Table Of ContentFORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Herausgegeben
im Auftrage des Ministerpräsidenten Dr. Franz Meyers
von Staatssekretär Professor Dr. h. c. Dr. E. h. Leo Brandt
DK 65.012.122:658.286.2
658.286.2.012.122
622.6:65.012.122
632.6: 004.17
Nr.1052
Prof. Dr.-Ing. Joseph Mathieu
Dr. rer. nat. Konstantin Behnert
Dipl.-Ing. Johann Heinrich Jung
Forschungsinstitut für Rationalisierung
an der Rhein.-Westf. Technischen Hochschule Aachen
Mathematisch-organisatorische Studie zur Planung der
Kapazität von Betriebsanlagen
(bearbeitet am Beispiel einer Förderanlage unter Tage)
Als Manuskript gedruckt
WESTDEUTSCHER VERLAG I KOLN UND OPLADEN
1961
ISBN 978-3-663-03718-7 ISBN 978-3-663-04907-4 (eBook)
DOI 10.0107/978-3-663-04907-4
1. Gliederung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s.
Vorwort • • • 5
s.
1. Einführung 1
· . . . . . . . . . . . . . s.
1.1 Problemstellung 1
· . . . . s.
1.2 Mathematische Formulierung. 10
. . .
1.21 Die Ladekurven s. 10
s.
1.22 Formulierung der Aufgabe 11
1.23 Vorbemerkungen ••••• s: 12
1.24 Der Gesamtwagenbedarf einer vorgegebenen Fahr-
s.
ordnung • • • • • • • 14
2. Graphische Ermittlung des Wagenbedarfs • s. 16
2.1 Voraussetzungen s. 16
. . . . . .
3. Polygonmethode · · s. 18
3.1 Prinzip . · .. . · . . . . s. 19
.
3.2 Berechnung des Ziels für die erste Fahrt S. 20
3.3 Berechnung des Ziels für die j-te Fahrt S. 21
. . .
4. Numerische Lösung • • • • • • • • • • S. 23
4.1 Das freie Intervall ••••••••• S. 23
4.2 Abstimmung zweier benachbarter Fahrten. S. 25
4.3 Der minimale Wagenbestand • • • • • • • • • • • • • • S. 26
4.4 Variation der Wartezeit •••• S. 21
4.5 Ermittlung des Wagenbedarfs bei schrittweisem
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorgehen • S. 28
. . .
Beschreibung des Ablaufdiagramms S. 31
Ablaufdiagramm • S. 55
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Vorwort
Bei der Vorausplanung der Kapazität von Betriebsanlagen ist man bestrebt,
einerseits mit möglichst geringen Investitionen auszukommen, anderer
seits die vorausgeplante Betriebsanlage so auszulegen, daB sie nicht zu
einem EngpaB wird.
Im typischen Fall der Vorausplanung der Förderkapazität in einem Gruben
betrieb unter Tage bedeutet dies, daß die optimale Förderkapazität ein
KompromiB zwischen den folgenden Extremen darstellt:
a) Ist die Anzahl der Lokomotiven und der Förderwagen zu groB, so ent
steht eine unnötig hohe Kapitalbildung, unter Umständen sogar eine
gelegentliche oder chronische Verstopfung des Streckennetzes.
b) Sind dagegen die Fördermittel nur in ungenügender Menge vorhanden,
so kann jede mögliche Störung der Streckenförderung zu einer Vermin
derung der Tagesförderung führen.
Wegen des gerade iri diesem Fall hohen Investitionsbedarfs kommt den Me
thoden der optimalen Kapazitätsbestimmung eine große wirtschaftliche
Bedeutung zu. In dem vorliegenden Bericht wird ein Verfahren geschil
dert, mit welchem die Aufgabe der optimalen Bestimmung der Förderkapa
zität unter Tage gelöst werden kann. Diese Methode kann auch für die
Bestimmung der optimalen Kapazität anderer Betriebsanlagen angewandt
werden.
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1. Einführung
Die Rationalisierung von Betriebsanlagen, die für eine gleichbleibende,
in ihrer Höhe im voraus bekannte Produktion eingesetzt werden, ist im
allgemeinen wesentlich einfacher als im Falle einer Belastung der Anla
gen, die in ihrer durchschnittlichen Höhe zwar bekannt, deren Vertei
lung über die Zeit jedoch unregelmäßig ist. Besondere Schwierigkeiten
bereitet in diesem Fall die kapazitive Auslegung solcher Einrichtungen,
die beträchtliche Investitionen erfordern und in ihren Betriebskosten
sehr empfindlich auf Überlastungen oder Leerlauf reagieren.
Eine derartige Aufgabe stellt die Bestimmung der Kapazität einer Trans
portanlage unter Tage dar. Diese AufgabensteIlung wurde der vorliegen
den Arbeit zugrunde gelegt, da sich eine Lösungsmethode leichter an
Hand eines konkreten Problems darstellen läßt und dieses Problem aus
einer Arbeit in der Praxis in seinem ganzen Umfang bekannt war.
Die an Hand einer solchen Aufgabe entwickelte Methode zum Auffinden
einer Näherungslösung kann auf eine Reihe von Problemen der Kapazitäts
bestimmung von Produktionsanlagen und Belegungsplanungen angewandt wer
den. Die Näherungslösungwird bei einer praktischen Anwendung den ge
stellten Anforderungen in jedem Fall genügen.
1.1 Problemstellung
Für die Streckenförderung im Bergbau ist die Bestimmung der optimalen
Wagenzahl ein typisches Beispiel einer Kapazitätsbestimmung. Sind zu
wenig Wagen vorhanden, so kann die geplante Tagesförderung nicht bewäl
tigt werden. Sind zuviele Wagen vorhanden, so hat man neben der über
höhten Kapitalbindung mit Streckenverstopfungen zu rechnen, die eine
zeitweilige Unterbrechung der Förderung nach sich ziehen.
Das Problem der exakten Bestimmung des optimalen Wagenbedarfs ist be
sonders in folgenden zwei Fällen wichtig:
bei Planungen von neuen Sohlen
beim Übergang zu modernen Großraum-Förderwagen.
Der Produktionsprozeß einer Schachtanlage beginnt mit dem Ausbau der
obersten Schicht (Sohle). Während des Abbaus der ersten Sohle wird die
Förderung der zweiten Sohle vorbereitet. Es kommt daher nicht selten
vor, daß die neue Sohle mit moderneren Fördereinrichtungen versehen
wird, deren Auslegung wegen der oben aufgeführten Gründe besonders sorg
fältig geplant werden muß.
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Der vorliegende Bericht behandelt ein Verfahren zur Bestimmung der opti
malen Förderkapazität. Dabei sind folgende Fälle zu unterscheiden:
Förderung mit einer Lokomotive
Förderung mit mehreren Lokomotiven.
Um das an sich umfangreiche Rechenverfahren zu erläutern, ist die För
derung mit nur einer Lokomotive ausführlich besprochen. Dieser Sonder
fall ist wegen sein~r Übersichtlichkeit zur Einführung in das Rechen
verfahren gut geeignet, auch wenn er in der Praxis sehr selten vorkommt.
Dieser Fall ist jedoch für die weiteren von
Anwendungsmöglichke~ten
Bedeutung.
Wir nehmen also im weiteren an, daß die Tagesförderung mit einer einzi
gen Lokomotive bewältigt werden kann. Die Lokomotive hat zwei Aufgaben
zu erfüllen,
1. Sie hat leere Wagen von der Entladestelle (Füllort) zu den Lade
stellen zu bringen.
2. Sie muß die an der Ladestelle gefüllten Wagen zum Füllort
bringen.
Jede Ladestelle muß über ausreichenden Vorrat an Wagen verfügen:
eir~n
a) Vorrat an vollen Wagen, damit bei der Ankunft der Lokomotive ein
Zug voller Wagen zur Verfügung steht.
b) Vorrat an leeren Wagen, um bis zur nächsten Ankunft der Lokomotive
den Ladevorgang aufrechtzuerhalten.
Dasselbe gilt auch für das Füllort, mit dem Unterschied, daß hier ein
Entlade- statt einem Ladeprozeß vor sich geht.
In der Praxis sind zwei Förderarten möglich:
- Förderung mit konstanter Zuglänge; dabei können Wartezeiten für die
Lokomotive entstehen.
Förderung mit ununterbrochenem Lok-Betrieb; in diesem Fall kommen
Fahrten auch mit geringen Wagenzahlen vor.
Im allgemeinen ist der ersten Art der Förderung der Vorzug zu geben.
Den folgenden Ausführungen wird deshalb diese Förderart zugrunde gelegt.
Nimmt die Lokomotive während ihrer Fahrten stets die gleiche Zahl von
Wagen mit, so bleibt die Wagenzahl sowohl an den Ladestellen als auch
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am Füllort während der ganzen Förderdauer konstant. Die Aufgabe der Lo
komotive besteht dann nur im Austausch der leeren Wagen gegen die gleiche
Anzahl von vollen an jeder Ladestelle. Am Füllort werden umgekehrt die
mitgebrachten vollen Wagen gegen leere ausgetauscht. Bezeichnet man mit
n die Anzahl der Ladestellen, so setzt sich die Gesamtzahl W der auf
einer Sohle vorhandenen Förderwagen wie folgt zusammen:
1. aus den n Wagenzahlen W. (i = 1, 2, ••• , n) an allen n Lade
l.
stellen;
2. aus der Wagenzahl Wo am Füllort
n
w=LW.+W
i=1 l. 0
Wir können daher die Aufgabe als gelöst betrachten, wenn wir ermittelt
haben, wieviele Wagen zu einem bestimmten Zeitpunkt - zweckmäßigerweise
zu Beginn der Arbeitsperiode - an den Ladestellen und am Füllort vorhan
den sein müssen.
Daraus folgt sofort der absolut minimale Wagenbedarf für eine Sohle,
der unter keinen Umständen unterschritten werden kann.
Jede Ladestelle muß mindestens mit einer vollen Zuglänge z an Wagen ver
sehen sein, damit die Lokomotive bei ihrer Ankunft einen vollen Zug
zum Abholen bereit findet. Das gleiche gilt hinsichtlich der leeren
Wagen für das Füllort. Das absolute Minimum an Wagen ist also
Wm i n a b s = (n + 1) • z
Die Streckenförderung mit dieser Wagenzahl ist nur dann möglich, wenn
der leere Zug jedesmal genau zu dem Zeitpunkt eine Ladestelle erreicht,
wo der letzte Wagen gerade beladen worden ist. Am Füllort muß in diesem
Fall der Zug genau dann eintreffen, wenn der letzte Wagen gekippt wor
den ist.
Eine solche Förderung mit ihrer großen Störanfälligkeit ist in der Pra
xis nicht denkbar. Unsere Aufgabe besteht nun in der Ermittlung einer
solchen Wagenzahl, bei welcher eine reibungslose, stabile Förderung ge
währleistet ist, ohne daß dabei unnötig viele Wagen in Betrieb sind.
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1.2 Mathematische Formulierung
1.21 Die Ladekurven
Unter einer Ladekurve f i (W) sei im folgenden eine nicht abnehmende
Funktion der Wagenzahl W verstanden, die die Zeit angibt, zu welcher W
Wagen an der i-ten Ladestelle gefördert worden sind. Die entsprechende
Funktion für das Füllort heißt Kippkurve fo (W).
Zwischen Kippkurve und den Ladekurven besteht die Relation
=Ln
f -1 (T) f,-1 '(T)
o i=1 ~
wobei T die Gesamtdauer des Arbeitszyklus (z.B. eines Arbeitstages)
ist. Dabei ist W = f-1 (t) die Umkehrfunktion von t = f (W).
Um alle praktisch auftretenden Möglichkeiten zu berücksichtigen, dürfen
wir den Ladekurven keine Einschränkungen auferlegen, ja nicht einmal
deren Stetigkeit voraussetzen.
In der Praxis gehen die Ladekurven aus Zeit- und Mengenmessungen hervor,
die unmittelbar am Ladeort vorgenommen werden.
Die so Messungen haben im allgemeinen tabellarische Form,
gewonnene~
wobei nach gleichen Zeitintervallen die geladenen Mengen angegeben sind.
Diese Ausgangsform der Ladekurven legt die Anwendung elektronischer Di
gitalrechner nah, die derartige Tabellen zu speichern und zu verarbeiten
gestatten. Die Anwendung dieser Geräte auf das vorliegende Problem ist
wegen dem Umfang der Rechenarbeit angebracht. Will man die Möglichkeit
vorsehen, die Ladekurven, über deren Form bisher keine Voraussetzungen
gemacht worden sind, auch zur Simulierung aller möglichen Störungsfälle
einzusetzen, so ist die Anwendung elektronischer Rechenanlagen nicht
nur angebracht, sondern auch notwendig.
Die Ladekurven haben also zwei Aufgaben:
- sie stallen den Verlauf des Ladeprozesses dar
- sie ermöglichen, durch entsprechende Änderung, jede mögliche
Störung des Ladeprozesses zu simulieren.
Solche Simulationen lassen die Bestimmung einer Wagenbedarfszahl zu,
die die sichere Förderung der in der Periode anfallenden Menge gewähr
leistet.
Sei te 10
Außer den oben erwähnten Eigenschaften der Ladekurven
a) nicht abnehmend
werden also keine weiteren Voraussetzungen über die Form der Ladekurven
gemacht.
1.22 Formulierung der Aufgabe
Bezeichnungen
T Dauer der Planungaperiode (1 Tag, 1 Schicht), etwa in mine
n Anzahl der Ladestellen
f. (W) Ladefunktion der Ladeatelle i, 0 ~ W ~ fi -1 (T)
~
h,i = 1, 2, ••• n.
f (W) Entladefunktion des Füllorts
0
z Zuglänge in Wagen
h. Dauer der Hinfahrt vom Füllort zur Ladestelle i
~
r. Dauer der Rückfahrt von der Ladeatelle zum Füllort
~
m. Anzahl der vollen Züge, die von einer
~
Ladestelle abzuholen sind
1. Leerwagenbestand der i-ten Ladestelle zu Beginn der
~
Planungsperiode
r=n=
m = m ; Anzahl der insgesamt abzuholenden Züge
i
i=1
s. Speicherkapazität (in Wageneinheiten) der i-ten Ladestelle
~
Vi Vollwagenbeatand der i-ten Ladestelle zu Beginn der
Planungs periode
1 Leerwagenbestand am Füllort zu Beginn der Planungsperiode
o
v Vollwagenbestand am Füllort zu Beginn der Planungsperiode
o
j Nummer der Fahrt der Lokomotive, 1 ~ j ~ m
t. Zeit der Abfahrt der Lokomotive vom Füllort
J
Zeit der Ankunft der Lokomotive am Füllort
1;j
D. Summe der bis zur j-ten Abfahrt vom Füllort auftretenden
J
Wartezeiten
n
= ~ v + li Wagenbedarf der Fahrordnung
i=O i
gi Anzahl der zur Ladestelle i durchgeführten Fahrten; 0 ~ gi ~ mi •
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Mit diesen gegebenen Größen muß die optimale Anzahl der Förderwagen
bestimmt werden, d.h. eine solche Wagenzahl, bei welcher
a) der übliche Tagesablauf störungsfrei abgewickelt werden kann
b) keine überflüssigen Wagen vorhanden sind.
Eine zeitliche Reihenfolge von Einzelfahrten, die am Füllort beginnen,
an der jeweiligen Ladestelle die z leeren Wagen gegen z volle Wagen
austauschen und diese zum Füllort bringen, wird im weiteren eine Fahr
ordnung genannt.
Ist eine Fahrordnung F vorgegeben, so läßt sich ohne weiteres der För
derablauf - graphisch oder mit Hilfe von elektronischen Rechenautoma
ten - simulieren und auf diese Weise die erforderliche Anzahl von För
derwagen bestimmen. Mit anderen Worten: einer jeden Fahrordnung wird
eine gewisse Wagenzahl zugeordnet; dies ist die minimale Wagenzahl, mit
welcher diese Fahrordnung abgewickelt werden kann.
Diesen Sachverhalt kann man auch so formulieren: Auf der Menge D aller
möglichen Fahrordnungen F, die die Tagesförderung f -1 (T) bewältigen,
o
ist eine ganzzahlige Funktion W (F), F E D, auf die oben beschriebene
Weise definiert. Es ist eine solche Fahrordnung Fo gesucht, für welche
W (F ) = min gilt. Die hi~r gestellte Aufgabe wird somit auf die Mini-
o
mierung der Funktion W (F) im Definitionsbereich D zurückgeführt.
1.23 Vorbemerkungen
Bezeichnet man mit [A] die kleinste ganze Zahl, die die Zahl A erhält,
so ist
m.
1
die Anzahl der Züge, welche von der i-ten Ladestelle zum Füllort gefah-
ren werden müssen.
Die Anzahl aller möglichen Fahrordnungen, in welchen sämtliche
Fahrten von den Ladestellen zum Füllort durchgeführt werden, ist
m!
m!
n
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