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MATEMATICAS
UNA HISTORIA ILUSTRADA DE LOS NÚMEROS
COLABORADORES
Richard Beatty • James Bow • Mike Goldsmith • Dan Green
Tom Jackson • Robert Snedden • Susan Watt
Editado por: Tom Jackson
Librero
Contenido
INTRODUCCIÓN 6
DE LA PREHISTORIA A LA EDAD MEDIA
1 Aprendiendo a contar 10
2 Notación posicional 11
3 El Ábaco 11
4 Teorema de Pitágoras 12
5 El Papiro Rhind 14
6 Cero 14
7 La matemática de la música 15
8 La proporción áurea 16
9 Sólidos platónicos 18
10 Lógica 19
11 Geometría 20
12 Cuadrados mágicos 22
13 Números primos 22
14 Pi 24
EL RENACIMIENTO Y LA ERA DE LA ILUSTRACIÓN
15 Midiendo la Tierra 26
16 Potencias de diez 27 24 Perspectiva geométrica 36
17 El calendario moderno 28 25 Ecuaciones no lineales 38
18 Ecuaciones diofánticas 30 26 Ley del péndulo 38
19 Sistema de numeración indoarábigo 31 27 xey 40
20 Algoritmos 32 28 Elipses 40
21 Criptografía 33 29 Logaritmos 42
22 Álgebra 34 30 El ábaco de N apier 44
23 Serie de Fibonacci 35 31 Regla de cálculo 44
32 Números complejos 45
33 Coordenadas cartesianas 46
34 Leyes de la caída 47
35 Calculadoras 48
36 Triángulo de Pascal 49
37 Azar 50
38 Principio de inducción 52
39 Cálculo 52
40 Las matemáticas de la gravedad 54
41 Números binarios 56
NUEVOS NÚMEROS, NUEVAS TEORÍAS MATEMÁTICAS MODERNAS
42 e 58 71 Topología 88
43 Teoría de Grafos 60 72 Una nueva geometría 90
44 El problema de los tres cuerpos 61 73 23 problemas de Hilbert 90
45 Identidad de Euler 62 74 Masa y energía 92
46 Teorema de Bayes 63 75 Cadenas de Markov 93
47 Maskelyne y la ecuación personal 64 76 Genética de las poblaciones 93
48 Maltusianismo 64 77 Fundamentos de la matemática 94
49 Teorema fundamental del álgebra 66 78 Relatividad general 94
50 Teoría de la perturbación 67 79 La matemática de la física cuántica 96
51 Teorema del límite central 68 80 Teorema de Godel 98
52 Análisis de Fourier 68 81 Máquina de Turing 99
53 El ordenador mecánico 69 82 La Medalla Fields 100
54 Función de Bessel 70 83 Zuse y el ordenador electrónico 100
55 Teoría de grupos 70 84 Teoría de juegos 102
56 Geometría no euclidiana 72 85 Teoría de la información 103
57 La persona promedio 74 86 Geodésicas 104
58 Distribución de Poisson 74 87 Teoría del caos 105
59 Cuaterniones 75 88 Teoría de las cuerdas 106
60 Números trascendentales 76 89 Teoría de la catástrofe 107
61 Buscando a Neptuno 77 90 Teorema de los cuatro colores 108
62 Ley de Fetchner-Weber 78 91 Encriptado de clave pública 109
63 Álgebra Booleana 79 92 Fractales 110
64 Maxwell-Boltzmann 80 93 La cuarta dimensión y más allá 112
65 Definiendo los irracionales 81 94 Clasificación de los grupos simples finitos 113
66 Infinito 82 95 Criticalidad auto organizada 114
67 Teoría de conjuntos 84 96 Último teorema Fermat 114
68 Axiomas de Peano 86 97 Prueba por ordenador 115
69 Grupos simples de Lie 86 98 Problemas del milenio 116
70 Técnicas estadísticas 87 99 Conjetura de Poincaré 116
100 La búsqueda de los primos de Mersenne 117
101 Matemáticas: una guía
118
Imponderables
126
Los grandes matemáticos
130
Bibliografía y otros recursos
140
Índice
141
Agradecimientos
144
6 * INTRODUCCIÓN
Introducción
¿SON UNA CIENCIA? ¿SON UN ARTE? QUIZÁ AMBOS, QUIZÁ NIN
Prueba árabe del teorema
GUNO. 'LAS MÁTEMÁTICAS SON UN CONJUNTO QUE SE DIFEREN de Pitágoras utilizando
una aproximación gráfica
CIA DE LOS OTROS LOGROS HUMANOS; LA FRONTERA para mostrar la relación
entre las longitudes de los
ENTRE EL INTELECTO Y LA IMAGINACIÓN,
lados de un triángulo.
DONDE LO REAL Y LO IRREAL SE
CONFIGURAN DE FORMA PRECISA.
Las matemáticas se iniciaron
como la medición y registro
de la riqueza. Los registros
matemáticos más antiguos son
transacciones, como se muestra
en esta tabla de 4000 años de
antigüedad.
m .
N -
Las ideas y los hechos de los grandes pensadores siempre producen gran
des historias, y aquí hemos reunido 100 de ellas. Cada historia relata un
hito, un problema importante que se convirtió en un descubrimiento y
cambió la forma en la que entendemos el mundo y nuestro lugar en él.
La historia es generalmente una sucesión de cambios, con ideas que
ascienden y caen, culturas que dominan y luego se desvanecen, un hito
es remplazado por otro. Pero no así en las matemáticas. Una vez que un
- matemático ha probado algo como cierto, no puede ser refutado. Existe
un contraste entre el Universo geocentrista que defendía el astrónomo
clásico Ptolomeo (y que fue aceptado como cierto por la mayoría durante
INTRODUCCIÓN * 7
1.500 años) y las técnicas geométricas que desarrolló para organizar su
movimiento. El Universo de Ptolomeo es sinónimo de un pensamiento
equivocado. Sin embargo, la geometría de Alejandría funcionó entonces
y funciona ahora, formando la base de la trigonometría.
EL PRIMER HITO
La historia de las matemáticas no es una acerca de valiosas ideas nuevas
que conquistan a las viejas, ocupando su sitial de honor. Más bien es la
historia de cómo a las viejas, pero venerables verdades se le suman nue
vos hitos, acrecentando de forma gradual el cuerpo de la matemática.
CONJC,Al,
CURVAR
Ordi.nara.
11 z" =-X
z11= X z'+,¡ yx--V
El código del ordenador es
una escritura matemática
muy extensa. Cuando los
l}-jx'
=V números binarios compues
tos de 1 y Os on demasiado
vel sic ·y¡x+ex'=v largos para que incluso los
ordenadores los recuerden,
son convertidos en números
hexadecimales, ¡que pueden
\(,/-r+ ex' =ll -1,.,=c=.ef-x-aGDB vdBDPR . F'1-•· contar desde 1 hasta F!
'(/.r + ex' =V
Esta tabla muestra cómo
:t(f, X ,xv +J' =e-!;¡} in PAD vel.in aGDA. Fig.U.♦• convertir las líneas geomé
?=x Vjx+a' =V tricas en álgebra creando
;¡-, -x' ·YJ+7xi '=_v #,-, s=xv =e=* in POD velúiAO:DGa Fig.,u. ~ una forma de describir
L----- 1-- -.-., - =- x-----lf.-VÍ-(/x.+--a--'--_.:._,,- --+ ---+-W--:d-,-,x-v_..:;_--_,-_-t_=_w_/:-i-n_aD_G_a_. -F-ig·-,-,-.,c..- - -----¡~5 cambios naturales, desde el
crecimiento de las plantas
f, = X /¿xJs+zrV,.,. t: =i J¼ in .Ja.DGa...;;-~a.DB ·. .F ~· . .,.~·•· a la caída de la bolsa de
Vjx-+ cx.1. = v valores.
La historia comienza con el número uno, pero el infinito no es su fin. fleja en las matemáticas de adivinación de lfá provenientes del Valle del
El término matemática se deriva de la palabra griega "conocimiento". Río Níger.
Prácticamente todo lo que conocemos o creemos conocer, comienza ¿Podrían las matemáticas reflejar patrones de la realidad, algunos
con su cuantificación, su expresión en números. La primera cuestión manifiestos y otros ocultos? Cuando no es citado por su trabajo en los
es ¿esas cantidades realmente existen o las inventamos para nuestros triángulos rectángulos, Pitágoras es recordado como la primera perso
propios propósitos? Si la matemática es una construcción de la mente na que conectó las matemáticas a un fenómeno natural, al revelar la re
humana, debe ser innata ya que los mismos sistemas de numeración lación entre la longitud de una cuerda y el tono que produce al ser pul
aparecen una y otra vez en culturas aisladas. Los mayas inventaron el sada. Como se verá, las órbitas de los cuerpos celestes, la acumulación
concepto del cero independientemente de los babilonios y los indios de la riqueza, los mecanismos internos de la materia, los ordenadores y
Y, hasta donde sabemos, estas culturas nunca intercambiaron ideas. las estrategias políticas, e incluso las propias raíces de la belleza siguen
De manera parecida, la simbología binaria del I Ching de China se re- caminos alineados con los números. Comencemos ese mismo viaje.
8 * INTRODUCCIÓN
CAMPOS DE LAS MATEMÁTICAS ÁLGEBRA TEORÍA DE GRUPOS
Las matemáticas pueden ser aplicadas a tod_o -con Investiga la relación entre Características de un grupo
grados variables de éxito-aunque definirlas en números mediante el de números formado al
términos de sus aplicaciones resultaría muy confuso. remplazo de números convertir los miembros de
reales, aunque variables, un conjunto en una serie
Sería como explicar el teléfono mediante la lectura
' . con términos generales, de resultados por una mis-
de la guía telefónica. Incluso unas bases teóricas para
con frecuencia x e y. ma operación. Al igual que
dividir las matemáticas requieren mucho compromiso
los números, estos grupos a
dada la gran posibilidad de que se crucen los temas. menudo se componen de
En términos simples, las matemáticas abordan las TEORÍA DEL ORDEN otros más simples.
cantidades, esencialmente las diferentes maneras de
Estudio de los principios
contar; las estructuras numéricas, sus patrones y los }
que pueden ser derivados
vínculos entre ellos; el espacio, las características de
de la forma como cualquier
formas y superficies; y finalmente la comprensión del número, cantidad u otros
cambio trazando sistemas dinámicos entre instantes elementos matemáticos
de tiempo. Algunos campos específicos son: pueden ser vistos como
TEORÍA DE NÚMEROS
"menor que'; "mayor que'; o
"antes" y "después''.
ARITMÉTICA
Manipulación de cantidades mediante
operaciones como la suma, resta,
multiplicación, etc. M A T E
PROBABILIDAD
Las matemáticas del azar,
que calcula la posibilidad
de que ocurra un evento
dadas las condiciones ini-
ciales y posibles resultados. MATEMÁTICAS
APLICADAS
ESTADÍSTICA
Revela importantes
conocimientos a partir
de muestras matemáticas
DINÁMICA DE
tomadas de la vida real.
FLUIDOS CRIPTOGRAFÍA TEORÍA DE JUEGOS
Modela el movimiento de Matemática de los códigos, Uso de las matemáticas
líquidos y gases según sus desde los números binarios para minimizar pérdidas y
características: viscosidad, utilizados en el control maximizar ganancias según
velocidad, presión ... de los ordenadores hasta la probabilidad, comporta
mensajes encriptados. miento de los oponentes
y la colaboración de los
compañeros.
INTRODUCCIÓN * 9
TRIGONOMETRÍA FRACTALES
GEOMETRÍA
La relación entre las La aplicación de la geome
TOPOLOGÍA DIFERENCIAL
longitudes de los lados de tría y la topología al mundo
Forma de la geometría en un triángulo y sus ángulos real revela superficies áspe Uso de técnicas
la que solo las conexiones internos tanto en planos ras y objetos autosimilares geométricas para explorar
internas de los objetos son como en superficies descritos en términos de los sistemas dinámicos o
importantes; las longitudes cóncavas y convexas. dimensiones fraccionarias. aplicación del cálculo a la
y los ángulos son libres de geometría compleja.
cambiar sin alterar las ca-
racterísticas fundamentales.
GEOMETRÍA
ALGEBRAICA
Uso de las expresiones
algebraicas para describir
los bordes y superficies de
objetos geométricos.
GEOMETRÍA
FILOSOFÍA DE LAS
MATEMÁTICAS
, _ _/ ¡
e
A T I A
1
TEORÍA DE
Estudiali~~ ~+1~2y
CONJUNTOS
otras cuestiones funda
mentan las matemáticas.
Conjuntos de números,
cómo se relacionan,
comparan o superponen.
TEORÍA DE GRAFOS
El estudio de las
ANÁLISIS
conexiones entre líneas,
formas y otros objetos. FUNCIONAL
ECUACIONES
DIFERENCIALES
Expresiones matemáticas
TEORÍA DE LA CÁLCULO TEORÍA DEL CAOS
que envuelven funciones y
INFORMACIÓN El campo de las matemáti Describe cómo los sistemas
sus derivadas. Una función
cas que describe el cambio dinámicos pueden tener
Medición de las unidades es una operación definida
continuo -un movimiento resultados que difieren a
de información o datos, realizada en una variable de
en el mundo real, o la pen causa de pequeñas varia
como las almacenadas entrada; la derivada es una
diente en una curva alge ciones en las condiciones
en los ordenadores y instantánea del efecto de la
braica teórica-en términos iniciales; por qué un peque
transmitidas entre ellos. función.
de pasos infinitamente ño cambio puede provocar
pequeños e instantáneos. una gran diferencia.
CONTAR DE UN VISTAZO
A menudo utilizamos los números de una
manera inexacta, diciendo algunas, varias,
o incluso montones. En estos casos, la cifra
precisa no es importante y no tenemos el
tiempo para contar los objetos en cues
tión. Sin embargo, cuando se trata de ser
exactos, nuestros cerebros parecen tener
un máximo innato. Mire estas piedras.
Hay seis, por supuesto, pero su cerebro
probablemente las reconoció como dos
grupos de tres. Cubra una y mire de nuevo.
El cerebro humano parece ser capaz de
reconocer un conjunto máximo de cinco.
Contar más allá que esto req·uiere que se
agrupen en conjuntos más pequeños.
