Table Of ContentSistemas de unidades. Algunos factores de conversión comunes
En la tabla siguiente se presentan los sistemas de unidades de uso más común. El sistema
mks también se conoce como Sistema Internacional de lvfedidas (abreviado Sistema SI). En
este sistema se.acostumbra usar las abreviaturas s (en lugar de seg) y N (en lugar de nt).
MATEMÁTICAS
Sistema de unidades Longitud Masa Tiempo Fuerza
Sistema Cgs centímetro (cm) gramo (g) segundo (s) dina AVANZADAS PARA
Sistema Mks metro (m) kilogramo (kg) segundo (s) newton (nt) INGENIERÍA
Sistema de ingeniería pie (ft) slug segundo (sec) libra (lb)
VOL.11
l pulgada (in) .=·2. 54000 51 cm 1 pie (ft) = 30.48006 12 cm
l yarda (yd) = 3 ft = 91.44018 36 cm l milla terrestre (mi)= 5280 ft = 1.60935 km
l milla náutica= 6080.2 ft = 1.8532 km
l acre= 4840 yd2 = 4046. 773 m2 1 mi2 = 640 acres= 2.58999 87 km2
1 onza de líquido= 29.5737 cm3
1 galón de EU = 4 cuartos (liq.) = 8 pintas (liq,) = 128 fl oz = 3 785.432 cm3
1 galón británico imperial y canadiense= 1.20094 galones de EU = 4546.1 cm3
1 slug = 14.59390 kg
1 libra (lb)= 4.448444 N 1 newton (N) = 105 dinas
1 unidad térmica británica (Btu) = 1054.8 joules 1 joule 107 ergs
1 caloría (cal)= 4.1840 joules
1 kilowatt·hora (kWh) = 3413 Btu = 3.6 · 106 joules
1 caballo de fuerza (hp) = 2545 Btu/h = 178.2 cal/s = 0.74570 kW
l kilowatt (kW) = 1000 watts = 3413 Btu/h = 23 8.9 cal/s
ºF = ºC · l. 8 + 3:2 1º = 60' = 3600'.' = 0.01745 radianes
Para mayores detalles, ver, por ejemplo, D. Halliday, R. Resnick y K. Krane, Physir;r, 4a. cd., Nueva York: Wiley.
Ver también AN American National Standard, ASTM/lEEE Standard Metric Practice, lnstitute of Electrical and
Electronics Engineers, lnc., 345 East 47th Street, Nueva York, N.Y .. 10017
t,3'
Prefacio
Propósito del libro. Este libro presenta a los estudiante;s de ingeniería, física, mate
máticas y ciencias de la computación las áreas de las matemáticas que; desde i.lna
perspectiva moderna, poseen m~yor importB?cia en relación con problemas prácticos.
El contenido y carácter de las matemáticas rtecesarias en aplicaciones prácticas
cambian con rapidez. Cada vez son más importantes el álgebra iineal -en particular
las matrices-y los métodos numéricos para computadoras. La estadística y la teoría
de las gráficas desempeñan papeles más sobresalientes. E! análisis reai (las ecuaciones
diferenciales ordinarias y parciales) y el análisis complejo siguen siendo indispensables.
Él írtaterfal del presente texto, dividido en dos volúmenes, está organizado consecuetiie•
mente en siete partes independientes (ver también el diagrama de la página siguiente):
A Ecuaciones diferenciales ordinarias (capítulos 1-6)
B Álgebra lineal, cálculo vectorial (capítulos 7-9)
C Análisis de Fourier y ecuacicnes diferenciales parciales (capítulos 10, 11)
O Análisis complejo (capítulos 12-17)
E Métodos numéricos (capítulos 18-20)
F Optimización, gráficas (capítulos 21, 22)
G Probabilidad y estadística (capítulos 23, 24)
A lo que sigue:
Bibliografia (apéndice 1)
Respuestas a los problemas de número impar (apéndice 2)
Material complementario (apéndice 3)
Demostraciónes adicionales (apéndice 4)
Tablas de funciones (apéndice 5)
Este libro ha Contribuido a aÍlanar el camino para el progreso actual y capacitara a los
estudiantes para la situación actual y el futuro rnediarite un tratamiento moderno de las
áreas mertcionadas y de las ideas -algunas de ellas relacionadas con la computación
que dan lugar en la actualidad a cambios fundamentales; muchos métodos son ya
obsoletos .. Se hace hincapié en las ideas nuevas, por ejemplo, la estabilidad, la estiina
ción de errores y problemas estructurales de.algoritmos, por citar sólo algunas. Las
tendencias se alimentan por la oferta y la demanda: oferta de nuevos y eficaces métodos
matemáticos y numé1icos aunados a los ertonnes recursos de las computadoras; la
demanda de resolver problemas de complejidad y alcance crecientes, los cuales se origi
nan de sistemas o procesos de producción cada vez más elaborados, de condiciones
físicas extremas (por ejemplo, las de viajes espaciales), de materiales con propiedades
inusuales (plástícos, aleaciones, superconductores, etc .. ) o de tareas por completo nue
vas eri el ámbito de las computadoras, la robótica y otros campos nuevos.
La tendencia general es clara. Los detalles sori más difíciles de predecir, los estu
diantes necesitan un conocimiento sólido de lefa principios, rt16todos y resuitádos
5
1;;;_;;~0'vv}', \~ ........ "-'· ,:...,,:· ó t22 "'') d 0 0 0 0 l(j 0 0 t....:;,.i. 1 l~_:j (_) 1¿; \j) \.1-J :.9 J 10 \;¡) ¡;;) u '.r.;¡j) u u \..) ~;i '-.) ·~J u uJ 0 •...) "-'-"' <.J ,_,_.:1
6 PREFACIO - PREFACIO 7
PARTE A PARTE B P.;\.RTEC básicos, así como una percepción clara de cuál es el campo de acción de las matemá
ticas para ingeniería en las tres fases de la solución de problemas:
Capítulos J-6 Capítulos 7-9 Capítulos 10, 11
ft1odelado: Traducir la información y los datos físicos o de otras áreas a una fonna
Análisis de Fourier.
Ecuaciones diferenciales ~.\!gebra !ineaL matemática, a un 1node!o matemático (una ecuación diferencial, un sisterna de ecuaciones
Ecuaciones
ordinarias Cálculo vectorial o alguna otra expresión matemática).
diferenciales parciales
Capítulos 1-4 Capitulo 7 Capitulo 10 Solución: Obtener la solución seleccionando y aplicando los métodos matemáticos
1 Materinl básico 1 Vectores y matrices 1 Análisis de Fourier apropiados y, en la mayoría de los casos, realizando los cálculos numéricos en una
T 'f 'f T Capitulo 11 computadora. Esta es la tarea principal de este libro ·
Capitulo 5 Capitulo 8 Ecuaciones diferenciales
Solsuecriioens cd:se en Capitulo 6 1C álculo diferencial vectorial pa1 ciales Interpretación: Entender el significado e implicaciones de la solución matemática del
potencias T ransfonnada 'f problema original en términos de física -o del campo en donde se origine el problema.
de Laplace
'Funciones Capitulo 9
especiales Cálculo integral vectorial
No tendría sentido sobrecargar a los estudiantes con todo tipo de detalles que sólo
se usarán de vez en cuando. Más bien, es importante que los estudiantes se familiaricen
con las formas de pensar matemáticamente, que entiendan la necesidad de aplicar méto
dos matemáticos a problemas de ingeniería, que se den cuenta de que las matemáticas
son una ciencia sistemática construida a partir de un número relativan1ente reducido de
---- conceptos básicos que incluye eficaces principios unificadores y lleguen a una com
PARTED PARTE E PARTE F prensión firme de la interrelación entre la teoria, los cálculos y la experimentación.
Los acelerados avances mencionados arriba han redundado en la incorporación
Capítulos 12-17 Capítulos 18-20 Capítulos 21, 22
de diversos cambios y nuevas características en la presente edición de este libro ..
En particular, se han redactado de nuevo varias secciones de una manera más
Análisis complejo Métodos numéricos Optimización. Gráficas detallada y pausada, para hacer más sencillo el libro.
Lo anterior también ha llevado a un mejor equilibrio entre aplicaciones, ideas
algorítmicas, ejemplos resueltos y teoría.
1 CMaapteit1uilaol b1á2s-i1c5o CnptSil u!o CMaépttío9td uolos CMnpéi1tuo1doo2s 0 Capitulo 21 CGapráitfuicloa s2 2
'f MaCpaepoi tcuolnof o1r6m e ngMuemné1eéroraidcloeosss állpignaeerbaarl a deiCfeurpeaan:ircoain acless Prloingeraaml a Ocopmtibmiinzaatcoiróian Los principales cambios en esta edición
1 NUEVOS EJERCICIOS DE LAS SECCIONES. Ahora guardan una relación
'f o
Capilulo 17 más estrecha con los ejemplos resueltos en el texto
Teoría del potencial
REORGANIZACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES. Las ecuacio
nes de orden 11 se ampliaron en un capítulo aparte. Los sistemas se
e ampliaron y actualizaron de manera sustancial.
REORGANIZACIÓNCOMPLETADELÁLGEBRALINEAL:
PARTE G Vectores y matrices (capítulo 7)
Capítulos 23, 24 Álgebra vectorial y cálculo diferencial en R' (capítulo 8)
Cálculo integral vectorial en R3 (capítulo 9)
Probabilidad.
Estadística
Cambios adicionales y nuevas características de los capítulos
Capitulo 23 Ecuaciones diferenciales ordinarias (capítulos 1-6)
Teoría de la p1obabilidad
Partes del libro y capítulo!:
t De primer orden (capítulo 1) . Presentación de los factores de integración en una
correspondientes Capitulo 24
Estadistica matemática manera más sistemática (sección L6); inclusión de las ecuaciones de Riccati y
Clairaut (sección 1.7); inclusión de problemas diversos (sección 1. 7, etc.).
8 PREFACIO PRE:FACIO
9
De segundo orden (capítulo 2). Maybr fluidez del material al reordenarlo-toda la
J' Mapeos (capítulos 16, 17). Análisis simplificado de algunos de los problemas más
·;¡! teoría se encuentra ahorá en secciones consecutivas (secciones 2.7, 2.8), seguida complicados.
J~ por los dos métodos principales para encontrar soluciones particulares (seccio
"'1:;r nes 2.9, 2.10) y por las aplicaciones básicas de oscilaciones forzadas (secciones
t 2.11,2 12). ' Métodos numéricos (capítulos 18-20)
1:
!¡>, De orden 11 (capítulo 3). Separación del material de las ecuaciones de segundo Aspectos y algoritmos relacionados con las computadora.s, se hace aún más
orden y colocación en un capítulo aparte, con una ampliación del material; la hincapié en ellos.
presentación sigue en la medida de lo posible el esquema del capítulo 2. Actualización y análisis simplificado en los tres capítulos; más detalles sobre la
'
~ Sistemas (capitulo 4). Redacción por completo nueva y ampliación del tema, con estabilidad (sección 18.1, etc); un mejor análisis de los erTOres de interpolación
el uso sistemático de matrices 2 x 2 (las cuales se repasan en la sección 4.0). (se~ción .18.3); más sobre inte1:JJolación segmentaría (splines) (sección 18.4) y
mejoramiento de la convergencia por desplazamiento (sección 19.8).
Método de Frobenius (capítulo 5). Ejemplos más sencillos; ampliación de la dis
1 cusión de las funciones de Bessel (sección 5 .. 6). Ampliación de la discusión del
Apéndices
~) desarrollo de eigenfunciones (sección 5 .. 9)
Transformada de Laplace (capítulo 6). Inciusión de la función de transferencia Apéndice 1 (bibliografia), actualizado.
(sección 6.2); inclusión de la ecuación de Laguerre (sección 6.5,); ampliación de la
Apéndice 4, reúne las demostraciones opcionales que se encontraban dispersas
discusión de las entradas discontinuas y las técnicas de convolu\:iÓn (sección
6.6); mejor tratamiento de las frac<'.iones parciales (sección 6.7).
Sugerencias para cursos: cuatro semestres consecutivos
Álgebra lineal, cálculo vectorial (capítulos 7-9) El material puede tomarse en cualquier orden y es adecuado para cuatro cursos conse
cutivos de un semestre, con 3 a .S horas por semana:
Vectores y matrices en R", se encuentran ahora antes (cap,Ítulo 7), seguidos de
A•l gebra vectorial, geometría y cálculo diferencial en R' (caprí tulo 8). Seguidos de Primer semestre. Ecuaciones diferenciales ordinarias (capítulos 1-6)
Segundo semestre. Álgebra lineal y análisis vectorial (capítulos 7-9)
Cálculo integral vectorial (capitulo 9; la independencia de la trayectoria aparece
ahora al principio en la sección 9 .. 2). Tercer .semestre. Análisis complejo (capítulos 12-17)
Cuarto semestre. Métodos numéricos (capítulos 18-20)
Esta nueva disposición del material ofrece una mejor fluidez.
E~ cuanto. a los capítulos restantes, ver abajo. Obviamente se puede intercambiar el
Análisis de Fourier y ecuaciones diferenciales parciales maten al; por ~¡emplo, los métodos numéricos podrían preceder al análisis compl~jo, etc.
(capítulos 10,11)
Sugerencias para cursos: cursos independientes de un semestre
Serie5 e íntegra/es de Fourier (capítulo l O). Nueva sección sobre series comple
jas de Fourier (sección 10.6); nueva discusión del espectro de la amplitud de la Esta obra también se presta para varios cursos independientes de un semestre co~ 3
horas a la semana; por ejemplo,
integral de Fourier y su significado físico (secciones 10.9, 10.11 ).
Ec1111cio11es diferenciales parciales (capítulo 11 ). Se amplía el tema 2 de la solu Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias (capítulosl-3)
ción de d'Alembert (sección l 14); más problemas con valores en la frontera (sec Transformada de Laplace (capítulo 6)
ción 11 .5, etcº); material tomado de los ejercicios y desarrollado en el texto, a fin de Álgebra y cálculo vectoriales (capítulos 8, 9)
ofrecer más ayuda al estudiante.
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales (capítulo 7)
Series de Fouriery ecuaciones diferenciales parciales (capítulos 10 11 secciones
Análisis complejo (capítulos 12-17)
20.4 -20. 7) , '
Números complejos (sección 12.1 ), se introducen ahora con aspectos algebraicos Introducción al análisis complejo (capítulos 12-15)
y geométricos cuidadosamente aclarados. Análisis numérico (capítulos l 8, 20)
Series (capítulo 14). Secciones de repaso combinados en una sola (sección 14º 1) ; Álgebra lineal numérica (capítulo 19)
se hace opcional la convergencia unifonne de series generales (sección 14 6) Optin1ización (capítulos 21, 22)
0t' J J ~ J¡1 d 0) 0J d 0 é ~\ 0 ~ ,,_1
~' -('
1 o PREFACIO
Gráficas y optimización combinatoria (capítulo 22)
Probabilidad y estadística (capítulos 23, 24)
Contenido
Características generaies de estáedición
La selección, ordenación y presentación del material se han hecho·con el mayor cuida
do, con base en mi experiencia pasada y actual como docente, investigador y asesoL
Algunas de las características sobresalientes de Ja obra son:
Volumen 1
El libro es independiente, excepto por algunos puntos marcados con toda claridad
porque una demostración rebasaría el nivel de un libro como éste y en su lugar se
ofrece una referencia bibliográfica.
Ocultar las dificultades o hacer una simplificación excesiva no seria de ayuda para PARTE A. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 21 .
los estudiantes. ·.. :· ';'
La presentación es detallada, con el fin de evitar incom()dar al lector con referen CAPÍTULO 1
cias frecuentes para que consulte los detalles en otros libros.
Los ejemplos son sencillos, a fin de conseguir que el libro se presente para la Ecuaciones diferenciales de primer orden
23
enseñanza -¿por qué escoger ejemplos complicados cuando los sencillos son tan
1.1 Conceptos e ideas básicas, 23
ilustrativos, o incluso mejores? , , .. ,.:;
1.2 Ecuaciones diferenciales separables, 32
La notación es moderna y convencional, para ayudar a que los estudiantes lean
1.3 Modelado: ecuaciones separables 35
artículos en revistas o en otros libros modernos y entiendan oúo's c'Ursos con orienta
1.4 Reduc.ción al.a forma separable. Opcional, 43
ción matemática.
1.5 Ecuac10nes diferenciales exactas, 46
Los capítulos son en gran ri1edida independientes, lo que permite gran flexibilidad
1.6 Factores integrantes, 50
en la enseñanza de cursos especiales (ver arriba).
l. 7 Ecuaciones diferenciales lineales, 53
1.8 Modelado: circuitos eléctricos 61
Agradecimientos 1.9 Trayectorias ortogonales de c~rvas Opcional, 67
lvle encuentro er. deuda con muchos de mis antiguos profesores, colegas y estudian 1.10 ~oluc10n.es apr~x'.111adas: campos direccionales, iteración, 72
1.11 x1stenc1a y u111c1dad de las soluciones, 77
tes que directa o indirectamente me han ayudado en la elaboración de este libro, en
particular, de la presente edición del mismo. V arias par1es del manuscrito se distribuye Cuestionano y problemas de repaso del capítulo l 8?
ron en mis clases en forma mimeografiada y volvieron a mí con recomendaciones para Resumen del capítulo J, 85 ' -
mejorarlas. Las discusiones con ingenieros y matemáticos (así como los comentarios
escritos) me fueron de gran ayuda; quisiera mencionar en especial a Jos profesores CAPÍTUL02
S.L Campbell, J.T. Cargo, P.L Chambré, V.F. Connolly, A Cronheim, J. Delany, J.W.
Dettman, D. Dicker, D Ellis, W. Fox, RG. Helsel, V.W. Howe, W.N. Huff; J. Keener, E.C. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden
87
Klipple, V. Komkow, H. Kuhn, G. Lamb, ELB. Mann, L Marx, K. Millet, J.D. Moore, WD
Munroe, JN .. Ong, Ir., P.l Prilchard, H.-W.Pu, W.O. Ray, P.V. Reichelderfer, J.T. Scheick, 2.1 Ecuaciones lineales homogéneas 88
2.2 Ecuac· l · '
H.A. Smit, .LP Spencer, J. Todd, H. Unz, A.L. Villone, H.J. Weiss, A. Wilansky, C.H. wne.s JOmogen~as con coeficientes constantes, 94
2.3
Wilcox, L. Zia, AD. Ziebur, todos ellos estadounidenses; a los profesores H.S.M. Caso de ra1ce~ complejas. Función exponencial compleja 98
Coxeter y R. Vaillancourt y al señor H. Kreyszig (cuyo dominio de las computadoras 2.4 Operadores diferenciales. Opcional, 103 '
2.5
fue de gran ayuda en los capítulos 18-20) de Canadá, y a los profesores H. Florian, M .. Mode~~do: oscilaciones libres (sistema masa-resorte), 105
2.6 Ecuac10n de Euler-Cauchy, 115
Kracht, H Unger, H. Wielandt, todos ellos de Europa. Aquí sólo me es posible ofrecer
2.7
un reconocimiento insuficiente de mi aprecio. Teoria. de existencia y unicidad. Wronskiano, 119
Asimismo, quisiera agradecer a John Wiley and Sons, al señor y a la señora E.A. 2.8 Ecuac10nes no homogéneas, ¡25
2.9
Burke de Hudson River S tudio y a General Graphic Services su eficiente colaboración 2.10 Soluc!~n por coeficientes indeterminados, 129
y es.mero en la preparación de la presente edición. Soluc1on por variación de parámetros, 132
2.11
Modelado: oscilaciones forzadas. Resonancia 136
2.12
Modelado de circuitos eléctricos, 143 '
ERWIN KREYSZIG
11
12 CONTENIDO CONT~NIOO 13
2.13 Método complejo para obtener soluciones particulares. Opcional, 149 CAPÍTUL06
Cueshonario v problemas de repaso del capítillo 2, 152 Transformada de LE¡place 299
Resumen del capitulo 2, 154
6.1 Transfonnada de Laplac:e. Transformada inversa. Linealidad, 300
6,2 Transfonnadas de derivadas e integrales, 306
CAPÍTUL03 6.3 Traslación S, traslación l. Función escalón unitario, 314
Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior 157 6,4 Aplicaci'ones adicionales. Función delta de Dirac,323
6.5 Derivación e integración de transfonnadas, 328
3.1 Ecuaciones lineales homogéneas, 157 6.6 Convolución. Ecuaciones integrales, 333
3.2 Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes, 165 6.7 Fracciones parciales, Sistemas de ecuaciones diferenciales, 338
.3.3 Ecuaciones no homogéneas, 171 6.8 Funciones periódicas. Aplicaciones adicionales, 349
3.4 Método de coeficientes indelem1inados, l 73 6.9 Transfonnada de Laplace: fórmulas generales, 358
3.5 Método de variación de parámetros, 176 6.10 Tabla de tiansfomrndas de Laplace, 359
Cuestionario y problemas de repaso del capítulo 3, 180 Cuestionario y problemas de repaso del capitulo 6, 36 l
Resumen del capitulo 3, 18 l Resumen del capíu¡/o 6, 364
CAPÍTUL04 PARTE B. ÁLGEBRA LINEAL, CÁLCULO VECTORIAL 3G7
Sistemas de ecuaciones diferenciales.
Plano fase, estabilidad 183 CAPÍTULO?
4.0 lntroducción: vectores, matrices, 183 Álgebra lineal; matrices, vectores, determinantes 369
4.1 Ejemplos introductoiios, J 90
7.1 Conceptos básicos, 3 70
4.2 Conceptos y teoría básicos, l 95
7 .2 Adición de matrices, multiplicación por escalares, 3 73
4.3 Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes, l 98
7 .. 3 Multiplicación de matrices, 3 77
4.4 Plano fase, puntos críticos, estabilidad, 208
7.4 Sistemas de écuaciones lineales Eliminación de Gauss, 388
4.5 Métodos del plano fase para sistemas no lineales, 2 l 2
7.5 Independencia lineal. Espacio vectorial. Rango de una matriz, 398
4.6 Sistemas lineales no homogéneos, 219
7 .6 Sistemas lineales: propiedades generales de las soluciones, 405
Cuestionarw y problemas de repaso del capilulo 4, 226 7. 7 Inversa de una matriz, 409
Rernmen del capítulo 4, 228 7 .8 Determinantes, 4 15
7 .9 El rango en t~rminos de detem1inantes. Regla de Cramer, 425
CAPÍTULOS 7.10 Eig<;mvalores, eigenvectores, 432
7.11 Algunas aplicaciones de problemas de eigenvalores, 438
Soluciones en series de potencias de las ecuaciones
7 .12 Matrices simétrica, antisimétrica y ortogonal, 443
231
diferenciales. Funciones especiales 7 .13 Matrices herrnitiana, antihennitiana y unitaria, 44 7
7.14 Piopiedades de los eigenvectores. Diagonalización, 455
5.1 Método de las series de potencias, 232 7 .15 Espacios vectoriales, espacios con producto interior. Transfom1aciones linea
5.2 Teoría del método de las series de potencias, 236 les Opcional, 462
5.3 Ecuación de Legendre. Polinomios de Legendre P,,(x), 243
5.4 Método de Frobenius, 249 Preguntas \'problemas de repaso del capiwlo 7, 4 70
5.5 Ecua~ión de Bessel Funciones de Bessel J.(~), 260 Resumen del capir11/o 7, 473
5.6 Propiedades adicionales de JJX), 267
5. 7 Funciones de Bessel de segunda clase, 272 CAPÍTULO 8
5.8 Problemas de Stum1-Liouville. Ortogonalidad, 277
5.9 Desarrollo de eigenfunciones, 285 Cálculo diferencial vectorial. Gradiente, divergencia, rotacional 477
Cuesnonww v problemas de repaso del capítulo 5, 295 8.1 Álgebra vectorial en esp¡¡cios bidimensionales y tridimensionales, 4 7 8
Rc.1umen del capíwlo 5, 296 8.2 Producto interior (producto punto), 486
-..:,;.1 ..;.:;-;;¡' ...._;;.¡ x~) ......- ....:..;. .._. '-'· ·~~,;.. \_,.. .¿,~' x._0:.~1' ·~....:t·'i ~ ¿;: ~! ....._) ....,'.,.) ,.,) ...ji ~' \,.¡Ji ,..;)
14 CONTENIDO CONTENIDO 1 5
8 . .3 Producto vectorial (producto cmz), 493 Volumen 2
8.4 Funciones y campos vectoriales y escalares. Derivadas, 502
8.5 Curvas. Tangentes. Longitud de arco, 508
8.6 Velocidad y aceleración, 516 PARTE C. ANÁLISIS DE FOURIER Y ECUACIONES ..., ..
8. 7 Curvarura y lOrsión de una curva Opcionul, 52 l DIFERENCIALES PARCIALES t::.I
8.8 Repaso de cálculo en varias variables. Opcional, 524
8. 9 Gradiente de un campo escalar Derivada direccional, 527 '
'.\' CAPÍTULO 10
8.1 O Divergencia de un campo vectorial, 534
8.11 Rotacional de un campo vectorial, 538 Series, integrales y transformadas de Fourier 23
8 .12 Gradiente, divergencia y rotacional en coordenadas curvilíneas Opcional, 540
10.1 Funciones periódicas. Series trigonométricas, 24
Preguntas y problemas de repaso del capítulo 8, 547 10.2 Series de Fourier, 26
Resumen del capíllllo 8, 549 10.3 Funciones ele cualquier periodo p 21., 35
10.4 Funciones pares e impares, 38
10.5 Desarrollos ele medio rango, 43
CAPÍTUL09 10.6 Series complejas de FourieL Opcional 46
10.7 Oscilaciones forzaclas,49 '
Cálculo integral vectorial. Teoremas sobre integrales 553
10.8 Aproximación por polinomios trigonométricos, 53
10.9 Integrales ele Fourier, 57
9.1 Integrales de línea, 553
10.10 Transformadas de Fourier de cosenos y de senos, 66
9.2 Integrales de línea independientes de la trayectoria, 561
10.11 Transformada de Fourier, 70
9.3 Del cálculo; integrales dobles. Opcional, 569
10.12 Tablas de transformadas, 79
9.4 Teorema de Green en el plano, 576
9.5 Superficies para integrales de supedicie, 584
Cuestionario y problemas de repaso del capítulo JO, 82
9.6 Integrales ele superficie, 589
Resumen del capítulo JO, 83
9.7 Integrales triples. Teorema de Gauss ele la divergencia, 600
9.8 Aplicaciones adicionales del teorema de Ja divergencia, 606
9.9 TeoremadeStokes,612
CAPÍTULO 11
Cues1io11ario v problemas de repaso del capí1u/o 9, 619 'l Ecuaciones diferencia/es parciales 87
'
Resumen del capíwlo 9, 62 l i
¡·J: · 11.l Conceptos básicos, 88
11.2 Modelado: cuerda vibratoria, ecuación de onda, 90
APÉNDICES 11.3 Separación de variables, uso de series de Fourier, 92
ll.4 Solución de D' Alembert ele la ecuación de onda, 1O1
Apéndice 1 Bibliografia, 623 11.5 Ecuación del calor: solución por series de Fourier, l 07
Apéndice 2 Respueslas a los problemas impares, 629 11.6 Ecuación del calor; solución por integrales de Fourier, l J 9
11.7 Modelado; membrana, ecuación bidimensional de onda l J4
Apéndice .3 Material auxiliar, 659
11.8 Membrana rectangular. Uso de series dobles de Fourier: l 27
A3. I Fórmulas para funciones especiales, 659
11.9 Laplaciano en coordenadas polares, 135
A3.2 Derivadas parciales, 665
11.10 Membrana circular. Uso de la serie de Fourier-Bessel, 138
A3 3 Sucesiones y series, 668
11.11 Ecuación de La place. Potencial, l 45
Apéndice 4 Demostraciones adicionales, 6 71 11.12 Laplaciano en coordenadas esféricas. Ecuación de Legendre, J 49
11.13 Solución por transformadas de Laplace, 15 5
Apéndice 5 Tablas, 687
11.14 Solución por transformadas de Fourier, 159
C11es1ionario y problemas de repaso del capí1ulo J J, 164
INDICE 703 Resumen del capít11lo 11, 166
l. .
1
CONTENIDO CONTENIDO 1 7
1 6
169 CAPÍTUL015
PARTE D. ANÁLISIS COMPEJO
Integración por el método de residuos 311
15.1 Residuos,311
CAPÍTULO i2
15.2 Teorema del residuo, 317
Números complejos. Funciones analftica's complejas 171 15.3 Evaluación de integrales reales, 320
15.4 Otros tipos de integrales reales, 324
12.l Números complejos. El plano complejo, 171
12.2 Fomm polar de los números complejos. Potencias y raíces, 177 Cuestionario y problemas de repaso del capítulo 15, 331
12.3 Curvas y regiones en el pla'no complejo, 184 Resumen del capítulo 15, 333
12.4 Límite. Derivada. Función analítica, 187
12.5 Ecuaciones de Cauchy-Riemann, l 92
12.6 Función exponencial, 198 CAPÍTULO 16
12.7 Funciones trigonométricas, funciopes hiperbólicas, 202 Mapeo conforme 335
12.8 Logaritmo, Potencia general, 206
12.9 Mapeos por funciones especiales. Opcional, 21 O 16.1 Mapeo conforme, 335
16.2 Transformaciones fraccionarias lineales, 340
Cuestionario F problemas de repaso del capítulo J2 , 214 16.3 Transformaciones fraccionarias lineales especiales, 345
Resumen del capíllllo 12, 216
16.4 Mapeos por medio de otras funciones, 351
16.5 Superficies de Rierriann, 356
CAPÍTULO 13 Cuestionario y problemas de repaso del capítulo J 6, 360
Integración compleja 219 Resumen del capítulo 16, 362
1.3.1 Integral de linea en el plano complejo, 219
CAPÍTULO 17
13.2 Dos~nétodos de integración. Ejemplos, 223 ::1
13 .. 3 Teorema de la integral de Cauchy, 230 ~ Análisis complejo aplicado a la teoría del potencial 363
J.3.4 Existencia de Ja integral indefinida, 238 ~il'
13.5 Fóm1Ula de Ja integral de Cauchy, 240 ..j 17.1 Campos electrostáticos, 364
'i
1.3.6 Derivadas de funciones analíticas, 244 :¡ 17.2 Uso delmapeo conforme, 369
.l 17 .3 Problemas de calor, 3 73
Cue!.lionario v problemas de repaso del capÍ!ulo 13, 249 l~ 17 .4 Flujo bidimensional de fluidos, 3 78
Rernmen de! capílulo 13, 251 17 .5 Fórmula de la integral de Poisson, 385
f.
17.6 Propiedades generales de las funciones armónicas, 390
CAPÍTULO 14 Cuestionario y problemas de repaso del capítulo 17, 394
Resumen del capítulo 17, 395
Series de potencias, series dfJ Taylor, series de Laurent 253
i\i
14.1 Sucesiones, series y pruebas de convergencia, 254 :•
14 .. 2 Series de potencias, 263 -:1 PARTE E. MÉTODOS NUMÉRICOS 397
;,
14 .. 3 Funciones dadas por series de potencias, 269 ,•
14.4 Series de Taylor, 274
14.5 Series de potencias: métodos prácticos, 281 CAPÍTULO 18
14.6 Convergencia uniforme, 285
Métodos numéricos en general 399
14.7 Series de Laurent, 294
14 .8 Singularidades y ceros Infinito, 302 18.1 Introducción, 400
18.2 Solución de ecuaciones por iteración, 407
C11es11011ario \'problemas de repaso del capiwlo 14, 308
18 ..3 Interpolación, 419
Rernme11 del cap11u/o 14, 309
~:..:.. • 1 1..:...:,) <.,;) 0 v \;.,O u 0 0 0 u '~ '--'' --·: 1~j w .J V 0 V \¡,,¡) V V v "..) ,_ _ , '•.J
1'8 CONTENIDO CONTENIDO 19
18.4 Interpolación segmentaria (splines), 432 21.3 Método simplex, 5 85
18.5 Integración y derivación numéricas, 440 21.4 Método simplex: degeneración, dificultades en el inicio, 590
Cuestionario y problemas de repaso del capítulo 18, 451 Cuestionario y problemas de repaso del capítulo 21, 596
Resumen del capítulo 18, 453 Resumen del capítulo 21, 597
CAPÍTULO 19 CAPÍTUL022
Métodos numéricos en álgebra l!Aeal :¡ 457 Gráficas y análisis combinatorio 599
19.1 Sistemas lineales: eliminación de Gauss, 457 22.1 Gráficas y gráficas dirigidas (digráficas), 599
19.2 Sistemas lineales: factorización LU, inversión de matrices, 466 22.2 Problemas de Ja trayectoria más corta. Complejidad, 605
19.3 Sistemas lineales: solución por iteración, 4 72 • .•' ·' , ¡ .;., 22 ..3 Principio de optimalidad de Bellman. Algoritmo de Dijkstra, 611
19.4 Sistemas lineales: mal acondicionamiento, nomrns, 4 79 t 22.4 Árboles de expansión más cortos. Algoritmo codicioso de Krusk<;il, 615
19.5 Métodos de mínimos cuadrados, 486 ' ,';.' ,:, 22.5 Algoritmo de Prim para árboles de expansión más cortos, 620
19.6 Problemas de eigenvalores de matrices: introducción, 4~0, . 22.6 Redes. Trayectorias de aumento de flujo, 623
19.7 Inclusión de eigenvalores de matrices, 493 . · · · ·..:. 22. 7 Algoritmo de Forq-Fu!kerson para flujo máximo, 630
19.8 Eigenvalores por iteración (método de Jas'pciteiicias),,49~', 22.8 Problemas de asignación. Apai~arniento bipartita, 635
19.9 Deflación de una matriz, 503 '' ' '·'
• ¡ Cuestionario y problemas de repaso del capítulo 22, 642
19.10 T ridiagonalización de Householder y faétori:,::ación QR, 506
. ·. ' ' ··. Resumen del capítulo 22, 644
Cuestzonario y problemas de repaso del capítulo .J 9, 517
•. \1:
Resumen del capítulo 19, 519
PARTE G. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 647
CAPÍTUL020
CAPÍTUL023
Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales 523
Teoría de probabilidad 649
20.1 Métodos para ecuaciones diferenciales de primer.orden;.,523
20.2 Métodos de pasos multiples, 534 : · 23.1 Experimentos, resultados, eventos, 649
20 .. 3 Métodos para ecuaciones diferenciales de segundo orden, 538 23.2 Probabilidad, 653
20.4 Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales elípticas, 545 23.3 Permutaciones y combinaciones, 661
20.5 Problemas de Neumann y mi,xto. Frontera irregular, 555 2.3.4 Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, 666
20.6 Métodos para ecuaciones parabólicas, 560 23.5 Media y variancia de una distribución, 674
20. 7 Métodos para ecuaciones hiperbólicas, 566 23.6 Distribuciones binomial, dePoisson e hipergeométrica, 679
2.3.7 Distribución normal, 686
Cuestionario y problemas de repaso del capítulo 20, 569 23.8 Distribuciones de varias variables aleatorias, 692
Resumen del capítulo20, 572 Cuestionario y problemas de repaso del capítulo 23, 702
Resumen del capítulo 23, 704
PARTE F. OPTIMIZACIÓN, GRÁFICAS 575
CAPÍTUL024
Estadística matemática 707
CAPÍTUL021
Optimización no restringida, programación lineal 577 24.1 Naturaleza y objetivos de la estadística, 708
24.2 Muestreo aleatorio. Números aleatorios, 709
21.1 Conceptos básicos. Optimización no restringida, 577 24.3 Procesamiento de muestras, 711
21.2 Programación lineal, 581 24 .4 Media y variancia de la muestra, 719
20 CONTENIDO
Parte
24.5 Estimación de parámetros, 722 L
;,
24.6 Intervalos de confianza, 725
¡\ ~·. .
24.7 Prueba de hipótesis. Decisiones, 735
24.8 Control de calidad, 747
24.9 Muestreo de aceptación, 753 ..
24.10 Bondad de ajuste: Prueba X2, 758 ,.
24.11 Pruebasnoparamétricas, 761
24.12 Pares de mediciones. Ajuste de rectas, 765
Cuestionario y problemas de repaso del capítulo 24, 770
Resumen del capítulo 24, 773
ANÁLISIS DE FOURIER Y
APÉNDICES
ECUACIONES DIFERENCIALES
Apéndice 1 Bibliografia, 777
Apéndice 2 RespuestaS a los problemas impares, 783
PARCIALES
Apéndice 3 Material auxiliar, 817
A3.l Fórmulas para funciones especiales, 817
A3.2 Derivadas parciales, 823
A3.3 Sucesiones y series, 826•
Apéndice 4 Demostraciones adic.ionales, 829
Capítulo 1 O Series, integrales y transformadas de Fourier
Apéndices Tablas, 837 Capítulo 11 Ecuaciones diferenciales parciales
ÍNDICE 853
Son muy comunes los fenómenos periódicos en la física y en sus aplicaciones en la
ingeniería y es u!Llmportan¡_ce_p!:o~li:_f!?_~ Er.~C:~}c;_(}_i:~presentar las funciones periódicas
C~QQ.Ddi~n.t¡:.s~!l_térrninos de funcion!:-5. periódic;;a§.!?.Í.11:1.P.)~s fales corno el seno y el
coseno. Esto lleva a Jas-seflesdé-Fol:ir-íer, cuyos términos son funciones de senos y
aecosenos. Su introducción por Fourier (después de los trabajos realizados por Euler
y Daniel Bemoulli) fue uno de Jos acontecimientos más importantes en el desarrollo
de las matemáticas aplicadas. El capítulo 1O se ocupa principalmente de las series de
Fourier. Las ideas y técnicas correspondientes pueden generalizarse a fenómenos ne
periódicos. Esto lleva a las integrales de Fouriery a las transformadas de FÓuríer
(secciones 10.9-10.11) y un nombre genérico para esta área en su conjunto es análisis
de Fourier.
El capítulo 11 se ocupa de las ecuaciones diferenciales parciales más importantes de
la fisica y la ingeniería. En esta área el análisis de Fourier tiene sus aplicaciones más
importantes, corno herramienta básica para la solución de problemas con valores en la
frontera y con valor inicial en mecánica, flujo de calor, electrostática y otros campos.
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