Исследование систем управления в среде MATLAB

320 Pages·3.226 MB·Russian

by  Бороденко В.А.

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Павлодарский государственный университет
им. С. Торайгырова

В.А. Бороденко

ИССЛЕДОВАНИЕ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
В СРЕДЕ MATLAB

Павлодар
2011
УДК 681.5(075)
ББК 32.965.4я73
Б83

Рекомендовано к изданию Ученым советом
Павлодарского государственного университета
им. С. Торайгырова

Рецензенты:
В. Ф. Хацевский – доктор технических наук, профессор, зав.
кафедрой АиУ ПГУ им. С. Торайгырова
Е. В. Иванова – доктор технических наук, профессор, зав.
кафедрой электроэнергетики ИнЕУ
П. И. Сагитов – доктор технических наук, профессор, зав.
кафедрой ЭАПУ АУЭС

Б83 Бороденко В. А.
Исследование систем управления в среде MATLAB :
Монография. – Павлодар : Кереку, 2011. – 318 с., ил.

ISBN 978-601-238-158-0

В монографии рассматриваются вопросы компьютерного моде-
лирования линейных систем автоматического управления в среде
MATLAB, в том числе недостаточно описанные или отсутствующие в
справочной и учебной литературе. Она предназначена для студентов,
магистрантов и докторантов специальности «Автоматизация и управ-
ление», а также может быть полезна инженерам, студентам и магист-
рантам других технических специальностей при изучении основ тео-
рии автоматического управления.

УДК 681.5(075)
ББК 32.965.4я73
ISBN 978-601-238-158-0

© Бороденко В. А., 2011
© ПГУ им. С. Торайгырова, 2011

За достоверность материалов, грамматические и орфографические ошибки
ответственность несут авторы и составители
Введение

Для компьютерного моделирования систем регулирования и
управления широко используется программный продукт MATLAB®
фирмы Math Works, Inc., который де-факто стал стандартом в проект-
ных, исследовательских, научных и учебных организациях. Книга со-
держит минимальный объем сведений, достаточный для начала рабо-
ты в среде MATLAB. Описание базируется на версиях MATLAB 7.01,
как базовой, и 7.11 (R2010b) – последней на момент создания книги.
При изложении материала предполагается, что читатель знаком
с курсом теории линейных систем автоматического регулирования
(управления) настолько, что может ставить задачи из этой области и
правильно интерпретировать получаемые результаты. Для тех, у кого
отсутствуют такие знания или в них имеются пробелы, предназначен
первый раздел, который опытным читателям можно пропустить.
Данная книга не является справочником по среде MATLAB, ее
пакеты расширений рассматриваются лишь в той мере и постольку,
поскольку это необходимо для исследования той или иной стороны
функционирования систем автоматического управления (САУ). По-
этому, как правило, описание функций привязано к определенному
моменту анализа или синтеза системы управления. Рассматриваются
элементы классической теории автоматического управления (ТАУ) и
практически не затрагиваются новые направления развития ТАУ.
В книге исследуются вопросы компьютерного моделирования
линейных САУ, недостаточно описанные или отсутствующие в спра-
вочной и учебной литературе. Работниками высшей школы постсо-
ветского пространства обычно решается задача приспособления своих
учебников к реалиям MATLAB. Целью данной монографии является,
скорее, противоположная задача – рассмотреть, насколько программа
MATLAB подходит для сопровождения стандартного курса ТАУ, чи-
таемого на основе учебной литературы СНГ, какие проблемы нужно
решить для ее полнокровного применения.
Книга создавалась, в первую очередь, как подспорье процессу
обучения, в силу чего большее внимание уделяется не числовым зна-
чениям показателей, а процессу их вычисления, особенно, если изуче-
ние таких характеристик предусмотрено в учебных программах, но их
получение не заложено в MATLAB. В качестве примера можно ука-
зать критерии Гурвица, Рауса, Михайлова, метод D-разбиения и т. п. В
работе специально обращается внимание на особенности работы
MATLAB, не отвечающие традиционному подходу специалистов СНГ
к исследованию систем управления.
3
1 Основы теории автоматического управления

1.1 Классификация систем управления
Кибернетика – наука об управлении. Управление – это органи-
зация некоторого процесса для достижения поставленной цели с по-
мощью специально выбранных воздействий. Управление называется:
оптимальным, если в условиях имеющихся ограничений осуществля-
ется в известном смысле наилучшим образом, и терминальным (ко-
нечным), если его цель – достичь заданной точки в пространстве.
На общей схеме управления (рисунок 1.1) показаны [1]:
ОУ – объект управления, УУ – управ-
ляющее устройство (регулятор), f(t) –
возмущающее воздействие (возмуще-
ние, помеха), y(t) – выходная или
управляемая величина (отклик, реак-
ция), u(t) – управляющее воздействие
(управление), r(t) – задающее воздей-
ствие (цель, задание, программа).
Все, что не относится к объекту
управления и управляющему устрой-
Рисунок 1.1
ству, считается окружающей средой.
Объект управления характеризуется функцией преобразования
(передачи) – законом, по которому входные величины f(t) и u(t) пре-
образуются им в выходную y(t).
В соответствии с желаемым результатом процесса, формируе-
мым с помощью задания r(t), УУ вырабатывает управляющее воздей-
ствие u(t) на ОУ. Возмущения – это факторы, которые нарушают нор-
мальную работу системы и влияние которых необходимо устранить.
Неизмеряемое возмущение называется помехой, возмущение, обу-
словленное технологическим процессом – нагрузкой.
Система без связей a и b называется разомкнутой, только с пря-
мой связью a – системой с управлением по возмущению, с обратной
связью b – системой с управлением по отклонению управляемой ве-
личины от задания, при наличии обеих связей – комбинированной
системой управления. Системы, сравнивающие результат управления
с заданием по цепи b, относятся к системам с обратной связью (по-
английски Feedback Control System) или замкнутым.
Управление называют: автоматическим, если основной техноло-
гический процесс осуществляется полностью без участия человека, и
автоматизированным, если функции управления поделены определен-
ным образом между человеком и ЭВМ.
4
Совокупность объекта управления и управляющего устройства
образует систему управления (СУ). К автоматическим СУ относятся
САУ – система автоматического управления, САР – система автома-
тического регулирования, САК – система автоматического контроля;
к автоматизированным АСУ – автоматизированная система управле-
ния, АСУП – АСУ производством, АСУТП – АСУ технологическим
процессом, САПР или, по-английски, CAD – система автоматизиро-
ванного проектирования.
Обычно, если не требуется специально разграничить эти систе-
мы, под САУ и САР подразумевают одно и то же. Регулированием на-
зывается частная задача управления, состоящая в отработке задающе-
го воздействия без выбора его характера.
Теория автоматического управления является частью киберне-
тики и теоретической базой автоматизации в любых отраслях науки и
техники. Она изучает принципы построения САУ независимо от их
назначения, конструкции, физической природы. Основным методом
исследования в ТАУ является математическое моделирование – физи-
ческую систему заменяют ее математической моделью, результаты
эксперимента с которой переносят на реальный объект.
Задачи ТАУ: оценка устойчивости и качества регулирования,
исследование чувствительности к изменению внешних и внутренних
параметров систем, синтез оптимальных по структуре или характери-
стикам регуляторов (управляющих устройств), коррекция свойств
систем управления, выбор законов регулирования и методов построе-
ния моделей [1, 6-16].
Не рассматривая возможное деление систем регулирования по
области применения (авиация, энергетика…), стоимости, массе, габа-
ритам и прочим характеристикам, уделим внимание лишь классифи-
кации по особенностям процесса регулирования.
Циклические (детерминированные, безрефлексные, с жестким
управлением) системы выполняют свои функции по заранее заданной
программе независимо от фактического протекания процесса. Они ли-
бо вообще не используют текущую (рабочую) информацию, либо она
имеет чисто вспомогательное значение. Для таких систем требуется
большой объем заранее собранной (априорной) информации об объ-
екте регулирования, так как отсутствует возможность последующей
корректировки поведения.
Ациклические (рефлексные) системы действуют в зависимости
от фактического протекания процесса, на основе непрерывно полу-
чаемой рабочей информации. Они требуют меньшего объема априор-
ной информации и обладают некоторой свободой поведения.
5
Обычно первые – разомкнутые, не охваченные главной обрат-
ной связью (ОС), вторые – замкнутые отрицательной ОС.
У стабилизирующих систем задающее воздействие постоянно во
времени, регулируемый параметр в пределах допустимой погрешно-
сти поддерживается постоянным при любых возмущениях. В систе-
мах программного управления задающее воздействие изменяется во
времени по заранее выбранному закону (программе). Система называ-
ется следящей, если характер изменения задающего воздействия зара-
нее неизвестен и оно является произвольной функцией времени, не
зависящей от САР. В обоих этих случаях регулируемый параметр в
пределах допустимой погрешности воспроизводит изменения задаю-
щего воздействия.
Системы с управлением по отклонению регулируемой величины
от заданного значения формируют управляющее воздействие в зави-
симости от величины и знака рассогласования r(t) – y(t) (принцип
Ползунова). Системы такого рода реагируют на любые возмущения,
не измеряя их, поэтому их точность выше, а структура обычно проще.
Однако их быстродействие ниже, поскольку они срабатывают уже по-
сле появления реакции объекта на возмущение. Принципиальный не-
достаток – обязательно должно наступить ухудшение в работе объек-
та, чтобы его можно было исправить. Это замкнутые системы с глав-
ной ОС, наличие обратной связи может в некоторых случаях приво-
дить к нарушению устойчивости.
Система с управлением по возмущению (рисунок 1.2, а) реаги-
рует только на появление выбранного возмущающего воздействия, не
универсальна и действует по принципу компенсации возмущения
(принцип Понселе).

а б
Рисунок 1.2

Для таких САР необходимо, чтобы выбранное возмущение x
было основным по влиянию на объект ОУ, поддавалось измерению, а
характеристики возмущений М и объекта были точно известны. Эти
системы имеют высокое быстродействие и позволяют получить нуле-
вую ошибку в процессе управления за счет того, что управление фор-
мируется устройством управления УУ сразу же с появлением возму-
6
щения (если оно превышает уставку x ) и производится с упреждени-
0
ем ухудшения состояния объекта. Однако их точность хуже, так как
контролируется лишь часть возможных возмущений, они требуют
тщательного изучения объекта и не обеспечивают контроль правиль-
ности действий.
Комбинированные системы сочетают достоинства обоих рас-
смотренных принципов управления (рисунок 1.2, б). В установивших-
ся режимах или режимах с малыми отклонениями у них превалирует
подсистема регулирования УР, осуществляющая управление по от-
клонению, а в переходных режимах с резкими большими возмуще-
ниями подключается часть УУ с управлением по возмущению.
У статических систем всегда имеется ошибка регулирования в
установившемся режиме, существует точное соответствие между зна-
чениями регулируемой и управляющей величин, между величиной
возмущения и значением рассогласования (ошибки). Статическая ха-
рактеристика отражает зависимость установившейся ошибки от вели-
чины входного воздействия и коэффициента передачи ошибки.
В астатических системах ошибка регулирования остается нуле-
вой при разной величине возмущений благодаря тому, что управляю-
щее воздействие непрерывно возрастает по модулю до тех пор, пока
контролируемое рассогласование не исчезнет. Эти системы точнее, но
требуют времени на устранение ошибки. В момент полной компенса-
ции рассогласования величина управляющего воздействия может
быть произвольной в рамках возможного диапазона.
Непрерывные (аналоговые) системы воздействуют на объект в
течение всего времени работы, используют монотонно изменяющиеся
или непрерывные периодические сигналы. Работа дискретных систем
основана на кусочном изменении (квантовании, дискретизации) сиг-
нала. В импульсных системах осуществляется квантование по време-
ни (управляющее воздействие формируется в течение коротких ин-
тервалов времени, разделенных паузами), в релейных – квантование
по уровню (позиции), в цифровых используются оба способа.
Обычно в составе дискретных линейных систем имеется эле-
мент преобразования непрерывных величин в дискретные при суще-
ственном преобладании линейной части системы.

1.2 Основные математические модели

1.2.1 Дифференциальное уравнение системы
Предметом изучения являются линейные, непрерывные, ста-
ционарные, одномерные системы с сосредоточенными параметрами.
7
У непрерывных элементов выходная величина изменяется плав-
но при плавном изменении входной величины. Система линейна, если
к ней применим принцип суперпозиции. Он заключается в том, что
реакция системы на любое сочетание воздействий равна сумме реак-
ций на каждое из этих воздействий в отдельности, а изменению вход-
ного сигнала соответствует пропорциональное изменение выходного.
Математический аппарат, используемый для описания линейных
систем, проще, чем для нелинейных. Реально существующие нели-
нейные системы для изучения предварительно линеаризируют. Ли-
неаризацией называется такое упрощение математического описания
объекта, при котором его параметры становятся постоянными величи-
нами или отображаются линейными зависимостями.
У стационарных систем коэффициенты и параметры – это по-
стоянные величины, не являющиеся функциями времени. Характери-
стики любых систем со временем меняются, однако, поскольку мы
проводим анализ в течение короткого отрезка времени, возможные
изменения параметров за этот период считаются несущественными.
Одномерные системы и объекты описываются по методу «один
вход – один выход» посредством передаточной функции (ПФ). Для
многомерных объектов и систем управления с несколькими входами
или выходами обычно используется векторно-матричное описание в
пространстве состояний. Системы, у которых выходные величины за-
висят друг от друга, называются многосвязными.
Наконец, элементы систем (емкость, сопротивление) будем ус-
ловно считать сосредоточенными в одной точке, хотя реально это и не
всегда так. Например, для протяженных линий электропередачи или
водопроводов необходимо учитывать распределение параметров по
длине объекта – это системы с распределенными параметрами.
Поведение линейных, непрерывных, стационарных систем с со-
средоточенными параметрами описывается во времени обыкновен-
ным дифференциальным уравнением (ОДУ) с постоянными коэффи-
циентами a, b
i j

dny(t) dn1y(t) dmx(t) dm1x(t)
a  a ... a y(t) b b ...b x(t),
0 dtn 1 dtn1 n 0 dtm 1 dtm1 m

где слева – выходная функция y(t) и ее производные (результат), спра-
ва – входная функция x(t) и ее производные. В этом смысле запись со-
ответствует расположению результата и действий при программиро-
вании, или записи подстрочных индексов передаточной функции.
Данное уравнение можно записать в алгебраизированном виде,
используя оператор (символ) дифференцирования p ≡ d/dt, что позво-
8
ляет производить с дифференциальным уравнением алгебраические
операции – выносить члены за скобки, складывать, умножать и т. п.

(a pn + a pn-1 + ... + a ) y(t) = (b pm + b pm-1 + ... + b ) x(t).
0 1 n 0 1 m

Здесь слева в скобках – собственный оператор объекта, справа –
оператор входа (воздействия). При этом в алгебраизированном урав-
нении используются, как правило, не сами величины x и y, а их абсо-
лютные ∆y/∆x или относительные ∆y/y , ∆x/x отклонения от рабочей
0 0
точки c координатами (x , y ).
0 0
Оператор D(p) = a pn + a pn-1 + ... + a называется также ха-
0 1 n
рактеристическим, так как характеризует собственные свойства сис-
темы (объекта), а уравнение D(p) = a pn + a pn-1 + ... + a = 0 – харак-
0 1 n
теристическим уравнением системы.
Удобным способом записи дифференциального уравнения явля-
ется операторная передаточная функция

b pm b pm1 ...b
W(p)  0 1 m .
a pn  a pn1 ... a
0 1 n

Она отображает действия, которые необходимо произвести с
входной величиной данного объекта, чтобы получить выходную вели-
чину. При этом следует иметь в виду, что оператор p ≡ d/dt лишь об-
легчает запись дифференциальных уравнений, но не дает способа их
решения – y(t) и x(t) остаются функциями времени. Он не обладает
свойством коммуникативности: можно записать p∙y(t), но нельзя y(t)∙p.

1.2.2 Преобразование Лапласа
В ТАУ основным инженерным методом решения дифференци-
альных уравнений, т. е. исследования поведения систем во времени,
является преобразование Лапласа. Его преимущество заключается в
том, что операции дифференцирования и интегрирования оно заменя-
ет более простыми алгебраическими операциями умножения и деле-
ния. Из-за необходимости вычислять корни характеристического
уравнения преобразование Лапласа целесообразно использовать лишь
для систем до четвертого порядка, ОДУ более высокого порядка ре-
шают численными методами на ЭВМ.
Рассмотрим принцип решения дифференциальных уравнений с
помощью преобразования Лапласа. На первом этапе производят пря-
мое преобразование X(s) = L{x(t)} – от функции времени переходят к
функции комплексной переменной Лапласа s = σ + jω = α + jβ. Здесь
ω = 2πf – это известная из электротехники круговая частота, рад/с.
9
Далее решают алгебраическое уравнение реакции, для чего находят
собственные значения системы, т. е. корни характеристического урав-
нения D(s) = 0, и по теореме разложения определяют коэффициенты
числителей простых дробей, на которые в соответствии с собствен-
ными значениями разлагается реакция. В конце вычислений выпол-
няют обратное преобразование Лапласа x(t) = L-1{X(s)} – от функции
переменной s возвращаются к функции переменной времени t.
Общее обозначение описанных операций x(t)÷X(s), где слева
строчными буквами изображена функция времени (оригинал), справа,
прописной буквой – функция комплексного переменного (изображе-
ние), а между ними стоит символ соответствия (ни в коем случае не
равенства, что будет являться грубой ошибкой!). Практически все
функции электротехники и ТАУ соответствуют требованиям к ориги-
налу (функция кусочно-непрерывна на участке исследования, равна
нулю при t < 0 и ограничена функцией Me0 t, где σ – абсцисса абсо-
0
лютной сходимости).
Иногда для обозначения оператора дифференцирования p ≡ d/dt
и комплексной переменной s = σ + jω = α + jβ используют один и тот
же символ p, что может приводить к недоразумениям или неверным
результатам. Мы будем далее использовать отдельные обозначения.
Свойства преобразования Лапласа.
- Линейность x(t) + y(t) ÷ X(s) + Y(s). }
Принцип суперпозиции
- Однородность kx(t) ÷ kX(s).
1  s 
- Подобие x(t) X .
 
- Дифференцирование оригинала

x(t)s X(s)  x(0 )
 Полином, отражающий

x(t)s2  X(s)sx(0 ) x(0 ) начальные условия
 

При нулевых начальных условиях (значениях переменных в мо-
мент t = 0 , уже существующих в системе) запись упрощается
–

x(n)(t)sn  X(s).

Дифференцированию оригинала соответствует умножение его
изображения на s в степени, равной порядку дифференцирования
(производной).
- Интегрирование оригинала
10