo 5 Sec¸o˜es 5.1 e 5.2 4 aulas
Cap´ıtulo 6 Sec¸o˜es 6.1 a 6.3 6 aulas
Cap´ıtulo 7 Sec¸o˜es 7.1 a 7.3 6 aulas
Total 32 aulas
Matrizes Vetores e Geometria Anal´ıtica 13 de dezembro de 2001