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MATEMATICAS BASICAS PARA
ECONOMISTAS
VOLUMEN 1
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A L
LGEBRA INEAL
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MATEMATICAS BASICAS PARA
ECONOMISTAS 1
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A L
LGEBRA INEAL
Con notas histo´ricas y contextos econo´micos
SERGIO MONSALVE
EDITOR
FACULTAD DE CIENCIAS ECONO´MICAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
Catalogaci´onen la publicaci´on Universidad Nacional de Colombia
Matem´aticas b´asicas para economistas: con notas hist´oricas y contextos econ´omicos
/ ed. Sergio Monsalve. - Bogot´a : Universidad Nacional de Colombia. Facultad de
Ciencias Econ´omicas,2009
4 v.
Incluye referencias bibliogr´aficas
Contenido : v. 0. Fundamentos. – v. 1. Algebra lineal. – v. 2. C´alculo. –
v. 3. Optimizaci´on y din´amica
ISBN 978-958-719-304-6(v. 0). - ISBN 978-958-719-305-3(v. 1). -
ISBN 978-958-719-306-0(v. 2). - ISBN 978-958-719-307-7(v. 3)
1. Matem´aticas 2. Modelos econ´omicos 3. Matem´aticas para economistas
4. A´lgebra lineal 5. C´alculo 6. Optimizaci´on matem´atica 7. Programaci´on
din´amica
I. Monsalve G´omez, Sergio, 1962-, ed.
CDD-21 510.2433/ 2009
Matem´aticas B´asicas para
Economistas 1: A´lgebra Lineal
cSergio Monsalve G´omez
(cid:13)
cUniversidad Nacional de Colombia
(cid:13)
cFacultad de Ciencias Econ´omicas
(cid:13)
Primera edici´on, 2009
ISBN: 978-958-719-305-3
Colaboradores del autor:
Disen˜o de car´atula
Olga Manrique
A´ngela Pilone Herrera
Escuela de Econom´ıa
Universidad Nacional de Colombia,
Correcci´on de estilo
Bogot´a
C´esar Cort´es
Ana Patricia Tolosa Francisco Lozano
Escuela de Econom´ıa
Disen˜o de p´aginas interiores y
Universidad Nacional de Colombia,
armada electr´onica
Bogot´a
Nathalie Jim´enez Mill´an
Impresi´on:
Editorial Universidad Nacional de
Colombia
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Indice general
1. Lecci´on 1
Sistemas de ecuaciones lineales: soluci´on por eliminacio´n
gaussiana 1
1. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. M´etodo de eliminaci´on gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
a. Algoritmo de eliminaci´on gaussiana. . . . . . . . . . . . 4
b. Una visi´on geom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3. Contexto econ´omico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
a. Sobre el ´algebra lineal en la teor´ıa econ´omica . . . . . . 18
2. Lecci´on 2
Matrices y determinantes 29
1. La noci´on de matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2. Tipos de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3. A´lgebra de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
a. Suma de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
b. Multiplicaci´on de un escalar por una matriz . . . . . . . 36
c. Multiplicaci´on de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4. Otros tipos de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
a. Matrices particionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5. Determinante de una matriz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . 62
a. Determinantes 2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
×
b. Determinantes 3 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
×
c. Determinantes n n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
×
6. Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7. Contexto econ´omico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
a. Primer modelo lineal formal en la teor´ıa econ´omica: so-
bre las tasas de intercambio (Cournot (1838)) . . . . . . 84
vii
3. Lecci´on 3
Sistemas de ecuaciones lineales: soluci´on por matriz
inversa 93
1. La matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2. C´alculo de la matriz inversa mediante el m´etodo gaussiano . . . 100
3. C´alculo de la matriz inversa mediante determinantes (regla de
Cramer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
a. Determinantes de matrices particionadas . . . . . . . . . 116
b. Inversas de matrices particionadas . . . . . . . . . . . . 117
4. Contexto econ´omico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
a. Una “visi´on lineal” en la teor´ıa del valor: la teor´ıa de la
imputacio´n de von Wieser (1889) . . . . . . . . . . . . . 121
4. Lecci´on 4
Vectores 131
1. El concepto de vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2. Norma de un vector en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3. A´ngulo entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
a. Proyecci´on de un vector sobre otro . . . . . . . . . . . . 150
b. Producto cruz de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4. Rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
a. Rectas en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
b. Planos en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5. Contexto econ´omico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
a. El modelo de equilibrio general Walras-Cassel (1918) . . 166
5. Lecci´on 5
Bases y dimensi´on 179
1. Definici´on de espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
a. Combinaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
b. Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
2. Las nociones de base y dimensi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
a. Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . . 196
3. Bases ortonormales para Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4. Bases para el espacio-soluci´on de un sistema de ecuaciones li-
neales homog´eneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5. Contexto econ´omico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
a. El an´alisis insumo-producto de Leontief (1936) . . . . . 219
6. Lecci´on 6
Transformaciones lineales 235
1. Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
a. Transformaciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . 247
2. Nu´cleo e imagen: dos subespacios asociados a una transforma-
ci´on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
3. Transformaciones lineales y matrices . . . . . . . . . . . . . . . 258
a. El rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
4. Estructura de los conjuntos de transformaciones lineales . . . . 272
5. Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
6. Contexto econ´omico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
a. El modelo de equilibrio general de Von Neumann (1932) 281
7. Lecci´on 7
Diagonalizaci´on en Rn 293
1. Valores propios y vectores propios de una transformaci´on lineal 293
2. Diagonalizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
3. Diagonalizaci´on de matrices sim´etricas: el teorema espectral . . 307
4. Formas cuadr´aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
5. Breve nota sobre la diagonalizaci´on en bloques de Jordan . . . 319
6. Contexto econ´omico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
a. El modelo te´orico de Sraffa (1960) . . . . . . . . . . . . 323
8. Lecci´on 8
Conjuntos convexos 341
1. Noci´on de conjunto convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
2. Introducci´on a la programaci´on lineal . . . . . . . . . . . . . . 350
3. Contexto econ´omico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
a. Sobre la noci´on de convexidad en econom´ıa . . . . . . . 356
b. Tres modelos lineales b´asicos de la teor´ıa econo´mica . . 357
Bibliograf´ıa 387
Respuestas 409
´Indice alfab´etico 431
La ciencia se ha construido para satisfacer
ciertas necesidades de nuestra mente;
ella nos describe.
Y aunque tiene cierta relacio´n con el mundo real,
esa relacio´n es muy, muy compleja.
Robert J. Aumann
Premio Nobel de Econom´ıa 2005
Description:Una vez presentado el volumen 0 (Fundamentos) de Matemáticas básicas para economistas, el primer paso en la formación matemática de todo economista moderno es afrontar el estudio de aquellas herramientas que permiten abordar "problemas lineales "; es decir, de lo que hoy se llama álgebra lineal
