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s.
Flugge
Mathematische
Methoden der Physik II
Geometrie und Algebra
Mit 19 Figuren
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York 1980
Professor Dr. Siegfried FIOgge
Fakultat fOr Physik, Universitat Freiburg i. Br.
Hermann-Herder-StraBe 3, 7800 Freiburg i. Br.
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Fliigge, Siegfried:
Mathematische Methoden der Physik / S. Flugge - Berlin, Heidelberg, New York:
Springer. 2. Geometrie und Algebra. - 1980.
ISBN-13: 978-3-540-10062-1 e-ISBN-13: 978-3-642-67640-6
001: 10.1007/978-3-642-67640-6
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© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1980
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Inhaltsverzeichnis
I. Elementare Vektor- und Tensoranalysis
§1. Einige Satze aus der Vektoralgebra 1
§2. Gradient, Divergenz und Rotation ...................................... 2
a) Gradient und Divergenz ............................................. 3
b) Rotation ........................................................... 5
c) Zweite Ableitungen ................................................. 7
d) Der Nabla-Formal i smus ..................... , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
e) Die Ableitungen von Produkten ...................................... 8
§3. Integralsatze ......................................................... 10
§4. Wirbel und Quellen .................................................... 12
§5. Vektorkomponenten in Kugelkoordinaten ................................. 16
a) Komponentenzerl egung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . 16
b) Der Ortsvektor r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
c) Berechnung vektorieller Ableitungen 20
§6. Elementare Theorie der Tensoren 22
a) Physikalische Motivierung ........ ........... ....................... 22
b) Transformationsei genschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
c) Tensorellipsoid ................................... ................. 25
d) Tensoren mit Symmetri en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
e) Tensorprodukte ..................................................... 29
Aufgaben 1-20 zu Kapitel I ................................................. 30
II. Riemannsche Geometrie
§1. Vektoralgebra, Transformationsformeln .... ............................. 47
§2. Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
§3. Vektoranalysis ........................................................ 55
§4. Integrabilitat und KrUmmungstensor .................................... 62
§5. Eigenschaften des metrischen Tensors und des KrUmmungstensors ......... 65
a) Der metri sche Tensor ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
b) Der KrUmmungstensor .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
VI
§6. Variationsprinzip ..................................................... 71
a) Homogenes Problem .................................................. 71
b) Inhomogenes Problem ................................................ 73
§7. Orthogonale Koordinatensysteme ......................................... 75
Aufgaben 1-23 zu Kapitel II ..•............................................ 77
III. Algebraische Hilfsmittel der Physik
§1. Grundbegriffe ......................................................... 103
a) Zahlenkorper und Ringe ............................................. 103
b) Beispiele fUr Korper und Ringe ..................................... 104
c) Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
§2. Endl iche Gruppen ...................................................... 108
a ) All gemei ne Satze .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
b) Darstellungen endlicher Gruppen .................................... 109
§3. Permutation dreier Objekte als Beispiel . ....... ....................... 111
a) Die abstrakte Gruppe ............................................... 111
b) Geometrische Realisierung der Gruppe . .............................. 113
c) Der Austausch von drei Teilchen .................................... 114
d) Darstellungen der Gruppe ........................................... 117
§4. Quaternionen und Spinoren 119
a) Quaternionen ....................................................... 119
b) Spi nortransforma tionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
c) Die Paul imatrizen .................................................. 125
§5. Spintheorie ........................................................... 128
a) Spinmatrizen hoherer Dimension ..................................... 128
b) Spinraume .......................................................... 131
§6. Verallgemeinerungen der Gruppe SU2 ................ .................... 136
a) Grundsatzl i che Betrachtungen ........................................ 136
b) Die dreidimensionale Darstellung der SU3 ................ ........... 139
c) Die vierdimensionale Darstellung der SU4 ........ ................... 142
§7. Hoherdimensionale Darstellungen der SU3 . ...................... ........ 148
a) Aufbau von Multipletts ............................................. 148
b) Bestimmung der Multi pl i zitat ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Aufgaben 1-11 zu Kapitel III .............................................. 157
Sachverzeichnis 171
I. Elementare Vektor- und Tensoranalysis
In diesem einfUhrenden Kapitel werden eine Anzahl oft wohlbekannter Satze zusammen
gestellt und bewiesen, wobei besonderes Augenmerk darauf gerichtet ist, die haufig
in der Physik auftretenden Transformationen auf andere als kartesische Koordinaten
vorzunehmen und gleichzeitig auf die allgemeine Riemannsche Geometrie hinzufUhren,
der das zweite Kapitel dieses Bandes gewidmet ist.
§1. Einige Satze aus der Vektoralgebra
Die einfachste und nicht erschopfende Definition des Vektors als gerichtete GroBe,
die nach drei zu einander senkrechten Richtungen x, y, z in Komponenten zerlegt
werden kann, erganzen wir hier durch die Definition, daB ein Vektor ~ aus drei
Komponenten ax' ay' az aufgebaut ist, die sich bei einer Drehung des Achsenkreuzes
wie diese Koordinaten selbst transformieren.
Wir setzen al s bekannt die Begriffe des skalaren (inneren) Produktes ~ • ~,
auch (~) oder (~ .~) geschrieben, und des vektoriellen (auBeren) Produktes a x b
voraus. Wir fUgen hinzu das gemischte oder Spatprodukt von drei Vektoren
(1 )
das gleich dem Volumen des von ihnen aufgespannten Parallelepipeds ist, wobei das
Vorzeichen durch die Reihenfolge der Faktoren gemaB
a-x-b=-b-x-a
festgelegt ist. DaB die in (1) angegebenen AusdrUcke und damit die Schreibweise
[~,~,~l gerechtfertigt ist, beweist man leicht in Komponentenzerlegung.
Auf dem gleichen Wege ist fur das doppelte Vektorprodukt der Entwicklungssatz
(2 )
leicht zu beweisen. FUr dies Produkt gilt die Jacobi'sche Identitat
(3 )
2 I~
die uns in allgemeinerem Zusammenhang bei den Liesehen Ringen in III§5b wieder
begegnen wi rd.
Aus (1) und (2) erhalt man ferner
[~x~, ~, ~l = c: • {~x (~x~)}
. - .
~ {~(~ .~) ~(~ ~)}
oder
(axb)·(exd) (~) (bd) - (ad) (be) (4)
Setzen wir hierin ~ = a und d b, so entsteht
was natUrl ieh aueh aus I ~ x ~I = a b sin11 und (~.~) = a b eosB mit a und b den
Betragen und 11 dem eingesehlossenen Winkel der beiden Vektoren sofort folgt.
Eine haufig auftretende Aufgabe ist die Komponentenzerlegung eines Vektors ~
naeh den Riehtungen dreier beliebiger, nieht komplanarer Vektoren ~, ~, c::
Beaehten wir, daB der Vektor ~ x ~ = I:! auf ~ und ~ senkreeht steht, daB also die
skalaren Produkte b • u und e • u versehwinden, so finden wir
oder
[~, ~, ~l
[~, ~, c:l
Analog lassen sieh ~ und v bereehnen. Das Ergebnis ist
[~,~,~l~+[~'~J~l~+[~,~,~l~
(5)
[~,~,~l
§2. Gradient, Divergenz und Rotation
Ein Vektorfeld ordnet jedem Punkt x,y,z des Raumes einen Vektor zu. Diese Vektoren
konnen auBerdem noeh von einem Parameter t abhangen. (In der Physik spielt oft
die Zeit diese Rolle.) In einem stetig von Ort zu Ort variierenden Feld existieren
dann die Differentialquotienten der drei Komponenten naeh den drei Koordinaten.
Ein skalares Feld ordnet jedem Punkt x,y,z eine Zahl ~(x,y,z) zu. Bei Stetig
keit existieren wiederum die drei Differentialquotienten a~/ax, a~/dy, a~/dz.
I§2 3
Es erhebt sich nun die Frage, ob und wieweit sich aus sol chen koordinatengebun
denen Ableitungen skalare oder vektorielle AusdrUcke durch Linearkombination auf
bauen lassen. Dies ist fUr die Physik von besonderem Interesse, weil sich im Auf
treten solcher Gebilde in den Naturgesetzen die Isotropie des Raumes auspragt. Der
Konstruktion solcher Gebilde ist dieser Paragraph gewidmet.
a) Gradient und Divergenz
Wir beginnen mit einer skalaren Funktion wobei wir die drei Koordinaten
~(x,y,z),
auch als die Komponenten des Ortsvektors r behandeln werden. Gehen wir von dem
Ort r zu einem Nachbarort r + dr, wobei der Verschiebungsvektor dr die Komponenten
dx, dy, dz hat, so andert sich der Funktionswert urn
d~ = ~ dx + ~ dy + 2.:E. dz (la)
ax ay az
was wir kurz als skalares Produkt
d~ = grad~ • dr (lb)
schreiben konnen, indem wir die drei Ableitungen von zu einem Vektor zu
~ grad~
sammenfassen. Da ein Skalar und dr ein Vektor ist, muB auch ein Vektor
d~ grad~
sein, wovon man sich auch durch sein Verhalten bei einer Drehung des Koordinaten
systems Uberzeugen kann.
Da in einer Flache = const das Differential = 0 ist, fUr eine Verschiebung
~ d~
in der Flache also verschwindet, muB nach (lb) der Gradient Uberall senkrecht auf
der Flache stehen. FUr ein dr, das senkrecht auf der Flache = const steht, also
~
die Richtung des Gradienten hat, gibt die GroBe Igrad~1 = d~/Idrl an, wie rasch sich
der mit dem Ort andert oder wie nahe sich zwei Nachbarflachen
Funktions~lert
~ = ~l und ~ = ~2 an verschiedenen Stellen kommen. Dies alles sind Eigenschaften,
wie sie in der Physik im Verhalten von Potential und Feldvektor auftreten,
~ grad~
oder wie sie auch zwischen Eikonal und Strahlvektor in der Optik bestehen.
~ grad~
Nun laBt sich noch eine zweite Definition des Gradienten geben, die keinen Ge
brauch von Koordinaten macht. Es sei namlich urn den Punkt rein kleines Volumen V
beliebiger Gestalt abgegrenzt, dessen Oberflachenelemente df als Vektoren in Richtung
der jeweils auBeren Normalen betrachtet werden. Dann gilt
t
grad~ = lim ~ df~ (2)
V....o
Es ist nicht schwer, die Aquivalenz der Definitionen aus (la,b) und (2) fUr ein
spezielles, parallel zu den Koordinatenachsen geschnittenes Volumen nachzuweisen,
jedoch muB auBerdem noch gezeigt werden, daB der Grenzwert (2) unabhangig von der
Gestalt des Volumens ist.
4 I§2
FUr einen infinitesimalen Quader mit zu den Achsen parallelen Kanten der Langen
~, n, ~ erhalten wir aus Gl.(2) zur x-Komponente des Gradienten nur Beitrage von
den beiden Oberflachen senkrecht zur x-Achse, deren GroBe ist. Dabei unterschei
n~
den sich die Argumente von auf den beiden Flachen nur in x urn und sind die
~ ~
gleichen in y und z, so daB wir bei BerUcksichtigung der Vorzeichen der auBeren
Normalen erhalten
gradx~ = lim tn1 f {~(x+~,y,z) - ~(x,y,z)}n~
~,n,~ ... O
was in der Tat die Ableitung wie in (1) ergibt. Entsprechendes gilt fUr die
a~/ax
beiden anderen Komponenten.
Wir unterdrUcken hier den Beweis fUr die Unabhangigkeit des Grenzwertes von der
Gestalt des Volumens und erweitern Gl.(2) sofort auf ein Vektorfeld ~, dessen Di
vergenz wir durch
div ~ = 1i m ~ ~ df • ~ (3)
V...o
definieren. FUhren wir das fUr unser infinitesimales Parallelepiped aus, so er
halten wir Beitrage von allen sechs Begrenzungsflachen, namlich
wobei nur die innerhalb jedes Paares verschiedenen Argumente angegeben sind.
FUhren \·/ir diesen GrenzUbergang aus, so finden wir eine einfache, aber koordinaten
abhangige Definition der Divergenz,
avx av av
div v = __ +~ +_z (4)
ax ay az
die freilich zum Unterschied von (3) nicht sofort erkennen laBt, daB div vein
Skalar ist.
Schreiben wir Gl. (3) ein wenig urn in
div ~ dV = ~ df . ~
fUr ein infinitesimales Volumen dV, lassen weitere infinitesimale Volumina daran
angrenzen und bilden die Summe, dann heben sich die Beitrage aller inneren Grenz
flachen heraus, und es gilt auch fUr ein endliches Volumen beliebiger Gestalt der
GaufJsahe Satz
fdVdiv~ ~df·~ ( 5)
I§2 5
Physikalisch bedeutet er. daB der FluB durch die Oberflache gleich der gesamten
Quellstarke in dem von ihr eingeschlossenen Volumen ist.
Analog zu (5) laBt sich aus (2)
f dV grad(j) ~ df(j) (5' )
ableiten, was freilich nicht die gleiche Bedeutung fUr die Physik hat wie der
GauBsche Satz.
b) Rotation
Bei einer Ortsveranderung urn d~ andert sich nach Gl.(lb) eine skalare Funktion (j)
urn d(j) = • grad(j). Integriert man solche Verschiebungen Uber einen geschlossenen
d~
Weg, so muB daher
~ d~ • grad(j) = 0 (6)
werden. Also gilt fUr jedes Vektorfeld das als Gradient eines Skalars (j) darge
~,
stellt werden kann,
'Jf. ds_ . v- = 0 •• vx -- aa(xj) ' vy -- aa(j) y' vz = 1a1z. . .
Eine solche Darstellung ist immer moglich, wenn der Vektor R mit den Komponenten
av av av av av av
Rx = --a-y1 - --a.z:L , Ry =_azx _ axz , Rz = -aLx - .-a2y$ . (7a)
verschwindet, weil bei Existenz eines sol chen Skalars
a2 av av
-a(xja)y- = --a.1x. . = --a-y2 oder Rz = 0
usw. wird. Der Vektor R heiBt die Rotation (engl.: curl) des Vektorfeldes ~,
R- = rot v- (7b)
Als Nebenresultat notieren wir die Identitat
rot grad(j) = 0 (8)
NatUrlich gibt es auch Vektorfelder ~, fUr die rot ~ nicht verschwindet, fUr
die also auch nicht mehr ~ d~ • ~ = 0 ist. In diesem Fall laBt sich das Umlaufin
tegral in ein Integral Uber die umlaufene Flache umformen:
~ d~ • ~ = f df • rot ~ (9)
Dies ist der Stokessahe Satz, den wir nun beweisen wollen.
Wir beginnen damit, ihn fUr ein Rechteck zu beweisen, indem wir das Koordinaten
kreuz so legen, daB es durch O~x~a. O~y~b, z = 0 beschrieben wird. Dann er
gibt partielle Integration
