Matematică. Geometrie. Manual pentru clasa a VII-a

177 Pages·1995·36.383 MB·Romanian

by  coll.

tr
MINISTERUiLN VATAMANTULUI
ION CUCUTESCU CONSTANTIONT IESCU
TAURENIIUN . 6AIU
Matematict
;l
lt;
AM .8N ,CP
MB /'/C PA
AN
.8N. CP- >i,4--a, 1
ME IIC PA 2' r' ,.ar'

I
i
,
1r
EXERCTT$Ir PROBLE E RECAPTTULAT|VE
OINM ATERIAC LASEAI VI.A
'(
I
EXERCTTTI
1. (oftl) Folosind .uJintele necesar qi su|icient, separst stu impr€u.r4,
etrunlali:
a) cazurile de congruenlds tiunghiurilor oorecsre.
b) Crzulile de corgruentl a lriunghiurilor drcptunghice.
c) Proptiet{ile paralelogmmulupi, unandir evid€n{n ti pe c€lg c$acteristic..
2.{oral)$ tim cii intr-unt riunghir una d doudl atlri+) estem si n,ared ecat
csa de-a trei& latuI'. Este ac€asta o condilie nc'c$artrp eotru ,,oonrtnrc{i!'r lui?
Sau num&i suficienttr?S su ti necer4rtrg i suficienttr?F ormulali o propozilic core
sd exprime ocert fapt utilizatrd ctrvintele, dacd satrN tmai daid" a0'u, ,dacd $
3. (o&l) Etrunlalip lopriet lile nec€sare$ suficientep entiuc ai
a) unp sralelograsma f ie romb:
b) unp aralelograsma f ie dreptun8hii
c) un dreptunghsi Nf ie petrat;
d) un rcmb strf ie ,![at.
,1
A TRIUNGHIUL
4, Ilu3tratig rofici
!) MedisneletA A'\,l 8/1, [CC'] ale triungliulul. 4BCi n c$raAi t = 4 .m,'
,C= 6 cm,C l = 8 crl iatA'e (BC),8'e {CA),C'e @4 $AA'n BB' = {cI.
b) BisectoarcleI MM', INN', [PP' al€ triunghiulu, i MNP, ir\ ce'.
MN = 4,2 cnl,r n(<.VMP)= 7Oon, (<MNn = 50", lar M' e (Nnt N' € (M4,
P' e (M|0 ti MM' n NN'= Uj:-
voo folci d. rici lMini. <L 011L ori dprini! d! fo@i ,ruu E dou! l&ri";L l@ d.,".lm
lugibilor" . <loui lrtdi", p.!tN ! rcui6 .rpriduEa.
c) inalimile [,aj, .l'r],i Brar'1.[ CrCr']a lel riunghiulu,j. 1rBrCdra, cd:
1)l rrr = 4,6c rn;m (<trlrCr) 60';m ({lLtrCr) ' 70';
-
2)A tRt= 4 cm;m(.<Agrcr) 90";R rCr. -3 cm,
-
'3)lrtr = 3,5 cm; ErCr 5 cm; m(<,i,rrcr) = 110",u ndeA i e Rpi
-
Bie cli ci e ABt\ tA tAin Bai - {HJ.
5.F iet dunghiurile:
e)A RC,inc $etA B 1 cm.r C = 50 mm,C l :0,3 dm;
-
b)A 'g'C',ln careA: '8' = 3 cm,B'C': 0,5 dm,C'A'=0 ,32d m;
c\ Afip r,in.arctA Pt = 4 cm,B rCl --4 0m m,C r,4r : 0,4d m:
d) MNP,irt careM: N = 40 mm,/ fP - 6 cm,n r'P= 4 din,VP;
3
M'N' N'P
e)V'v'P'.iircare,l./'\' 5cm,A'P' 0,5 dn1h, ,lP ' = :
2
1) Precizalj,d up6c az,i n cared ilt acestetr iunghiuris unt:
a) Numai doui unghiuri congruentei ntle ele,
b) Toate unghiffite congruentei ntre ele.
c) in cared in triurdiurile de mai susn u exjstdu nghiuric ongruentein tre ele.
2) Calculalip erimetrult riunghiului,i n fiecar€ cazi n parte.
La exorciliile 6-9, juntiflcaf rnspunsuriled ate,s criind in caietelev oastrec c
propdetdlia let riunghiurilora li folosit.
6. In triunghiul, 48C,c u tARl = lA(1ti D e @q:
a) Daci.18AD = 4CAD si DC = 4 cm, calculalil ungimeas egmenrulu[it D].
Flstea devirar .6 AD L R(? punctele, !i C sunt sau nu slmt simetricaf ald de
dreapta,4t?
b) Dac, m({t,4.D) - 23",n (<CAD\ = 21' 120'ti ,C = 7 cm, calculati
lungnn€a latuni [rC]. Estea devdracr I m(</to = 90o?
c) Dacem (.1R4a) 70', m({,B-ar) 35' ta = 9 cm, calculatil ungimea
- -- !i
segmentulu[iA r]. Estea de\I\taIc d 4ADB = <ADA
d)Dace n(dB,1D) 40", n(<CAD) = 36"239'60", calculati mdsura
unghi,rlui4 r,{. Cercctalid aca[ tD] = IDL'I ti daci dreapra,lDe stea xnd e simetd€
pcnlrup unrlelca ('.
;i
?.ln rnunghiul ABC cn IABI= IA(1, De(Rq ti mt<BAD) =
=] m t<d,.tcr . cercetadria e;.
2
a) SegmentuIl, rrl estei rclus in bisccioareau nghiuluir ,lC.
br Bis.cioareudr '!hrulr,8i ,4( esrcr nclus;;nm cdratoarclaar unrl SCl
c) lntr\imca triunghiului ,:l8C corespunzatoarlea turii [tC] se confundi cu
medianatr itrngii olui ,,1,&Cco respunzitoaracc eleialil aruri [Aq.
8, in triunghirl,4E(l cu: <ARC= <./1<:Bn i D e (BC).
a) DzcEA B ' 6 cm, ,4D I aC $i n({8,4a) - 35', calculalih ngimea taturii
[,4q qi mlsura unghiuluit lD. Precizalid acdt riunghiul,{rC dre saun u are o axn
de simetde.
4
bl DacLA A + AC = 24 c6 qi <ADR = {ADC, eelculalil orgimea laturii [,{r].
Ce.cetadli aci <BlD = < CADl \ lBDl = IDq.
c) Dacl psrimetrul triunghiutui ,4rC este de 20 cr& ,C=4cm
ti
tD = 2 cm, @lculaii lungimeal dturii [,,!r] ti md$lrau nghiuluiI DC Estea devdrat
ce m{<.r,{Dl =I.mt<A;O si ct dreaDt,a4 D esteaxtr de simetrie pentru
'2
segmentel€ ABI ti [,4q? Triunghiul ,{rC are cel rhult sau cel putifl o axi de
simetlie?
9.ln tdunshiulA BC ctr lABl = lAq, D e (B(), E e (cA), F e (AR),
AD.RE= 1Al, <RAD-<CAD, CFLAB, AE=EC, AB=6cm ti
8D- 3 cm.
a) Calculalpi €rimetul t.iunghiului,4BtCi m(<rto.
b) Cercetalid acd dreptele, 4D li tE $unt perpendiculatep e dreptelet C |i
rcspectivC ,l qi daci CF €ste ax! de simetrie. hiunghiuhril rc Triulghiul l"BC
sre cel mult 6iu cel pulin o axi de sim€trie?
c) Cercetadtis cl <,{rC = <ACRa i <ACR= <RAC.
d) Dreptele, {D, ,E ti CF $mt concurented oui ceted oui in puncted iferite
sau sutrt concurentqt oet€ in acelasi Dunct?
e) Dreptele, 4D, ,E ti CI' sunt identicec u medirtoarcl€ sau cu bisectoarele
triungbiului,{RCl
fl Cerce'adli aclO D =OE' OF.
g) Exprimareal:n triunghiul echilatera/lt C segmeDtuUl tl estes im€tricul
s€gmentelor Fq gi [rq estoi ico.nplettr.Q oree stee xpriJnarecao mpletii?
3 PARATELISIV
La exerci{iile l{}-16, justifics{i rtrspuffiurile date, scriind in caietelc voastre ce
proprictdli ale Iigurilor geomearcea li folosit.
D.eptr par.lolo
10. s) Scri€$ detuilia dr€pt€lor prralel€ 9i axiomsl ui Euclid.
b) DacL4 € a qi a llt ca& €ste ilustraresg lafictrs Nxiomeliu i guclid?
11,ln figuraI {tirnc I dr lldr. cercetatdi acn:
a){ ,{a s <rr; b) 4A2e <Ba:c ) <82= <8d d) m(<,{1)+ n(dr, = l80';
e) n(<,{, + tn(<rr) = l80o;D In ipot€za suplimentacrtdrm (<lr) = 24', calculati:
n(<,{3); m({tr)j m(<-B3).
12.l n figtrla1 ,d acll tim ce:
a) <la = <82,e stea dev&8c n4 ll d22
' b) <,{2= <Ba,e stea deveracte d r lld2?
c) m({,4r) = 27ol i m(<8+)= 153',c erce-
rat\ daca4 l1d 2.
d) m(<13)= 48' ti m(<Br) = 132',c er€e-
tai dac6d, t ll dz.
Fig. I
unghludc u laturller espectlvp aralelo
13.D espieu nghiuril,e{O Dl i ApPt {im c,i AO ll Ap'' BO ll Rpb ION
€ste opussi cmi&ept[eOi l, [OlP€s te oposst emidreptei'[Olir Bmr( <lO,) = 27'
Cercetadtia cd:
ai rl'(<AptB) = 27":b)m ( {..!o r) + m(<,4rorP=) 180';
c)m ({lrorBr)i m({ro,U = 180'd; )r n(<,{rorP=) 1 53';
e)m ({ro^7) + rn(Polt = 306";
O3 60"- 2 . m({..4or)- m(<rorv)- m({.r rOrP=) 0'
Sqmam lsurllo.u nghlu.llour nult rlungh
14,Ii€ ,4BCu n triurghi,l } e &' (c intl€ B li D)' CE ll AR, undeA ti E
apar{ina celuiali semipland eterminadt er C li P € (,4t )-
a) Folosind ipotezn Ct ll ,1r, demonstra{ic i in triunghiul ,,lrc suma
mnsuiiloru nghiurilort riunghiului estee galac u I 80'.
b) Este& dev6!actA d acd< ACPa <BCPt i m (4ACE)= ! m({ ,{CD). atunci
CPI CN
15.F idlrcull triunghiE. st€ adeviract a:
a)D acn,4rL {C, anmcmi (<s) + rn(<C )= 90"l i m({R) < 90',m (<L ) < 90'?
b)Dac|A B - AC, atuncmi (<t) < 90"t i m({ C)< 90"?
c) Dac6,{, -LB C li m(<C ) = 30",a finciA B =L' ACl
Unghlurlc u laturll. rospoctlvp orpendicularc
16.D espreu nghiurileM OP !i SOf ;tim urmntoareleOtM IOS, OP I OT'
IOI interioal,u nghiuluSi O4 [Of li [O,4.s1u nts emidreptoep usec, al i IORt i IOS
li m(<MoP) = 35'. Cercetadlia cd:
a)m (<SOO= 45';b )m ( <ROT=) 145"c: ) 4ROT= <POV;
d)OT L OP; e, Ov L OStf ) m(<PO,9)= 55'; g) IOS esteb is€ctoarea
unEliului1 1Ot/ .
6
C COIIORUFNTTAR IUNGNIURIIoR
ln exerciliile 17-27, stabild, pontru fiecaree xercitiul n parte,d actrp er€chile
de tdunghiuri sutrtc ongruentei,n dicendc azuld e conSruen{tqi cares ult eledentele
,,resp€ctiv congru€nte" (congnrenlae lementeloor mo.loage).
f7.ln triunghiulA RC,A R = 6 cm. ,c = i cm li m({Rt - 40o.i ar ir
triunglid Mlr'P, MN = 0,8 dm; t4P = 60 rnm qi m({14 =: 60'.
lt,ln tduighiul4rarcr,lrS, = 5 crn,m i(t{8:1Ls'))= 24'ti m({Cr) = 56'
triudeiiulM rvrPr,f rPr = O,On5, m({14) =: 48{; m(<f,) = 10o".
19. ln tsiringhiu,l {rrrc, , A2B2= 13,4 clo.,B 1Q2=8 ,2 ci }i CzA,= 7, 5
in triunghiul M2lvrPr,M zNz=o ,l2 M, MzPz= 1,34d m,P r,l, = 75 mm.
20.ln triurghiul, {drca, ,4313= 7 cm,m (<4t = 34",t i n(<ca) = 68",i ar in
triuiuhiul MIX3P!,M fi = 7 on, m({M:) = 78' li m (<&) = 34o.
2l.ln triunghiulA 'B'C', A'B' + A'C' = 32 cm,.p erim€tul triungliului
A'B'C' = 40 cn gi m({a) = n(<CJ, iar in triunghiuMl ?'P', M'N' = M'P' =
= l6 cmr i d?'= 8 cm.
22.1nt inngbiulA aBaCAa,a Ra= L0 cm ti m(<ta) = m(<,4a)= 25o,
tritlnghiul MaNaP,M{, 4Ma= M.Pa= 100m m gi m(<Mi= 130'.
23.ln triunghiull5 r5cr, BsCs=1 2 orn"C tAs! ,{li ti m(<tr) = 56', iar ln
hiunghiul M5N5P5m, l<Ms) = 90", llto5 = 1,2 d1nt i m(<P6) = 34o.
24, In triuaglriul ldoCe , A686= 9 |jrn,A 6C6= 3 cm 9i 1n({,{6) = ! 180", iar
in triunghiul M" NoPo- 90mr&M 6X6= + ,{6-"P6q i Md,iv-6L r'r'rPd
"P6. .t
25.10r i'rlghiulO sL m{< O) -9oo.ol- 8 cm ti rn(d's)= 30', i&rl n
riunghiul DtB tI. J- D4 DF- 16c m li n({D) = 600.
26.tn triunghiulA BC, AB = 3 .rn, 8C = 4 cm li m(<rt- 90", iar ln
triunghiulM I'P, m({}O + n\<4= 90"; MN + MP = 7 cm ti MP= 3 cm.
27,1tr triungbiul UI/T, m(<A + m(<D - 90'. perimetrutl tiungbiului
IIVT = 12 cfi , UT = 5 cjfirl i vT - U l/ = | cm, lst 1nt riughiul (rM, m(<r) = 90',
KM=5cr\KL=3.fti.
O.P ATRULATERE
28. ln patrulaterucl oovei ABCDln.rte LAal es,6o diagonaldti :
!) m(<,{) = 70om, ({r) = 120"! i m(<C ) = 60",c alculalmi ((D)!
b) rn({t) = t5dti m({c) = 9Eoc, slculalmi (<,4)+ m(<D);
\1
c)ml<ABl)) = 35., m(<ADBt- 5j., m(<Dra) - 20. ,i n\<(DD.) = j0.,
calcula{mi (<iAlD)s i m(<tCD)
d) AC RD - loj, AC L Brr, [BO] = loDl, n(<r7{rR)= 30" $i n(<Crr) =
: 60', calcu^l a(mi (<r.4D)l i n({BCD). Estea deveractd t tq = tC,Dl= [rr]? Dar
l-.AR?
caA t)-
2
e) {,4 = {C qi m(<B) = m({D) - 130.,c alcutalmi (<,4).E srea devdractd
ARllDc|liADllBCl
..DACoBD={o}, lAol = tRol = lcol ri m(.{,4DC=) 90.,c alculali
m(<lAa). Cercctaldi acaO estem ijlocuts egmenruttuBi Dl gi dacal aturileo puse
alep atrulatenrl,u,1i .8(,s untp amlele_
g) lABl = IADI. n(<DAB) = 90. lj LDAB = ABCD. Calculalim 6-
strnle celorlalte tlei urghiwi ale patrularerului ABCD. Cercetali daci,
AC. LB D.
29.Foiosind o proprietate carcateristic5a pamlelogram€lor rejarivi la
diagorale,i lustrali grafic paraletogramuMt Npe qj diasonal;le lui tM4 si tNOl
(MPnNQ={o}\.
La exerc4iile3 0-32j ustificalir :ispunsuridlea res cijnd tn caj€tetev oasrec e
proprietAalil ep aralelogranulau1i if olosit.
30.i n paralelogramnu Al 'pO( Mp n nr'q- tO]) cunoarternj
a) n4N- 5 cm qi NP = 8 cm. Catc:d,at\,it N + Np + pe + eM.
. b,lY I = 5 cm si M/V + Np + pe + eM - t2 cm. carcuralii unsinea
Irturir[A P].
c) m(<M XP)= 40..C dct \la\j m(< Npe, si m(<p e M,
d) Np = 8 cm;i PO- 3 cm.C atculalliu ngimiles egmentellolrr' ol ti [Mp].
_ 3r.in patrulatercuol nvex,4rrrcrDUr Ct n R\Dt = {Or}), cuDosqtecmtr
A 8- ) ll D ( ti ,{j8r ' Dr(1 I cm. Lslea devaracre 4,D, I B.( si ce
l,aD I = lArCrllS rabilidrra cap uncletBer ,irn sunr,rmernciucq ra .p,"$ut O,.
Descoperiatil ted ouap uncasei metricfea ted cO r
32-FieA R(n un paralelograt{m.{ Cld iagonatdae) .cnrrur ,|'r d o drcapra
cda nr eD-,c4o: n{l1in4pe, u sntacbtiulillOi c.a Dread .irn,h de a p uAnBct =el erI ,E F]}, dC ,n ll CsuDn t:s im{FeLtr icde f6 a {aAd Ce' O- .tG},
, Esrea devirar:r, 4re gm€nlele[4 Fl ri [( F] sunrs imcrflcfea lad eO " Ccrcelali
dac- ds cgmenre[,l4et 4> i[ ( 6l sunsr imerrictea lad e( r.
8
I
9lr,].rr].-].-ii.!:
33.Folosind o proprietate carcalcristici a dreptunghiudl.tr ielativ| la
diagonale, ilustrali grafic dreptunghiul t0/Pg !i diagonalelc lui IM4 ti
lNQl (MP n NQ - \oj).
34, Scrictip ropriet4ilec omunep aralelogramelolir dreptunghiurilorS. crielio
proprietatec omuri patrularerelocro nvcxel i dreptunghiutilo{.
La exerciliile3 5-37 justifica{ir trspunsurildea te,s cdind in caietelev oastrec e
proprietili alc drepiunghiuluai li folosit
35.ln dreprunghiuMl ,vPq (t/P n NO: {o}) curoaqtem:
a)MN - 1 cm !i NP = 3 cm. Este adevirat ci perimetml dreptunghtului
MffPg este egal cu 20 cm? Cercetali dacd m(<l(rM')+m( '"p) "
-l]l.(4MNP)+rr'(<PQIO.
b) MP - 5 crn. Calculali MP + N0. Este adeveratc , OLI + ON - 5 cm'l
c) m(<ONP) = 20o.C alculalim (<pMP). Estea devaract d m('{N0P) = 70o?
36. in patrulaterucl onvex, 4rBrCrDrp unclul (]r estei elsecliad iagonalelot
ta,c,lt i tB,D,l.
a)D acnrn (<Or.41t=r) m (<o1R/t \ - m(4o(Qr) ti lrDL ll,rar'€al la{
'n(4A@Pl).
b)D acn a,Dt llB \ct, ,.1r8l1lD rcr, qi orar = Llrcr. calcutali
m(< ,4rDrCl).E stea deveract a [,4rCr]= ItrDll?
37. Fie,1tCD un dreptunghi( {,4q diagonah)d e centruO !i d o drcaptt car€
con{inep unctulO .
a, Daci d o AB = |Ej, tl o RC - {G}, d n c-D - {r}, Si .1 n,4D = {ff},
stabili{ic ared in punctele,' , F, G, l' sunts imetricef aF dc 0.
bt D^cZ.d llAB, care dintre lafurile dr€ptunghiului sunt simetrice faie de
dreaptad?
c, Dz.a dIAB, care dintre latuil€ drcplunghiuluj sunt simelrice fatt de
dr€apta d?
3$.F olosindo proprietaiec aiacleridicaa romburilorr elaiiv;ll a diagonale,
ilustralgi reficr ombullr CD cud iagonalelluci l,4q fi [BD] (,{Cn tD = {O}).
30.S crie{pi roprietdlilceo munep sralelogrametlio rro mburilor'
I
La exerciliile4 0-41juttificali rtspunsurilcd aie,s criindi r caietelev oaste ce
proprietdli ale rombului ali folosit.
:I
rl
il
]J
.t
40.ln rcmbnAl BCD( AL'n r.D = {(,)})c unoalrem:
6)1, - 7 crn.C alculalpi erimetrurlo mbului.
, , ol',l\.o-Bjlr)-..29coa.t cra lin ((o,{r), n(<rcrD)t i m(<,{r.).c ercetali
dacdm (<COD)- 90. ti rn(<lDa) = 140".
c) [,4r]: [rD]. Calcutalmi ({r.rD), m({,aDq firr|(4CBD).
d) M e (AE),N e (rC) li cnp uctele t/, O, lr' suntc oliniareD.emonstraclit r
punct€lc- tt ti M suDrs imerricefa li de (). (Ceicetalqi i situaliilelncateM=A
sauM = B).
Ng n 4M1P.1 =n { pOs}t,r cuulantoeaflt.r .€mon:'{ex MNpe, ln care [1r'9i este o diaso ate li
a) lt,tN= NP = PQ= eM =I cm.C ercelsjdi ac6M llCp.
b) MN llQP,N PllMeti rn(<MO,U- 90o.s tabili{id ac!t M l = pr'pl
c) trtNl l8P,lMMelepl gi 4NMo z <eMo.Demonstralci r [MtI = [n-{O].
JrArr r.rr !i
._ 42.F oldind o pmprierateca racteristicai pdtrat€lor relativ! la diagonale,
iluirali graficp dtrarut,lrCDg i diagonateltuei U q qi lBDl @Cn BD = {O}).
43. EDumeralpi roprietilile comuned reptunghiudlorl i pAftatelor. Scrieli o
proprietalceo mubep atrulaterelcoor nvexep,a ralelogramelopr dtratelor.
li
La cxerciliile4 4-46justificali rispunsuriled ate,s criindi n caietelev oastrec e
proprietdli. le pdftatetora lj folosit.
44.1np {trst\rAl BCD( ACn ,,rJ= {O}) cunoalleh:
a)18 = 3 crn.C alculalAi B + BC + CD L DA. EsteadevdractA m (<lrq +
+ rn(<Ctl) = 180'?
b)(Jt = I cm. Calculali, -{C. Este adevdratci m({rOC) = 90o
m(<tco) = 45'? ti
c) OE ll AD (E e (DC)1.C .lctl,la\i oE, dacd,4D= 3 cn1.E srea deveract i Ot
estem edialoaresac gmentulu[j, 44]?
45,ln pamlaterucl onvex,r rrrcrrt punctulOr est€ intersecliad iagonalelor
llrCrlt i lrrDr].
a)D ace/r rr ll DrCr,m(<Ap1C) + m({rrCrDr)= 180om, (<lrtrcr) =
= 90' si m({trcr.{r) = 45', calcula{i m(<ApBi. Esre adev6(stc i
lD€i=tD/ir
_ _ I BtDb odt = op1 = O1D1l i lrrr ll ,rcr, calculali
m(<r-rbC)-rDD_t)"."t s1t-el, acrd evlr.r€! [,4rrr]= ltrCr]?
.46.Fi. ARCDu n ptl€t ([.{Cl diagonah)d e centruO li d o dreapttcr are
conloep mctult ).
10