Table Of ContentMATRIZEN
EINE DARSTELLUNG FÜR INGENIEURE
VON
DR.-ING. RUDOLF ZURMÜHL
MIT25ABBILDUNGEN
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH
ISBN 978-3-642-53290-0 ISBN 978-3-642-53289-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-53289-4
ALLE RECHTE, INSBESONDERE DAS DER tl'BERSETZUNG
IN FREII1DE SPRACHEN, VORBEHALTEN.
COPYRIGHT 1950 BY SPRINGER-VERLAGBERLINHEIDELBERG
URSPRtl'NGLICH ERSCHIENENBEI SPRINGER-VERLAG OHG., BERLIN/Gl:ITTINGENIHEIDELBERG 1950
SOFI'COVER REPRINT OF THE HARDCOVER lST EDITION 1950
FRAU KÄTHE HERRMANN
GEWIDMET
Vorwort.
Matrizen sind ein den meisten Ingenieuren heute noch fremder, oft
kaum dem Namen nach bekannter Gegenstand. Und doch handelt es sich
dabei um mehr als ein eng begrenztes, nur den Spezialisten angehendes
Sondergebiet. Denn die Lehre von den Matrizen ist eine Lehre von den
linearen Beziehungen. Diese aber spielen bekanntlich in der gesamten
mathematischen Naturbeschreibung und dementsprechend auch in der
Ingenieurwissenschaft eine hervorragende Rolle. Gibt es doch kaum ein
der Rechnung zugängliches Gebiet in Physik und Technik, in dem man
nicht mehr oder weniger zwangsläufig auf Beziehungen linearer Art ge
führt würde, wenn man überhaupt eine befriedigende theoretische Lösung
erhoffen will. Die mathematische Disziplin, welche diese linearen Be
ziehungen selbst und ihre Gesetze zum Gegenstand hat, die lineare Alge
bra, wird daher auch für die Anwendungen von der größten Bedeu
tung und für den, der sich mit ihr auseinandersetzt, von unmittelbarem
Nutzen sein. .;
In den Matrizen hat sich die lineare Algebra ein Ausdrucksmittel von
ganz besonderer Anpassungsfähigkeit geschaffen. Mit ihrer Hilfe werden
einheitlich faßbare, in der gewöhnlichen Formelsprache jedoch nur
schwerfällig darstellbare· Operationen durch Formeln von unübertreff
licher Kürze und Sinnfälligkeit wiedergegeben, die den Blick stets auf das
Wesentliche lenken. Die Matrizenrechnung ist daher in besonderer Weise
geeignet, die so vielgestaltige Welt der linearen Transformationen auch
dem Nichtmathematiker und Ingenieur zu erschließen. Sicherlich wird sie
sich in der Ingenieurmathematik mehr und mehr durchsetzen und darin
vielleicht bald eine ähnliche Rolle spielen wie etwa die ja heute nicht
mehr hinwegzudenkende Vektorrechnung. Im mathematischen Grund
unterricht der Technischen Hochschule aber kommt dieser junge Zweig
der Mathematik einstweilen notwendigerweise zu kurz, und auch das
technische Schrifttum darüber ist noch recht spärlich. Eine einführende
und zugleich zusammenfassende Darstellung der Matrizen, die den Be
dürfnissen desingenieursRechnung trägt, mag daher angebracht sein.
Das vorliegende Buch wendet sich demgemäß nach Darstellungsart,
Aufbau und Stoffauswahl an den Ingenieur, und zwar ganz besonders
auch an jenen, der nicht über eine mathematische Sonderausbildung ver
fügt und dem es daher bei allem guten Willen und aller Aufgeschlossen
heit für theoretische Fragen oft recht schwer fällt, sich aus eigener Kraft
ein neues mathematisches Gebiet zu erarbeiten. Ihm möchte das Buch
VI Vorwort.
vor allem helfen. Vorausgesetzt wird dabei freilich Liebe zur Sache und
eine über bloßes Lesen hinausgehende tätige Mitarbeit, wozu viele Bei
spiele einladen. Auch Beweise mögen in diesem Sinne als Übungsstoff auf
gefaßt und durchgearbeitet werden, zumal ja im allgemeinen erst ein
durchdachter Beweis zum vollen Verständnis einer Sachlage verhilft.
Doch ist hier der oft begrenzten mathematischen Aufnahmefähigkeit des
Ingenieurlesers durch die Art der Darstellung Rechnung getragen. Erstes
Ziel dieser Darstellung ist, dem Leser die Problemstellungen und Begriffe
lebendig zu machen und ihn in den Stand zu setzen, mit ihnen selbständig
und erfolgreich zu arbeiten.
Das Buch ist so angelegt, daß die Anforderungen an die Mitarbeit des
Lesers wenigstens im theoretischen Teil nach und nach zunehmen. Das
erste Kapitel über den Matrizenkalkül soll möglichst unmittelbar und mit
einem Mindestaufwand an begrifflichen Schwierigkeiten in den Stoff hin
einführen. Dazu werden die einfachsten Tatsachen über Determinanten
und lineare Gleichungen als dem Leser so weit erinnerlich vorausgesetzt,
daß man an sie zunächst als an etwas Bekanntes anknüpfen kann. Erst im
zweiten Kapitel werden, nach einer kurzen Zusammenstellung der wich
tigsten Determinantensätze, die für alles Folgende grundlegenden Be
griffe der linearen Abhängigkeit und des Ranges sowie deren Anwen
dungen auf die Theorie der linearen Gleichungen in aller Ausführlichkeit
nachgeholt, um zugleich das Vorhergehende zu vertiefen und das Nach
folgende vorzubereiten. Auf diese Weise soll erreicht werden, daß schon
an Hand der im ersten Kapitel vermittelten Grundlagen eine Reihe prak
tisch wichtiger Probleme angegriffen werden kann, wie etwa die nume
rische Behandlung linearer Gleichungssysteme, die Anwendung der Ma
trizen in der Elektrotechnik, bei Differentialausdrücken und in der Aus
gleichsrechnung, Fragen, die aus äußerlichen Gründen in den letzten
Kapiteln zusammengeiaßt sind; vgl. auch die dem Buche vorangestellte
Übersichtstafel S. IX. Hat sich der Leser mit den Elementen und viel
leicht auch noch mit dieser oder jener Anwendung vertraut gemacht, so
wird in ihm ganz von selbst das Interesse nach weiteren Fragen erwachen,
und diese werden ihn, so hofft der Verfasser, bald in ihren Bann ziehen,
vorweg das so reizvolle Eigenwertproblem, dem ein großer Teil des
Buches gewidmet ist. Naturgemäß werden dabei die begrifflichen Anfor
derungen nach und nach größer. Möge auch hier der Leser die Geduld
nicht verlieren; das Gebiet ist groß und nur in wiederholtem Bemühen zu
erobern.
Wenn auch weite Teile des Buches ganz elementar gehalten sind, so
geht das Buch als Ganzes doch über eine bloß elementare Einführung
hinaus, mit der dem Ingenieur erfahrungsgemäß nur wenig gedient wäre.
Denn die Probleme der Praxis sind vielgestaltig und erfordern oftmals
umfangreiche theoretische Hilfsmittel. Es findet sich daher auch manches
erörtert, bei dem eine Anwendungsmöglichkeit nicht unmittelbar zu er-
Vorwort. VII
kennen ist. Zudem sind die Grenzen der Anwendbarkeit einem staudigen
Wechsel unterworfen. Auf der andern Seite werden manche Dinge nur ge
streift, von denen anzunehmen ist, daß sie vorwiegend doch nur in der
Hand des Fachmathematikers nützlich sein werden, wie etwa Konver
genzfragen, Abschätzungen u. dgl. Großer Wert aber ist darauf gelegt,
die Darstellung möglichst allgemein zu halten. So wird die Behandlung
der Eigenwertfragen nicht auf die reell-symmetrischen Matrizen oder
auch nur auf das spezielle Eigenwertproblem beschränkt, sondern sowohl
auf allgemeine Matrizen als auch auf das sog. allgemeine Eigenwert
problem ausgedehnt. Aus dem gleichen Grunde wird auch die heute bei
Ingenieuren noch wenig bekannte Theorie der Elementarteiler sowie ihre
moderne Weiterentwicklung in Getalt der Hauptvektoren ausführlich
dargestellt, wobei besonders der interessante Zusammenhang zwischen
Elementarteilern und Hauptvektoren herausgearbeitet ist. Sind auch die
hier in Betracht kommenden technischen Beispiele einstweilen nicht sehr
zahlreich, so sind die vorhandenen Anwendungen auf Schwingungs
technik und Differentialgleichungen sowie beim Iterationsverfahren doch
wichtig genug. Vor allem aber erschien mir die durch diese Dinge ver
mittelte Abrundung der gesamten Matrizentheorie so wesentlich, daß ich
schon deshalb auf ihre Behandlung auch in einem für Ingenieure geschrie
benen Buche nicht verzichten mochte.
Im VI. Kapitel über die numerischen Verfahren zur Auflösung linearer
Gleichungssysteme und zur Behandlung des Eigenwertproblems ist eine
sorgfältige, auf die Bedürfnisse des Ingenieurs abgestimmte Auswahl
unter Berücksichtigung der modernen Entwicklung getroffen. Eine voll
ständige Aufzählung aller überhaupt bekannten Methoden ist weder mög
lich noch in einem Buche wie dem vorliegenden sinnvoll. Da die Vielzahl
der Verfahren aber aus der Vielgestaltigkeit der praktischen Bedürfnisse
erwachsen ist und es weder bei den linearen Gleichungen noch bei der
Eigenwertaufgabe ein einziges für alle Verhältnisse passendes Verfahren
gibt, so durften die Grenzen der Auswahl nicht zu eng gezogen werden.
Jede der beschriebenen Methoden ist durch ein ausführliches Zahlen
beispiel erläutert
Das VII. Kapitel über Anwendungen der Matrizenrechnung schließlich
erhebt weder im Ganzen noch in jedem seiner Abschnitte Anspruch auf
Vollständigkeit. Auch sind hier die einzelnen Abschnitte unterschiedlich
behandelt. Bei den Anwendungen in Elektrotechnik und Schwingungs
lehre wird ein ausreichender Überblick auch über die moderne Entwick
lung angestrebt. Der Abschnitt über Systeme linearer Differential
gleichungen beschränkt sich auf homogene Systeme mit konstanten
Koeffizienten und knüpft an die ausführlichen, heute aber vielfach in
Vergessenheit geratenen Untersuchungen von RouTH an, die hier in die
Sprache der Theorie der Elementarteiler und Hauptvektoren übertragen
werden. Die Abschnitte über Differentialmatrizen, Tensoren und Aus-
VIII Vorwort.
gleichsrechnung haben ganz elementaren Charakter und mögen zeigen,
wie einfach und übersichtlich sich auch hier alle Fragen mit den Hilfs
mitteln der Matrizenrechnung erledigen lassen.
Bei der Beschaffung schwer zugänglicher Literatur wie auch bei der Er
probung numerischer Verfahren war mir Herr Professor Dr. A. W ALTHER,
Darmstadt, in dankenswerter und selbstloser Weise behilflich. Leider
blieben mir einige bekannte ausländische Werke über Matrizen trotz
eifrigen Bemühens unzugänglich.
Besonderen Dank schulde ich Herrn Professor Dr. L. CoLLATz, Han
nover, der die Entstehung des Buches seit 1945 mit unermüdlichem In
teresse verfolgt und mir viele wertvolle Anregungen gegeben hat.
Bei der besonderen Art des Buches schien mir eine gewisse Zusammen
arbeit zwischen Mathematiker und Ingenieur wünschenswert. Die Herren
Dr. habil. H. BücKNER, Minden, und Dr. W. ScHÖBE, Stuttgart, hatten
die große Freundlichkeit, den Text mit den Augen des Mathematikers
durchzusehen. Aus dieser kameradschaftlichen Hilfe ergaben sich zahl
reiche größere und kleinere Verbesserungsvorschläge, für die zu danken
mir ein besonderes Bedürfnis ist, da sie wesentlich zum Gelingen des Gan
zen beigetragen haben. Wertvolle Hinweise ähnlicher Art verdanke ich
auch Herrn Studienrat Dr. W. PüscHEL, Bad Pyrmont. Herrn Dipl. math.
H. M. SASSENFELD, Darmstadt, danke ich für das Lesen der Korrektur
und alle hierbei gegebenen Anregungen. Schließlich gilt mein Dank dem
Springer-Verlag für sein stets verständnisvolles Entgegenkommen und
die gute Ausstattung des Buches.
Darmstadt, Herbst 1949.
Rudolf Zurmühl.
I
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nüpf u n g der Abschnitte. I I I I I Anwendungen Eigenwerte Numerische Struktur Formen Verfahren 14 15 16 17 23 214 2215 3 26 27 28 29 30 3118 1329 20 2122 -------- --------0 +0 -----0 + +0 ++ ++ ++0 +++0 ++ 0 ++ +0 +++ ++0 +++ +++0 +++ 0 + +++ -----0 +0 0 +++ +++ +0 +++ ---------------0 0 + +++ ++++ ++ +0 +++ ++++ 0 + +0 ++ ++ + 0 -----EigenwAenrtwee ndungSetnr uktur NFuormemreisn che Verfahren + + · · · werden die vorherstehenden Abschnitte vorausgesetzt. + · · · + wird in den darunterstehenden Abschnitten Gebrauch gemacht.
gegenseitige Verk Kalkül Rang I 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 0 +0 ++0 +++0 ++++0 +++++0 0 +t++ +0 +++++ ++0 +++++ 0 +++++ ++ ++++ +++++ ++++++ ++ + ++++++ +++ ++++++ ++ ++++++ ++ ++ ++++++ ++++++ + ++++++ ++ + ++++++ + ++++++ ++ ++ ++++++ -++++ + ++++ ++++++ ++ ++++++ ++ +++++ +++++ ++ ++++ ++ ++++++ ++++++ ++++ Kalkül Rang Zeile: Für den Abschnitt 0 Spalte: Vor. dem Abschnitt 0
r die Nr.l1 I 0 1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11 +12 +13 +14 +15 +16 +17 +18 +19 +20 +21 +22 --+23 +24 +25 +26 +27 +28 +29 +30 +31 +32 I I In jeder In jeder
Übersicht ü b e Abschnitt ......... . . . . . . . Einleitung . . . Grundbegriffe . . . ... • 0 •• 0 •••• • 0. 0 0 0 0. Vektoren .. . . . . . .. . • • 0 0 • • • • • 0 0 . Multiplikation • . • . 0. Kehrmatrix ••••••••••••••• 0. 0 0 Lineare Transformation . . . . . . . . . . . . Orthogonaltransformation . . . . . . . . . . . . . ......... Determinanten . . • • • • • • 0 Lineare Abhängigkeit, Rang . . •....••• 0. .. Lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . Äquivalenz, Rangbestimmung . . . . . . . . . . . .......... Quadratische Formen . . . ... Koordinatentransformation . . .... Charakteristische Zahlen, Eigenvektoren . . ...... . . . . . Symmetrische 1\Iatrizen . . . . . . . . Allgemeinere . . Eigenw~rtproblemc ............ ~ Komplexe Matrizen . . ............ Minimumgleichung . . . . Elementarteiler, Klassifikation . . . . . . . . . . . ................... Normalform Hauptvektoren . . . . . . . . . . . . . . : . . . Matrizenfunktionen . 0 0 • • • • • • • • • • • • • Lineare Gleichungen: Matrizenverfahren • 0 •• 0. Lineare Gleichungen: Iteration. . 0 • • • • 0 • • 0 Iteration der Eigenwerte •••••••••• 0 •• Iteration höherer Eigenwerte •••• 0 •••• 0. . . . . . . . . . Elektrotechnik . •• 0 0 •• Schwingungstechnik •••••••• 0. 0 •• Lineare Differentialgleichungen. o 0 • ••••• 0. Differentialmatrizen. • 0 0. 0 •••••••• 0. 'fensoren .............. o •••• o o Ausgleichsrechnung . 0 • • 0 0 ••••••• 0 ••
Inhaltsverzeichnis.
1. Einleitung................................................. 1
I. Kapitel. Der Matrizenkalkül.
2. Grundbegriffe und einfache Rechenregeln.
2.1. Definitionen und Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Transponierte, symmetrische und schiefsymmetrische Matrix.... 8
2.3. Diagonalmatrix, Skalarmatrix und Einheitsmatrix . . . . . . . . . . . . 10
2.4. Determinanten, singuläre Matrizen und Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3. Matrizen und Vektoren.
3.1. Vektoren................................................. 13
3.2. Spalten-und Zeilenvektoren einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3. Das skalare Produkt ................... :................... 1.6
3.4. Betrag, Normierung und Orthogonalität...................... 17
4. Matrizenmultiplikation.
4.1. Zusammengesetzte Transformation und Matrizenprodukt . . . . . . . 18
4.2. Produkt aus Matrix und Vektor............................. 23
4.3. Sätze über Matrizenmultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.4. Multiplikation mit Diagonalmatrizen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.5. Potenzen und Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.6. Das Produkt ~('~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.7. Dyadisches Produkt....................................... 30
4.8. Skalares Matrizenprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5. Kehrmatrix und .Matrizendivision.
5.1. Erklärung und Herleitung der Kehrmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.2. Formelmäßiger Ausdruck der cx; k . • • • . • • • . • • • • • • . • • . • . • • • • • • . 36
5.3. Einfache Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.4. Matrizendivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6. Lineare Transformationen.
6.1. Geometrische Deutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.2. Umkehrbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.3. Koordinatentransformation................................. 44
6.4. Zusammengesetzte Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.5. Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7. Orthogonale Transformation.
7.1. EigenschafteP orthogonaler Matrizen und Transformationen..... 50
7.2. Orthogonaldeterminante. Eigentliche und uneigentliche Ortho
gonaltransformation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.3. Darstellung komplexer Zahlen. Verallgemeinerung der Dreh-
streckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.4. Ein Beispiel: Die EuLERschen 'Winkel........................ 56
