Matemática – Ciência e Aplicações - Manual do Professor

418 Pages·2016·48.587 MB·Portuguese

by  Gelson Iezzi. . . [et. al.]

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MANUAL DO
Matemática
PROFESSOR
ciência e aplicações
GELSON IEZZI
OSVALDO DOLCE
DAVID DEGENSZAJN
ROBERTO PÉRIGO
NILZE DE ALMEIDA
ENSINO MÉDIO
Componente
CurriCular
matemática
2o ano
ensino médio
MATEMATICA MCA_V2_PNLD2018_capa professor caracterizado.indd 1 5/6/16 6:58 PM
MATEMÁTICA
CIÊNCIA E APLICAÇÕES
Gelson Iezzi
Engenheiro metalúrgico pela Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Licenciado em Matemática pelo Instituto de Matemática
e Estatística da Universidade de São Paulo
Professor da rede particular de ensino em São Paulo
Osvaldo Dolce
Engenheiro civil pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo
Professor da rede pública estadual de São Paulo
David Degenszajn
Licenciado em Matemática pelo Instituto de Matemática e Estatística
da Universidade de São Paulo
Professor da rede particular de ensino em São Paulo
Roberto Périgo
Licenciado e bacharel em Matemática pela Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo
Professor da rede particular de ensino e de cursos pré-vestibulares em São Paulo
Nilze de Almeida
Mestra em Ensino de Matemática pela Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo
Licenciada em Matemática pelo Instituto de Matemática e
Estatística da Universidade de São Paulo
Professora da rede pública
estadual de São Paulo
COMPONENTE
CURRICULAR
MATEMçTICA
MANUAL DO Volume 2
2o ANO
PROFESSOR
ENSINO MÉDIO
Ensino Médio
9ª edição
São Paulo, 2016
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Matemática: ciência e aplicações – 2o ano (Ensino Médio)
© Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn, Roberto Périgo e Nilze de Almeida, 2016
Direitos desta edição:
Saraiva Educação Ltda., São Paulo, 2016
Todos os direitos reservados
Matemática ciências e aplicações – 2o ano (Ensino Médio)
© Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn, Roberto Périgo e Nilze de Almeida, 2016
Direitos desta edição:
SARAIVA S.A. – Livreiros Editores, São Paulo, 2016
Todos os direitos reservados
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Matemática : ciência e aplicações : ensino médio,
volume 2 / Gelson Iezzi. . . [et. al.] . – 9. ed. –
São Paulo : Saraiva, 2016.
Outros autores: Osvaldo Dolce, David
Degenszajn, Roberto Périgo, Nilze de Almeida
Suplementado pelo manual do professor.
Bibliografi a.
ISBN 978-85-472-0537-9 (aluno)
ISBN 978-85-472-0538-6 (professor)
1. Matemática (Ensino médio) I. Iezzi, Gelson.
II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David.
IV. Périgo, Roberto. V. Almeida, Nilze de.
16-02747 CDD – 510.7
Índice para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino médio 510.7
Diretora editorial Lidiane Vivaldini Olo
Gerente editorial Luiz Tonolli
Editor responsável Viviane Carpegiani
Editores Juliana Grassmann dos Santos, Pedro Almeida do Amaral Cortez,
Érica Lamas
Gerente de produção editorial Ricardo de Gan Braga
Gerente de revisão Hélia de Jesus Gonsaga
Coordenador de revisão Camila Christi Gazzani
Revisores Carlos Eduardo Sigrist, Luciana Azevedo, Patrícia Cordeiro,
Raquel Alves Taveira
Produtor editorial Roseli Said
Supervisor de iconografi a Sílvio Kligin
Coordenador de iconografi a Cristina Akisino
Pesquisa iconográfi ca Fernando Cambetas
Coordenador de artes José Maria Oliveira
Design e Capa Sergio Cândido com imagens de Alex Sun/Shutterstock,
Shutterstock, Sashkin/Shutterstock, Shutterstock
Edição de artes Marcos Zolezi
Diagramação Setup
Assistente Bárbara de Souza
Ilustrações Ari Nicolosi, BIS, Casa Paulistana de Comunicação, CJT/Zapt,
Ilustra Cartoon, Luigi Rocco, Milton Rodrigues, Setup,
[SIC] Comunicação, Wilson Jorge Filho/Zapt
Tratamento de imagens Emerson de Lima
Protótipos Magali Prado
732.756.009.001 Impressão e acabamento
O material de publicidade e propaganda reproduzido nesta obra está sendo utilizado apenas para fi ns didáticos,
não representando qualquer tipo de recomendação de produtos ou empresas por parte do(s) autor(es) e da editora.
Avenida das Nações Unidas, 7221 – 1o Andar – Setor C – Pinheiros – CEP 05425-902
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Apresentação
Caros alunos
É sempre um grande desafio para um autor definir o conteúdo a ser ministrado
no Ensino Médio, distribuindo-o pelos três anos. Por isso, depois de consultar as
sugestões da Secretaria de Educação Básica (entidade pertencente ao Ministério
da Educação) e de ouvir a opinião de inúmeros professores, optamos pelo seguinte
programa:
Volume 1: noções de conjuntos, conjuntos numéricos, noções gerais sobre fun-
ções, função afim, função quadrática, função modular, função exponencial, função
logarítmica, progressões, semelhança e triângulos retângulos, áreas das principais
figuras planas, trigonometria no triângulo retângulo e estatística descritiva.
Volume 2: trigonometria na circunferência, funções circulares, trigonometria em
um triângulo qualquer, geometria espacial de posição, áreas e volumes dos prin-
cipais sólidos, matrizes, sistemas lineares, determinantes, análise combinatória
e probabilidades.
Volume 3: geometria analítica plana, estatística descritiva, matemática financeira,
números complexos, polinômios e equações algébricas.
Ao tratar de alguns assuntos, procuramos apresentar um breve relato histórico
sobre o desenvolvimento das descobertas associadas ao tópico em estudo. Já em
capítulos como os que tratam de funções, matemática financeira e estatística des-
critiva, entre outros, recorremos a infográficos e matérias de jornais e revistas, como
forma de mostrar a aplicação da Matemática em outras áreas do conhecimento e
no cotidiano. São textos de fácil leitura, que despertam a curiosidade do leitor e
que podem dialogar sobre temas transversais, como cidadania e meio ambiente.
No desenvolvimento teórico, procuramos, sempre que possível, apresentar os
assuntos de forma contextualizada, empregando uma linguagem mais simples. En-
tretanto, ao formalizarmos os conceitos em estudo (os quais são abundantemente
exemplificados), optamos por termos com maior rigor matemático.
Tivemos também a preocupação de mostrar as justificativas lógicas das pro-
priedades apresentadas, omitindo apenas demonstrações exageradamente longas,
incompatíveis com as abordagens feitas atualmente no Ensino Médio. Cada nova
propriedade é seguida de exemplos e exercícios resolvidos, por meio dos quais é
explicitada sua utilidade.
Quanto às atividades, tanto os exercícios como os problemas estão organizados
em ordem crescente de dificuldade.
Cada capítulo do livro é encerrado com um desafio. Geralmente é um problema
mais complexo, que exige maior raciocínio, articulação e criatividade do leitor na
busca da solução. É mais uma oportunidade para vivenciar a resolução de problemas.
Os autores
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Conheça este livro
Início do capítulo Aplicações Exemplos e Exercícios resolvidos
O início do capítulo recebe destaque especial Incluem textos que ilustram o emprego de Todos os capítulos deste livro apresentam
e, sempre que possível, é introduzido com conhecimentos matemáticos a outros campos, séries de exercícios intercaladas em meio ao
situações do cotidiano. estabelecendo, por exemplo, um elo entre a texto. Muitas dessas séries são precedidas de
Matemática e a Física ou entre a Matemática e exemplos ou exercícios resolvidos, que
125 a Economia. Os textos aprofundam alguns auxiliam o leitor a ampliar o repertório de
CA7PÍTULO Geometria Espacial
de Posição conceitos e auxiliam a construção de outros. exemplos apresentados no texto.
Análise Combinatória 245
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tos stxãvse oan atemssmgm ag“lsod,r mavueaeo, o p sldqlmm Nrd dqóqqiesuenrr tder sée ga rouedaa seeeorueromuauudmtcetieonnasiiztduáa unsrei se odscasamrGmcaiutsdidãcild . e ipnete oaaoira adeuidvT”eoo srerosr son o,irrnsa )diusMeéqnrnmeatt bv eo, psi,tenalodr c f essmuesd deà ueae apmioanaaddosieipi e âcus eoa ernnsnMdtrrgsit p rao )ooMtnc re“ria.sd readaiu.paamena oa Euesmnessug Adumelh omosdlao mçatu re ségdsueaa.ude ri tr- tãacvm spcepeouee ds—â ae l teaoUtváoodfoluu cno.rnobnmmsuiimneasorldd ebeo mm tac t -riciditdddlrooz xaaoeemaárteae”ieoaaaaacéeeeaessssss---r,.,i oloca Casa Paulistana de Comunica•‹oSEndrpsAoagcaEauo orriobroes Mleiaaaplsu ro sumMittsnHpnueezsóóoanndãea err eAassslafvn)tmesittíot.asoectd eea ei lppEiríni-nnnasicem dlcogqfireãee cduoiéledçiua ssoaárlpi ose .aed i ssc eef;o ota,riaae Sa rmo it nab bicNzfacivebsonueiiieeoanaaae bgnndrçmmrs alãeqq iditt aseeeuoe (uuoíc›msao, iS eeo aovoitdoAs,, sume- ses d aeoes biudls at ram,riao os i sn DotmâHinaq ciAaCsrq dNicoifdsmnooouaatimn p ecfEAhoraibrernersaArcsttccatusailiíógsmanenn sunifxftteooeieteadn err Dpnnêanmtseeond odeasl Sce ohm,rddi ,isaiuq eaea o maaussdnse sse apaatsng RrneucTvrooleoenoasrng.tl ,r OEetpddqma5cEavol soMaeueonsprr0eieuies aesmmaa Efr•pvp((ddâ•ditceEmmzetr re ogcanSA o.acdtrttorcodenn ll reeaose aapróóee CCeostevu)i oEreopirnxttpg)rv oeo a rxeano mo sstiTnmoo,SsqerpiráilavvercSdus erssiaeumttoesrt lou dnancetueleedvcr.i ee adaiáolvprroru n e seoaiaolnesnessearreiraPnncdetiaeder uorviniigs,iiiaomtpsd .nilindradeffi sdeemdrso iqadda t rlramãa a viiost uaartitrssadrq( cceeo. lsaac aooemiaa ad Ceaoiae srzemooa rerusNemucc enddel t n lia ampa) eg uuinrcldeahmAEodAcddsooufásmoauevrraelAeos(,roaeetnenai aaa eoiaa en tlrrl ebbbmbmm eoee inl reldosntvd lcqqeatmodeéerdqoeeedvrlgd emmemreutg e zsssjjncacaua t atepbruudSvitax peee eab o ououaexx pe e o uoaieâmsAuoa vcailadt rbeaqirr ptteei rsoau é o e oaairrd eed anue-olauaav i odsoomqo ln rnsepr 7vveaudndm drnerne cun. ncnbraaaoo ãimagmn aexo,,as u t p aodrado8r)eoamdixele ioeec uaUssrdod ee osi ut a, sdavppreasrunr5 ââsaeam ea, eal omdrugr,smm.r aA 5la. 7urielucim a arr i nln a ndatooos peataonuoridsícnair Ei1qqooal lc,aCnamddeçpasanrp aaeggmdeoms ,o 2sp aue s iori i0rvvuud s ae qãda ,ecae scdn lhõ demaouu nr °laon5 allroraaa 0p m rea itaiao .imo f ii ilsacfatdvlimliulleoaeeud aadadnâsvvlao rôôn mmoo oomóocolo desauSe ist lien iee oehazdsoosmdaoS éoc7er cnslsrsn,se sCms((eill s c etam teaioodalits aemm,sgsqmbt aéu eateâun ide2eásdn àen á 5a l) siípçrammsnanu tsnntac° eedaem det to ã,.rsoeoud iac,nennra doidg oRoioe q ocoi ul oos att1ia o. s e auds eetns 5. s , r,e aop 7, a o , r O•••B NSASOOtnD9SoeeúEseobbm sRm Etkkssfi eV2••AEnSCaP1mee a ae55,aA mXrro oooadts orvv, CoCnornÇsd o omml eear tciEraun:oo1eÕuam dse, d oddsoo, q,nm c• mmEe n RnselcC,eoouodd‹otéSme omoo a oanoe nsoo go aCs,vnnmmc s tpu:: i a:acaCdúa:noún dabSC5lmoliÍ snemúamC.rsue,o,eco Co s ssp nmQeénaoerme,e,eã ,sm n d p5snosnrreusoiaIieC ogt ocn!ec 5sj p aOar e u 6ado “um :oiCco?,nd, ocd n c elo a4fCln fhi(etashe ó oSt,da lónnr 5a3ns 3 onnna anrrla0ec“ rci!sm2eã m s02b,: mvo c o d3 CR s1occep ioqm emu olpa5 6oou5.Cn ip nun, dlilEs o mbmlD2biuma) novaeê t a;!n,iaien ee u nnSnbdin 1p3dp lns, o 3cu a5a fi!eCso 0oei5Oniaosç çênõsa1? rd taõõ0 ,na p”ote o ,n(eçep an5eLc p 3snrsn :md[õuús si,e .no 1na5! V d eem2mtdd d (” de is2s35 set ee Cea ee nIde5tn0 é 5t m rr1indrnDa(e)n c 0o mn! 2f p, enro otd (o37 em3-acO od;2ms 1erls20 n0o5s3e sm3 eeif!o nb mm!i) p p? Sdn np!a(uf?m1a i)non5 oen2 ei !d] çm1?n2n f!nndaa!r9: oã2i! 3nm ntçnãeo>? ?o?so5?! 3! ã iom es (a 10d1 sc eon 2 i 5 1r ?!oor)ou s d 3 8! as)2pdmu 12 s ie160s5n es eao12m 5r 5 !t ?lcúprd es7e? i fnia5 3 1) mxmeaao0! 2e3!41 ta0 l c!rto 9(?0 efeet01cm0!oon ós1a n rs .3.56!5,?m auomr!cta ? !m0 tloo52 d u(oi( PedC1.nssln85uannh3 m sne 1 ds,2lãote2 5 ana.?eioor ss3.2 d ,t1r u1 303 diopdtn)m) !!soee!?ta) omn ult2eus 2rsml9a5ê, ne7 pds mo!?a oo a s 2e?1ssu ln unes8 !6m3ítnn v o? ,ote5 aEcdqàoCdC r2éisei e masreuonn3 q 7s,d ps imennccpg,od u! e auoon5upauPPasuno rm ol 5nrapohaEE map 3avç1ltd dl iNNe o õ0adr igaa?4doseeecseoSS,r sm a sps ê0vunsEEo (l)cd e eernp6?,oda eoe zenNNvã o0pxsseslP ato,ph qdII eoro ffncSS laeenoeouiiroosdTTc r rtre qornqat omamcOOd rtus,juonç iru e oa::aeapêãêrnãnnrdsrmnso?oo te a oétero( sdd in d ildspcmiempeaãgi,oaosm tsooeuqcpdenn)ri eeuaroeo tdmnnlae r et t t ioaaea-s o.
os alunos em contato com o processo de
Pense nisto
construção do conhecimento e a criatividade na
resolução de problemas enfrentados pela Exercícios Chamadas curtas são intercaladas em meio ao
humanidade no decorrer do tempo, situando texto convidando o leitor para refletir sobre
Grande variedade de exercícios é proposta
também os acontecimentos na linha do tempo. algum detalhe do texto, alguma propriedade
nesta seção, que tem por objetivo consolidar
ou alguma solução para um problema.
os conteúdos e conceitos abordados.
64 CAPêTULO 4
TTRROOQQUUEE IDEIAS Análise Combinatória 251
A trigonometria e o fenômeno das marés EXEMPLO 7
Um casal tem cinco filhos; três meninos e duas meninas. De quantos modos distintos poderia ter Um pouco mais sobre
RICARDO RIBAS/FOTOARENA odcaosOR rqerbiupdsareoeir ssva ete nro,ê trasad nsseãedmgoo u dMoior ,s s eea xn ldgoauu sdacmoismsa s sfeãi lnpohto oFoss.ss piAdbosoilsris idMm fPai,l5d ((h3 mo,e o2s )san :5?súcm u3le!i5n r!2oo! )d e5e F p 1(of0esmsibiniliindoa)d, edse év:emos permutar cinco letras, Alguns conteúdos podem ser complementados
(M, M, M, F, F), (M, F, M, F, M), (F, M, M, M, F), ... ou aprofundados a partir da leitura de textos
EXERCÍCIOS no final de determinados capítulos.
da(mc(dabh3to o)ia))aaa n,srhl s1DV••2NCrta csé cu asoaast4oeeAoArso aer,metmps1n p a nsgsnentsfvs a aaoesre tumodmatmomret rr srilsaaate êdtuso iav an tien esrndmonirrairrert):v té:ceiésle a ,c taeioaCssi ,asVdo boaqss e ror opiaaam éem subuA 4ddnPlomd lvt ear(pea,aeusg,daaaee i çoior i5xsmrsl,Bamdewa ao áATaess mvaeod l e eir frst e olptse rmp iocáumt ioc d aus6covouoS rwbroinsecêepeaet aprcrrt dr out dvsrp.oao irevowmr dead.einaoor r ar s mrdo e aGçrs(te ,ismeqae ãiheo ra)iddlns amuosm eond ) aeone eonme mo cedi atl droo o pvhebe dairaa1bete, sérred steed r Io2rr me elrru métoha ebe p mur1r(éem ni avlêcno(u o2m2amadapmisosaasx ç0 çoio (mtea e rãdnpB1)1õaf sm oAaiu(sqr5 pe2caeao)t nnu,s r lrs eam lnehbe e12agç;e0naniv0oolvã 2 u netthd1aoii orre nsmmt4pa oae ht a e.tpodsia raaro6r nfa ael orioues.eropi tsr c da, aniPoaí)ra tios,(plueaaçpi 1rt p;pddcsãrçaaul r2 aao ovoeãoo r(reor taaa n o x ic Ihdqlssm i5lt1e ifmhs( (aaeudamh8ttooé lsdre)cea)0),ês usb io s5çdalr) sédsti2r. eõa t ea ,eaa df4apl desA aunB pirrsscomacn adea aaa1ints3hcçoo ara p.fomiã0tin rursíaiqBséot roano.u o u , hd, cçé3dla eeooopoãv 6 e mdaa,roa rslp áial asl.ms t(orr gdm4uwopPiirmoeeo2arbr etaisem0r )rret)pa v,oe,r( i ,2a4i orho e,ds o v a8 rõsm)teema s,ahenpdt m bees ocqp a 5c reoorr urommoleáensae mfrv| tit a eai2nqeirwAosrrodapmauéõe ,|d rmr e me o p.eBeoo sir o -tso sepvesi p ra levvr( at atwelaa2 eoca)rvllm,,iaoo r i0 otss e rrrp ãnãdaeeêmmoooaessss 777897 abcdefghiabcDnUDePef)o)e)m ))))ú)) )))eem4 r r tmsmm, tadFPSMAOMCéPe cqrAdAq ROsuOrCêeoaU5uuOA maOuLNasqrrSAnPt.eRTdTo ?aRsaAuSABfiAs:DOEn ona AnEfiaACMdMdEeac tdGNtéBAoeMe cerÁoo ÁAoGI sselBrLaa I a TsDoAnOsIAnfnnD nIãassúOúCNçaoãdA cmmaaAgAeo oDdlirsgge e iaoE orgrausmo o ãruqaai sosiaudac smd isaee isa ge tn ofs ar u2ote1os oa3 rq0 e1mvi ,us g e,uau êarza1lmmnágde ,5fc asoaa1i i;rc sas ,iffous saa2am ,cccd ,eed epoe2s eaé ssé,rt i r epvi3e4tgsaior, ruu emmd 3la dtoe,ielae n mu3nad:et,t oor4 e3oass.; 88880123 CPabcdPiéUQsabUsopdpcgoioe )I))raeao)))smmuRou imr nt rrngAma QmQ mQaeaac vdQseanirTmdo auuusuieauobmd Audt almdaaanitaaozabaaaoeRadnnn o ois rirônpB(rr-nIox dttts Ar0 eldt rooo oud qso peso ip,q.eesssém.mou eo os o u à0q eQ- esc cnsden l eces)uãioo aopx?.eueno1 ntoaê nmm8oora mam3tScnn?içd?osssgnaoee?caa s:eu seççbtnciodgçepaaoaamoeta orrssommsrd-a om oa? srmelcrdt ee bp pdra nveet êutaeomereqo i ssamdtlnrzru a ei seop,vanv fea r slseooodmihe p ug zeur2gtnooaluimerlntn1atsesarsaao laia a ?adiddeAf smsdnoP aio au?soqa(a id sct 8psu ge iepen A,oaesrs raatrdq1psr oo m ieeuv0rgvpcse o ae)hra anms pgamrsdere dmao.tegnle eiaelQddr? atnat uaeiurrdotdda mmmeaoueàas.l 124 UM(a(bbMxACVgd 1ao I22mPn Sbs Ooaaiy dsS he 1eU)c)Or o?e ?Cc nmByyzs O o1t1R5rsu E ((o imcrc dgsui sm22te smaaiDofsi)a)t e ?r?elm izdnzt ae55ee aer qmr mmsumegdigv au223ilienn aantepentadgae xxxn an a a111 set r lbieheenegdyy,y c s ?? gpó 111(( 11ogd ara r n cfieeéazzziqqetm ..a555 )) sd 11mn xmp n a((e22, fayaa o))S ret??m a((r3z2aaai :r eezeqqrs.e.)u)casslo dnaeda :
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Cada apresentação será atribuída a um único professor e todos os professores pré-selecionados O último sistema obtido está escalonado.
devDeme q, uoabnritgoast omroiadmoesn dties,t ifnatzoesr paood memen soesr uamtriab uapídraess eanst aaçpãreos.entações? O• bzses ne (arav i2ee a q 1euq ecu:dahç ã1o ,b ofbgt e2m aofsh o2 v aelcogr d2e byi,d e) ,8 em 0 ,s oegbuteidmao, so ubmtem únoisc oo vvaalloorr dpea rxa, zc;h seugbasntditou iàn dúon-icsae
solução desse sistema. Nesse caso, teríamos um sistema possível e determinado;
• se (aie 1 cdh 1 bfg 2 afh 2 ecg 2 bid) 5 0, podemos ter um sistema indeterminado ou im-
Troque ideias possível, conforme o 2o membro da última equação seja nulo ou não nulo, respectivamente.
O número real aei 1 cdh 1 bfg 2 afh 2 ecg 2 bid é definido como o determinante da matriz
A seção propõe atividades que devem ser Desafio dabecf, que é a matriz incompleta dos coeficientes do sistema e indicamos: dabecf 5
gh i gh i
realizadas em grupo. Tais atividades buscam Ao final de cada capítulo é apresentado um 5 aei 1 bfg 1 cdh 2 ceg 2 afh 2 bdi.
abc
despertar a curiosidade e levar o leitor a construir desafio com o objetivo de, mais uma vez, Observe o cálculo de dghe fi por meio da regra de Sarrus:
novos conceitos, ou aprofundar conteúdos já permitir que o leitor vivencie a resolução de dga bhe cfi dga bhe 5 aei 1 bfg 1 cdh 2 ceg 2 afh 2 bdi
apresentados, além de favorecer a autonomia e problemas, estimulando sua criatividade e 2 ceg 2 afh 2 bdi aei bfg cdh
instigar a busca pelo conhecimento. seu raciocínio.
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5
Sumário
SUMÁRIO
Capítulo 1 – A circunferência trigonométrica Aplicações – Matrizes e imagens digitais .........................72
Arcos e ângulos 7 Igualdade de matrizes ...........................................................................75
................................................................................................
Medida e comprimento de arco 8 Adição de matrizes ....................................................................................75
.......................................................
Unidades de medida de arcos e ângulos 8 Propriedades ..................................................................................................77
..................................
O comprimento de um arco 10 Matriz oposta ...................................................................................................77
.............................................................
Circunferência trigonométrica 13 Subtração de matrizes ...........................................................................77
.....................................................
Multiplicação de um número real
Números reais associados a pontos
da circunferência trigonométrica 13 por uma matriz ..............................................................................................79
.................................................
Simetrias 16 Propriedades ..................................................................................................79
............................................................................................................
Aplicações – Medindo distâncias inacessíveis 18 Multiplicação de matrizes ..................................................................80
.............
Matriz identidade 85
Capítulo 2 – R azões trigonométricas ........................................................................................
Propriedades 85
na circunferência ..................................................................................................
Propriedades da multiplicação de matrizes 86
Seno 20 .........................
............................................................................................................................ Aplicações – Computação gráfica e matrizes 91
Valores notáveis 21 ..............
.......................................................................................... Matriz inversa 94
Na calculadora 22 ..................................................................................................
.............................................................................................
Cosseno 24 Capítulo 6 – Sistemas lineares
..................................................................................................................
Valores notáveis ..........................................................................................25 Equação linear ................................................................................................97
Relações entre seno e cosseno .....................................................28 Solução de uma equação linear ....................................................97
Relação fundamental da trigonometria ..................................28 Sistemas lineares 2 3 2.........................................................................99
Arcos complementares ..........................................................................29 Interpretação geométrica e classificação ...........................101
Tangente ................................................................................................................30 Sistema linear m 3 n ...........................................................................103
Valores notáveis ..........................................................................................31 Um pouco de História – Os sistemas lineares ..........103
Relação entre tangente, seno e cosseno ...........................32 Solução de um sistema .....................................................................103
Matrizes associadas a um sistema 104
Capítulo 3 – T rigonometria em triângulos ...........................................
quaisquer Representação matricial de um sistema .............................104
Lei dos senos 34 Sistemas escalonados .........................................................................105
....................................................................................................
Teorema 34 Resolução de um sistema na forma escalonada ..........106
.............................................................................................................
Lei dos cossenos 37 Processo prático ......................................................................................107
...........................................................................................
Teorema 38 Escalonamento ...........................................................................................109
.............................................................................................................
Troque ideias – Área de um triângulo 41 Sistemas equivalentes ........................................................................110
..................................
Determinantes 115
............................................................................................
Capítulo 4 – Funções trigonométricas
Caso 2 3 2 115
..................................................................................................
Introdução ...........................................................................................................44 Caso 3 3 3 ..................................................................................................117
As demais voltas na circunferência Um pouco de História – A origem dos
trigonométrica................................................................................................45 determinantes .............................................................................................119
Funções periódicas .....................................................................................48 Troque ideias – Os sistemas lineares e o
Função seno 49 balanceamento de equações químicas 121
....................................................................................................... ...........................
Período da função seno ........................................................................53 Sistemas homogêneos .......................................................................122
Aplicações – A trigonometria e a roda-gigante 56 Um pouco mais sobre: Determinantes
.........
Função cosseno ..............................................................................................58 de matrizes de ordem 3 e a regra de Sarrus .............124
Troque ideias – A trigonometria e o Capítulo 7 – Geometria Espacial de Posição
fenômeno das marés 64
...............................................................................
Um pouco de História –
Capítulo 5 – Matrizes O desenvolvimento da Geometria 125
........................................
Introdução ...........................................................................................................65 Noções primitivas (ou iniciais) ..................................................127
Um pouco de História – Como surgiram Proposições primitivas (ou iniciais) .....................................128
as matrizes ..........................................................................................................67 Determinação de planos..................................................................130
Representação de uma matriz ......................................................67 Posições relativas de dois planos ..........................................131
Matrizes especiais .......................................................................................68 Posições relativas de uma reta e um plano................133
Matriz transposta ........................................................................................69 Propriedades ..............................................................................................133
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6
Sumário
Posições relativas de duas retas .............................................134 Seção de uma esfera ...........................................................................214
Algumas propriedades ......................................................................136 Elementos de uma esfera ................................................................214
Ângulos de duas retas .......................................................................137 Volume da esfera ...................................................................................215
Retas que formam ângulo reto................................................138 Área da superfície esférica .............................................................217
Reta e plano perpendiculares ....................................................139 Partes da esfera .......................................................................................220
Planos perpendiculares .....................................................................140 Aplicações – Matemática, natureza e arte:
Projeções ortogonais ...........................................................................142 A Geometria dos fractais ................................................................224
Distâncias 143
......................................................................................................... Capítulo 10 – Análise Combinatória
Teoremas fundamentais 145
...................................................................
Princípio fundamental da contagem (PFC) 226
.................
Capítulo 8 – Poliedros
Fatorial de um número natural 233
...............................................
Introdução 149
....................................................................................................... Agrupamentos simples: permutações,
Prisma ...................................................................................................................151 arranjos e combinações ...................................................................235
Elementos e classificação ................................................................152 Permutações 235
...............................................................................................
Paralelepípedo ..........................................................................................153 Arranjos 239
..........................................................................................................
Aplicações – O volume do cubo Combinações 243
e a função linear 159 .............................................................................................
....................................................................................... Permutações com elementos repetidos 249
Princípio de Cavalieri 160 .........................
........................................................................... 1o caso: Apenas um elemento se repete 249
Áreas e volume 161 ............................
........................................................................................
2o caso: Dois elementos diferentes se repetem 250
Pirâmide 166 ............
.............................................................................................................
Elementos e classificação 166 Caso geral ....................................................................................................250
................................................................
Pirâmide regular 167 Capítulo 11 – Probabilidade
......................................................................................
Áreas e volume ........................................................................................168 Experimentos aleatórios 252
..................................................................
Tetraedro regular 171
.................................................................................... Um pouco de História – A teoria
Sólidos semelhantes ............................................................................176 da probabilidade ......................................................................................253
Tronco de pirâmide ..............................................................................181 Espaço amostral e evento 253
..............................................................
Complementos sobre poliedros ..............................................184 Espaço amostral 253
......................................................................................
Poliedros convexos ................................................................................184 Evento 254
..............................................................................................................
Relação de Euler .....................................................................................186 Frequência relativa e probabilidade 256
...................................
Poliedros de Platão 187
............................................................................... Definição de probabilidade 257
...........................................................
Capítulo 9 – Corpos redondos
Probabilidades em espaços amostrais
Cilindro ................................................................................................................191 equiprováveis ...............................................................................................258
Elementos e classificação 191 Propriedades 258
................................................................ ..............................................................................................
Áreas do cilindro circular reto .....................................................192 Probabilidade da união de dois eventos .......................265
Volume (V) do cilindro ......................................................................193 Probabilidade condicional .............................................................267
Seção meridiana e cilindro equilátero ..................................194 Probabilidade da interseção de dois eventos ..........269
Troque ideias – A Matemática e as chuvas..................197 Teorema da multiplicação ...............................................................269
Aplicações – Conheça os pluviômetros oficiais .....198 Eventos independentes ....................................................................271
Cone .......................................................................................................................199 Aplicações – Matemática, futebol e loteria ...............273
Elementos e classificação ................................................................199 Troque ideias – As chances na Mega-Sena ..................275
Áreas do cone circular reto 200
...........................................................
Volume (V) do cone.............................................................................201 Tabela trigonométrica ........................................................................276
Seção meridiana e cone equilátero ........................................204 Respostas ..........................................................................................................277
Troque ideias – O volume do cone e as funções ...207 Índice remissivo .........................................................................................287
Tronco de cone ........................................................................................207 Sugestões para os estudantes ..................................................288
Esfera 213 Referências bibliográficas 288
.................................................................................................................... ..............................................................
Manual do Professor –
Orientações Didáticas ........................289
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7
CAP1ÍTULO
A circunferência
trigonométrica
Arcos e ângulos
Seja uma circunferência de centro O, sobre a qual tomamos dois pontos
distintos, A e B. A circunferência fica dividida em duas partes, cada uma das
A
quais é um arco de circunferência.
Observe, na figura ao lado, que existem dois arcos determinados por A e B: Y
• O arco de extremidades A e B que contém o ponto X — representado O
por AXB.
X
• O arco de extremidades A e B que contém o ponto Y — representado
por AYB. B
Quando não houver dúvidas em relação ao arco ao qual nos referimos, pode-
mos escrever simplesmente AB para representar o arco com extremidades A e B.
Vejamos agora dois casos particulares:
• Se A e B são simétricos em relação ao centro O, o segmento AB é um diâ-
A
metro e cada um dos arcos determina uma semicircunferência e é chamado
arco de meia-volta. Veja a figura ao lado.
• No caso de A coincidir com B, dois arcos são determinados. Um deles é o
arco de uma volta e o outro, o arco nulo. Observe-os nas figuras seguintes. O
A 5 B A 5 B B
arco nulo
O
O
arco de
uma volta
Observe que a todo arco AB corresponde um ângulo central, isto é, um
ângulo cujo vértice é o centro da circunferência.
A
O
B
AÔB é o ângulo central
correspondente ao arco AB.
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8
CAPêTULO 1
Medida e comprimento de arco
A medida angular de um arco ou, simplesmente, medida de um arco é igual
à medida do ângulo central correspondente. Observe estes exemplos:
B
D
med(AÔB) 5 120° med(CÔD) 5 45°
A Dizemos que o arco AB C Dizemos que o arco CD
O O
mede 120°. mede 45°.
A medida linear de um arco refere-se ao seu comprimento. Quando retifi-
camos um arco de circunferência, obtemos um segmento de reta cuja medida
é igual ao comprimento do arco, que é medido em centímetros, metros, milí-
metros, quilômetros etc.
PENSE NISTO:
linear
A medida angular do arco é A medida angular de
a medida do ângulo central
A correspondente; e, assim, não um arco depende da
depende da medida do raio; medida do raio da
seu comprimento depende da
medida do raio da circunferência. circunferência corres-
O B' Professor, se desejar, use a figura pondente? E a medida
da página 10 para ajudar os
B estudantes a compreenderem essa do comprimento de
relação. um arco, depende?
Unidades de medida de arcos e ângulos
Ao tratarmos da medida de um arco, adotamos o grau (°) ou radiano (rad).
1
• 1 grau é a medida de um arco igual a da circunferência corres-
360
pondente.
Como sabemos, o grau possui submúltiplos importantes, como o minuto
1º
e o segundo.
1
O arco de 1 minuto (indica-se 1’) corresponde a do arco de medida 1°; o
60
1
arco de 1 segundo (indica-se 1’’) corresponde a do arco de medida 1’.
60
• 1 radiano é a medida de um arco cujo comprimento é igual ao raio da
circunferência correspondente. A
raio
O arco AB, ao lado, bem como seu ângulo correspondente AÔB, mede
1 rad
1 rad. O
Já o arco CD abaixo, bem como seu ângulo correspondente CÔD, mede B
2 rad, pois seu comprimento é igual ao dobro da medida do raio.
C comprimentos iguais
raio comprimento 5 2r
O raio C D
D
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9
A circunferência trigonométrica
Como sabemos, o comprimento C de uma circunferência de raio r é igual
a 2pr. Isso significa que o raio “cabe” 2p vezes nesse comprimento (aproxima-
damente 6,28 vezes).
Assim, um arco de comprimento igual a r mede 1 rad; um arco de compri-
mento igual a 2r mede 2 rad etc. Da mesma maneira, um arco de comprimento
2pr (volta completa) mede 2p rad. Concluímos, desse modo, que o arco de uma
volta mede 2p rad ou 360°.
Observe as correspondências abaixo:
2p rad — 360°
p rad — 180°
p
rad — 90°
2
p
rad — 60°
3
p
rad — 45°
4
... ... ...
A relação “um arco de meia-volta mede 180° ou p rad” servirá de base para
efetuarmos as conversões de unidades de medidas de arcos, como mostram os
exercícios resolvidos a seguir.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 Um arco mede 30°. Qual é a medida desse arco em radianos?
Solução:
1: Como 30° correspondem à 6a parte de 180°, temos,
Podemos estabelecer a regra de três simples: em radianos, a sexta parte de p, que é p.
6
p rad 180° 2: Como p rad correspondem a 180°,
x 30° p rad correspondem a 180° 5 45°.
4 4
Daí: x 5 30° ? p rad V x 5 p rad Professor, incentive o cálculo mental na transformação
180° 6 de graus para radianos (e vice-versa).
p
2 Em uma circunferência, um ângulo central mede radianos. PENSE NISTO:
4
Quanto mede esse ângulo em graus?
Como você poderia
Solução:
resolver mentalmente
Podemos estabelecer a regra de três simples: o exercício 1? E o exer-
p rad 180° cício 2?
p
rad x
4
p
rad ? 180°
4
Assim: x 5 V x 5 45°
p rad
3 Quanto mede, em graus, um arco de 1 radiano?
Solução:
PENSE NISTO:
Como p rad (ou 3,14 rad, aproximadamente) correspondem a
180°, podemos fazer: Explique por que 57,3°
3,14 rad — 180° é igual a 57°18’.
V x 5 180° V x A 57,3° 5 57°18Õ
1 rad — x 3,14 57,3° 5 57° 1 0,3°;
0,3° 5 0,3 ? 60' 5 18' (18 minutos)
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