Mathematik für Informatiker: Algebraische Strukturen: Vorlesungsskript 2009/2015

124 Pages·2015·0.854 MB·German

by  Klaus Wirthmüller

Mathematik fu¨r Informatiker: Algebraische Strukturen
Vorlesungsskript 2009/2015
Klaus Wirthmu¨ller
http://www.mathematik.uni-kl.de/∼wirthm/de/mfi.html
K. Wirthmu¨ller — Mathematik fu¨r Informatiker: Algebraische Strukturen 2009/2015 1
1 Zahlbereiche
Jeder kennt
• natu¨rliche Zahlen 0,1,2,...
• ganze Zahlen: noch −1,−2,... dazu
und
x
• rationale Zahlen mit
y
• einer ganzen Zahl x und
• einer natu¨rlichen Zahl y (cid:54)=0 (warum genu¨gt das?).
Ein paar Standardnotationen sind
N={0,1,2,...}
fu¨r die Menge aller natu¨rlichen Zahlen; die Tatsache, daß 3 eine natu¨rliche Zahl ist, kann man als
3∈N (sprich: 3 ist Element von N, oder 3 geh¨ort zu oder liegt in N)
notieren — w¨ahrend man fu¨r die entgegengesetzte Aussage das Symbol einfach durchstreicht, zum Beispiel
−2∈/ N.
Wie Sie sehen, ist auch die Null eine natu¨rliche Zahl, und aus der Schule werden Sie vielleicht eher die
SchreibweiseN stattNkennen,mitdermanaufdiesenSachverhaltausdru¨cklichhinweist.Dasistallgemein
0
aber nicht so u¨blich, und ich tue das auch nicht.
Von den zahlreichen Begriffen, die man im Zusammmenhang mit Mengen gepr¨agt hat, vorerst nur noch
einen, das Enthaltenseins- oder Inklusionszeichen: jede natu¨rliche Zahl ist auch eine ganze Zahl, jede ganze
auch eine rationale. Man schreibt kurz
N⊂Z und Z⊂Q
oder gleich N⊂Z⊂Q und sagt, daß N eine Teilmenge von Z und Z eine Teilmenge von Q ist. Es versteht
sich, was die Aussagen
Z(cid:54)⊂N, Q(cid:54)⊂Z
bedeuten und daß sie beide wahr sind: zur Begru¨ndung genu¨gen schon die Beobachtungen
−1∈Z, aber −1∈/ N
beziehungsweise
1 1
∈Q, aber ∈/ Z.
2 2
Fu¨r ganz beliebige Mengen X,Y bedeutet
X ⊂Y und zugleich Y ⊂X
offenbar, daß X und Y genau dieselben Elemente enthalten, daß also X =Y ist.
In vielen mathematischen Texten finden Sie das Inklusionszeichen in der Varianten ⊆, und unsere Version
⊂ wird dann fu¨r den Fall reserviert, wenn zugleich X (cid:54)=Y gilt, also Y mindestens ein zus¨atzliches, nicht in
(cid:13)c 2009–2015 Klaus Wirthmu¨ller
K. Wirthmu¨ller — Mathematik fu¨r Informatiker: Algebraische Strukturen 2009/2015 2
X liegendes Element enth¨alt. U¨berhaupt werden mathematische Symbole zwar weitgehend, aber doch nicht
immer hundertprozentig einheitlich gehandhabt, und man muß sich gegebenenfalls vergewissern, was genau
gemeintist.Wichtigist,daßjedesSymbolinnerhalbeinesTextesodereinerVorlesungeinegenaufestgelegte
Bedeutung hat.
Zu einer gegebenen Menge Y bildet man leicht eine Teilmenge X ⊂ Y, indem man in X nur diejenigen
Elemente von Y aufnimmt, die eine besondere Eigenschaft haben. So ist
(cid:8)x∈Z(cid:12)(cid:12)x≥0(cid:9),
die Menge aller ganzen Zahlen, die gr¨oßer oder gleich null sind, eine neue Beschreibung fu¨r die Teilmenge
N⊂Z.
Zuru¨ck zu den Zahlbereichen: Allen gemeinsam ist, daß man mit ihren Elementen, also den Zahlen rechnen
kann — dazu sind sie schließlich da! Konkret geh¨ort zu je zwei natu¨rlichen Zahlen x,y ∈N (das steht kurz
fu¨r x∈N und y ∈N) eine ganz bestimmte dritte, n¨amlich ihre Summe
x+y ∈N
und ebenso eine vierte, ihr Produkt
xy =x·y ∈N,
und genauso ist es in Z und in Q. Obwohl man oft von den vier Grundrechenarten redet, sind es eigentlich
nur diese beiden. Man kann ja die eben gemachten Aussagen nicht ohene weiteres auch fu¨r Differenzen und
Quotienten treffen, denn zu gegebenen x,y ∈N gibt es nicht immer eine Differenz
x−y ∈N
(sondern nur dann, wenn x mindestens so groß wie y ist). Dagegen geh¨ort zu beliebigen x,y ∈Z immer eine
Differenz x−y ∈Z und zu x,y ∈Q immer eine Differenz x−y ∈Q: in diesem Sinne sind die Zahlbereiche
Z und Q einfacher als N.
Ziehen wir auch noch die Division in Betracht, so verh¨alt Z sich nicht besser als N, aber da sticht Q den
Bereich der ganzen Zahlen aus, denn immerhin fu¨r alle x,y ∈ Q mit y (cid:54)= 0 ist der Quotient x/y ∈ Q eine
sinnvolle rationale Zahl.
Wir wollen versuchen, die verschiedenen Rechenoperationen systematischer zu beschreiben, indem wir ihre
Eigenschaften erforschen. Erst mal die Addition. Die wohl wichtigste Gesetzm¨aßigkeit u¨berhaupt ist das
sogenannte
Assoziativgesetz Fu¨r beliebige Zahlen x,y,z gilt
(x+y)+z =x+(y+z).
Man kann sich zur Vereinfachung der Schreibweise also die Klammern sparen und — wichtiger — Summen
mit mehr Summanden
x +x +···+x +x
1 2 n−1 n
dadurch erkl¨aren, daß man so lange je zwei benachbarte Terme durch ihre Summe ersetzt, bis nur einer
bleibt, zum Beispiel
x +x +x +x =(x +x )+(x +x )
1 2 3 4 1 2 3 4
(cid:0) (cid:1)
=x + x +(x +x )
1 2 3 4
(cid:0) (cid:1)
=x + (x +x )+x usw.
1 2 3 4
liest: das Assoziativgesetz sorgt freundlicherweise dafu¨r, daß bei jeder dieser Interpretationen dasselbe
’rauskommt.
Dieebeneingefu¨hrteNotationx +x +···+x +x mitden,wiemansagt,Indizes 1,...,nwirddadurch
1 2 n−1 n
n¨otig, daß ich mich ja nicht auf eine bestimmte Anzahl von Summanden n festlegen m¨ochte. Obwohl das
(cid:13)c 2009–2015 Klaus Wirthmu¨ller
K. Wirthmu¨ller — Mathematik fu¨r Informatiker: Algebraische Strukturen 2009/2015 3
allgemeinen“viele”suggeriert,istjedeAnzahln∈Nzugelassen,auchwenndasfu¨rkleinenskurrilerscheint
und einer Erkl¨arung bedarf. Noch zweifelsfreie Bedeutungen von x +x +···+x +x sind
1 2 n−1 n
x +x +x fu¨r n=3
1 2 3
x +x fu¨r n=2,
1 2
und wir erg¨anzen das logisch und zweckm¨aßig durch
x +x +···+x +x =x fu¨r n=1 und
1 2 n−1 n 1
x +x +···+x +x =0 fu¨r n=0.
1 2 n−1 n
Im letzten Fall spricht man von der leeren Summe, in der u¨berhaupt kein Summand vorkommt.
DamitsindwirgleichbeieinerweiterengemeinsamenEigenschaftvonN,ZundQ:sieenthalteneineneutrale
Zahl mit dem Namen 0, deren charakteristische Eigenschaft
0+x=x=x+0 fu¨r alle x
ist. Dagegen trifft die folgende Eigenschaft nur auf Z und Q, nicht aber auf N zu:
Zu jedem x∈Z (beziehungsweise x∈Q) existiert ein y ∈Z (beziehungsweise y ∈Q) mit
x+y =0=y+x,
n¨amlich die zu x entgegengesetzte Zahl y =−x.
(cid:13)c 2009–2015 Klaus Wirthmu¨ller
K. Wirthmu¨ller — Mathematik fu¨r Informatiker: Algebraische Strukturen 2009/2015 4
2 Gruppen
Von den drei zuletzt an den Zahlbereichen Z und Q beobachteten Eigenschaften der Addition haben die
Mathematiker herausgefunden, daß sie schon fu¨r sich ein interessantes Rechnen erlauben. Mit “schon fu¨r
sich” ist gemeint, daß wir zum Rechnen eigentlich weder wissen mu¨ssen, womit wir rechnen (Zahlen oder
auch andere Dinge) noch wie die einzelne Rechenoperation konkret durchgefu¨hrt wird. Wichtig ist nur, daß
wir u¨berhaupt eine Rechenvorschrift haben und daß diese die drei genannten Eigenschaften haben, die man
auf diesem abstrakteren Niveau Axiome nennt.
2.1 Definition Eine Gruppe besteht aus einer Menge, sagen wir G, und einer Verknu¨pfung, n¨amlich einer
Vorschrift, de je zwei Elementen x,y ∈G ein drittes,
x∗y ∈G
so zuordnet, daß die folgenden sogenannten Gruppenaxiome erfu¨llt sind:
• (x∗y)∗z =x∗(y∗z),
• es gibt ein Element n∈G — genannt ein neutrales Element — mit
n∗x=x=x∗n fu¨r jedes x∈G,
• zu jedem x∈G existiert ein y ∈G — ein zu x entgegengesetztes Element — mit
x∗y =n=y∗x.
Wenn außerdem das Kommutativgesetz
• x∗y =y∗x fu¨r alle x,y ∈G
gilt, nennt man die Gruppe kommutativ oder abelsch.
Es ist guter Brauch, jede Definition — erst recht eine so abstrakte — unverzu¨glich durch Beispiele zu
illustrieren. Ich vertr¨oste Sie da aber noch einen Moment, weil die Definition bei n¨aherem Hinsehen eine
Ungereimtheit enth¨alt, die ich sofort aufl¨osen m¨ochte.
Es geht um das in der Definition genannte neutrale Element. Verlangt wird ja bloß, daß es in G ein solches
Element gibt, nicht aber, daß es auch eindeutig bestimmt ist. Kann eine Gruppe zwei, vielleicht sogar ganz
vieleverschiedeneneutraleElementehaben?Kannsienicht.Fassenwirn¨amlichmalzweineutraleElemente
n ∈G und n ∈G ins Auge. Weil n neutral ist, gilt dann in
1 2 2
n =n ∗n =n
1 1 2 2
die erste Gleichung, und weil n neutral ist, auch die zweite. Also ist n = n . In einer jeden Gruppe
1 1 2
gibt es also automatisch nur ein und damit genau ein neutrales Element. — U¨brigens war das unser erster
mathematischer Beweis! Wir haben die Voraussetzung gemacht, daß n und n neutrale Elemente von G
1 2
sind, und als Schlußfolgerung bewiesen, daß n =n ist. Schwer?
1 2
JedenfallshabenwirjetztdieDefinitionumeineinteressanteZusatzinformationerg¨anzt.EineUngereimtheit
derDefinitionwardasfreilichnochnicht!SieliegtvielmehrindemdrittenAxiom,dasjamitderForderung
x∗y = n = y∗x auf ein neutrales Element Bezug nimmt. Auf welches? — das w¨are in dem Moment eine
berechtigte Frage gewesen. Unser kleines Resultat zeigt aber, daß n ∈ G ohnehin eindeutig bestimmt ist,
und damit ist der Mangel in der Definition geheilt.
(cid:13)c 2009–2015 Klaus Wirthmu¨ller
K. Wirthmu¨ller — Mathematik fu¨r Informatiker: Algebraische Strukturen 2009/2015 5
Da wir gerade in Schwung sind, k¨onnen wir auch beweisen, daß bei gegebenem x ∈ G auch nur ein zu x
entgegengesetztesElementexistiert(abernatu¨rlichwirdesvonxabh¨angen!).BetrachtenwirdazuElemente
y ,y ∈G, die beide zu x entgegengesetzt sind. Unter Verwendung der Axiome rechnen wir dann
1 2
y =y ∗n=y ∗(x∗y )=(y ∗x)∗y =n∗y =y
1 1 1 2 1 2 2 2
und lesen y =y ab. Das war’s schon.
1 2
Nun aber wie versprochen die
2.2 Beispiele (1) Zwei kennen wir schon: Z mit der Verknu¨pfung +, und Q mit der Verknu¨pfung +. Fu¨r
das abstrakte G der Definition ist also eine der Mengen Z oder Q, fu¨r den Stern das Pluszeichen zu
substituieren. Das neutrale Element ist die Zahl 0, das zu x entgegengesetzte ist −x. Die Formeln
aus den Axiomen sind hier natu¨rlich alle additiv zu lesen, und sie erhalten damit die im vorigen
Abschnitt vorgestellte Form. Das ist ein Punkt, der Anf¨anger erfahrungsgem¨aß leicht verwirrt: der
inderabstraktenDefinitonverwendeteSternistnureineArtPlatzhalterfu¨randereZeichen(wiedas
Plus), die in konkreten Beispielen von Gruppen g¨angiger sind — der Stern selbst kommt eher selten
vor. Aber das ist letztlich nichts Anderes als das G fu¨r die der Gruppe zugrundeliegende Menge, das
im Konkreten ja auch nicht mehr ein G, sondern zum Beispiel Z oder Q ist.
(2) Versuchen wir in diesem Sinne mal die Menge Q mit der Multiplikation als Verknu¨pfung. Sie
erfu¨lltdasAssoziativgesetz(xy)z =x(yz),unddieZahl1istoffenbardasneutraleElement,aberdas
dritte Axiom ist verletzt: zum Element 0 ∈ Q kann es kein entgegengesetztes geben, denn welches
y ∈Q auch immer wir dafu¨r ins Auge fassen, gilt
0·y =0(cid:54)=1
im Widerspruch zu der geforderten Identit¨at 0·y = 1. Daß wir zu jedem anderen x ∈ Q, also mit
x(cid:54)=0einentgegengesetztesElement,n¨amlichdenKehrwert1/x∈Qfinden,machtdenMangelnicht
wieder gut: “fu¨r alle” heißt in der Mathematik wirklich fu¨r alle und l¨aßt keine Ausnahme zu. Wohl
aber haben wir jetzt eine Idee, wie wir das Beispiel reparieren k¨onnen:
(3) Die Menge
G:=(cid:8)x∈Q(cid:12)(cid:12)x(cid:54)=0(cid:9)
wird durch die Multiplikation als Verknu¨pfung zu einer Gruppe. (Der Doppelpunkt am Gleichheits-
zeichen zeigt an, daß hier nicht die Gleichheit zweier schon erkl¨arter Gr¨oßen behauptet, sondern die
linke Seite als die rechte definiert wird.) Bevor wir die Axiome u¨berpru¨fen k¨onnen, ist zu bemerken,
daßtats¨achlicheineVerknu¨pfungvorliegt,weilfu¨rbeliebigex,y ∈Gnichtnurxy ∈Q,sondernauch
xy (cid:54)=0unddamitxy ∈Ggilt—beidenbeidenerstenBeispielenhattesichdieentsprechendeFrage
noch nicht gestellt.
Von den Axiomen selbst gelten die ersten beiden offensichtlich, weil sie sogar im (Un-)Beispiel (2)
erfu¨llt waren und 1 ∈ G ist. Jetzt gilt aber auch das dritte, denn jedes x ∈ G hat als von null
verschiedenerationaleZahleinenKehrwert1/x;dieseristselbsteinevonnullverschiedenerationale
Zahl und damit das zu x entgegengesetzte Element von G.
(4) Eine Gruppe kann ganz klein sein: Wenn G nur aus einem Element besteht, muß dieses not-
wendig das neutrale sein, wir schreiben also G={n}. Die einzig denkbare Verknu¨pfung besteht aus
der Vorschrift n∗n = n, und die Axiome sind auf triviale Art erfu¨llt. Konkrete Beispiele solcher
trivial genannterGruppensind{0}mitderAdditionund{1}mitderMultiplikation.—Nochkleiner
(n¨amlichleer)kanneineGruppeabernichtsein,denndefinitionsgem¨aßmußsieihrneutralesElement
enthalten.
(5) Wir besprechen jetzt ausfu¨hrlich ein Beispiel, das nur einen Tick gr¨oßer als das von (4) und
auch noch recht primitiv ist, aber doch interessant und gerade in der Informatik grundlegend. Wir
betrachten die Menge
G:={0,1}
(cid:13)c 2009–2015 Klaus Wirthmu¨ller
K. Wirthmu¨ller — Mathematik fu¨r Informatiker: Algebraische Strukturen 2009/2015 6
aus diesen beiden Zahlen und legen auf G eine Verknu¨pfung ⊕ fest durch diese Tabelle fu¨r x⊕y,
jeweils fu¨r x,y ∈G:
y
x\ 0 1
0 0 1
1 1 0
Ich behaupte, daß G durch die Verknu¨pfung ⊕ zu einer abelschen Gruppe wird.
Mu¨he macht nur der Beweis des ersten Axioms, also des Assoziativgesetzes, der Rest ist dann klar:
0 ∈ G ist neutral, jedes der beiden Elemente ist zu sich selbst entgegengesetzt, und die Symmetrie
der Tabelle unter Spiegelung an der Diagonalen ist gerade das Kommutativgesetz. Wir mu¨ssen uns
also nur noch von
(x⊕y)⊕z =x⊕(y⊕z) fu¨r alle x,y,z ∈G
u¨berzeugen — und k¨onnten das ganz flott tun, indem wir alle acht M¨oglichkeiten durchrechnen.
Das wa¨re ein logisch einwandfreier, letztlich auch schneller Beweis, aber nicht gerade elegant oder
aufschlußreich!Deshalbhiereinezwarl¨angere,abervielinteressantereAlternative,dievorallemden
Vorteil hat, daß sie uns sp¨ater in allgemeineren Situationen noch nu¨tzlich sein wird. Sie geht davon
aus, daß wir das assoziative Gesetz fu¨r die Addition ganzer Zahlen schon kennen.
Wie wird eine natu¨rliche Zahl im Computer dargestellt? Als Kette von Nullen und Einsen im
Bin¨arsystem, also
a a ··· a a =a ·20+a ·21+···+a ·2k−1+a ·2k ∈N
k k−1 1 0 0 1 k−1 k
mit Ziffern a ,...,a ∈ G (die wir von rechts nach links z¨ahlen wollen). Addiert wird nach dem
0 k
Schema, das man in der Grundschule fu¨r das Zehnersystem lernt, zum Beispiel:
7 7 1 0 0 1 1 0 1
+ 8 6 + 1 0 1 0 1 1 0
1 6 3 1 0 1 0 0 0 1 1
Die (in der Regel elektronisch realisierte) Operation an jeder Bin¨arstelle ist gerade unser ⊕; in
der Informatik wird sie als ausschließendes Oder bezeichnet, weil das ihre Bedeutung als logische
Operation ist, wenn man 0 als ‘falsch’ und 1 als ‘wahr’ deutet. Die einzelnen Bin¨arstellen werden
beginnendmitder0-tenvonrechtsnachlinksabgearbeitet,allerdingsistdieOperation⊕abder1-ten
Stelle noch ein zweites Mal anzuwenden, um auch den Zweieru¨bertrag von der rechten Nachbarstelle
einzuarbeiten:
··· a ···
j
··· b ···
j
U¨bertrag←− a ⊕b ←−U¨bertrag
j j
Die 0-te Stelle ganz rechts empf¨angt aber sicher keinen U¨bertrag: die 0-te Stelle der Bin¨arzahl a+b
ist einfach a ⊕b .
0 0
··· a
0
··· b
0
U¨bertrag←− a ⊕b
0 0
Wenn wir jetzt den Spieß umdrehen, erhalten wir die folgende scheinbar umst¨andliche, aber sehr
nu¨tzliche Beschreibung der Verknu¨pfung ⊕:
Gegeben seien x,y ∈G. Wir w¨ahlen beliebige Zahlen a,b∈N mit den
Endziffern a = x und b = y (klar, daß es solche Zahlen gibt). Dann
0 0
ist x⊕y die Endziffer von a+b.
Warum ist diese Beschreibung nun nu¨tzlich? Weil aus ihr das Assoziativgesetz fu¨r die Verknu¨pfung
⊕ohnejedeMu¨hefolgt,dennwennwirdreigegebeneElementex,y,z ∈Galsdiebin¨arenEndziffern
(cid:13)c 2009–2015 Klaus Wirthmu¨ller
K. Wirthmu¨ller — Mathematik fu¨r Informatiker: Algebraische Strukturen 2009/2015 7
von a,b,c∈N darstellen, ist sowohl (x⊕y)⊕z als auch x⊕(y⊕z) die Endziffer von a+b+c∈N,
also sind beide gleich.
Zuru¨ckzudenGruppenimallgemeinen.Wieschonerkl¨artsinddieBezeichnungenGfu¨rdiezugrundeliegende
Menge und ∗ fu¨r die Verknu¨pfung ganz willku¨rlich, und in konkreten F¨allen zieht man oft andere vor, etwa
solche, die an schon Bekanntes anknu¨pfen. Am h¨aufigsten sind die additive Schreibweise mit dem Plus und
die multiplikative mit dem (oder auch ohne den) Malpunkt, wobei man in aller Regel nur abelsche Gruppen
additivschreibenm¨ochte(abernichtmuß).PassendzudiesenSchreibweisennenntmandasneutraleElement
der Gruppe dann 0 beziehungsweise 1 auch dann, wenn die Gruppenelemente gar keine Zahlen sind. Das ist
im Prinzip natu¨rlich verwerflich, denn man sollte ja nicht zwei verschiedene Objekte mit demselben Symbol
bezeichnen. Die dadurch gegebene Verwechslungsgefahr ist in der Praxis aber gering und n¨otigenfalls durch
einen entsprechenden Hinweis im Text zu bannen.
In einer additiven Gruppe schreibt man das zu x entgegengesetzte Element −x, in einer multiplikativen
entwederx−1 oder,wenndieGruppeabelschist,auch 1 oder1/x.VomentgegengesetztenElementzureden
x
ist ein bißchen holprig; in einer multiplikativen Gruppe spricht man stattdessen vom inversen Element oder
kurz dem Inversen von x. Also:
Schreibweise Verknu¨pfung neutrales Element zu x entgegengesetztes Element
Definition 2.1 ∗ n (oder 1) y
additiv + 0 −x
multiplikativ · 1 x−1 oder 1
x
NocheineletzteAnmerkungzurNotation:daeineGruppeauszweiDingenbesteht,n¨amlicheinerMengeG
und einer Verknu¨pfung ∗, muß man strenggenommen auch beide angeben, wenn man diese Gruppe meint;
ganz formal wu¨rde man von dem Paar (G,∗) aus diesen beiden Zutaten reden — in unseren konkreten
Beispielenalso(Z,+)usw.WeilnormalerweiseaberausdemZusammenhanghervorgeht,welcheVerknu¨pfung
gemeint ist, empfindet man das als pedantisch und spricht einfach von “der Gruppe G”.
U¨brigensergibtsichinjederabelschenGruppeeinezweiteVerknu¨pfungnamensSubtraktion(additiverFall)
oder Division (multiplikativer Fall) ganz von selbst aus
x 1
x−y :=x+(−y) beziehungsweise :=x· .
y y
Diese sieht man aber als sekund¨ar an, weil sie ja keine eigenst¨andige Struktur darstellt, sondern durch die
Gruppe schon festgelegt ist.
Eskommtoftvor,daßeineGruppeineineranderenenthaltenist,etwaZ⊂Q.Daslohntsichzuformalisieren.
2.3Definition SeiGeineGruppeundU ⊂GeineTeilmenge.MannenntU eineUntergruppe vonG,wenn
die Verknu¨pfung von G sich zu einer von U einschr¨anken l¨aßt und diese U selbst zu einer Gruppe
macht.
Erl¨auterung Die erste Forderung verlangt, daß fu¨r jede Wahl von Elementen x,y ∈ U auch das Resultat
x∗y ∈ G der Verknu¨pfung wieder zu U geh¨ort — erst dann entsteht ja eine Verknu¨pfung in U.
Sie finden fu¨r diese Eigenschaft auch die Formulierung, daß die Teilmenge U unter der Verknu¨pfung
von G abgeschlossen ist (letztere fu¨hrt eben nicht aus der Teilmenge U heraus). Im mathematischen
Telegrammstil liest sich das
x,y ∈U =⇒ x∗y ∈U;
der Doppelpfeil bringt allgemein zum Ausdruck, daß immer dann wenn die Aussage auf der linken
Seite wahr ist, auch die auf der rechten Seite es ist.
Jedenfalls bildet im Fall der Abgeschlossenheit die Menge U mit der eingeschr¨ankten Verknu¨pfung
einen Kandidaten fu¨r eine Gruppe, und logischerweise verlangt die Definition weiter, daß dieser
Kandidat tats¨achlich eine Gruppe ist.
2.2 Beispiele (1) Es ist Z⊂Q eine Untergruppe.
(cid:13)c 2009–2015 Klaus Wirthmu¨ller
K. Wirthmu¨ller — Mathematik fu¨r Informatiker: Algebraische Strukturen 2009/2015 8
(2) Die Menge der geraden Zahlen 2Z:=(cid:8)2x(cid:12)(cid:12)x∈Z(cid:9)⊂Z ist eine Untergruppe.
(3) Die Menge der ungeraden Zahlen, flott als 2Z+1⊂Z geschrieben, ist keine Untergruppe, weil
diese Teilmenge unter der Addition nicht abgeschlossen ist: 1∈2Z+1, aber 1+1=2∈/ 2Z+1.
(4) Die Teilmenge N⊂Z ist keine Untergruppe. Zwar schr¨ankt sich die Addition zur gew¨ohnlichen
Addition auf N ein, aber wie wir wissen macht die N nicht zu einer Gruppe.
Auf den ersten Blick scheint man eine Menge Arbeit zu haben, wenn man eine Teilmenge einer Gruppe als
Untergruppe erkennen will. Das ist aber gar nicht so, wie wir uns jetzt klarmachen wollen.
2.5 Lemma Sei G eine Gruppe und U ⊂G eine Teilmenge. Dann sind folgende Aussagen gleichwertig:
(1) U ist Untergruppe von G.
(2) Es gelten die drei Aussagen
1∈U
x,y ∈U =⇒ x∗y ∈U
x∈U =⇒ x−1 ∈U.
Erl¨auterung Fu¨r ein solches Statement kann man alternativ sagen, daß (1) genau dann gilt, wenn (2) gilt,
undwerSymbolemag,darfdasauchmiteinemDoppelpfeil(1)⇐⇒(2)schreiben.—EinLemmaist
u¨brigens eine mathematische Behauptung, die man nicht als tiefsinnig genug empfindet, um ihr das
Pr¨adikat“mathematischerSatz”zuzubilligen.Beweisbedu¨rtigsindLemmataaberdoch,alsohierder
Beweis Zwei logische Richtungen sind zu zeigen, erst mal
(2) ⇒ (1): Die zweite Forderung in (2), also x,y ∈ U ⇒ x∗y ∈ U, bedeutet gerade, daß die
Teilmenge U ⊂ G abgeschlossen unter der Verknu¨pfung ∗ ist und ∗ damit zu einer Verknu¨pfung
auf U wird. Fu¨r diese mu¨ssen wir die drei Gruppenaxiome u¨berpru¨fen. Nun das assoziative Gesetz
(x∗y)∗z = x∗(y∗z) gilt fu¨r alle x,y,z ∈ G, insbesondere fu¨r alle in U. Weiter wissen wir nach
dem ersten Punkt von (2), daß das neutrale Element 1 ∈ G zu U geh¨ort, und da die Identit¨aten
1∗x = x = x∗1 insbesondere fu¨r alle x ∈ U gelten, ist 1 auch das neutrale Element von U. Sei
schließlichx∈U beliebig,dannistnachderdrittenForderungaus(2)auchx−1 ∈U,undindemwir
die Gleichungen x∗x−1 =1=x−1∗x in U lesen, sehen wir, daß x−1 auch das zu x inverse Element
in U ist. Damit ist U als Untergruppe von G nachgewiesen.
(1)⇒(2): Jetzt setzen wir gerade das voraus: Sei also U Untergruppe von G. Die zweite Aussage
von (2) ist dann klar. Die erste, n¨amlich 1 ∈ U doch auch — schließlich ist U eine Gruppe? Aber
Vorsicht! Zwar muß U ein neutrales Element n enthalten, aber a priori ist nicht sicher, ob n mit 1,
dem neutralen Element von G, u¨bereinstimmt (U k¨onnte sozusagen ein privates neutrales Element
haben). Wir k¨onnen aber leicht beweisen, daß die neutralen Elemente u¨bereinstimmen, indem wir
dieIdentit¨atn∗n=netwavonrechtsmitn−1 ∈G,demInversenvonnbezu¨glichGmultiplizieren:
(cid:12)
n∗n =n (cid:12)∗n−1
n=n∗n∗n−1 =n∗n−1 =1.
Insbesondere ist 1=n∈U.
Zum Beweis der letzten Teilaussage von (2) sei x ∈ U gegeben und y ∈ U zu x invers in U. Es gilt
also
x∗y =1=y∗x,
und selbstverst¨andlich gelten diese Gleichungen in G ebenso wie in U. Das zeigt aber, daß y = x−1
das Inverse von x in G ist, und damit ist alles klar.
Der Beweis des Lemmas hat uns als Nebenresultat noch sichergestellt, daß Untergruppen weder “private”
Einselemente noch private Inverse haben k¨onnen — das wa¨re sonst auch ganz sch¨on unu¨bersichtlich!
(cid:13)c 2009–2015 Klaus Wirthmu¨ller
K. Wirthmu¨ller — Mathematik fu¨r Informatiker: Algebraische Strukturen 2009/2015 9
2.4 Weitere Beispiele (4) Zwar ist G = {0,1} ⊂ Z eine Teilmenge, aber mit der Verknu¨pfung ⊕ keine
Untergruppe, weil ⊕ nicht die Einschr¨ankung der Addition von Z ist: 1⊕1=0(cid:54)=2=1+1.
(5) Noch zwei ganz banale Beispiele: Jede Gruppe G enth¨alt als Untergruppe die nur aus dem
neutralen Element bestehende triviale Untergruppe, je nach Notation also {0} oder {1}. Außerdem
ist G natu¨rlich eine Untergruppe von sich selbst.
(cid:13)c 2009–2015 Klaus Wirthmu¨ller