Mathematik für Informatiker: Kombinatorik und Analysis, Vorlesungsmanuskript Wintersemester 2014/15 (version 23 Apr 2015)

297 Pages·2015·3.222 MB·German

by  Janko Böhm

Mathematik für Informatiker
Kombinatorik und Analysis
Vorlesungsmanuskript Wintersemester 2014/15
Janko Böhm
23. April 2015
Inhaltsverzeichnis
0 Einleitung 1
1 Elementare Logik 9
1.1 Aussagen, Mengen, Folgerungen . . . . . . . . . . . 9
1.2 Elementare Beweismethoden . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Grundkonstruktionen 25
2.1 Elementare Mengenkonstruktionen . . . . . . . . . 25
2.2 Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Abbildungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 B-adische Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5 Äquivalenzrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Ganze und rationale Zahlen 51
3.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Gruppen, Ringe und Körper . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 Konstruktion der ganzen Zahlen . . . . . . . . . . . 55
3.4 Konstruktion der rationalen Zahlen . . . . . . . . . 59
3.5 Abzählbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4 Kombinatorik 68
4.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2 Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3 Siebformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.4 Anwendung:VollständigeKlammerungenundCatalan-
Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
1
INHALTSVERZEICHNIS 2
4.5 Abzählen von Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . 87
4.6 Anwendung: Worte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.7 Abzählen von injektiven Abbildungen . . . . . . . 92
4.8 Abzählen von surjektiven Abbildungen . . . . . . . 95
4.9 Anwendung:PartitionenvonMengenundÄquivalenz-
relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.10 Partitionen von Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.11 Multimengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.12 Systematik im kombinatorischen Zoo . . . . . . . . 115
4.13 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5 Folgen 132
5.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.1.1 Stetigkeit von Funktionen . . . . . . . . . . 132
5.1.2 Konstruktion der reellen Zahlen . . . . . . 133
5.2 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.3 Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.4 Die reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.4.1 Dezimalbrüche . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.4.2 Cauchyfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.4.3 Konstruktion der reellen Zahlen . . . . . . 152
5.4.4 Konvergenzkriterien für R . . . . . . . . . . 156
5.4.5 Zurück zu Dezimalbrüchen . . . . . . . . . . 161
5.4.6 Existenz von Quadratwurzeln . . . . . . . . 161
5.5 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6 Reihen 169
6.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.2 Reihen und Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.3 Die geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.4 Konvergenz- und Divergenzkriterien . . . . . . . . 175
6.5 Absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.6 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7 Funktionen 190
7.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.2 Definition und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.3 Stetigkeit und Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . 196
7.4 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
INHALTSVERZEICHNIS 3
7.5 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8 Differenzierbarkeit 213
8.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
8.2 Definition und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . 216
8.3 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
8.4 Ableiten von Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . 221
8.5 Taylorreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
8.6 Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
8.7 Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
8.8 Regel von l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8.9 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9 Umkehrfunktion 238
9.1 Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
9.2 Definition und Existenz . . . . . . . . . . . . . . . . 239
9.3 Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
9.4 Allgemeine Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
9.5 Ableitung der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . 243
9.6 Laufzeitanalyse von Algorithmen . . . . . . . . . . 246
9.7 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
10 Integralrechnung 255
10.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
10.2 Riemannintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
10.3 Stammfunktionen und Hauptsatz . . . . . . . . . . 264
10.4 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
10.5 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
11 Anhang: Computeralgebra 274
11.1 Maple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
11.2 Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
Abbildungsverzeichnis
1 GerichteterGraphvonLinkszwischenInternetsei-
ten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Vier Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Knoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4 Eine stetige Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
5 Eine unstetige Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . 4
6 Die Tangente an f(x)=x2 in x= 1 . . . . . . . . . 5
2
7 Eine Sekante an f(x)=x2 in x= 1 . . . . . . . . . 6
2
8 Eine Funktion die in x=0 keine Tangente besitzt 7
9 Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . 8
10 Eine Lösung für den harmonischen Oszillator . . . 8
1.1 Die Türme von Hanoi. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1 Komplement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Vereinigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Durchschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Graph der Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 Relation aber keine Abbildung . . . . . . . . . . . . 34
2.6 Wurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.7 Hyperbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.8 Identische Abbildung R→R . . . . . . . . . . . . . 39
2.9 Äquivalenzklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1 Siebformel für drei Mengen. . . . . . . . . . . . . . 80
4.2 Beitrag zur Siebformel für r =2. . . . . . . . . . . . 80
4.3 Kürzeste Wege überhalb der Winkelhalbierenden
in einem quadratischen Gitter . . . . . . . . . . . . 85
4.4 Wieviele kürzeste Wege gibt es von A nach B. . . 126
4.5 Kürzeste Wege oberhalb der Winkelhalbierenden. 128
4
ABBILDUNGSVERZEICHNIS 5
4.6 Quadrat mit Nummerierung der Ecken. . . . . . . 129
4.7 Tetraeder mit Nummerierung der Ecken . . . . . . 131
5.1 Untersuchung von Stetigkeit mittels Folgen . . . . 133
5.2 Diagonale im Quadrat. . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.3 Konstante Folge a =1 . . . . . . . . . . . . . . . . 136
n
5.4 Folge a = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
n n
5.5 Folge a =2− 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
n n
5.6 Folge a =(−1)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
n
5.7 Folge a =n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
n
5.8 Folge a =(−1)n⋅n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
n
5.9 Intervallschachtelung. . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.10 Supremum und Infimum . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.11 Eine monoton wachsende und eine monoton fal-
lende Teilfolge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.12 Waage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.13 Seite und Diagonale im Fünfeck . . . . . . . . . . . 166
5.14 Schachbrett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.1 Diagonalsumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.2 Summanden der Folgen (b ) und (g ). . . . . . . . 185
r r
̃
6.3 Die Folgen (̃g ), (b ) und (̃g ). . . . . . . . . . . . 186
r 2r 2r
7.1 Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.2 Parabelfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.3 Eine Polynomfunktion vom Grad 3 . . . . . . . . . 195
7.4 Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.5 Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.6 Quadratwurzelfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.7 Rationale Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.8 Geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.9 Rationale Funktion mit 2 Nullstellen . . . . . . . . 202
7.10 Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.11 Sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
7.12 Funktion mit einer Nullstelle . . . . . . . . . . . . . 209
7.13 Fixpunkt einer kontrahierenden Abbildung . . . . 210
7.14 Cosinushyperbolicus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
7.15 Sinushyperbolicus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
8.1 Sekante und Differenzenquotient . . . . . . . . . . . 214
ABBILDUNGSVERZEICHNIS i
8.2 Stetig, aber nicht differenzierbar in x=0 . . . . . . 218
8.3 Ableitung von x⋅sin(1) für x≠0. . . . . . . . . . . 219
x
8.4 Differenzenquotient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
8.5 Funktion mit verschwindender Taylorreihe. . . . . 224
8.6 Taylorpolynome. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
8.7 Lokales Minimum bei x=0. . . . . . . . . . . . . . 229
8.8 Lokales Maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
8.9 Sattelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.10 Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8.11 Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . 234
8.12 Newtonverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
9.1 Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion. . . 240
9.2 Umkehrfunktionvonf(x)=x3 mitvertikalerTan-
gente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
9.3 Vergleich der Asymptotik für große n. . . . . . . . 249
9.4 Sinus und Arcussinus . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
9.5 Cosinus und Arcuscosinus . . . . . . . . . . . . . . . 253
9.6 Tangens und Arcustangens . . . . . . . . . . . . . . 254
10.1 Beschleunigung, Geschwindigkeit und Position ei-
nes fallenden Objekts . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
10.2 Treppenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
10.3 Auch eine Treppenfunktion . . . . . . . . . . . . . . 258
10.4 Integral einer Treppenfunktion . . . . . . . . . . . . 258
10.5 Obersummen der Exponentialfunktion. . . . . . . . 260
10.6 Untersummen der Exponentialfunktion. . . . . . . 261
10.7 Integral der Exponentialfunktion . . . . . . . . . . 262
10.8 Linearität des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . 263
10.9 Additivität des Integrals. . . . . . . . . . . . . . . . 264
10.10Mittelwertsatz der Integralrechnung . . . . . . . . 265
10.11Funktion und Stammfunktion . . . . . . . . . . . . 268
10.12Berechnung eines Integrals mit dem Hauptsatz . . 269
10.13Berechnung der Fläche eines Halbkreises . . . . . . 273
11.1 Gröbnerbasen-AlgorithmusfürdenSchnittvonzwei
Ellipsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
Symbolverzeichnis
N Die natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . 11
Z Die ganzen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . 11
N Die natürlichen Zahlen mit 0 . . . . . . . 11
0
∀ für alle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
∃ es existiert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
¬A nicht A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
A∧B A und B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
A∨B A oder B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
A⇒B A impliziert B . . . . . . . . . . . . . . . . 14
A⇔B A äquivalent zu B . . . . . . . . . . . . . 14
∑n a Summe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
k=1 k
∏n a Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
k=1 k
Q Die rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . . 26
N ⊂M N ist Teilmenge von M . . . . . . . . . . . 26
N ⊆M N ist Teilmenge von M . . . . . . . . . . . 26
N ⫋M N ist echte Teilmenge von M . . . . . . . 26
M/N Komplement von N in M . . . . . . . . . 27
M ∪N Vereinigung von N und M . . . . . . . . . 27
M ∩N Durchschnitt von N und M . . . . . . . . 27
∣M∣ Mächtigkeit von M . . . . . . . . . . . . . 28
M ×N Kartesisches Produkt von M und N . . . 28
P(M) Potenzmenge von M . . . . . . . . . . . . 29
2M Potenzmenge von M . . . . . . . . . . . . 29
M ∪⋅ N Disjunkte Vereinigung . . . . . . . . . . . . 30
f(A) Bild von A unter f . . . . . . . . . . . . . 32
Bild(f) Bild von f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
f−1(B) Urbild von B unter f . . . . . . . . . . . . 32
Graph(f) Graph von f . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
∃ es existiert genau ein . . . . . . . . . . . . 35
1
ii
SYMBOLVERZEICHNIS iii
φ B-adische Entwicklung . . . . . . . . . . . 40
B,r
(n) Binomialkoeffizient. . . . . . . . . . . . . . 69
k
(M) Menge der k-elementigen Teilmengen. . . 69
k
n! Fakultät von n . . . . . . . . . . . . . . . . 72
K[x] Polynomring in x über K . . . . . . . . . . 74
deg(f) Grad des Polynoms f . . . . . . . . . . . . 74
max(n,m) Maximum von n und m . . . . . . . . . . . 74
⌊q⌋ Abrunden von q . . . . . . . . . . . . . . . 81
MN Menge aller Abbildungen von N nach M 88
S(n,m) Stirlingzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
S(N,m) Menge der Partitionen von N in m Teil-
mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
B Bellsche Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
n
P(n,m) Anzahl der Partitionen der Zahl n in m
Summanden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
P(n) Anzahl der Partitionen der Zahl n . . . . 106
Inj(MN) Injektive Abbildungen von N nach M . . 115
Surj(MN) Surjektive Abbildungen von N nach M . 115
Bij(MN) Bijektive Abbildungen von N nach M . . 115
∣x∣ Absolutbetrag von x . . . . . . . . . . . . . 138
lim a Grenzwert von (a ) . . . . . . . . . . . . . 139
n→∞ n n
supM Supremum von M . . . . . . . . . . . . . . 156
infM Infimum von M . . . . . . . . . . . . . . . 156
∑∞ b Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
n=1 n
[a,b] {x∈R∣a≤x≤b} . . . . . . . . . . . . . . . 192
]a,b] {x∈R∣a<x≤b} . . . . . . . . . . . . . . . 192
[a,b[ {x∈R∣a≤x<b} . . . . . . . . . . . . . . . 192
]a,b[ {x∈R∣a<x<b} . . . . . . . . . . . . . . . 192
[a,∞[ {x∈R∣a≤x} . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
]a,∞[ {x∈R∣a<x} . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
]∞,b] {x∈R∣x≤b} . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
]∞,b[ {x∈R∣x<b} . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
exp Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . 193
√
Quadratwurzelfunktion . . . . . . . . . . . 194
f ∣ Einschränkung von f auf E . . . . . . . . 195
E
lim f(x) Limes von f für x→a . . . . . . . . . . . . 196
x→a
limx→af(x) Limes von f für x→a und x<a . . . . . 196
x<a
limx→af(x) Limes von f für x→a und x>a . . . . . 196
x>a
SYMBOLVERZEICHNIS iv
limx→af(x) Limes von f für x→a und x≠a . . . . . 196
x≠a
cos Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
sin Sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
sinh Sinushyperbolicus . . . . . . . . . . . . . . 210
cosh Cosinushyperbolicus . . . . . . . . . . . . . 210
f′ Ableitung von f . . . . . . . . . . . . . . . 216
f(n) n-te Ableitung von f . . . . . . . . . . . . 216
T(x) Taylorreihe für festgelegte Funktion und
festgelegten Entwicklungspunkt . . . . . . 223
T (x) k-tes Taylorpolynom. . . . . . . . . . . . . 225
k
R (x) k-tes Restglied der Taylorreihe . . . . . . 225
k
ln Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . 240
xa allgemeine Potenz . . . . . . . . . . . . . . 242
√
n x n-te Wurzel von x . . . . . . . . . . . . . . 242
e Eulersche Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . 243
O(f) Landaunotation . . . . . . . . . . . . . . . 247
log (x) Logarithmus von x zur Basis a . . . . . . 250
a
arcsin Arcussinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
arccos Arcuscosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
tan Tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
arctan Arcustangens . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
∫ sf(x)dx Riemannintegral . . . . . . . . . . . . . . . 257
r
∫ f dx Stammfunktion von f . . . . . . . . . . . . 267