Table Of ContentGert Kadunz · Günther Ossimitz
Werner Peschek · Edith Schneider
Bernard Winkelmann
Mathematische
Bildung und neue
Technologien
Vorträge beim 8. Internationalen Symposium
zur Didaktik der Mathematik, Universität
Klagenfurt, 28.9.-2.10.1998
Klagen!urter:Beiträge
zur Didaktik der Mathematik
Mathelllatische Bildung
und neue Technologien
Vorträge beim
8. Internationalen Symposium zur Didaktik
der Mathematik
Universität Klagenfurt, 28. 9. - 2.10.1998
Herausgegeben von
Dr. Gert Kadunz, Dr. Günther Ossimitz, Dr. Werner Peschek,
Dr. Edith Schneider
Universität Klagenfurt
und Dr. Bernard Winkelmann
Universität Bielefeld
EI3
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1999
Folgende Institutionen haben durch ihre Unterstützung die Durchführung
des Symposiums bzw. die Herausgabe des Tagungsbandes ennöglicht:
Bundesministerium für Unterricht und kulturelle Angelegenheiten
Stadt Klagenfurt
Universität Klagenfurt
Forschungskommision der Universität Klagenfurt
Fakultät für Wirtschaftswissenschaften und Infonnatik an der Universität Klagen
furt
Kärntner Universitätsbund
Texas Instruments, Wien
Creditanstalt, Klagenfurt
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Mathematische Bildung und neue Technologien : Vorträge beim 8.
Internationalen Symposium zur Didaktik der Mathematik, Universität
KJagenfurt, 28.9.-2.10.19981 G. Kadunz ... (Hrsg.) - Stuttgart;
Leipzig: Teubner, 1999
(Klagenfurter Beiträge zur Didaktik der Mathematik)
ISBN 978-3-519-02122-3 ISBN 978-3-322-90149-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-90149-1
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb
der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und
strafbar. Das gilt besonders fiir Vervielfältigungen, Übersetzungen, MikroverfiImungen und die Ein
speicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
© 1999 Springer Fachmedien Wiesbaden
Urspriinglich erschienen bei B.G. Teubner Stuttgart. Leipzig in 1999.
Einband: Peter Pfitz, Stuttgart
Vorwort der Herausgeber/innen
In den letzten zehn Jahren wurden rund um den Computer technologische
Möglichkeiten entwickelt, verfügbar gemacht und verbreitet, die großen Einfluss auf
die traditionellen Lernumgebungen mathematischer Ausbildung haben oder haben
könnten und eine entsprechend zentrale Rolle in dei- didaktischen Diskussion
einnehmen.
Während einfache oder auch programmierbare Taschenrechner noch vorrangig als
ein Werkzeug gesehen werden konnten, die mathematische Ausbildung vom Drill
arithmetischer Operationen zu entlasten, im Übrigen aber wenig Einfluss auf globale
Ziele und Inhalte einer weiterführenden mathematischen Ausbildung nahmen, stellen
vor allem Computeralgebrasysteme, aber auch Tabellenkalkulationen, Geometrie
und Statistiksoftware u. Ä. bereits wesentliche Teile der traditionellen mathema
tischen Ausbildung in der Sekundarstufe in ihren Zielen, Inhalten, Methoden und
Sozialformen sehr radikal in Frage. Weitgehend unangetastet bleibt dabei lediglich
die durch Lehrplan, Lehrbuch, Lehrer bzw. Lehrerin sowie Klassenverband deter
minierte gewohnte Lernumgebung - auch wenn sich gewisse ,,Aufweichungen" hin
sichtlich Lehrplaninterpretation, Lehrer/innenzentriertheit, Arbeitsunterlagen und
unterrichtlicher Sozialformen zeigen.
Interaktive Hypermedia-Lernumgebungen auf CD-ROM oder im Internet scheinen
nun aber auch diese letzten Bastionen staatlicher Bildungsinstitutionen anzugreifen:
Nicht nur, dass Lehrer/innen und Lehrbücher ihr Monopol als Wissensquelle und
höchste fachliche Autorität verlieren, es wird ihnen durch preisgünstige CD-ROMs
oder gar frei zugängliche Internet-Angebote offenbar auch noch die Aufgabe
entzogen, ihren Schülern und Schülerinnen ansprechende Lernumgebungen anzu
bieten, in denen sich ein angemessener und verständnisvoller Umgang mit
Mathematik entwickeln kann. Nicht selten wird dabei in einer breiten Öffentlichkeit
unterstellt, dass entsprechende Softwareprodukte dieser Aufgabe ohnehin weit
besser gerecht werden (können) als jeder Lehrer und jede Lehrerin und dass jene
Mathematik, die man bisher so mühsam und quälend erlernen musste, durch diese
neuen Technologien sehr vergnüglich und spielerisch einfach zugänglich wurde.
Die Abteilung für Didaktik der Mathematik an der Universität Klagenfurt beschäftigt
sich seit einigen Jahren schwerpunktmäßig und aus verschiedenen Blickrichtungen
mit didaktischen Fragen rund um den Einsatz neuer Technologien in der
mathematischen Ausbildung. So wurden u. a. Projekte zum Einsatz von Computer
algebrasystemen in der universitären und in der schulischen Mathematikausbildung
durchgeführt, ein Softwarepaket im Bereich der dynamischen Geometrie entwickelt
und in der Unterrichtspraxis erprobt, didaktische Analysen und Entwicklungsarbeiten
zur computerunterstützten Systemdynamik geleistet und didaktische Untersuchungen
zu Interaktiven Hypermedia-Lernangeboten zur Mathematik durchgeführt.
Das 8. Internationale Symposium zur Didaktik der Mathematik mit dem Thema
,,Mathematische Bildung und neue Technologien" diente vor allem dazu, den inter
nationalen Erfahrungsaustausch und die Weiterführung der didaktisch-wissenschaft
lichen Diskussion in diesem Bereich zu unterstützen und zu fördern. Dabei war es
uns ein besonderes Anliegen, dass die Diskussion nicht - wie so oft - auf techno
logische und mediendidaktische Aspekte verengt wird, sondern die Frage der mathe
matischen Bildung im technologischen Zeitalter in ihrer ganzen Komplexität gesehen
und in möglichst vielen ihrer Dimensionen aufgegriffen wird. Diesem Anliegen
entsprechend wurden die eingeladenen Hauptvorträge ausgewählt.
Im vorliegenden Tagungsband wurden alle Hauptvorträge aufgenommen, unter den
Sektionsvorträgen wurde eine Auswahl getroffen, die u. E. einen guten Einblick in
das wissenschaftliche Programm der Tagung vermittelt.
Abschließend sei all jenen sehr herzlich gedankt, die wesentlichen Anteil am
Gelingen der Tagung und am Zustandekommen des Tagungsbandes hatten:
Den Teilnehmerinnen und Teilnehmern der Tagung, den Sponsoren, der Leiterin des
Tagungsbüros, Frau Susanne Rauchenwald, und ihrer Mitarbeiterin, Frau Nadja
Samonig, sowie dem Verlag B. G. TEUBNER, Stuttgart.
Klagenfurt, Oktober 1998 Die Herausgeber/innen:
Gert Kadunz Edith Schneider
Günther Ossimitz Bernard Winkelmann
Werner Peschek
-4-
Inhaltsverzeichnis
Antonitsch Peter K.:
CAS im Mathematikunterricht -eine Chance für die
Elementargeometrie ..................... ............................................................ 9
Aspetsberger Klaus:
Der Einsatz von computeralgebra-tauglichen Taschenrechnern im
Mathematikunterricht -Ein Erfahrungsbericht .......................................... 17
Bamerßoi Ludwig/Riedmüller Bruno:
Staatsexamen und Computeralgebrasysteme .... .... ...... ... .... ....... ....... ..... ..... 25
Bender Peter:
Mathematik-didaktische Paradigmen und Computer -unter
besonderer Berücksichtigung der Geometrie.............................................. 33
Bruder Regina:
Modellierung eines mathematischen Curriculums ...................................... 53
Elschenbroich Hans-Jürgen:
Anschaulich(er) Beweisen mit dem Computer? ......................................... 61
Embacher Franz:
Multimedia-Didaktik und spontanes Verstehen... ........... ............................ 69
Engel Joachim:
Computer und Erzü~hung zur Datenkompetenz ......................... ..... ...... .... 77
Fischer Roland:
Technologie, Mathematik und Bewußtsein der Gesellschaft .... ...... ..... ...... 85
Fraunholz Wolfg ang:
Interaktive Visualisierung zur Unterstützung der Begriffsbildung
in der Analysis ......................................................................................... 103
Fritzlar Torsten:
Computergestützte Modellierung unterrichtlicher Entscheidungs
situationen als möglicher Beitrag zur Sensibilisierung für
die Komplexität von Mathematikunterricht .............................................. 111
Hennecke Martin:
Computergestützte Fehlerdiagnose
Voraussetzungen, Einschätzungen und Perspektiven................................ 119
Heugl Helmut:
Computeralgebrasysteme -das gelobte Land des
Mathematikunterrichts? .......................................................................... 127
Heymann Hans Werner:
Was ist eine zeitgemäße mathematische Allgemeinbildung? ..................... 147
Kadunz Gert:
Visualisieren als Bildungsziel des Mathematikunterrichtes ..... ................. 167
Kautschitsch Hermann:
Reaktivierung funktionalen Denkens durch computerunterstützte
experimentelle Mathematik ..................................................................... 175
Kokol-Voljc VIasta:
Integralrechnung - welche Änderungen bringt der Einsatz von
symbolischen Taschenrechnern im traditionellen Unterricht ..................... 183
Kreutzkamp TheolWolpers Hans:
Neue Konzepte zur Gestaltung von Lernsoftware ................................... 191
Laborde Colette:
Probleme und Potentiale dynamischer Computer-Darstellungen beim
Lehren und Lernen von Geometrie ......................................................... 199
Maaß ]ürgen:
Neue Technologie -neuer Mathematikunterricht? .................................. 219
Mittermeir Roland:
Mathematik und Informatik
Halbbrüder oder Geschwister unterschiedlichen Geschlechts ..... ........ ..... 227
Oberhuemer Petra:
mathe onIine ...... .................................................................................... 239
Ossimitz Günther:
Internet-Ressourcen in einem technologisch orientierten
Mathematikunterricht .................................... _. ....... . . .. . .. .... ... .......... . ... .. . 247
Ouo Marcus:
Schreiben und Programmieren in der Mathematiklehrerausbildung ..... .... 255
Peschek Werner:
Mathematische Bildung meint auch Verzicht auf Wissen........................ 263
Reichel Hans-Christian:
Fundamentale Ideen der Angewandten Mathematik und Einsatz
moderner Techniken im Mathematikunterricht -Differenzen-
gleichungen als Beispiel......................................................................... 271
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Schlöglmann Wolfg ang:
Zum Verhältnis von Mathematik und Neue Technologien ........................ 279
Schneider Edith:
Mathematische Bildung trotz des und mit dem TI-92 .............................. 287
Schwarze M onika:
Geometrie lehren und lernen mit neuen Medien und Technologien .......... 295
Senveter Stanislav:
Zur Integralrechnung -Änderungen gegenüber dem traditionellen
Unterricht .............................................................................................. 303
Skarke PeterlKönig Elisabeth:
Veränderungen im Mathematikunterricht durch den Einsatz des TI -92 ... 311
Tall David:
The Chasm between Thought Experiment and Formal Proof .................. 319
Vancso Ödön:
Eine Wende im MU in Ungarn .............................................................. 345
Wilding Hans:
Interaktive Lernumgebungen im Unterricht
Das Lernsystem Math School Help 98 ..... ....... ..... ......... ....... ........ ......... 353
Winkelmann Bemard:
Wie kann Multimedia das Lernen von Mathematik allgemeinbildend
unterstützen? ........................................................................................ 361
Wumig Dtto:
Bringt der Einsatz von DERIVE (PCrrI92) neue Impulse für einen
allgemeinbildenden M;l.thernatikunterricht? ..... ......... ..... ............. ...... ... ... 381
Verzeichnis der Autoren/innen .................................................................... 389
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Peter K. Antonitsch, Klagenfurt (Österreich)
CAS im Mathematikunterricht -
eine Chance für die Elementargeometrie
1) Einleitung
Durch die Verfügbarkeit leistWlgsfähiger Computeralgebra-Systeme rückt in der
SekWldarstufe lI-zu recht - das Modellieren komplexer Systeme in das Zentrum
Wlterrichtsplanenden Interesses. Andere, für die mathematische AllgemeinbildWlg
ebenso wichtige Bereiche laufen dabei Gefahr, vernachlässigt zu werden. Dies gilt
insbesondere für die Elementargeometrie.
Anhand selbst geschriebener (DERIVE-)Programmodule soll verdeutlicht werden,
wie mit Computereinsatz Wlter AnwendWlgen analytischer Methoden
elementargeometrische ProblemstellWlgen zur Wlterrichtspraktischen Konkretisie
roog curricularer Forderoogen wie »Überprüfen von VermutWlgen«, »Verall
gemeinern Wld Spezialisieren«, »Wechsel von DarstellWlgsformen« oder gar
»Anwenden von Mathematik« beitragen können.
2) Programmodule für die Analytische Geometrie?
Wesentliche Reste elementargeometrischer Sachverhalte sind in den derz~it
gültigen österreichischen Lehrplänen für die Oberstufe der ARS dem Bereich
»Analytische Geometrie« Wltergeordnet und dienen als AnwendWlgsgebiet der
Vektorrechnung. Die Unterrichtserfahrung zeigt, daß Schüler - angesichts des
Wustes an Formeln - dabei vielfach die eigentliche geometrische Problemstellung
aus den Augen verlieren und lediglich nach »Schlüsselwörtern« suchen, die die
Auswahl des passenden Rechenschemas aus einem auswendig gelernten
Repertoire von Verfahren der Analytischen Geometrie nahelegen. Der üblicher
weise intendierte Zugang, den geometrischen Sachverhalt ZWlächst durch eine
Konstruktion zu erschließen und den »Algorithmus« als rechnerische Umsetzung
dieser Konstruktion zu entwickeln, findet angesichts der Konzentration auf das
Rechnerische selten statt.
Bei Verwendung von geeigneten CAS-Modulen tritt der Aspekt des Rechnens
jedoch in den Hintergrund, sodaß dem geometrisch-graphischen Gehalt in einem
dreistufigen Wechsel von Darstellungsformen mehr Aufmerksamkeit geschenkt
werden kann:
1. Stufe: »Übersetzen« der Problemstellung in ein Bild durch Konstruktion mit
Zirkel und Lineal;
2. Stufe: »Übersetzen« der Konstruktion in einen Algorithmus, der mit Hilfe des
CAS abgearbeitet wird;
3. Stufe: »Übersetzen« der Rechenergebnisse in eine (Computer-) Graphik (mit
Hilfe der Graphikfähigkeiten des CAS).
Da in diesem Fall die Programmodule entsprechend einer Variante der in [Kutzier,
1995] bzw. [Heugl et al., 1996] beschriebenen »Gerüstdidaktik« als »black boxes«
verwendet werden, müssen sich selbstverständlich Unterrichtsphasen, in denen
das Erforschen geometrischer Beziehungen mit dem CAS im Vordergrund steht,
mit solchen, in denen die verwendeten Formeln durch geometrische Überlegungen
gefunden werden, abwechseln.
Das hier vorgestellte DERNE-Programmpaket zerfällt in drei modular auf
einander aufbauende und erweiterbare Dateien: »PKT_V EKT.MTH« (Routinen
für Punkte und Vektoren), »GERADEBE.MTH« (Routinen für Geraden und
Ebenen) und' »KEGELSCH.MTH« (Routinen für Kegelschnitte), wobei die
Namen der einzelnen Routinen dem Grundvokabular, das Schüler aus der
Einilihrung in die Denk- und Arbeitsweise der Analytischen Geometrie
kennenlernen, weitestgehend angeglichen sind (z.B. »Normalvektor2D«,
»Strecke_abtragen_ von« oder »Gerade_Anstieg«; eine vollständige Liste der Rou
tinen findet sich in [Antonitsch, 1997]). Dadurch wird die enge Beziehung zwi
schen Rechnung und geometrischer Konstruktion unterstrichen und die Erweite
rung des Pakets um komplexere Routinen erleichtert. Beispielsweise kann eine
(fächerübergreifend zur Informatik) von Schülern »programmierte« Datei
»DREIECK.MTH« Vereinbarungen folgender Art enthalten (kursiv gesetzte Rou
tinen sind in den oben angeführten »Basisdateien« vordefmiert):
Höhenlinie(pt1,pt2,pt3):=Gerade_xy(
pt1,Normalvektor2D( Verbindungsvekto,"-von(pt2,pt3»)
Streckensymmetrale(pt1,pt2):=Gerade_xy(
Mittelpunkt(pt1,pt2),Normalvektor2D( Verbindungsvektor..,;. von(pt1,pt2»)
Höhenschnittpunkt(pt1,pt2,pt3):=Gerade_Schnitt(
Höhenlinie(pt1,pt2,pt3),Höhenlinie(pt2,pt3,pt1 ))
Umkreismittelpunkt(pt1,pt2,pt3):=Gerade_Schnitt(
Streckensymmetrale(pt1,pt2),Streckensymmetrale(pt2,pt3))
Werden die grundlegenden Konzepte der (Analytischen) Geometrie verstanden,
reduziert sich derartiges »Neuprogrammieren« auf die Umformulierung der Kon
struktionen gemäß der DERIVE-Syntax«, sodaß auch hier geometrisches Denken
im Vordergrund steht. Die Benennung der Grundroutinen gibt Anlaß zur
(geometrischen) Reflexion und soll auch als Beitrag zur Diskussion über Sprache
im Mathematikunterricht verstanden werden (vgl. [Karner/Schweitzer, 1996] und
besonders (Monnerjahn, 1997]).
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