Оптимизация в системе Mathematica: Учебное пособие для вузов

73 Pages·2023·2.382 MB·Russian

by  Кристалинский В. Р.

1. Сущность задач оптимизации
Целью использования математического моделирования при ре-
шении задач управления является максимальное повышение эффек-
тивности и оперативности принимаемых решений. Повышение эф-
фективности принимаемых решений достигается творческой работой
всего коллектива, ответственного за их принятие. Математическое
моделирование — это один из компонентов работы лиц, ответствен-
ных за принимаемые решения. Сущность его применения заключает-
ся в том, что отдельные параметры решения выбираются по итогам
анализа математических моделей различного вида и различных уров-
ней сложности. Но всегда окончательное решение остается за челове-
ком, поскольку в любой достаточно сложной задаче, тем более когда
в изучаемых процессах участвуют люди, присутствуют неформализу-
емые компоненты.
Одной из частных задач математического моделирования явля-
ется математическая оптимизация отдельных компонентов решения.
В ходе математической оптимизации на основе исследования матема-
тической модели подбираются такие значения компонентов, при ко-
торых достигаются оптимальные значения указанных лицом, прини-
мающим решения, показателей эффективности. При этом границы, в
которых ищутся эти значения, и, что самое главное, сами показатели
эффективности выбираются в результате творческого поиска управ-
ленцев. Нужно помнить, что возможности методов оптимизации не
безграничны и эффективность полученных с их помощью результа-
тов не может превышать границ, определяемых обстановкой и вы-
бранным способом действий. Если эффективность результатов, полу-
ченных с помощью методов оптимизации, неудовлетворительна, зна-
чит, нужно принципиально менять подход к задаче, искать обоснова-
ние для иного решения.
Алгоритмы решения задач математической оптимизации весьма
сложны. Использование электронно-вычислительной техники позво-
ляет реализовать эти алгоритмы, но зачастую предъявляет к компе-
тентности лица, желающего реализовать эти алгоритмы, весьма вы-
сокие требования. Появившиеся в последние десятилетия системы
компьютерной математики позволяют решить эту проблему. Они об-
ладают интерфейсом, позволяющим специалисту в любой приклад-
ной области решать эти задачи, не прибегая к программированию в
классическом смысле этого слова. Одной из таких систем является
3
система Wolfram Mathematica. В дальнейшем мы будем рассматри-
вать решение задач средствами именно этой системы.
Существуют различные подходы к классификации задач опти-
мизации. Например, эти методы можно подразделить на методы,
применяемые в условиях достоверного знания элементов обстановки,
и на методы, применяемые в условиях частичной или полной неопре-
деленности.
Методы первой группы, в свою очередь, также можно разбить на
различные классы. Так, в одних случаях решения принимаются в дис-
кретные моменты времени. Например, распределение сил и средств
поисковых групп при поиске людей осуществляется в дискретные мо-
менты времени и меняется при изменении обстановки. В других слу-
чаях управляющие команды должны подаваться непрерывно. В нашем
пособии мы будем рассматривать задачи первого вида.
Дадим общую математическую формулировку задачи оптимиза-
ции в дискретные моменты времени. Она выглядит следующим обра-
зом: требуется найти такие значения параметров x , x , ..., x , при ко-
1 2 n
торых целевая функция f(x , ..., x ) обращается в максимум (минимум)
1 n
при выполнении ряда ограничений:
f (x , ..., x ) = b ,
1 1 n i1
f (x , ..., x )  b ,
2 1 n i2
f (x , ..., x )  b .
3 1 n i3
При этом конкретную совокупность значений параметров x , x , ...
1 2
..., x принято называть планом. Если план удовлетворяет всем огра-
n
ничениям, он называется допустимым. Тот из планов, при котором
целевая функция принимает экстремальное значение, называется оп-
тимальным. Оптимальность плана должна быть строго математиче-
ски доказана. Нужно подчеркнуть, что оптимальный план гарантиру-
ет экстремальное значение показателя эффективности лишь в рамках
данной математической модели.
Целевая функция есть математическое описание выбранного
критерия эффективности. Она отражает характер влияния плана на
величину оптимизируемого показателя. Система ограничений может
отражать либо требования к параметрам, либо дополнительные кри-
терии эффективности.
В принципе на параметры можно и не накладывать никаких ог-
раничений, но на практике такая ситуация складывается крайне ред-
ко, поскольку значения параметров в реальности не могут быть пол-
ностью произвольными.
4
Возможность применения того или иного метода решения задач
оптимизации определяется, естественно, видом целевой функции и
ограничений, но они могут и упрощаться с целью применения более
простых методов оптимизации.
Методы решения оптимизационных задач делятся на аналитиче-
ские и численные.
Аналитические методы оптимизации используют аппарат диф-
ференциального и вариационного исчислений.
Методы дифференциального исчисления позволяют определять
глобальные и локальные экстремумы функций одной и нескольких
переменных. При этом целевая функция должна быть представлена
аналитическим выражением, дифференцируемым во всей области из-
менения значений переменных. Ограничения должны быть заданы в
виде равенств или неравенств вида x  a, x  a или дифференцируе-
i i
мых аналитических выражений.
Методами вариационного исчисления определяется вид функ-
ции, оптимальной из всех функций данного класса.
Численные методы характеризуются тем, что строят решение
задачи с помощью итерационных процедур. Поскольку их реализация
требует проведения большого количества расчетов, они требуют ис-
пользования ЭВМ.
Важным классом численных методов оптимизации являются ме-
тоды математического программирования. Они изначально создава-
лись как методы решения задач распределения ресурсов. Различаются
методы линейного, нелинейного и динамического программирования.
Методы линейного программирования применяются, если целе-
вая функция и ограничения линейны или могут быть сведены к ли-
нейным.
Методы нелинейного программирования применяются, если це-
левая функция или хотя бы одно из ограничений нелинейны. Они
значительно сложнее и требуют более полного учета особенностей
математической формулировки задачи.
Методы динамического программирования применяются тогда,
когда процесс решения может быть интерпретирован как марковский
процесс перевода задачи из заданного начального состояния в конеч-
ное. При этом целевая функция и ограничения могут быть как линей-
ными, так и нелинейными. Это возможно, если оптимизируемая
функция обладает рядом специальных свойств.
В условиях неопределенности применяются методы теории игр
и методы теории статистических решений. Методы теории игр — это
методы математического моделирования в условиях конфликтных
5
ситуаций. В таких задачах неопределенность вносится в результате
возможности выбора активным противником того или иного способа
действий.
В случае, когда неопределенность вносится действием объек-
тивных закономерностей, не зависящих от воли и сознания людей
(погода, географические условия местности и т. д.), используются ме-
тоды теории статистических решений (иногда говорят об «играх с
природой»).
При математическом моделировании любой оптимизационной
задачи в первую очередь необходимо определить критерий эффек-
тивности, чтобы обосновать выбор целевой функции. При этом опти-
мизировать можно только один показатель, все остальные будут яв-
ляться ограничениями. Так, невозможно одновременно максимизиро-
вать прибыль и минимизировать затраченные ресурсы. Можно, на-
пример, получить максимум прибыли при затратах не больше задан-
ных.
Решение оптимизационной задачи осуществляется в несколько
этапов. Сначала нужно определить, какой из двух типов оптимизаци-
онных задач соответствует исследуемой ситуации: задача с достовер-
ным знанием элементов обстановки или задача, решаемая в условиях
неопределенности. Признаком необходимости решения задачи в
условиях определенности является возможность реализации несколь-
ких вариантов условий, в которых она решается. Затем необходимо
определить, вызвана ли неопределенность обстановки действиями
людей, либо действием внешних неуправляемых факторов.
Затем необходимо определить целевую функцию. Для этого
нужно выбрать критерий, по которому определяется эффективность
решения поставленной задачи, определить факторы, влияющие на ве-
личину этого критерия, и то, каким образом эти факторы взаимодей-
ствуют.
Затем задаются ограничения. Они, как правило, соответствуют
тем границам возможного изменения параметров, которые определя-
ются реальной обстановкой. Например, если мы имеем задачу рас-
пределения ресурсов, ограничения естественным образом определя-
ются наличным запасом распределяемых ресурсов.
После завершения формулировки оптимизационной задачи осу-
ществляется ее решение. Решение задачи средствами системы Math-
ematica позволяет, как мы увидим в дальнейшем, легко осуществлять
диалог с ЭВМ, необходимый для решения задачи.
После получения решения осуществляется его анализ. Анализ
решения оптимизационной задачи осуществляется совместно лицом,
6
принимающим решения, и специалистом по математическому моде-
лированию. При этом нужно определить, в какой мере вытекающее
из результатов оптимизации решение соответствует реальной обста-
новке. Нужно оценить влияние на это решение неточностей исходных
параметров и принятых при построении математической модели до-
пущений.
Весьма важной является проверка устойчивости построенного
плана. Если план устойчив, то есть небольшому изменению плана со-
ответствует незначительное изменение целевой функции, то это явля-
ется основанием для его принятия. Если же план неустойчив, то, воз-
можно, потребуется уточнение построенной математической модели.
При планировании действий с помощью решения оптимизаци-
онных задач следует учитывать наличие неформализуемых факторов,
которые могут оказать существенное влияние на выполнение задачи.
7
2. Решение задач оптимизации,
не содержащих ограничений
Наиболее простым примером оптимизационной задачи является
задача безусловной оптимизации. В этом случае мы ищем наиболь-
шее или наименьшее значение функции и точку, в которой это значе-
ние достигается.
Решение таких задач может осуществляться методами диффе-
ренциального исчисления. Система Wolfram Mathematica позволяет
решать такие задачи, в том числе в случае, когда параметры заданы в
виде буквенных коэффициентов.
Рассмотрим задачу об управлении однопродуктовым запасом.
Пусть дефицит отсутствует, запас пополняется единовременно. Сум-
марные расходы в единицу времени состоят из удельных эксплуата-
ционных и непроизводственных расходов. Предположим для просто-
ты, что эксплуатационные расходы по определению пропорциональ-
hx
ны уровню среднего запаса z  , где h — эксплуатационные
экспл
2
расходы в единицу времени, связанные с хранением единицы запаса,
а непроизводственные расходы обратно пропорциональны длитель-
kd
ности цикла заказа z  , где k — общие непроизводственные
непроизв
x
расходы. Тогда удельные общие расходы равны
hx kd
z   ,
A
2 x
где d — интенсивность спроса.
Оптимальный уровень запаса находится из условия z = f(x) 
 min.
Находим производную функции z (x) с помощью системы Math-
A
ematica.
u[x]=(h*x)/2+(k*d)/x,
u1[x]=D[u[x],x]
Получаем результат.
h/2–(d*k)/x^2
Приравниваем производную к нулю и решаем полученное урав-
нение относительно x.
Solve[u1[x]==0,x],
{{x–(( 2 d k )/ h)},{ x(( 2 d k )/ h)}}
8
Выбирая из двух полученных корней положительный, получаем
2kd
x  .
h
Предположим теперь, что запас пополняется за счет выпускае-
мой продукции с интенсивностью производства в единицу времени r,
которая превосходит интенсивность спроса d (r > d). Тогда удельные
суммарные расходы выражаются формулой
 d 
hx1 
 r  kd
z   .
B
2 x
Находим производную функции z (x) с помощью системы Math-
B
ematica.
u2[x]=(h*x*(1–d/r))/2+(k*d)/x,
u3[x]=D[u2[x],x]
Получаем результат.
1/2 h (1–d/r) — (d*k)/x^2
Приравниваем производную к нулю и решаем полученное урав-
нение относительно x.
Solve[u3[x]==0,x],
{{x–(( 2 d k r )/ dh  hr ])},{x–(( 2 d
k r )/ dh  hr }}
Выбирая из двух полученных корней положительный, получаем
2kdr
x  .
hr d
Пусть теперь необходимый уровень запасов отсутствует и запа-
сы пополняются единовременно. В этом случае в суммарные расходы
дополнительно включаются издержки z , обусловленные отсут-
дефиц
ствием необходимого уровня запасов, и удельные общие расходы
определяются выражением
2
hxv bv2 kd
z   ,
B
2x x
где v — величина дефицита, b — удельные потери от дефицита в еди-
ницу времени.
Найдем частные производные функции z(x, v) по x и по v с по-
мощью системы Wolfram Mathematica.
9
gg[x,v]=(h*(x–v)^2+b*v^2)/(2*x)+(k*d)/x,
gg1[x,v]=D[gg[x,v],x],
gg2[x,v]=D[gg[x,v],v]
Приравняем полученные производные к нулю и решим полу-
ченную систему уравнений относительно x и v.
Solve[{gg1[x,v]==0,gg2[x,v]==0},{x,v}]
Упростим полученный результат и получим ответ.
FullSimplify[%],
{{x–((Sqrt[2] Sqrt[d] Sqrt[b (b+h)] Sqrt[k])/
(bSqrt[h])),v–((Sqrt[2]Sqrt[d]Sqrt[h]Sqrt[k])/
Sqrt[b(b+h)])},{x(Sqrt[2] Sqrt[d] Sqrt[b(b+h)]
Sqrt[k])/(b Sqrt[h]), v(Sqrt[2] Sqrt[d] Sqrt[h]
Sqrt[k])/Sqrt[b (b+h)]}}
Выбирая из двух полученных значений x и v положительные,
получим
2dkbb h 2kdh
x  , v  .
b h bb h
Теперь рассмотрим случай наличия дефицита при равномерном
пополнении запаса.
В этом случае удельные общие расходы определяются выраже-
нием
2
  d  
hx1 v bv2
  r   kd
z   .
Г  d  x
2x1 
 r 
Найдем частные производные функции z(x, v) по x и по v с по-
мощью системы Wolfram Mathematica.
f[x,v]=(h*(x*(1–d/r)–v)^2+b*v^2)/
(2*x*(1–d/r))+k*d/x,
ff1[x,v]=D[f[x,v],x],
ff2[x,v]=D[f[x,v],v]
Приравняем полученные производные к нулю и решим полу-
ченную систему уравнений относительно x и v.
Solve[{ff1[x,v]==0,ff2[x,v]==0},{x,v}]
Упростим полученный результат и получим ответ.
FullSimplify[%]
{{x–((I Sqrt[2] Sqrt[d] Sqrt[b+h] Sqrt[k]
Sqrt[r])/Sqrt[b h (d–r)]),v (I Sqrt[2] Sqrt[d]
Sqrt[k] Sqrt[b h (d–r)])/(b Sqrt[b+h]
10
Sqrt[r])},{x (I Sqrt[2] Sqrt[d] Sqrt[b+h]
Sqrt[k] Sqrt[r])/Sqrt[b h (d–r)],v–((I Sqrt[2]
Sqrt[d] Sqrt[k] Sqrt[b h (d–r)])/(b Sqrt[b+h]
Sqrt[r]))}}
Полученный результат может привести в некоторое недоумение,
поскольку полученные выражения содержат мнимую единицу (I). Од-
нако вспоминая, что по условию r > d, следовательно d r i r d .
Умножая на –i, получаем
2dkrbh 2dkhr d
x  , v  .
bhr d rbh
Данные примеры иллюстрируют возможности системы Wolfram
Mathematica работать с выражениями в общем виде. Последний слу-
чай показывает также, что полученные с ее помощью результаты мо-
гут требовать дополнительного изучения и анализа.
Система позволяет решать задачи безусловной оптимизации и
непосредственно. Найдем, например, локальный максимум функции
y = x3 + 4x2 – 1 с начальной точкой –3. Вводим команду
FindMaximum[x^3+4*x^2–1,{x,–3}]
Получаем результат.
{8.48148,{x–2.66667}}
Таким образом, данный максимум равен 8,48 и достигается он в
точке –2,67.
Построим график рассматриваемой функции (см. рис. 1) на про-
межутке (–5;0).
Plot[x^3+4*x^2–1,{x,–5,0}]
Таким образом, из графика видно, что локальный максимум
действительно находится в точке x = –2,67. Следует иметь в виду, что
данная команда позволяет находить именно локальный максимум,
лежащий вблизи точки x = –3.
Для получения глобального максимума служит команда Maxim-
ize (NMaximize). Различие между этими командами состоит в том, что
NMaximize использует численные методы оптимизации, а Maximize
пытается использовать аналитические. Попытка применить команду
Maximize к рассматриваемой функции
Maximize[x^3+4*x^2–1,x]
приводит к следующему результату:
{,{x}}
11
Рис. 1
Действительно, функция не ограничена.
Рассмотрим теперь функцию – (x4 + 4x2 + x – 1). Найдем ее гло-
бальный максимум.
Maximize[–(x^4+4*x^2+x–1),x]{1–Root[1+8 #1+4 #1^3&,1]–4
Root[1+8 #1+4 #1^3&,1]^2–Root[1+8 #1+4 #1^3&,1]^4,
{xRoot[1+8 #1+4#1^3&,1]}}
Полученный нечитаемый результат связан с тем, что система
пытается решить аналитически уравнение 3 степени (находит нули
производной). Для приведения результата к удобному виду использу-
ем команду
N[%]
{1.06226,{x–0.124046}}
В случае использования команды NMaximize результат появля-
ется сразу:
NMaximize[–(x^4+4*x^2+x–1),x]
{1.06226,{x–0.124046}}
Построим график функции (см. рис. 2) на промежутке (–2;2) и
убедимся в правильности решения.
Plot[–(x^4+4*x^2+x–1),{x,–2,2}]
В случае, если нам нужно только найти точку, в которой дости-
гается максимум, используется команда FindArgMax.
FindArgMax[–(x^4+4*x^2+x–1),x]
{–0.124046}
Для нахождения значения максимума функции используется
команда FindMaxValue.
FindMaxValue[–(x^4+4*x^2+x–1),x]
1.06226
12