Table Of ContentMathematische Grundlagen
der Quantenmechanik
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John von Neumann
Mathematische
Grundlagen der
Quantenmechanik
Mit einem Geleitwort von Rudolf Haag
Zweite Auflage
Springer
John v. Neumannt
Die erste Auf/age erschien 1968, als Reprint der Erstausgabe von 1932, in der Reihe
Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 38
Die Fotovorlage fur die Abbildung auf der Einbandvorderseite wurde dem Band
.. John von Neumann" von N. Macrae mit freundlicher Genehmigung des Autors und
des Birkhiiuser Verlags entnommen
Mathematics Subject Classification (1991): 47-02, 46xx, 81-02
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Neumann. Johann von:
Mathematische Gl1lndlagen der Quantenmechanik I von Johann
v. Neumann. - [Nachdr. der Ausg.) Berlin. Springer. 1932. _
Berlin; Heidelberg; New York: Springer. 1996
(Grundlehren der mathematischen Wissensch.ften ; Bd. 38)
NE:GT
ISBN-13: 978-3-642-64828-1 e-ISBN: 978-3-642-61409-5
DOl: 10.1007/978-3-642-61409-5
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bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes.
@Springer-VerlagBerlinHeideibergI932, 1968,1996
Softcover reprint of the hardcover I st edition 1996
Umsch1aggestaltung: Design Concept Emil Smejkal, Heidelberg
SPIN: 10495655 44/3143 - 5 4 3 2 1 0 -Gedruckt auf saurefreiem Papier
Geleitwort
J. v. Neumanns Buch "Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik" ist ein
Klassiker. Es hat die Sprache der Quantentheoretiker in der zweiten Hiilfte unse
res Jahrhunderts so stark gepragt, daB, wenn heute von der "Kopenhagener Inter
pretation" der Quantenmechanik gesprochen wird, oft weniger die Schriften von
Niels Bohr gemeint sind als das Buch'von J. v. Neumann. Die elegante Theorie der
statistischen Ensembles v. Neumanns hat vielfach die Betrachtung des Einzelfalls,
die Bohr am Herzen lag, aus dem Gesichtskreis verdrangt.
Klassiker gehoren in jeden Biicherschrank, auch wenn sie weniger haufig zur
Hand genommen werden als neue Kriminalromane oder Fachbiicher. Daher ist es
erfreulich, daB durch diesen Nachdruck das Buch wieder jedem leicht zuganglich
wird.
Wie steht es aber mit der Aktualitat? Ais Student war ich fasziniert von der Ge
dankenscharfe mit der v. Neumann knapp und klar auf 250 Seiten den gewaltigen
Bogen darstellen konnte, angefangen von der Mathematik des Hilbert-Raums
und ihrem Bezug zu den Aussagen der Quantenmechanik, iiber Entropie und sta
tistische Mechanik bis zur Formalisierung des MeBprozesses. Man wird heute
manches kritischer sehen, vielleicht lacheln iiber v. Neumann Beweis der Nicht
existenz von Diracs o-Funktion; man hat seinen Bewcis der Unmoglichkeit von
verborgenen Parametern als dumm bezeichnet. Man sollte dabei aber nicht iiber
sehen, daB beides im Kontext bedeutender origineller Leistungen v. Neumanns
stand. 1m ersten Fall ist es die Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren, im
zweiten betrifft es die Erkenntnis, daB (im Rahmen der iiblichen Quantenmecha
nik) die gemischten Zustande durch Dichtematrizen beschrieben werden und
daB diese keinen Simplex bilden.
Das Buch war fUr mich eines der entscheidendsten Lehrbiicher. Diese Funkti
on wird es heute nicht mehr ausfiillen. Es bleibt aber dkFaszination eines gro
Ben Wurfs und groBen Ideenreichtums.
Rudolf Haag
DEM ANDENKEN MEINES VATERS
GEWIDMET
Inhaltsverzeichnis.
Einleitung. . . . . . . . . • . . . • . . . . . 1
I. Einleitende Betrachtungen . . . . . . . . . . 4
1. Die Entstehung der Transformationstheorie 4
2. Die urspriinglichen Formulierungen der Quantenmechanik 5
3. Gleichwertigkeit der zwei Theorien: Die Transformationstheorie. 10
4. Gleichwertigkeit der zwei Theorien: Der Hilbertsche Raum. 15
II. Allgemeines tiber den abstrakten Hilbertschen Raum 18
1. Charakterisierung des Hilbertschen Raumes . 18
2. Geometrie des Hilbertschen Raumes . . 24
3. Exkurs tiber die Bedingungen A.-E. . . 31
4. Abgeschlossene Linearmannigfaltigkeiten 38
5. Operatoren im Hilbertschen Raume 46
6. Das Eigenwertproblem . . . . . . . 53
7. Fortsetzung . . . . . . . . . . . . 56
8. Orientierende Betrachtungen tiber das Eigenwertproblem. 62
9. Exkurs tiber die Eindeutigkeit und Losbarkeit des Eigenwert-
problems . . . . . . 75
10. Vertauschbare Operatoren. . 88
n.
Die Spur . . . . . . . . . 93
III. Die quantenmechanische Statistik 101
1. Die statistischen Aussagen der Quantenmechanik 101
2. Die statistische Deutung . . . . . . . . . 107
3. Gleichzeitige MeBbarkeit und MeBbarkeit im allgemeinen 110
4. U nbestimmtheitsrelationen. . . . . . . 121
5. Die Projektionsoperatoren als Aussagen. 130
6. Lichttheorie . . . . . . . . . . . . . 135
IV. Deduktiver Aufbau der Theorie . . . . . . 157
1. Prinzipielle Begrtindung der statistischen Theoric 157
2. Beweis der statistischen Formeln 167
3. Folgerungen aus Experimenten 173
V. Allgemeine Betrachtungen. . . . . . 184
1. Messung und Reversibilita.t . . . 184
2. Thermodynamische Betrachtungen 191
3. Reversibilita.ts- und Gleichgewichtsfragen . 202
4. Die makroskopische Messung 212
VI. Der MeBprozeB. . . . . . . . 222
1. Formulierung des Problems • 222
2. Zusammengesetzte Systeme . 225
3. Diskussion des MeBprozesses 233
Anmerkungen . • . . . . . . . • . 238
Einleitung.
Der Gegenstand dieses Buches ist die einheitliche, und, soweit als
moglich und angebracht, mathematisch einwandfreie Darstellung der
neuen Quantenmechanik, die im Laufe der letzten Jahre eine in ihren
wesentlichen Teilen voraussichtlich definitive Form gewonnen hat: die
sog. "Transformationstheorie". Dabei solI das Hauptgewicht auf die
allgemeinen und prinzipiellen Fragen, die im Zusammenhange mit
dieser Theorie entstanden sind, gelegt werden. Insbesondere sol1en die
schwierigen und vielfach noch immer nicht restlos geklarten Inter
pretationsfragen naher untersucht werden. Besonders das Verhaltnis
der Quantenmechanik zur Statistik und zur klassischen statistischen
Mechanik ist hierbei von Bedeutung. Von der Erorterung der An
wendungen der quantenmechanischen Methoden auf Einzelprobleme
sowie einer Darlegung der einzelnen spezielleren, von der allgemeinen
Theorie abgezweigten Theorien werden wir dagegen in der Regel ab
sehen - wenigstens soweit dies ohne Gefahr fUr das Verstandnis der
allgemeinen Zusammenhange moglich ist. Dies erscheint urn so mehr
geboten, als iiber diese Dinge mehrere ausgezeichnete Darstellungen
existieren bzw. im Erscheinen sindl.
Andererseits wird eine Darstellung der fUr die Zwecke dieser Theorie
notwendigen mathematischen Hilfsmittel gegeben, d. h. eine Theorie
des Hilbertschen Raumes und der sag. Hermiteschen Operatoren des
selben. Dabei ist ein genaues Eingehen auch auf unbeschrankte Opera
toren not wen dig, d. h. eine Erweiterung der Theorie iiber ihren klas
sischen (von HILBERT und E. HELLINGER, F. RIEsz, E. SCHMIDT,
O. TOEPLITZ geschaffenen) Umfang hinaus. Zur Methodik dieser Be
handlungsweise sei Folgendes gesagt: es solI in der Regel mit den Ope
ratoren selbst (die physikalische GroBen reprasentieren) gerechnet
werden, und nicht mit den Matrizen, welche erst nach EinfUhrung
eines (speziellen und willkiirlichen) Koordinatensystems im Hilbert
schen Raume aus ihnen entstehen. Diese "koordinatenfreie", d. h. in
variante, und stark geometrisch orientierte Behandlungsweise ist mit
betrachtlichen formalen Vorteilen verbunden.
Eine an Kiirze und Eleganz kaum zu iiberbietende Darstellung der
Quantenmechanik, die ebenfalls von invariantem Charakter ist, hat
DIRAC in mehreren Abhandlungen sowie in seinem kiirzlich erschie-
2 Einleitung.
nenen Buche gegeben2• Daher ist es vielleicht angebracht, fUr unsere,
von der genannten wesentlich abweichende, Methodik hier einige Ar
gumente beizubringen.
Die erwahnte, infolge ihrer Durchsichtigkeit und Eleganz heute in
einen groBen Teil der quantenmechanischen Literatur iibergegangene
Methodik von DIRAC wird den Anforderungen der mathematischen
Strenge in keiner Weise gerecht - auch dann nicht, wenn diese natiir
licher- und billigerweise auf das sonst in der theoretischen Physik
iibliche MaB reduziert werden. So wird z. B. konsequent an der Fiktion
festgehalten, daB jeder selbstadjungierte Operator auf die Diagonal
form gebracht werden kann, was bei denjenigen Operatoren, fUr die
dies tatsachlich nicht der Fall ist, das EinfUhren "uneigentlicher"
Funktionen mit selbstwidersprechenden Eigenschaften notwendig macht.
Ein solches Einschalten mathematischer "Fiktionen" ist u. U. selbst
dann unvermeidlich, wenn es sich nur darum handelt, das Resultat
eines anschaulich definierten Versuches numerisch zu berechnen. Dies
ware kein Einwand, wenn diese in den heutigen Rahmen der Analysis
nicht passenden Begriffsbildungen fiir die neue physikalische Theorie
wirklich wesentlich waren. So wie die N ewtonsche Mechanik zunachst
das Entstehen des in seiner damaligen Form zweifellos selbstwider
sprechenden Infinitesimalkalkiils mit veranlaBte, wiirde die Quanten
mechanik einen Neuaufbau unserer "Analysis der unendlich vielen
Variablen" nahelegen - d. h. der mathematische Apparat miiBte ge
andert werden, und nicht die physikalische Theorie. Das ist aber keines
wegs der Fall, es solI vielmehr gezeigt werden, daB die Transformations
theorie auf eine ebenso klare und einheitliche Weise auch mathematisch
einwandfrei begriindet werden kann. Dabei ist zu betonen, daB der
korrekte Aufbau nicht etwa aus einer mathematischen Prazisierung
und Explizierung der Diracschen Methode besteht, sondern daB er ein
von vornherein abweichendes Vorgehen notig macht, namlich das An
lehnen an die Hilbertsche Spektraltheorie der Operatoren.
Bei der Analyse der prinzipiellen Fragen wird insbesondere gezeigt
werden, wie die statistischen Formeln der Quanteninechanik aus einigen
qualitativen Grundannahmen hergeleitet werden konnen. Ferner wird
die Frage ausfUhrlich diskutiert, ob es moglich ist, den statistischen
Charakter der Quantenmechanik auf eine Mehrdeutigkeit (d. h. Unvoll
standigkeit) unserer Naturbeschreibung zuriickzufiihren: diese Er
klarung entsprache ja am besten dem allgemeinen Prinzip, wonach jede
Wahrscheinlichkeitsaussage aus der Unvollstandigkeit unserer Kennt
nisse entsteht. Diese Erklarung "durch verborgene Parameter" sowie
eine andere, damit verwandte, die die "verborgenen Parameter" dem
Beobachter und nicht dem beobachteten System zuschreibt, ist auch
mehrfach vorgeschlagen worden. Indessen zeigt es sieh, daB dies kaum
in befriedigender Weise gelingen kann, genauer: eine solche Erklarung
Einleitung. 3
ist mit gewissen qualitativen Grundpostulaten der Quantenmechanik
unvereinbar3•
Das Verhaltnis dieser Statistik zur Thermodynamik wird auch be
trachtet. Eine nahere Untersuchung zeigt, daB die aus der klassischen
Mechanik wohlbekannten Schwierigkeiten, die mit den zur Begriindung
der Thermodynamik erforderlichen "Unordnungsannahmen" zusammen
hangen, hier behoben werden konnen4•
