Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

210 Pages·2013·5.02 MB·Spanish

José A. Martínez Martínez, Ana Roldán López,
Santiago Vidal Martínez
Matemáticas aplicadas a
las Ciencias Sociales II
Manual práctico para Bachillerato
José Antonio Martínez Martínez, Ana Roldán López
y Santiago Vidal Martínez
Los autores de esta obra son profesores de Matemáticas en Educa-
ción Secundaria. Han desarrollado su carrera docente en varios cen-
tros, en uno de los cuales coincidieron y gestaron la idea de elaborar
una serie de unidades didácticas que, finalmente ha propiciado la
materialización de este necesario manual, dirigido tanto a docentes
como al alumnado.
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Educación, Formación y Empleo
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 Manual interactivo de seguridad y manejo de maqui-
naria en jardinería [CD] / Blas Martín López y Fer-
nando Sánchez Sánchez.
 Cahier d´activities Sciences de la Nature/ José Qui-
ñonero Méndez.
 Respuestas flexibles en contextos educativos diver-
sos: actas del I Congreso Nacional de Dificultades
Específicas de Aprendizaje y el VII Congreso Nacio-
nal de Tecnología Educativa y Atención a la Diversi-
dad / Juan Navarro, Mª Teresa Fernández, Fco. Ja-
vier Soto y Francisco Tortosa (coords.)
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Padres y Madres eficaces / Mª Elena de Jorge Mar-
tínez, Isabel Ruiz García, Pilar Sánchez Álvarez.
 XXV Certamen Jóvenes Investigadores 2012. Pre-
mios Región de Murcia
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Publicaciones accesibles sólo en línea:
 Construyendo: VII Jornadas Regionales de Educa-
ción Infantil / Jornadas Regionales de Educación In-
fantil (6ª, 2012, Águilas).
 El patrimonio como recurso didáctico en la Educa-
ción Secundaria y Bachillerato / Carlos Iluminado
Sánchez Hidalgo.
 Guía GESCALI. Gestión de Calidad para Centros
Educativos/ Sara García García
 Programa Educativo “Rutas tecnológicas”/ Alejandro
Pérez Pastor, dir; María Dolores Gómez López, co-

José Antonio Martínez Martínez, Ana Roldán López,
Santiago Vidal Martínez
Matemáticas aplicadas a las
Ciencias Sociales II
Manual práctico para Bachillerato
Edita:
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Nada en esta licencia menoscaba o restringe los derechos morales del autor. 

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tínez 
© Cubierta: Soh Kc 

I.S.B.N.: 978‐84‐659‐7371‐6 
1a Edición, junio 2013
Las matem´aticas son una gimnasia del
esp´ıritu y una preparaci´on para la filosof´ıa.
Is´ocrates
Agradecimientos
Queremos agradecer la elaboraci´on de este libro a Maite Ayala por su incansable
ayuda, a Francisco Javier Botella Soler por su colaboraci´on desinteresada, a Aitana, a
´
Josefa y Santiago, a Ver´onica, Julia y Alvaro, que dan sentido a nuestra vida y fuerzas
para seguir luchando todos los d´ıas.
Pro´logo
Todos los profesores de Bachillerato estamos de acuerdo en que las Pruebas de Ac-
ceso a la Universidad (PAU), se convierten en una gran experiencia para el alumnado,
coincidiendo adem´as con uno de los periodos m´as importantes y cr´ıticos del desarrollo
personal: adolescencia y juventud. Como profesores de matem´aticas, somos conscientes
de la dura prueba a la que se someten, con la particularidad de que esta asignatura provo-
ca un estado de ansiedad, que a menudo puede ocasionar malos resultados. Preocupados
por ello, decidimos poner en pr´actica c´omo crear un libro de texto de f´acil entendimiento,
con el contenido b´asico de segundo de bachillerato, pero que permita que durante todo el
curso los alumnos se familiaricen continuamente con las PAU y se les permita una visi´on
positiva de lo aprendido. Evaluamos nuestra experiencia y vimos lo dif´ıcil que resultaba
proporcionar los contenidos de la materia y su preparaci´on para la prueba selectiva, pues
lamayor´ıadelasveceslapreparaci´onparaselectividadseconvert´ıaen“clasesparticulares
voluntarias” para resolver ex´amenes de otros an˜os. Por regla general “no hay tiempo”
para acabar con los contenidos m´ınimos en las sesiones para este curso. El hecho de acabar
el curso antes, endurece la tarea a la hora de ayudar al alumno a preparar la prueba en
condiciones o´ptimas. Como resultado de todas estas inquietudes y uniendo esfuerzo e
ilusi´on nace este MANUAL, con el que se pretende unir curso-prueba selectiva, de una
forma diferente y pr´actica, ofreciendo tanto al profesor como al alumnado, los conceptos
b´asicos, unidos con los ejercicios de las pruebas selectivas de los u´ltimos an˜os en varias
comunidades aut´onomas.
Hemos unido conceptos, procedimientos y actitudes mediante un m´etodo aclaratorio
del concepto matem´atico en todo su fundamento, tal y como lo explicamos en clase, de
forma que se convierta para el alumno en un manual u´til de preparaci´on para las pruebas,
ofreciendo ejercicios selectivos resueltos, ejercicios de pr´actica de todas las unidades y por
supuesto ejercicios propuestos con las soluciones para que el alumnado pueda comprobar
lo aprendido. Pretendemos con este manual, que este u´ltimo curso de bachillerato de
Matem´aticas Aplicadas a las Ciencias Sociales, aporte al alumno una visi´on positiva de
las matem´aticas, potencie sus cualidades ante la asignatura y anime a la nueva etapa de
sus vidas, que comenzar´a despu´es de la prueba selectiva: la llegada a la Universidad o
bien su debut en el mundo laboral. Esperamos, con ilusi´on, que nuestro esfuerzo aporte
un grano de arena a la dif´ıcil tarea de la ensen˜anza de las Matem´aticas y suavice la labor
de nuestros compan˜eros.
4
´
Indice general
1. Sistemas de ecuaciones lineales 8
1.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Sistemas de Ecuaciones. M´etodo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Soluciones de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Sistemas dependientes de un par´ametro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5. Resoluci´on de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.2. Pasos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2. Matrices 29
2.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Definici´on de Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.1. Suma de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.2. Producto de una matriz por un escalar . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.3. Producto de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4. Inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.1. Pasos a seguir para hallar A−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5. Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6. Expresi´on matricial de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.7. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3. Programacio´n lineal 47
3.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2. Funci´on objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3. Restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4. Regi´on factible. Puntos extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.6. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4. L´ımites y continuidad 72
4.1. Introducci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2. Concepto de l´ımite. Caracterizaci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.1. L´ımites laterales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5
´INDICE GENERAL 6
4.3. L´ımites infinitos y l´ımites en el infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3.1. L´ımites infinitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3.2. L´ımites en el infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.4. C´alculo de l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4.1. L´ımites sin indeterminaci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4.2. Indeterminaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.5. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.5.1. Tipos de discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5. Derivadas 86
5.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2. Derivada de una funci´on en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.3. Reglas de derivaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.3.1. Reglas de derivaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.4. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6. Aplicaciones de las derivadas 99
6.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.2. Funci´on derivada. Derivadas sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.3. Monoton´ıa de una funci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.4. Intervalos de crecimiento y decrecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.5. Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.6. Optimizaci´on de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.7. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7. Representacio´n de funciones 114
7.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.2. Esquema para la representaci´on de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.2.1. Dominio de una funci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.2.2. Simetr´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.2.3. Puntos de corte con los ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.2.4. Monoton´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.2.5. Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.2.6. As´ıntotas y ramas de una funci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.2.7. Esbozo de la gr´afica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.3.1. Ejercicios resueltos PAU 2009. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.3.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8. Iniciacio´n a las integrales 135
8.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.2. Primitiva de una funci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.3. Integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.4. Integrales Semi inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.5. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137