matemáticas aplicadas a las ciencias sociales ii

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2º BACHILLERATO
HUMANIDADES Y CIENCIAS SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS
CIENCIAS SOCIALES II

EDUARDO CASTRO PERALTA
I.1.- CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO
EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. TIPOS DE
MATRICES.

Definición de matiz nxp. Elementos de una matriz. Notaciones. Tipos de matrices:
rectangulares, cuadradas (triangulares, diagonal, identidad, simétricas…). Matrices fila
y columna. Matriz nula. Traspuesta de una matriz.

DEFINICIÓN DE MATRIZ nxp. ELEMENTOS DE UNA MATRIZ.
NOTACIONES.

Se llama matriz de orden (o tipo, o dimensión) nxp a cualquier conjunto de nxp
números (normalmente reales) ordenados en n filas y p columnas.

Una matriz se representa de cualquiera de las formas siguientes:

a a ... ... ... ... a 
 11 12 1p
a a ... ... ... ... a 
( ) 21 22 2p
 
A = aij 11££ ij££ np =  ... ... ... ... ... ... ... 
 ... ... ... ... ... ... ... 
 
a a ... ... ... ... a
 
n1 n2 np

Los elementos de una matriz son los números que aparecen en ella. Los
subíndices de cada elemento indican la fila y columna en que está situado.

Dos matrices son iguales si son del mismo tipo y los elementos correspondientes
en ambas son iguales.

M
El conjunto de todas las matrices nxp se representa .
nxp

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TIPOS DE MATRICES: RECTANGULARES, CUADRADAS
(TRIANGULARES, DIAGONAL, IDENTIDAD, SIMÉTRICAS…). MATRICES
FILA Y COLUMNA. MATRIZ NULA. TRASPUESTA DE UNA MATRIZ.

Una matriz se llama rectangular si tiene distinto número de filas que de
columnas (n ≠ p) y cuadrada si tiene igual número de filas que de columnas (n = p).
Para las matrices cuadradas es suficiente decir que son de orden n.

En una matriz cuadrada son importantes la diagonal principal que está formada
por los elementos con índices iguales (i = j) y la diagonal secundaria que está formada
por los elementos cuyos índices cumplen que i + j = n + 1. (Son las dos diagonales del
cuadrado que forma la matriz).

Una matriz cuadrada se llama triangular superior si todos los elementos que
están situados por debajo de la diagonal principal son nulos (a = 0 si i > j) y triangular
ij
inferior si todos los elementos situados por encima de la diagonal principal son nulos (a
ij
= 0 si i < j).

Una matriz cuadrada se llama diagonal si todos los elementos situados fuera de
la diagonal principal son nulos (a = 0 si i ≠ j).
ij

La matriz identidad o unidad de orden n, I , es la matriz diagonal cuya diagonal
n
principal está formada sólo por unos (a = 1 i).
ii

Una matriz cuadrada se llama simétrica si sus elementos son simétricos respecto
a la diagonal principal, es decir, si a = a i,j. (Si doblándola por la diagonal principal
ij ji
coincide consigo misma).

Se llama matriz fila a la que está formada sólo por una fila, es decir, que es del
tipo 1xp. Y matriz columna a la que está formada sólo por una columna, es decir, que es
del tipo nx1.

La matriz nula de orden nxp es la que está formada sólo por ceros.

( ) ( )
Dada una matriz A = a de orden nxp, su matriz traspuesta At = b es la
ij ij
matriz de orden pxn cuyos elementos son b = a i,j. Es decir, la que se obtiene
ij ji
poniendo como filas las columnas de la matriz A y como columnas las filas de la matriz
A. Evidentemente una matriz cuadrada A es simétrica si y sólo si A = At.
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I.2.- OPERACIONES CON MATRICES.

Suma de matrices de orden nxp. Opuesta de una matriz. Propiedades de la suma de
matrices. Producto de un número por una matriz. Propiedades. Definición del producto
de matrices. Propiedades del producto de matrices: asociatividad, no conmutatividad,
distributividad respecto a la suma. Elemento neutro.

SUMA DE MATRICES DE ORDEN nxp. OPUESTA DE UNA MATRIZ.
PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES.

Dadas dos matrices del mismo orden nxp: A = (a ), B = (b ), se define su suma
ij ij
como la matriz del mismo orden nxp que se obtiene sumando entre sí los elementos
correspondientes de las dos matrices.

A + B = (a + b )
ij ij

M
La suma de matrices nxp es interna en el conjunto y además tiene las
nxp
siguientes propiedades (por tenerlas los números reales):

1) Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C)
2) Conmutativa: A + B = B + A
3) Existe elemento neutro que es la matriz nula nxp: A + 0 = 0 + A = A
4) Todas las matrices tienen elemento simétrico para la suma. El simétrico de una
matriz A es la misma matriz con todos los signos cambiados y se llama matriz
opuesta de la matriz A representándose – A: A + (- A) = (- A) + A = 0

Por cumplir estas propiedades las matrices nxp con la suma forman un grupo
conmutativo o abeliano.

PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ. PROPIEDADES.

Se define el producto de un número real k (que suele llamarse escalar) por una
matriz nxp A = (a ) como la matriz del mismo tipo que se obtiene multiplicando todos
ij
los elementos de la matriz A por el número k.

k·A = (k·a )
ij

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Esta operación tiene las siguientes propiedades:
1) k·(A + B) = k·A + k·B
2) (k + h)·A = k·A + h·A
3) k·(h·A) = (k·h)·A
4) 1·A = A

DEFINICIÓN DEL PRODUCTO DE MATRICES. PROPIEDADES DEL
PRODUCTO DE MATRICES: ASOCIATIVIDAD, NO CONMUTATIVIDAD,
DISTRIBUTIVIDAD RESPECTO A LA SUMA. ELEMENTO NEUTRO.

Dadas una matriz A = (a ) de orden nxp y otra B = (b ) de orden pxq se define el
ij ij
producto de A por B (en ese orden) como la matriz A·B = (c ) de tipo nxq cuyos
ij
elementos se obtienen multiplicando las filas de la matriz A por las columnas de la
matriz B, es decir:
p
c = ∑a (cid:215) b
ij ik kj
k=1

Nótese que para poder multiplicar dos matrices tiene que coincidir el número de
columnas de la primera con el de filas de la segunda.

Esta operación tiene las propiedades:
Asociativa: (A·B)·C = A·(B·C)
Distributiva respecto a la suma por ambos lados: A·(B + C) = A·B + A·C
(A + B)·C = A·C + B·C
Pero no tiene la propiedad conmutativa por las siguientes razones:
1.- a veces es posible hacer un producto pero no el otro. (si A es 2x3 y B 3x4,
puede hacerse A·B pero no B·A).
2.- pudiendo hacer los dos los resultados pueden ser de tipos distintos. (si A es
2x3 y B 3x2 el producto A·B será 2x2 y el B·A 3x3).
3.- pudiendo hacer los dos y siendo los resultados del mismo tipo no tienen por
qué ser iguales.

Si nos restringimos a matrices cuadradas de orden n también es una operación
interna y además tiene elemento neutro (la matriz identidad de orden n), por lo que el
M
conjunto de las matrices cuadradas de orden n con la suma y el producto forman un
nxn
anillo unitario no conmutativo que además tiene divisores de cero (elementos no nulos
cuyo producto es la matriz nula).

En general no existe inverso para el producto. En el tema siguiente se verá qué
condiciones debe cumplir una matriz cuadrada para tener inversa (ser regular) y quien
es esa inversa en caso de existir.
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I.3.- OBTENCIÓN DE MATRICES INVERSAS
SENCILLAS POR EL MÉTODO DE GAUSS.

DEFINICIÓN DE MATRIZ INVERSA.

Hemos visto que las matrices cuadradas de orden n con la suma y el producto de
matrices forman un anillo unitario no conmutativo en el que el elemento neutro para el
producto es la matriz unidad o identidad de orden n: I . Nos faltaba estudiar si las
n
matrices cuadradas tienen simétrica para el producto (inversa) y quién es esa inversa en
caso de existir.

La matriz inversa de una matriz cuadrada A será otra matriz cuadrada A- 1, si
existe, que cumpla que:
A·A- 1 = I y A- 1·A = I
n n

No todas las matrices cuadradas tienen inversa. No vamos a estudiar qué
condiciones debe cumplir una matriz cuadrada para tener inversa. Intentaremos
calcularla; si lo conseguimos la tendrá y si no lo conseguimos no la tendrá. Las matrices
cuadradas que tienen inversa se llaman regulares y las que no singulares.

En caso de existir las matrices inversas cumplen las siguientes propiedades:

1.- La inversa del producto de dos matrices cuadradas e inversibles de orden n es el
producto de sus inversas en orden contrario: (A·B)- 1 = B- 1·A- 1.
2.- La inversa de la inversa es la matriz original: (A- 1)- 1 = A.
3.- La inversa de una matriz cuadrada, si existe, es única.

OBTENCIÓN DE LA MATRIZ INVERSA APLICANDO LA DEFINICIÓN.

Para calcular la inversa podemos aplicar la definición: la inversa de una matriz
cuadrada A, si existe, será otra matriz cuadrada A- 1 (del mismo tipo) que cumpla que
A·A- 1 = A- 1·A = I . Entonces, considerando como incógnitas los elementos de la matriz
n
A- 1, se plantea un sistema de ecuaciones. Si hay solución obtenemos la inversa A- 1 y si
no hay solución la matriz A no tiene inversa.
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NOTA IMPORTANTE: La matriz A- 1 tiene que cumplir que A·A- 1 = I y que A- 1 ·A =
n
I . Como sólo planteamos una de las dos igualdades no hay que olvidarse de comprobar
n
que los valores que se obtienen al resolver el sistema también cumplen la otra igualdad
ya que, de no cumplirla, la matriz obtenida no sería la inversa de A. (Esto se debe a que
el producto de matrices no es conmutativo).

OBTENCIÓN DE LA MATRIZ INVERSA POR EL MÉTODO DE GAUSS.

El cálculo de la inversa de una matriz cuadrada aplicando la definición puede
llevar a sistemas grandes (simplemente si la matriz es de orden 4 el sistema tiene 16
ecuaciones y 16 incógnitas) cuya resolución da bastante trabajo. Hay otro método,
conocido como método de Gauss, o de Gauss-Jordan, que permite obtener la matriz
inversa de una forma bastante sencilla.

El método consiste en lo siguiente:

Partimos de la matriz formada por la matriz cuadrada A, cuya inversa queremos
calcular, y a su lado ponemos la matriz identidad del mismo orden que A. Esta matriz se
llama matriz ampliada y se representa (A/I):
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A esta matriz se le aplican una serie de transformaciones u operaciones elementales
hasta llegar a otra matriz de la forma (I/B):

La matriz B, así obtenida, es la inversa de la matriz A.

Las transformaciones u operaciones elementales que se pueden hacer son:
• Intercambiar entre sí dos filas.
• Multiplicar (o dividir) una fila por un número distinto de 0.
• Sumarle a una fila un múltiplo de otra.

Veamos un ejemplo:

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Como se ha visto en el ejemplo, para calcular una matriz inversa por el método
de Gauss se hace lo siguiente (usando las transformaciones citadas antes):

1.- conseguir que el elemento a valga 1.
11
2.- a partir de ese elemento conseguir que todos los demás de la primera
columna valgan 0.
3.- hacer lo mismo con el elemento a y la segunda columna, etc.
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Si en alguno de los pasos del cálculo de la matriz inversa de A aparece una fila
de ceros o dos filas proporcionales en la parte izquierda de la matriz ampliada, entonces
la matriz A no tiene inversa.

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I.4.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Definición de: ecuación lineal con p incógnitas, solución de una ecuación lineal, sistema
de n ecuaciones lineales con p incógnitas, solución de un sistema de ecuaciones. Forma
matricial de un sistema de ecuaciones lineales. Clasificación de los sistemas según el
número de soluciones.

DEFINICIÓN DE: ECUACIÓN LINEAL CON p INCÓGNITAS, SOLUCIÓN DE
UNA ECUACIÓN LINEAL.

Una ecuación lineal (de primer grado) con p incógnitas es una expresión de la
forma
a x + a x + ..... + a x = b
1 1 2 2 p p

donde los a son números reales que se llaman coeficientes de la ecuación, b es un
i
número real que se llama término independiente y las x son las incógnitas de la
i
ecuación.

Si el término independiente es nulo la ecuación se llama homogénea.

Una solución de la ecuación es un conjunto de p números reales s , s , ... ,s ,
1 2 p
(uno por cada incógnita) que, sustituidos en lugar de las correspondientes incógnitas,
cumplen la igualdad que indica la ecuación.

DEFINICIÓN DE: SISTEMA DE n ECUACIONES LINEALES CON p
INCÓGNITAS, SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES.

Un sistema de n ecuaciones lineales (de primer grado) con p incógnitas es
cualquier expresión de la forma

a x + a x + .......... + a x = b 
11 1 12 2 1p p 1

a x + a x + .......... + a x = b 
21 1 22 2 2p p 2

......................................................... 

.........................................................

a x + a x + .......... + a x = b 
n1 1 n2 2 np p n
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