Table Of ContentIndice
Alberto Alzati
Mariagrazia Bianchi
Massimo Cariboni
Notazioni vii
Introduzione xi
Avvertenze xiii
Insiemi, relazioni, applicazioni 1
2 Numeri interi, congruenze lineari 23
Matematica discreta 3 Gruppi 37
·4 Anelli e campi 53
Esercizi
5 Anelli di polinomi 69
6 Grafi, calcolo combinatorio 89
7 Matrici, determinanti e sistemi lineari 103
8 Spazi vettoriali 123
9 Omomorfismi (applicazioni lineari) 137
1O Spazi euclidei 155
11 Autovalori e autovettori 165
12 Geometria dello spazio 179
----
PEARSON
Education
Notazioni viii Notazioni
congruenza lineare
a[b l'elemento a divide l'elemento b
af b l'elemento a non divide l'elemento b
e
inclusione N monoide degli interi naturali
e inclusione stretta z anello degli interi
n intersezione Q campo dei razionali
u unione ~ campo dei reali
E appartenenza <C campo dei complessi
'/. non appartenenza (G, -) gruppo in notazione moltiplicativa
V quantificatore universale, da leggersi: "per ogni" (G, +) gruppo in notazione additiva
3 quantificatore esistenziale, da leggersi: "esiste" o(g) periodo (od ordine) dell'elemento g di un gruppo
H <JG sottogruppo normale nel gruppo G
=} implicazione logica, da leggersi: "allora"
H f. G sottogruppo H non normale nel gruppo G
{=::::} equivalenza logica, da leggersi: "se e solo se"
=
H (a,b,c ... ) sottogruppo o gruppo generato dagli elementi a, b, c ...
0 insieme vuoto
(A,+,.) anello rispetto alle operazioni di somma + e prodotto ·
P!J(S) insieme delle parti dell'insieme S
z,,
anello delle classi di resti modulo n
X= {x E YJ ... } sdieesmcrei zYi one degli elementi del sottoinsieme X dell'in A[x] anello dei polinomi a coefficienti nell'anello A
descrizione degli elementi del sottoinsieme X dell'in [a],, classe di. resti modulo n avente come rappresentante a
X= {x E Y: ... }
sieme Y i = (a,b,c ... ) ideale generato dagli elementi a, b, e ...
A\B insieme degli elementi che stanno nell'insieme A, ma
non stanno nell'insieme B ~} zero di un anello
AxB prodotto cartesiano di due insiemi A e B
Imf} A* tutti gli elementi di un anello A eccetto lo zero
f (X) immagine dell'applicazione f: X ~ Y inf(a,b) estremo inferiore dei due elementi a e b
sup(a, b) estremo superiore dei due elementi a e b
inversa dell'applicazione f rispetto alla composizione
di applicazioni M.C.D. massimo comun divisore
m.c.m. minimo comune multiplo
~~t)}
simboli di operazioni algebriche nucleo di un omomorfismo f tra strutture algebriche
ker
A~B} gruppo (anello) A rispetto al sottogruppo normale
n! fattoriale, equivale a n(n - l)(n - 2) ... 2 · 1 (anello bilatero) B
relazione fra gli elementi di un insieme da leggersi: "a
aRb è in relazione R con b" [HJ ordine dell'insieme H, ossia numero dei suoi elementi
alf. b "a non è in relazione R con b" Jh! modulo (valore assoluto) del numero h
Notazioni ix Introduzione
d(P, Q) distanza del punto P dal punto Q
A' matrice trasposta della matrice A
tr A traccia della matrice A
Il presente volume intende fornire agli studenti dei corsi di Matematica Discreta
detA determinante della matrice A
A} per il corso di laurea in Informatica uno strumento per la verifica della propria
car caratteristirn (rango) della matrice A preparazione.
rk A
Il contenuto di questo testo proviene in larga parte da preesistenti eserciziari
dim V dimensione dello spazio vettoriale V (scritti dagli stessi autori) di Algebra e Geometria per il medesimo corso di laurea,
ma presenta•anche esercizi relativi ad argomenti precedentemente non trattati. La
{v, w) prodotto scalare (interno) dei due vettori ve w
sua stesura si è resa necessaria in seguito alla riforma del corso di laurea stesso.
sottospazio ortogonale al sotloinsieme S di uno spazio
Gli esercizi sono raggruppati per argomenti; ciascun capir.alo è diviso in tre
vettoriale
parti. Nella prima gli esercizi vengono svolti completamente e sono presentali
S+T somma dei due sottospazi Se T di uno spazio vettoriale
in ordine di difficoltà crescente. Nella seconda gli esercizi vengono solamente
S B€ T somma diretta dei due sottospazi proposti, senza tener conto del grado di difficoltà, e di seguito sono riportate le
o(v) grado del vertice v di un grafo risposte a molti dei quesiti proposti. La terza parte consiste in una serie di quiz
che consentono un'autovalutazione utile non solo per la preparazione all'esame
orale, ma anche per la preparazione all'esame scritto. Le risposte ai quiz sono solo
del seguente tipo: V= vero, F = falso; affinché l'autovalutazione sia significativa
si invita il lettore a non controllare la risposta fino a che non è ben sicuro della
stessa.
Si ringraziano anticipatamente tutti coloro che vorranno segnalare eventuali
errori.
xiv Avvertenze
Avvertenze I I. ln q~esto test? ?~ni ~rafo s~ ,intende non orientato, privo di cappi e ogni sua
coppia d1 vertJct e unita al p1u da uno spigolo.
12. Si chi~a distan~a ?i due vertici di un grafo il minimo numero di spigoli
necessari per costJtmre un cammjno che unisca i due vertici.
I. Si conviene di indicare una preimmagine di un elemento in una applicazione
anche con i termini controimmagine o antimmagine.
2. Per comodità di scrittura talvolta la classe (a ) viene semplicemente indicata
11
col simbolo a.
3. Fra i sotlogruppi di un gruppo G, G stesso e {le) sono detti sottogruppi
impropri, gli eventuali altri sono detti sottogruppi propri.
4. In questo testo si conviene:
- che il termine: anello significhi: anello dowto di 1111ità e che il termine:
ideale significhi: ideale bilatero.
5. Richiamiamo le seguenti definizioni:
- un insieme S dotato di un'operazione binaria associativa su S si dice
semigruppo:
- un semigruppo S si dice monoide se è dotato di unità cioè se esiste un
s ss
elemento E S tale che = s.\: = s 'V s E S;
- un sottogruppo H di un gruppo G si dice 11or111ale se Vg E G e Vh E H si
ha che g-11ig E H;
- un sottogruppo H del gruppo additivo (A, +) di un anello A si dice sot
toa11ello se per ogni h 1, h2 E H si ha h 1112 E H;
- un sonogruppo I del gruppo additivo (A, +) di un anello A si dice ideale
sinistro (destro) se per ogni i E I e per ogni a E A si ha ai E I (ia E /);
- un sottoinsieme non vuoto H di un campo K si dice sottocampo di K
se è un campo rispetto alle restrizioni ad H delle operazioni di somma c
prodotto definite in K.
6. Per dimostrare che un sottoinsieme H. con almeno due clementi. di un campo
K è un sottocampo occorre mostrare che: per ogni a, b E H a - b E H: e
perognia.b E H bfO ab-1 E H.
7. In questo testo, ogni volta che si è indicato il prodotto di due o più elementi
di S,, (gruppo delle sostituzioni su /1 oggetti) lo si è fatto seguendo questa
convenzione: la prima -sostituzione effettuata è quella scritta più a destra; ad
esempio: ( 12) o (23) significa che prima si deve operare la sostituzione (23)
e poi la sostituzione (12).
8. Si rammenta che in uno spazio vattoriale V dati due qualunque suoi sottospazi
vettoriali Se T vale la seguente fonnula (di Grassmann):
dim(S + T) = dim(S) + dim(T) - dim(S n T).
9. I vertici di un grafo saranno indicati con un numero intero: I. 2, ... , n oppure
con una lettera a, b, .... x.
10. Con il simbolo (a. b) si indicherà uno spigolo o lato del grafo congiungente
il vertice a con il vertice b.
2 Capitolo l
l
~: CC~egue dunque che e E B, quindi C ç B. Poiché B ç Ce C ç B si ha che
Insiemi, relazioni, applicazioni
Esercizio 1.3
Indicato con Z f'i11sieme degli i11teri e con !R /' · · d · . . ..
re/azioni sono o no •ela,1· . d' . I ms1e111e e1 numen reali, dire se le seguemi
'· ~ 0111 equ1va e11za:
=
I. a R1b ç::=::} a -b in Z:
2. a R2b ç::=::} a lb e b/a in Z:
3. aR3b <===} alb oppure hla in Z;
Esercizio 1: 1 4. aR4h <===} esiste un x E JR, x ::/=O, tale che ax = b in JR.
Sia S un insieme, .}n(S) /'insieme delle parti di S; siano A, B, C tre eleme111i di !./l(S). In caso di rispos1a affermativa determi11an1 le classi di equivalenza.
Si di11ws1ri che
A u ( 8 n C) = (A u B) n e {=::} A ç c. Svolgimento;
Svolgimento: I. R1 non veri~ca la proprietà riflessiva: consideriamo 5 E z dovrebbe esse-
Sia X un elemento di (A u B) ne allora X E e ed inoltre X E A u B quindi X E A re' 5R.1 5 ossia 5 = - 5 ossia 10 -- o assurd o! Dunque R ' non è relazione
oppure x E B, sex E A si ha x E A U (B n C).sex E B dal fatto che x E B, d equ1va1 e nza. 1 •
X E e segue X E B ne e ancora X E A u (8 n C); poiché ogni elemento di 2. R2 è ri~essiva infatti Va E Z si ha ala. R2 è anche simmetrica: dire a/be b/a è
(A u B)nC sta in AU(Bn C) si ha che in ogni caso (A u B)nC ç A U(BnC). co~e.d1re b/a ed.l~/b (la stess~ definizione di R è simmetrica).
2 z
In forza di quanto dimostrato si ha che (A U 8) n C = A U (B n C) se e solo se R2 ~ anche trans111va: suppomarno aR2b e bR2c con a, b, e E allora a/be
A U (B n C) ç (A U B) n C; la nostra tesi diventa: hl~ '°.oltre h/c e cl~; da albe blc si deduce aie; da c/b e b/a si deduce e/a e
qumd1 a le e eia ossia a R c.
2
A u (B n C) ç (A u B) ne <===> A e::: c. (I. I) Fissato ora a E Z. a ::/= O. determiniamo tutti quegli x E il tali che a R x
Dovrà essere a/x ed ~·la quindi 3y E z con x = ay ed 3r E z con2a ·= ,
Supponiamo A ç C allora A ç A U B, A ç C ===> A ç (A U 8) n C inoltre al~r±a x = xry; per I.orza x ::/= O dato che O f a, quindi I = ty ciò impli:a
certamente (B n C) ç (A u B) e (B n C) ç C quindi B ne ç (A u B) n C. di I - I e y = ± I ossia x = ±a.
conseguenza A U (8 n C) ç (A U B) n C come volevamo dimostrare. Laclasse di ~quiv~e~za di a è dunque costituita da {a, - a).
Viceversa supponiamo A U (B n C) ç (A U B) n C, in particolare A ç g1 n1 classe e. cost1tu1ta da due elementi. un numero ed il suo opposto eccetto
0
(A U B) n C, di conseguenza A ç C. La (1.1) è così dimostrata e poiché la (I. I) 1 a c 1asse costituita dal solo O. '
equivale alla tesi anch'essa resta cosl provata. 3. R3 ~~on verifica. la p~oprie~à transitiva, consideriamo i seguenti interi: 2, 6 n3t·
ab~iamo 2R36 rnfan_i 2/6, inoltre 6R33 infatti 3/6 ma 2 fi 3 perché né 213.'
Esercizio 1.2 3/-~ R.3 du~que non e relazione d'equivalenza. 3
SSiia d ism Uolsl tirni sciheem es,e A:Jì .Ul( S8) l='in As iUem Ce de eslele A p anr lBi d=i S A; sni aCn oa lAlo, r8a , Be =tr eC e. lemetl/i di )J>(S). 4. aRR.4i4 è~e- .ns bilml·' ep msosei1 cvt nha.~ :ea b .,.:a ss.:i.t:f aa. nsOoc eeasg,i. lsbite erE ex xJ-R '= c= ont la:://= Rx o4:h: e/=, Osai l leho ars aia he.as Iisb -_t e= xa JcE ··w JxeR, . ax a R ::o4 /=saOs iv vat a abl eER c h"IaN"e . .
Svolgimento: cRo4n e b cyln c_h ee trman s1t111v a: se a R4b esiste x -r1 - o con ax -_ b , s.e bR4 C esi·s te y ::/4= O·
MostriamocheB ç C:siab E Ballorab E AUBquindib E AUC;dunquebpuò d' . - ' a~ ora a(x;:) ~e xy ::f. O, ossia a R4c. Detenniniamo le classi
stare in C oppure in A, ma se sta in A si ha b E B, b E A===> b E A n B = A ne . iteq~1valenza d1 R4: cons1denamo lo O, esso è equivalente solo a se stesso·
pperor viap octhees iB e çq uCin.d i in ogni caso b E C. rt fatto che b E B implichi che b E C hCm o -1an-tstO11d s ee.n ffao msso.e buO nR n4hu mcoerno .b a ::fr-. 1 .O O d oevssreob èb ee qems·sv earI ee nDtxe =a qbu caolunn xq u::e/= aOl:t raos snuurmdoe ·Ir o.
Mostriamo che C ç B: sia e E C allora e E A U C = A U B, dal fatto che ossri a a, R 11 1 ba tDti unaqsutae cIo nsIi der· adre. x =· b /a ::f. O e osservare che a . (b/ a ) -_ l'
ee EE AA Un BC s=eg uAe cnh eB e( pEe rA i pooptepsuir)e, ed uEn qBue; see Ee EB Ain soi ghnai ec aEso .C D, ea l Efa tAto =c=h>e (nIN:". * = {x4 E· IR}x ::/= 0)e). c assi 1 equivalenza di R4 sono solo due·· (O} ed {~*) '
4 Capitolo 1
Insiemi, relazioni, applicazioni 3
3. Quante sono Le classi di equivalenza della relazione R nel caso in cui S è l'insieme
Esercizio 1.4 {a, b, e, d) e A è l'insieme {a. b)? Si scrivano tulli gli elementi di ogni classe.
Sia R una relazione d'equivalenza in un insieme S.
I. Nel prodotto cartesiano S x S si definisca la relazione R : (a, b)R(c, d) ~ a Re Svolgimento:
e b Rd. R è una relazione d'equivalenza in S x S? 1. R è riflessiva: infatti X RX dato che X n A = X n A.
2. In S x S sia (a, b)R(c, d) ~ aRc o bRd. R è relazione d'equivalenza in S x S? R è simmetrica: infatti se X RY è X n A = Y n A ossia Y n A == X n A cioè
Y RX (la definizione stessa di R è simmetrica rispetto ad X ed Y).
Svolgimento: R è transitiva: siano X, Y, Z tre sottoinsiemi di S; se X R Y e Y R Z abbiamo:
XnA = YnA e Yn A = zn A da cui si deduce XnA = ZnA ossia X RZ.
1. Verifichiamo se R soddisfa alle tre proprietà caratteristiche delle relazioni d'e 2. È sufficiente mostrare che le classi di equivalenza di R sono in corrispondenza
quivalenza. biunivoca con .~(A). Consideriamo.un elemento X E '.'?i>(S) e sia {X} la sua
Riflessiva: occorre mostrare che per ogni elemento (a, b) E S x S vale classe di equivalenza rispetto ad R.
(a, b)R(a, b).Poiché R è relazione d'equivalenza in S sappiamo che per R Costruiamo l'applicazione 1/! : '!JìJ(S)/ R ---+ :y.>(A) siffatta: 1/!({XI) = X n A;
vale la proprietà riflessiva, quindi a Ra e bRb, ma questo significa proprio i/f è davvero un'applicazione in quanto non dipende dalla scelta del rappre
(a, b)R(a, b) in base alla definizione di R.. Dunque R gode della proprietà sentante X della classe (X}, infatti se Y RX, ossia se {Y} = {X}, abbiamo
riflessiva. 1/! ( {Y }) = Y n A, ma essendo Y R X è Y n A = X n A.
Simmetrica: occorre mostrare che per ogni (a, b), (e, d) E S x S dall'ipotesi Quindi si tratta di dimostrare che 1/1 è biunivoca; 1/1 è iniettiva: infatti se
che (a, b)R(c, d) segue (c, d)R(a, b). 1/f ({X}) = 1/f ((Y}) significa che X n A = Y n A quindi X RY cioè {X} =:= I Y);
Supponiamo dunque che (a, b)R(c, d) allora aRc e bRd, per R vale la pro i/f è suriettiva: sia A un sottoinsieme di A, ossia un elemento di :'.f'>(A), A è an
prietà simmetrica, quindi: cRa e dRb, allora (c, d)R(a, b) ed R gode anche che un sottoinsieme di S, ossia un elemento di Pi\ S); consideriamo la classe
della proprietà simmetrica.
di equivalenza (A} rispetto ad R; risulta
Transitiva: occorre mostrare che per ogni (a, b), (c, d), (e, f) E S x S dall'i
potesi che (a, b)R(c, d) e che (E, d)R(e, f) segue che (a, b)R(e, f). 1/!({A}) = AnA =A (essendo A ç A)
Supponiamo dunque che (a, b)R(c, d) e (e, d)R(e, f) allora a Re, bR<!:_ e cRe,
d Rf . Per R vale la proprietà transitiva dunque a Re e bRf ossia (a, b)R(e, f): quindi 1/1 è anche suriettiva. Di conseguenza i/f è biunivoca.
R gode anche della proprietà transitiva.
3. Le classi di equivalenza di R sono in corrispondenza biunivoca con gli elementi
In conclusione R, godendo delle tre proprietà definitrici, è una relazione d'e-
di ::Jll(A) per il punto precedente.
quivalenza=nell'insieme S x S. =
2. In genere R non è una relazione d'equivalenza; è facile verificare_ che R gode
~(A) = {0, {a}, {b), A= (a, b)).
soltanto delle proprietà riflessiva e simmetrica. Per mostrare che R in generale
non è transitiva costruiremo un controesempio: sia S = Z e sia R la con Abbiamo così 4 classi
gruenza modulo 3 i.!! Z; consideriamo questi elementi di= Il x :?'.::(O, l); (3. 2);
(1, 5);_si ha (O, l)R(3, 2) in quanto OR3 dato che 3 O mod .]; inoltre I): 0, {b}, (d}, {c,d)
(3, 2)R(l, 5) in quanto 2R5 dato che 5 """ 2 mod . 3; ma (O, I) fl(I, 5) in II): {a), (a. e), {a, d), {a,c,d)
quanto né OR I né I R5, infatti l f. O mod . 3 e l f. 5 mod . 3.
III): {b}, {b, e), {b,d), {b, c, d)
IV): {a, b}, {a, b, c}, {a, b, d}: {a, b, e, d)
Esercizio 1.5
la prima è costituita da tutti quegli X ç S tali che X n A = Vl
Sia S un insieme non vuoto e sia A un suo sottoinsieme. la seconda da quegli X ç S tali che X n A = {a}
I. Si verifichi che la relazione R definita ponendo: la terza da quegli X~ S tali che X n A= {b}
la quarta da quegli X ç S tali che X n A = {a; b).
X R Y <===> X n A = Y n A per ogni X ç S, Y ç S
è una relazione d'equivalenza nell'insieme :J>(S). Esercizio 1.6
2. Si dimostri che l'insieme quoziente '.'JP(S)/ R è in corrispondenza biunivoca con l'in
Sia S = (1, 2, 3) un insieme di 3 elementi.
sieme :Jl(A) dei sotloinsiemi di A.
a) Si elenchino tutte le relazioni di equivalenza che si possono definire su S.
Insiemi. relazioni. applicazioni 5 6 Capitolo l
2
b) Si elenchùw tutte le relazioni d'ordine che si possono definire su S.
e) Quaflle sono le relazioni che si possono definire su S?
3
Svolgimento:
a) Ogni relazione di equivalenza definita su S corrisponde ad una partizione di
tale insieme e viceversa. Si tratta quindi di elencare tutte le possibili partizio 3 2 3
ni di S. Indichiamo con le parentesi graffe le classi di equivalenza in cui si
ripartisce S di volta in volta:
e) Una relazione su S è un sottoinsieme del prodotto cartesiano S x S che è
I) { l} (2) {3} costituito da 32 = 9 elementi. Un insieme di 9 elementi ha esattamente 29
2) (1, 2) {3) sottoinsiemi, tale è dunque il numero delle relazioni che si possono definire
3) { 1, 3) {2} su s.
4) { l} (2, 3}
5) {1 , 2, 3} Esercizio 1.7
Le relazioni d'equivalenza sono 5 in tutto. Detti N e .Z gli insiemi dei numeri naturali e. rispettivamente, dei numeri interi relativi
b) Descriviamo ogni relazione d'ordine di S col relativo diagramma. La prima dire se le seguenti relazioni sono o meno relazioni d'ordine:
relazione d'ordine, la più banale, è quella in cui ogni elemento è confrontabile I. aR1b {::::::::} M.C.D.(a, b) = l in N\{0}
solo con se stesso: 2. a R2b ~ M.C.D.(a, b) = a in N\{O}
2 3. a R3b ~ a - b è positivo o nullo in Z
4. a R4b ~ a = 3b in N
• • •
Se supponiamo che almeno due elementi di S siano confrontabili abbiamo 6 Svolgimento:
possibilità a seconda della coppia di elementi confro.nt,abiI li sce. lt,a: I. R non è riflessiva perchè a ,R a, infatti M.C.D.(a, a) = a mentre dovrebbe
1 1
2 3 essere M.C.D.(a, a) = 1\fa E N\{O}. Pertanto R1 non è relazione d'ordine.
2. R1 è riflessiva: M.C.D.(a, a) = =a \fa E N\{O}. R2 è antisimmetric=a in quan
to se a R2b si ha M.C.D.(a, b) a, se bR2a si ha M.C.D.(b, a) b quin
di a = b (essendo M.C.D. unico in N\{0}). R è transitiva: se aR b si ha
2 2
M.C.D.(a, b) = a ossia alb; se bR c si ha M.C.D.(b, e) = b ossia b[c; dal
2
fatto che a [b e b[c si ha a[c, ossia M.C.D.(a, e) = a, ossia a R c. Quindi R è
2 2
relazione d'ordine.
2 3 2 3. R3 è relazione d'ordine in quanto aR3b <==? a - b '.:'.: O <==? a '.:'.: b
Se supponiamo che un elemento sia confrontabile con gli altri due, ma questi pertanto R3 coincide con l'usuale relazione d'ordine di Z.
ultimi non lo siano fra di loro abbiamo ancora 6 casi: 4. R4 non è riflessiva: se fosse aR4a \fa E N dovrebbe essere a = 3a \fa E N
ossia a = O \fa E N, assurdo! Dunque R4 non è relazione d'ordine.
2 l 3 2 3 3 2
V V V / \ / \ / \
Esercizio 1.8
Si consideri l'insieme X = f 1, 2, 3, 4, 5).
I. Si definisca una relazione d'equivalenza R su X tale che sia: 2R3, 4R5, 2f(. 4.
3 2 2 l 3 2 Quante sono le relazioni di equivalenza su X che soddisfano le condizioni assegnate?
2. Si consideri la relazione R su X così definita:
Se infine supponiamo che tutti gli elementi siano fra loro confrontabili, ossia
R = {(I, 2), (I. 3), (2, 1), (3, I), (3, 4), (I, 4), (4, I), (5, 5)}.
che la relazione d'ordine sia totale, abbiamo ancora questi 6 casi corrispondenti
ciascuno ad una delle 3! = 6 permutazioni possibili della terna I, 2, 3: R è un'applicazione da X a X? R è una relazione simmetrica?
R è una relazione transitiva?
8 Capitolo 1
Insiemi. relazioni, applicazioni 7
per le immagini sono quindi 1111, tale è dunque il numero delle applicazioni da
svolgimento: QaQ.
e) Un'applicazione suriettiva 1/1 di un insieme finito su se stesso è senza dubbio
.I. Per definire una relazione d'equivalenza R su X è sufficiente definire una par
biunivoca in quanto e un elemento di n avesse più di una controimmagine
tleiznizoan ed edlil aX r,e lia szoiottnoein Rsi.e Pmoii cdhi ét a2l ed epvaer teizssioenree ecqousitvitauliesnctoen ao 3 l,e 2 c dlaesvsei sdtia ereq uneivllao ln'~1lploa te1/s11: rcehsete 1r/e1 bèb es uarlimetetnivoa ;u nq ueilnedmi eongton id ei lnem pernivtoo ddii cnon htrao iamlmrneangoi nuin, ac ocnotnro
stesso sottoinsieme nel quale sta 3; poiché 4 deve essere equivalente a 5, 4 deve
troi_mmagine nella 1/J, perché i/! è suriettiva, e ne ha una ola, per il precedente
stare nello stesso sottoinsieme nel quale sta 5. Però, essendo 2/( 4, 2 non deve
ragionamento, dunque 1/1 è biunivoca. (Si veda il punto g)).
stare nello stesso sottoinsieme nel quale sta 4. Di conseguenza la partizione
di X deve essere costituita da almeno due sottoinsiemi, nel primo stanno 2, 3 f) Un'applicazione iniettiva i/! da un insieme finito a se stesso è senza dubbio
nel secondo 4 e 5: ad esempio X = {2, 3) U {4, 5} U {I}. Le partizioni distinte biunivoca. infatti la i/f manda gli Il elementi distinti di Q in Il elementi distinti
che soddisfano a queste condizioni sono tante quante le possibili collocazioni di Q, ciascun elemento di n ha pertanto una ed una sola controimmagine nella
dell'elemento 1 sul quale non pesa nessuna ipotesi. Oltre all'esempio citato ab i/! dunque i/! è biunivoca. (si veda il punto g))
biamo così X = {1 , 2, 3) U (4, 5) e X= {2, 3) U {I, 4, 5}; in totale 3 relazioni g) ~e~ c?s~uire un'applicazione biunivoca di n in sé occorre scegliere n imma
g1m d1st111te. una per ciascun elemenro di n. Fissata l'immagine di a restano
R distinte. 1
2. R non è un'applicazione in quanto all'elemento I sono associati addirittura 11 - l scelte per l'immagine di a2; fissata anche questa rcstauu n - 2 scel
tre elementi distinti 2, 3 e 4 (mentre ad ogni elemento di X dovrebbe essere te per l'immagine di a3 e così via. In totale le applicazioni biunivoche sono
n · (n - 1)(11 - 2) ... 2 · 1 = n!, (il numero delle permutazioni degli elementi
associato uno ed un solo elemento di X).
R non è simmetrica: infatti 3 R4 ma 4/t 3 dato che (3. 4) E Re (4. 3) 1- R. di Q).
R non è nemmeno transitiva: infatti 2R I, 1R 4 ma 2/( 4 dato che (2, 4) </: R. h) Una relazione in Q è semplicemente un sottoinsieme del prodotto cartesiano
Q x Q. Esso è costituito dalle coppie ordinate di elementi di Q ed ha pertanto
ordine n2. Il numero dei suoi sottoinsiemi. ossia il numero delle relazioni che
Esercizio 1.9 si possono definire su n, è così 2"i.
Sian = (a1. a2, ... , a11) 1m insieme di n elementi.
n?
ab)) QQuuaannttii SsOolnlOo ii ssootutooii1n1ssiieemmii ddii n che conte11go110 ai? Esercizio 1. 10
e) Quanti quelli che 11011 io co11tengono? Si considerino gli insiemi A = (I, 2. 3, 4, S} e B = {a. b, c, d, e} e sia R la relazioni' tra
d) Quante S0/10 /e applicazioni da n a Q? A e B così definita:
e) Quante sono quelle suriettive?
f) Q11a111e sono quelle i11ietti1·e? R ={(I, e), (2. b). (3. d). (4, e), (5, a)).
g) Quante quelle biuniviche?
h) Quante relazioni è possibile defi11ire in Q? I. R è un'applicazione da A a B? È iniettiva? È surieuiva?
2. Si scrivano gli elementi della relazione trasposta R1 e si dica se R1 è un 'applicazione
da B ad A, giustificando la risposta.
Svolgimento:
a) I sottoinsiemi di n costituiscono gli elementi dell'insieme delle parti di Q :
Svolgimento:
}'(Q), essi sono esattamente 2".
b) Dato un sottoinsieme di n esso può contenere a1 oppure no; consideria l. R è un'applicazione da A a B poiché ad ogni elemento di A associa uno ed un
mo quei sottoinsiemi di Q che non contengono a1, ciascuno di essi contiene solo elemento di B. L'azione di R si può visualizzare con il seguente schema:
elementi scelti da a2, a3, ... , a,, quindi ciascuno di essi è un sottoinsieme di
(a . a , ... , a,,); viceversa un sottoinsieme di {a2. 03, ...• a11) è un sottoinsie
2 3
me di Q che non contiene a1; pertanto i sottoinsiemi di Q che non 1contengo 2l ~ab
c)n sPooet trao i1iln srsoaignemioo int aadnmit iQ e qncutoha enp tcrieo icn estedonettgnotoienn ssooi eanm1o i s 2od11ni- o{1 a.2 211, a- 32, 1•1-•.1 , =a, ,}2 11o-s1s. ia 2"- . . Quindi i 534 eed
n
d) Determinare un'applicazione da a Q significa determinare per og~t e_lemen
lO di Q la sua immagine in n. L'immagine di a1 può essere scelta 111d1fferen
temente tra a 1, ai .... , an; fissata limmagine di a 1 si passa ad az, anche l'im Ovviamente R non è iniettiva in quanto I f= 4 eppure I Re e 4Rc. Non è
magine di ai può essere scelta in /1 modi diversi e così via. Le possibili scelte neppure suriettiva in quanto e non ha nessuna controimmagine.
Insiemi, relazioni. applicazioni 9 10 Capitolo 1
2. Ovviamente R' = {(e, 1). (b, 2), (d, 3), (e, 4), (a, 5)) e non è un'applicazione iv) Falsa, poiché (a, a) E Re (a, e) E R, quindi R associa all'elemento a i due
poiché allo stesso elemento e la R' associa due elementi distinti: I e 4. elementi (distinti) a e e, cosa impossibile se fosse un'applicazione.
Esercizio 1. 11 Esercizio 1.13
Sia Z l'insieme degli imeri e sia Ne/l'insieme degli interi relativi si considerino i sottoinsiemi A = {-3, -2, - 1, O}, B =
{O, I, 2, -4) e l'applicazione f : Z -> Z definita così: f (z) = z2 Vz E Z
S ={(a, b) E 'll x Zlb > 0}.
I. Verificare chef (A n B) s; f (A) n I (B).
l. Si consideri /'applicazione f : S -> Z de.finita ponendo f(a. b) =ab; f è iniettiva? 2. Dimostrare che se X è un insieme qualunque e g è un 'applicazione di X in sé si ha:
È suriettiva?
2. Si consideri l'applicazione g : S -> Z definita ponendo g(a, b) = IOa + 6b; g è g(H n K) = g(H) n g(K)
inietti va? È suriettiva?
per ogni coppia H, K di sottoinsiemi di X se e solo se g è iniettiva.
Svolgimento:
Svolgimento:
I. f non è iniettiva infatti esistono elementi distinti di S che hanno la stes
sa immagine ad esempio (- 2, 2) #; (2, 2) però f(- 2. 2) = (- 2)2 = 4 e I. Chiaramente A n B = {O} e f (0) = O mentre f (A) = {9. 4, I, O}, f(B) =
f (2, 2) = 22 = 4: f è però suriettiva infatti scelto un qualunque intero <: esi {O, I, 4, 16), quindi /(A) n f(B) ={O, I, 4) :::> {0} = f(A n 8).
ste un elemento di S controimmagine di <:, basta scegliere (z, l) E Se si ha 2. Se g è iniettiva g realizza una corrispondenza biunivoca fra X e l'insieme
f(z. I) = z' = z. g(X) ~ X; ogni sottoinsieme H corrisponde biunivocamente, elemento per
2. g non è iniettiva infatti (I. -1) t= (- 2, 4) eppure g( I, - 1) = I O - 6 = 4 e elemento, all'insieme g(H) ~ g(X) dunque l'immagine dell'intersezione di
g(- 2, 4) = - 20 + 24 = 4; g non è neppure suriettiva infatti scelto un intero z due sottoinsiemi H e K di X è esattamente l'intersezione delle due immagini
=
sarebbe necessario determinare una coppia di interi (a, b) tali che g(a, b) z g(H) e g(K). Viceversa supponiamo che per ogni coppia di sottoinsiemi H, K
os ia tale che I Oa + 6b = <:;in sostanza bisognerebbe poter risolvere. per ogni di X si abbia g(H n K) = g(H) n g(K) c dimostriamo, per assurdo, che g
z, l'equazione diofantea IOa + 6b = z, ma ciò è possibile se e solo se M.C.D. è inieuiva: se g non fosse iniettiva esisterebbero due elementi distinti a, b di
( l O, 6) divide z ossia se 2 divide z ossia se z è pari. I numeri dispari quindi non X tali che g(a) = g(b) = e; consideriamo allora i sottoinsiemi H, K di X
hanno controimmagini nella g, essa perciò non è suriettiva. siffatti: H = {a) e K = (b) abbiamo H n K = 0 e quindi g(0) = 0, ma
g(H) = {e] e g(K) = {e} dunque g(H) n g(K) = {e} n {e} = {e) che
Esercizio 1. 12 è diverso da 0. Dunque se, per assurdo, supponiamo che g non sia iniettiva
arriviamo alla conclusione che esistono almeno due sottoinsiemi H, K, di X
Sia X ={a. b, c, d, e) e sia R la relazione .rn X così definita per cui non vale g(H n K) = g(H) n g(K) contraddicendo la nostra ipotesi.
Pertanto g deve essere iniettiva.
R = ({a, a). (b, b), (c. e), (d. d). (e. e). (a. c). (b. d)}.
Si dica giusrificando brevemente la risposta se le seguenti affermazioni sono V (vere), F
Esercizio 1.14
(false)
i) R è riflessiva Sia Z l'insieme degli interi. Sia F : Z-> Z la seguente applicazione:
ii) R è simmetrica
iii) R è antisimmetrica X-> X+ 5 sex ?. O
iv) R è u11 'applicazio11e da X a X. {X-> X+ }Q sex < O X E Z.
Sia G : Z --+ Z la seguente applicazione
Svolgimento:
i) Vera. poiché Vx E X, (x, x) E R X-> X sex ?. 5
ii) Falsa, poiché (a, e) E R ma (e, a) ~ R {X->x - 5 sex < 5 X E Z.
iii) Vera, poiché (a, e) E Re (e, a) rt R; (b, d) E Re (d, b) ~ Re tutte le altre
coppie di R sono del tipo (x, x) con x E X Conside~are. le applicazioni F, G, F o G, Go F si dica quali fra esse sono iniettive. quali
sono suriettive.
12 Capitolo l
Insiemi, relazioni. applicazioni Il
Svolgimento:
In un sistema di riferimento cartesiano disegniamo il grafico delle due funzioni F
e G, esso sarà costituito da un insieme discreto di punti dal momento che F e G
sono definite solo sugli interi.
È così facile vedere che F è suriettiva ma non iniettiva; infatti una funzione è
suriettiva se e solo se, disegnato il suo grafico sul piano x ,y, comunque si scelga
un punto sull'asse y la rena parallela all'asse x passante per quel punto taglia
il diai,Yfamma in almeno un punto; la funzione è iniettiva se tale retta taglia il
diagramma in al massimo un punto.
Nel caso di F si vede subito che comunque si scelga un intero sull'asse y
la retta passante per questo punto e parallela all'asse x taglia il diagramma di F,
determinamto così le controimmagini di quell'intero. Ad esempio F-1 ( 11) = {6}
e F-1 (7) = (-3, 2}. Poiché ad esempio 7 ha ben due controimmagini la F non è
inietti va.
Diverso il caso della G: qui ogni retta parallela all'asse delle x taglia il dia
gramma in un solo punto o non lo taglia affatto così ad esempio c-1 (7) = 7,
c -1(-4) = I, ma non esiste c -1(3) o c -t(O) ecc. quindi G è inicttiva ma non
Per G o F il discorso è leggermente pili complesso; G è definita in modo diverso
suriettiva.
a_se_conda che il suo argomento sia maggiore od uguale a cinque oppure minore
Costruiamo ora l'applicazione composta F o G, F è definita in modo diverso dt cmque.
a seconda che il suo argomento sia maggiore od uguale a zero oppu,re negativo; Occore distinguere quando F(x) ::::_ 5 e quando F(x) < 5. Dal diagramma si
occorre dunque distinguere quando G(x) :::: O e quando G(x) < O. E chiaro che vede subito che per x < -5 è F(x) < 5 e per x ::::_ -5 è F(x) ::::_ 5; allora
per x ::::_ 5 è G(x) > O e per x < 5 è G(x) < O allora
per x < - 5 G[F(x)] = F(x) - 5 = x + IO - 5 = x + 5
per x ::: 5 F[G(x)] = G(x) + 5 = x + 5
+ + + X+ IO se - 5 S x < O
per x < O F[G(x)] = G(x) IO= x - 5 10 = x 5. per X:'.:: - 5 G[F(x)] = F(x) = /'
= \. X+ 5 sex:::: O.
In conclusione F[G(x)] x +5 Yx E Z. Disegnato il grafico di tale applicazione
si vede subito che essa è biunivoca, quindi è sia iniettiva che suriettiva. Dal gr~fico si_v ~de subito che G o F non è suriettiva perché ad esempio 3 non ha
C?n.tr~11~mag1m; non è neppure iniettiva perché ad esempio 8 ha due controimma
gm1 distinte: 3 e - 2 .
•
y
F y G 8 • Esercizio 1.15
ll
IO • •
• • 5 •
• • I. Sia~ l'insieme dei numeri razionali e sia* : Q x Q ~ Q /'operazione binaria su Q
de.finita ponendo ·
• • a+b
• • ' 5 (l c-1(4) X a * b = - 2 - per ogni a, b E Q.
• - 1 • 5 9 ~i veriJ!chi se * ~associativa, commutativa, e se ammette unità. li so11oi11sieme .z degli
• • G-1(7) mtert e .~h1~1so nsp~lfo a *'.E il sot~oinsieme degli interi pari?
- • o X • 2. dSetafi ml'\lr aI 1p1o1ns1eenmdeo d ei numert naturali e sia * : N x N ~ N /'operazione binaria su N
• 10 -5 F-1(7) -1 F-1(7) p5 -1(11) • 5 a * b = ab per ogni a. b E N.
• . -7 Si verifichi se* è associativa, commutativa, e se ammette unità destra o unità sinistra .
-4
