Table Of ContentMathematische
Olympiade-Aufgaben
mit Lfisungen
Herausgegebenvon
Prof. Dr.WolfgangEngel
Prof. Dr.UdoPirl
#74
Q i
Aulis Verlag Deubner & Co KG, Kiiln
Der Originaltiteldos vorliegenden Werkes in der DDR lautet:
"Aufgaben mit Lésungen aus Olympiaden JungerMathematikerdel' DD “,
Band 1 und Band 2. Im vorliegenden Band sind die beiden Bande zusammengefaflt
undentsprechenddenErfordemiaseninderBundesrepublikDeutschlandfiberarbeitet.
Best.-Nr.2018
© Volk und Wiesen Volkseigener Vex-lag Berlin/DDR 1975
Lizenzsusgabe ffirden AulisVerlagDeubner&Co KG, Kéln
l. ffirdenAulis Verlag Deubner85Co KG veranstaltete Auflage1979
Printedin the German Democratic Republic
ISBN 3-7614-0392-5
INHALTSVERZEICHNIS
Teil 1
Vorwort
Vorbemerkungen
Aufgaben
l. Arithmetik
2. Gleichungen
3. Ungleichungen
4. Funktionen, insbesonderetrigonometrische Funktionen
5. Logisch-kombinatorische Aufgaben
Lt'isungen 51
l. Arithmetik 52
2. Gleichungen
3. Ungleichungen 115
4. Funktionen, insbesondere trigonometrische Funktionen
5. Logisch-kombinatorische Aufgaben 159
Teil 2 (Geometric)
VorWort
Vorbetraohtungen
I. Einfache Grundrelationen
II. Geometrische Orter l4
III. Kongruenz; Vielecke 17
IV. Ahnlichkeitslehre; Kreis- und Kugelgeometrie 27
V. Polyeder; gekriimmte Fléchen 31
VI. Konstruktionen 35
Aufgaben 39
l. Geometrie in der Ebene 40
2. Geometrie im Raum
3. Geometrische Konstruktionen in der Ebene 59
Lésungen 63
l. Geometrie in der Ebene
2. Geometric im Baum 123
3. GeometriSche Konstruktionen in‘der Ebene 143
VORWORT
MathematischeWettbewerbe werdenschonseit mehreren Jahrenaufnationalerundin-
ternationaler Ebene durchgefiihrt. Aus der Erkenntnis heraus, daB heube auch ein um-
fassendes mathematisches Wissen zur Allgemeinbildung des Menschen gehért und die
AnwendungmathematischerVerfahrenundPrinzipieninderTechnik, derWissenschaft
undauchinderWirtschaft von zunehmenderBedeutung ist, werden dieWettbewerbe
indeneinzelnenLandernstaatlichoder(wiebeiunsderBundeswettbewerbMathematik)
von einer Stiftung geférdert.
Die Wettbewerbe verfolgen die Ziele:
- dazu beizutragen, daB sich die Schfiler innerhalb und auBerhalb des Untrerrichts ein
solides Wissen und Kénnen aufdem Gebiet der Mathematik aneignen;
— allenSchiilerndiewachsendeBedeutungderMathematikfiirdasLebenineinermoder-
nen Welt bewuBtzumachen; .
—- das Interesse und die Begeisterung fiir das Fach Mathematik zu weeken und zu ver-
tiefen, die mathematischen Kenntnisse der Schiiler zu erweitern, die Schiiler zu
mathematischem Denken zu erziehen und zur Lésung mathematischer Probleme zu
beféhigen;
é dazubeizutragen, spezielle Begabungen, InteressenundTalentezuentWickeln, damit
ihre Fiirderung erfolgen kann.
DervorliegendeBandenthélteinenFundusherrlicherproblemorientierterAufgaben,wie
mansiewohlnurseltenzusammengestelltfindet.DieAufgabenwarenzunéchstfiirSchii-
ler, némlich fiir die Teilnehmer der Mathematik-Olympiaden in der DDR gedacht. Ge-
rede deshalb ergibt sich der Zugang zur Lfisung vieler Aufgaben nicht aus einem ein-
geiibten Schema, also einem fertigen Kalkiil. Das Bemiihen um die Aufgaben soll viel-
mehrzudenAnffmgenmathematischenFragensundSuchenshinfiihren. Zum Lésender
Aufgaben wardeninsbesondere mathematische Phantasie und selbsténdiges Denken er-
forderlich sein, aber auch Za'ihigkeit, Wille und Fahigkeit zur Konzentration.
Die hier vorgelegten Olympiade-Aufgaben‘entstammen den Olympiaden und Vorolym-
piaden der DDR von 1960 bis 1968.
In der DDR Wird derWettbewerb in-vier Stufen durchgefiihrt:
1. Stufe: Schulolympiade (Olympiadeklassen 5 bis 12 bzw. 11.12)
2. Stufe: Kreisolympiade (Olympiadeklassen 5 bis 12 bzw. 11.12)
3. Stufe: Bezirksolympiade (Olympiadeklassen 7 bis 12 bzw. 11.12)
4. Stufe: DDR-Olympiade (Olympiadeklassen 10 bis 12 bzw. 11.12)
DieNumerierung der Olympiaden folgt dem nachstehenden Schliissel:
1. Vorolympiade 1960
2. Vorolympiade ~ 1961
1.01ympiade — 1961/62
2. Olympiade —— 1962/63
3. Olympiade — 1963/64
4. Olympiade -— 1964/65
5. Olympiade —- 1965/66
6. Olympiade — 1966/67
7. Olympiade — 1967/68
HinterjederAufgabeistangegeben, inwelcherOlympiadeundinwelcherStufedieent-
sprechende Aufgabe gestellt wurde. In (x/y/z) bedeutet x die x-te Olympiade (V060
bzw. V061 stehenfiirVorolympiade 1960bzw. 1961), ydie Olympiadeklasse (9, 10, 11,
12, 11.12) und 2 die Stufe.
WirlegendieseAufgabenunserenLesernvor,umihnenUbungsmaterialfiirdenBundes-
wettbewerb Mathematik in die Hand zu geben und ferner, um den Lehrern neuartige
undinteressante Aufgaben fiir ihren Unterricht, fiir die Verwendung in Arbeitsgemein-
schaften(Problemgmppen) oderauchzum Selbstvergniigen zurVerfiigungzu stellen.
Um das Werk preisgiinstig anbieten zu kfinnen, wurde darauf verzichtet, das Kapitel
GleichungenaufdiemoderneTerminologieumzuschreiben. Obnunx ——- 7als Lésungbe-
zeichnetwirdodernur7mitdemZusatz ,,7istLésungsmenge“,istschlieBlichkeinetief—
schiirfende mathematische Weisheit, sondern eher eine Absprache, die dem Benutzer
wohl keine Schwierigkeiten bereiten wird.
AULIS VERLAG DEUBNER & CO KG
VORBEMERKUNGEN
Bei den folgenden Bemerkungen handelt es sich um einige Festlegungen der im Text
verwendeten Terminologie; eswerden keine strengen Definitionen gegeben.
1. Die Redewendungen ,,heiBen“, ,,bedeuten“, ,,genannt werden“, ,,versteht man“
werden stets im Sinne von ,,genau dann, wenn ...“ verwendet.
Mit der Formulierung ,,Wenn das Gebilde g der Bedjngung B geniigt, so heiBt
eseinElement(191‘Menge9)?“ istgemeint: ,,gistdannundnurdannElementvon
93?, wennes der Bedingung B genii .“
,,0. B. d. A.“ ist die Abkfirzungfiir ,,ohne Beschrfinkung derAllgemeinheit“.
,,Notwendige Bedingung“ 11nd ,,hinreichende Bedjngung“ werden am Beispiel
derAufgabe A.2.8 erlfiutert.
Alla vorkommenden Zahlen sind, wenn nichts anderes gesagt wird, unter Ver-
Wendung des dekadischen Systems dargestellt bzw. darzustellen.
{anamaa} bezeichnet die Menge ans den Elementen a1, aa, aa. Es ist also
{(11,as:as} = {ana3, a1} = {“2»“1’“3} new. Femeri315 {an“1} = {a1}-
(a1,(1,)beieichnetdasgeordnetePaar, (a1,as, as)bezeichnetdasgeordneteTripel,
(a1,a3,ama‘) bezeichnet das geordnete Quadrupel ans den Elementen a1, a”
a3, a4. Es ist (a1,a,) = (b1, b2) dann und nur dann, wenn a1 = b1 and a, = b,
istusw.
Untereiner Lésung einergegebenen Gleichung oder einer Ungleiohung odereines
Systemsvon Gleichungen oder einesSystems vonUngleichungenmit zweiVaria-
blen (Unbekannten) x, y verstehtmanein geordnetes Zahlenpaar (x0, yo), dessen
Elemente beim Einsetzen in jede der gegebenen Gleichungen bzw. Ungleichun-
gen dieseerffillen. Entsprechendistjede Lésung' einer Gleichung mit dreiVariaa
blenein geordnetes Zahlentripelusw.
ZweiGleichungen (Ungleichungen) heiBen gleichwertigoderaquivalent, wenn bei
beiden Gleichungen (Ungleichungen) die Mengen ihrer simtlichen Lésungen die-
selben Mengen sind.
10. Der Satz ,,Jede natl’irliche Zahl n > 1 15.81: sich — bis auf die Reihenfolge der
Faktoren -— eindeutig als Produkt von Primzahlpotenzen schreiben“ wird hfiufig
benutzt, ohne daB besondersaufihnverwiesen wird.
11. Fiirgauze Zahlena, bbedeutet
_ alb: . aistTefler von b,
a,b teilerfi'emd: aand b haben dengréBten gemeinsamen Teiler l,‘
a ab (modn): nist Tefler vona — b.
12. Fiireinebeliebige Zahlmundeinenatfirliche Zahlla bedenten
k'={l’ fallllc=00derk=l,
' l-2-...-lc, fallsk>list,
l, fallslc=0,
(m) m, ‘ fallslc=1,
k mm—l)"'(m—k+l),fallslc>list.
k!
ARITHMETIK
A.‘l.1 Der ungarische Rechenkfinstler PATAKI berechnet das Produkt 95 - 97 auf
folgendeWeise:
(l) Eraddiert die Faktoren 95 + 97 = 192
(2) Erstreicht die erste Stelle der Summe 92
(3) ErbildetdieDifi'erenzaus 100unddemeinenFak-
torunddieDifi'erenzans100unddemanderenFak-
torundmultipliziertdieDifl'erenzen.Ergibtsichals
Produkt eine einstellige Zahl, so schreibt er eine
Null davor 3 - 5 = 15
(4) ErschreibtdasErgebnisvon(3)hinterdasErgebnis
von (2) underhfilt 9215.
Untersuchen Sie, ob dieses Verfahren ffir alle Faktoren zwischen 90 und
100giiltigist!
(4/9/2)*
DasProduktvonvierunmittelbaraufeinanderfolgendennatiirlichenZahlen
AC1.2
ist 110355024.
Wie lautendie Zahlen?
(3/9/3)
Unter der Zahl ,,n!“, gelesen ,,n Fakulti “, verstéht man dag Produkt
A.‘.3
l .2 - 3 - ... - (n — 1) -n allernatiirlichen Zahlenvon 1 bisn.
Soistz.B.4! = l ~2.3-4=24.
AufwievielNullen endet die Zahl ”50!“?
Begriinden Sic Ihre Antwort!
(V0 61/10/3)
" V31. mitdemHinweisimVorwort!
10
