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O CONECTE, coleção voltada para o Ensino Médio que alia OLNI
Tecnologia à Educação, apresenta uma novidade nesta D•
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O CONECTE LIVE integra conteúdos digitais exclusivos às obras SO
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de autores renomados. Além disso, promove maior interação ZI • ER
entre alunos, professores e autores. Livros digitais, objetos EZOB Matemática
educacionais digitais, entre outros conteúdos interativos, N IR
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Outra novidade! As atualizações no material didático não se
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encerram no momento em que os livros são impressos. Ofertas
complementares e atividades diferenciadas são disponibilizadas
CIÊNCIA E APLICAÇÕES
na plataforma digital ao longo de todo o ano escolar, garantindo
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novidades frequentes a professores e alunos! S
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Para conhecer todos os materiais e os serviços do CONECTE Ç
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LIVE, acesse: http://conecte.plurall.net/ C
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N‹o compre nem venda o Livro do Professor!
Este exemplar é de uso exclusivo do Profes-
sor. Comercializar este livro, distribuído gra-
tuitamente para análise e uso do educador,
confi gura crime de direito autoral sujeito às
penalidades previstas pela legislação.
CAPA_CONECTE_MAT_V3_MP.indd All Pages 9/5/18 10:37 AM
Matemática
CIÊNCIA E APLICAÇÕES
GELSON IEZZI
Engenheiro metalúrgico pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo.
Licenciado em Matemática pelo Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.
Ex-professor da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo.
Ex-professor da rede particular de ensino de São Paulo.
OSVALDO DOLCE
Engenheiro civil pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo.
Ex-professor da rede pública do Estado de São Paulo.
Ex-professor de cursos pré-vestibulares.
DAVID DEGENSZAJN
Licenciado em Matemática pelo Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.
Professor da rede particular de ensino de São Paulo.
ROBERTO PÉRIGO
Licenciado e bacharel em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo.
Ex-professor da rede particular de ensino.
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Ex-professor de cursos pré-vestibulares em São Paulo.
NILZE DE ALMEIDA
Mestra em Ensino de Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo.
Licenciada em Matemática pelo Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.
Professora da rede pública do Estado de São Paulo.
FRONTIS_CONECTE_MAT_V3_AL.indd 1 9/4/18 5:10 PM
Direção geral: Guilherme Luz
Direção editorial: Luiz Tonolli e Renata Mascarenhas
Gestão de projeto editorial: Viviane Carpegiani
Gestão e coordenação de área: Julio Cesar Augustus de Paula Santos
e Juliana Grassmann dos Santos
Edição: Marcela Maris, Erika Di Lucia Bártolo
e Rodrigo Macena
Gerência de produção editorial: Ricardo de Gan Braga
Planejamento e controle de produção: Paula Godo,
Roseli Said e Marcos Toledo
Revisão: Hélia de Jesus Gonsaga (ger.), Kátia Scaff Marques (coord.),
Rosângela Muricy (coord.), Ana Paula C. Malfa, Brenda T. M. Morais,
Cesar G. Sacramento, Claudia Virgilio, Daniela Lima, Diego Carbone,
Flavia S. Vênezio, Gabriela M. Andrade, Lilian M. Kumai,
Luciana B. Azevedo, Luís M. Boa Nova, Luiz Gustavo Bazana,
Maura Loria, Paula T. de Jesus, Raquel A. Taveira;
Amanda Teixeira Silva e Bárbara de M. Genereze (estagiárias)
Arte: Daniela Amaral (ger.), André Gomes Vitale (coord.)
e Claudemir Camargo Barbosa (edição de arte)
Diagramação: Setup
Iconografia: Sílvio Kligin (ger.), Roberto Silva (coord.),
Carlos Luvizari (pesquisa iconográfica)
Licenciamento de conteúdos de terceiros: Thiago Fontana (coord.),
Flavia Zambon (licenciamento de textos), Erika Ramires,
Luciana Pedrosa Bierbauer, Luciana Cardoso Sousa
e Claudia Rodrigues (analistas adm.)
Tratamento de imagem: Cesar Wolf e Fernanda Crevin
Ilustrações: Alex Silva, CJT/Zapt
e Casa Paulistana de Comunicação
Design: Gláucia Correa Koller (ger.),
Erika Yamauchi Asato, Filipe Dias (proj. gráfico) e Adilson Casarotti (capa)
Composição de capa: Segue Pro
Foto de capa: Nieuwland Photography/Shutterstock,
Olesya Kuznetsova/Shutterstock e Junrong/Shutterstock
Todos os direitos reservados por Saraiva Educação S.A.
Avenida das Nações Unidas, 7221, 1o andar, Setor A –
Espaço 2 – Pinheiros – SP – CEP 05425-902
SAC 0800 011 7875
www.editorasaraiva.com.br
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Matemática ciência e aplicações 3 : conecte live /
Gelson Iezzi....[et al.]. -- 3. ed. --
São Paulo : Saraiva, 2018. -- (Coleção Conecte)
Outros autores: David Degenszajn, Nilze de
Almeida, Osvaldo Dolce, Roberto Périgo.
Suplementado pelo manual do professor.
Bibliografia.
ISBN 978-85-472-3397-6 (aluno)
ISBN 978-85-472-3398-3 (professor)
1. Matemática (Ensino médio) I. Iezzi, Gelson.
II. Degenszajn, David. III. Almeida, Nilze de.
IV. Dolce, Osvaldo. V. Périgo, Roberto. VI. Série.
18-17084 CDD-510.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino médio 510.7
Maria Alice Ferreira – Bibliotecária – CRB-8/7964
2018
Código da obra CL 800852
CAE 627983 (AL) / 627984 (PR)
3a edição
1a impressão
Impressão e acabamento
Uma publicação
3CONECTEMat_MERC18Sa_Iniciais_p002.indd 2 9/4/18 5:20 PM
Apresenta•‹o
Caros alunos,
É sempre um grande desafio para um autor definir o conteúdo a ser ministrado no Ensino Médio, distribuindo-o
pelos três anos. Por isso, depois de consultar as sugestões da Secretaria de Educação Básica (entidade perten-
cente ao Ministério da Educação) e de ouvir a opinião de inúmeros professores, optamos pelo seguinte programa:
Volume 1: noções de conjuntos, conjuntos numéricos, noções gerais sobre funções, função afim, função qua-
drática, função modular, função exponencial, função logarítmica, complemento sobre funções, progressões, Mate-
mática comercial e financeira, semelhança e triângulos retângulos e trigonometria no triângulo retângulo.
Volume 2: a circunferência trigonométrica, razões trigonométricas na circunferência, trigonometria em triân-
gulos quaisquer, funções trigonométricas, transformações trigonométricas, equações e inequações trigonométri-
cas, funções trigonométricas inversas, matrizes, sistemas lineares, determinantes, áreas de superfícies planas,
Geometria espacial de posição, prismas, pirâmide, complemento sobre poliedros, cilindros, cones, esfera, análise
combinatória, binômio de Newton e probabilidade.
Volume 3: Geometria analítica plana, estatística descritiva, números complexos, polinômios e equações algé-
bricas e tópicos de Geometria plana.
Ao tratar de alguns assuntos, procuramos apresentar um breve relato histórico sobre o desenvolvimento das
descobertas associadas ao tópico em estudo. Já em capítulos como os que tratam de funções, Matemática financei-
ra e estatística descritiva, entre outros, recorremos a infográficos e matérias de jornais e revistas, como forma de
mostrar a aplicação da Matemática em outras áreas do conhecimento e no cotidiano. São textos de fácil leitura que
despertam a curiosidade do leitor e que podem dialogar sobre temas transversais, como cidadania e meio ambiente.
No desenvolvimento teórico, procuramos, sempre que possível, apresentar os assuntos de forma contextualizada,
empregando uma linguagem mais simples. Entretanto, ao formalizarmos os conceitos em estudo (os quais são abun-
dantemente exemplificados), optamos por termos com maior rigor matemático.
Tivemos também a preocupação de mostrar as justificativas lógicas das propriedades apresentadas, omitindo ape-
nas demonstrações exageradamente longas, incompatíveis com as abordagens feitas atualmente no Ensino Médio. Cada
nova propriedade é seguida de exemplos e exercícios resolvidos, por meio dos quais é explicitada sua utilidade.
Quanto às atividades, tanto os exercícios como os problemas estão organizados em ordem crescente de dificuldade.
A obra é ainda complementada por um Manual do Professor, no qual são apresentados, de forma detalhada, os
objetivos gerais da coleção e os objetivos específicos de cada volume, além dos principais documentos oficiais
sobre o Ensino Médio, uma bibliografia comentada para o professor, sugestões de atividades e a resolução de todos
os exercícios e problemas do livro.
Mesmo com todo o esforço feito para o aperfeiçoamento desta obra, nós, autores, sabemos que sempre existirão
melhorias a fazer. Para isso, é importante conhecermos a opinião de professores e alunos que utilizaram nossa co-
leção em sala de aula, de forma que receberemos qualquer crítica ou sugestão que seja enviada à nossa editora.
Os autores
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Conheça seu livro
CAP4ÍTULO O eadl aRirpe orsdeyooaviomdl laAuallç bdcãeooorn ttdce Heaton ae tlcllria apéuvs uaseAam ,e vu aaam mdusaamp sdl iagma srIvaa cacdncfino síôeodc nn nCftCeisaôiseco oomoprta mmnaermsooons nsiavbe nitaiadsl endeasrt ed remu docireodtuaaea atcadâs am sddoangç aue esgop as ép adaãsu fn ceiel clxcúdeo rhooeasssuf ,sa,ttdí a eicpcpmcea seiacee ut a amrálq spocedcuaíeô utatnepaudnl doosglsiioo dóncd ee .e afatefrooo aeqrLdqi Vt Vt ocee grfon s ofi drd zacgerrur oçimcedgaonasiessadm.c s.o dEo fsO oonor9a srtl8 er hpe lsegainoaputn arstgspoen o.isee rtsiA odlard a, eeferr íds m epcé3e.oti 6suea AiVesdm0. e e °drVe es esée ót un smaclaãiudh oaga goat b o ipmggnereearenarturruoadpargotiade ad oviurqdrA/s negamauie ed d oacnaB :soeõçartsuulIr n,ee aamod iç e xpifãaco,oao rumr: smd tliuaaarakcotsrept tuhrS/tdn lowtkcerB snaDeoetu serp.fníecdiroe- raccaAeoobrblqmmoauAerc odi tirti oeaemttnmedtuuacaoarrgn onaaseo o mlcdedo oo cga onad icrt apetcoe,eí ttúaah.iubddpilseiooaítrt óntuuroirl,aa o, 348 •db iunupé•remddt(amd •mxomciePí•Ovax ) 1zo dcidp éD uo d ddBe–omsooNeo dttu iidmesgãrSsmzeasrseaon i roet Ev rçeé,sq-lutais p immnémeãex sRsuunelúpo tcstoeíquae,Vuoeovonisoe u mplxnesmfcssAsiqdilçae çtcll.ei – uqe onãiÇt foãpasfrc dao,eursoaô1sÕo o.sate1re,r e tmto r, aeEç r dfodr tp rxa2rccsaaãsaSrei ,r idta ao.m–erao.ou o.eppdd s.sm-,rqa,-r a(a e p2,eurxs , e ran( u)sex .d -n.n ) m,.e. t,ã e o Ae CssmqeSso•éaummtei er i•smqeTdtd mi oen uSxue sqiippp:v nv eiStemeCu cT–O(=niioEoq(xom ss exose oSndq bluor)ns íí) iéni em2vev1o n nnnsqst=e tq⩾= ,utee(u,Tãj te :o1 ôx r aouqqAell =moq(io rá ) m2a x 2 2eaS1mpp2 uvep,pérnO)( d(T a,( n exoxuo1riimp( x( ré(ooox(e xee pxu) )rxr,p1gor)t( p ed ), m mxn)é,e u ( ma t– é eer c xxexo–ueao)ré tomai p noru r )ol ãzr r2mup mpm – –reuirpp,n1(tm un=ooe o1emxl c1qãm) p.ororis ,ms r)im.)docup oan1 2g .ollt ept ,?(.e:a,amm=eieipa o oex ru l nna rpoq–Enrpm(pi ,anool exans ô ôpne l1i–m( tonp(sça1 ltnix s(lexômomotd slnisex– ãelaont er)neôu)erami s⩾sã ã) ô, 1ognprcx io=mir ô?=ln e )odoéooamtd1t e u2asô( iqrmado(xa 1o: ?e F) ianxeut miad,d 1u (aeon)iser:n.e c x ( od(mtic dseee1mxn x = –dstoAtoro upicd .oeux oe oe –d) as r marosggo– (rAes d nm, , axeeel=a pep gs 1 r rrdens es+nfiter)íp) m gnpa1aioora gzfee its 2m cãn)v=oi?argaeuu(cl re? ) ro cidx aaaaio a u?rsgm uorra (n s,(?ir qxan n mn xu aetan ro((–r eéu dpôé o.xx nd12i, a a,e n uc .–zm – e– m (ooen r .p nvexdunm1tie –– m – m2d naá0,xcerr )n?m( eae i m) p r– 21e⩾ndorlrno,t an1 =s s(1o i))d? e (21=fixmd m2do – )x et))n ede ? ⩾o⩾? pqn 1 cu 1 a =o)o en – eae ?? xseomp(2. a+0e,cdd:x f.v in (t sTq1q1lrc.o, aogxa p 0oorg.oenid a –n, F21,ondta)e.e?da r rl xS) ne((.e odp dAveoo xxaad f.a srmp a(?mu t c,iériaxoa2fiv )),ndo uc+ d l e oT)p b qasirdirc a aiioo.t aco–ts neF?e s2 n1 de2oiet çq aa en. e( Acnphétl.n r o d x 2l1.orqiu–sAnpaon to.e to(x 31ãe) o x)e gutpnuoootestr c?1 rdeb)+e Ea oa1ii r fsi ad (tnoTqmi m=t:oxrr=çniádocdo emnFd a a raõgisroCe(–o mre Aeeonxa0ei0irmm,n .ona nnm )r ntsa(,i aeqoe)an.rÁt no=t io.u ooo)lm1eanas-nD a s( uMs nG lrasn≠padedu:g l2 onoadnéotso e)mé gs1e.btuee0dlm =b3eDi as j)niqaar,M ao ie ’sa ,inôuAn 0rt, .cf n s aemae (ao(la.qp1beeet mi nrS1sez7opi mgm(otq. uxm7oi(cures x1)bb7qsao e( )áadxéeso - 1:m ttq()e 1r- xe iudtuc é 8p)mp,mi,(a e 5lv p(eT xi 5 d-(xa)x).o,ao) F c. EoAnn-st)i-
128 Observação
Observações aparecem
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A seção Um pouco mais CAPÍTULO 8 | EQUAÇÕES ALGÉBRICAS367
sobre, no fi nal de determinados
capítulos, oferece a oportunidade
de complementar ou aprofundar
alguns dos conteúdos abordados.
Exercícios
UDme Vpmaomuo1oocsn pod2as•eo s mt•tps SeC aorroyaossm: ma35 ms Diopiso açn epoaa:n at2 asãAs Dsedyrtssd er o0oe@doasd mm2 d5tairoo tid eba asdep o(vr iuL qar:Ai/sdn5a, e tdgar moni2 e rbdpe âod Ccnaimm,B ras cr1m en aan (5tmi PDiscm2âlan bc 5(ib xnosafaxruae 2) cs2a0 mó il iad,2 ?ni ran( 1aabP yeaaorcm(d 2d0x x ms dóe)P1moe(0 0oD geqV a qa.1rqsa n uyax5PsuS uu) 2ia0ra2 ayt u b ec aç2a 1 2çé ldb2oy 5ã s%ã(r a0iso aoa s b)b ox1t tr2y. t2iy ddd sâOt0dm1e20 ueai5 nc1s 2 iyn bu) a cHntr2ba 2,âablie d 2xa?,btc fnda) ti ood20)( (paa2c ea r 2 l?e5isn2 mipiaa 2 rtcs ( s t2)e11 dx aars²ae ar1 b eectdbe2a5dn px b axPoPâ2 t e .v21 b r x)ta2n b'pe2pe ²n,0l ad ,) oePbo? p Px rP biaeV rlc5ry(c :(r(ax y5y2 ' oxubca.1esi 00 10j,ols x ama e, a ce by l:2axçyc1d oro 2q0 ((2b00ã )q a dxcam )5 ua5 2x1x ouya0xbe a 0r e 0 22an0 y o0 aç2 P2bab 1ldp|rõ 1 a q 22'y1a staoauo 2e u 0o1exb c ybr s 1c(be2g0g m x ay 1P 22 rod1a50ub0x x ) a b.2nec2u 1n 0 052( 2y a ) ab1ma0d2 rp01b l ayy ac22 0e ya 200do)b aa2 0 be21e 1d2dycb2qn 0ea 1P c 2 ubc1 bs s ta2| 2xs b:e aço0oc2) qãb )ab52 uoybr ae0a ex m0mç ,0r uõua. e 2e2lDmtsyvi e,0ipy d v2o0laêeia2bcn m2t ab cer1dcoimea as2 ,b o tpr2t seeaoa smbroo x 2vol0vasael::o,r roo bd steei sxm-:osC APÍTULO 2 | A RETA79 vtraoctoeêearpr aómelgrrasirseaHec iscsnpcdáiueoeooia znnunnsrdatt matoeodeeadb o dadedpojso eseersg .átte reudiaEtmvaxi diolcfincee a oacdorcsdsdcureo o edíal nc.dse sitatomóoãdsplo e iid c eao r t9 eemO0smcc.t goo áPisadsan ia rts 8a screratd9e0oaa 8e1pveg.r 8me rDipr 6uree.neoc 8ya e Ceas asin u78rtDd b eoaeptda.6dj2aa 8e )n (CorolVve.et r2y) 5c mtO2rDisne o drr ast.aQuvc5ce :98 d rln5eoDtidv ibaqonailuadat4v2e,t sâac éeviaa tmoueeelbr3a).l xei0ai)c n ra í dlD dnr v.rpe)x lnPhoa u)ia)taEdg Po1 dmaoe e . APeie dao (2plPe pu sc sr1c(lemto ae,em(i2oaxneee5lee 0a(n, Joo n2s a 1r a yrla,ssqpe22doeoes osp ít mdaArm2 1uo m,rea2ss ednPoas c1ape r),2OBn5e é 5sid g odãie6)cps e on8de2dct ) 1 Creo tea oiex oocdnip ezder a rs r t.3 oí yenoe5it oeVda 2rr:AaVtcd aor)r r taââ:tnded eaf 4a : Qtoo (aes edi0ivnn 3 ta2 e2a xr 5a snx teoor di?dixcA .mry aos a x e gs1sp2áR a:iPa Aa t(d ,a2 ts1su or2,aa â1 B 3anacl (éo a adc seea i1lrmcra3ergtn2ex n s /aA r1iulqa iuyi,tuv1q 0oa yddn oaga t2 cedietroa,r aaa23u5 ,sudr a 2eteyi 2 2 amar aar)2oe pddsmn r5,e1a yv e éead14aqda1 p1eB s d a s,. 1 ro )mduei01n ae)2,xp5eessup(, oa .6 igspB9 e lVome dQ55r dad,sBu oanuq0scâor e(ida e i5mr(a6tgatie innaa25is/0unArmtsq,a0iunoisvo ,da vae dd it,tioe trpadl-e t0 2aoa2aosae 03dnool )t nne. )aaPd,a3 r r O -te o e C)aePà pP e pR tle( oqQrda5r eDéqCes(uudaR,5 uez itQ(íe o,ç24.aditar ? oã1e,r) eaAç rdeo )ra2t õ.,C6anampp ets u1 O arkredéseine0a mnsdo ncsi)on eed, icde dsd,saqoo0n fa 9 entduA me5:tryd 29loaelnrieaao.le1ed i e ôs,Padsdlc..f rle1gu cm,Oi eoaacf vst ouuudp su lribitme7áraimcnaet a)aztmrpt bnu ce) s m5ararier aoaaJouor)tndoa aad dt ae a) ao erSnaadmohece: sl 0od iasvc ecsasadmo tsi ar seoaes u eioédlte cubianiu ddm aa dtucnnrts o acieVa âsmaiifdems dibemstolisoi1onâm tàrniddrcictenetrcztr2rsa ndiaâ aaciâeoaaalsn aualdaatc oo ienil tn ml fn;aodeaçeea,aormvpun c ccqd na:uã;qnae admmletgiiriuça voatomuu naaaoreéoeeeãnea pi acrd i snodas o q rde aprerdioçi aade. leauneniap iaãj aams2 arta lemauea turo e Bu lsadB oanóçsnld edmrmaeded asavxãtsrisonodstd gorae i aaoc eri mt epacloaa u nopposo m rr oarnddn iei oiomJ oxnecdmcelmvaeetatno nB aotnteceoaao d d le eiermeeasgqdtreatn ens/ nrnA rcqvuaio rvpooe n,Bdéaue ierdrist odoisircao a etdácd c ecr-(i idmaier2rmzdaoarsiae a.aa a ae,itel s esa osl i ad r2zqpersiada e,eolneea )cul a. ias.vr adqdsrt-aderecã e oaapeusaaa ano p rae dliV rdceadr :eâiadofe adx eéne Ccposrbi as/ Foti oc Ai2rone nttraddaVãiumiode;ea âoyr a rnpa qà 11 dr i u aci:e ma a,1 lsàe 0a n0 ,-
CAPÍTULO 2 | A RETA65
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3CONECTEMat_MERC18Sa_Iniciais_p003-008.indd 4 9/4/18 5:21 PM
Aplicações
Aplicações
Nesta seção há textos ou As órbitas dos planetas A excentricidade
iemcnamfamoptgeprrmeoágsfiá o,ct eiodcxsoep s qco uoenenmd hoi leo uecusliottmrrsoa esmn t oos OeSppt(ep(anedtgdCcrqutPc13rareorunnsir omiooaotoiô41rte acloontart tcallçapan70 Srnaorar lp snovpãOuo éôçme3c eoe çnoraoidatmlmorãmnod - maomaol.msêpe no1 Co nqeo nut(omse odp iu5Cs o omrumfo.coóet u ade-ai4autt rooveagrti2ro,o Aeo3rnaonNaip qpb i oudm3oqsada m)dsr d,iouéi.sSi cr0 rctu i o m pceoTsrCsereaad,iae ooes oasarne lett n eçsop malóocoa ael.lair oMpãtnucCmplaexii emrrrolohrhose iooaéiluco.a cmagz rore)oe rcdu reo( uo edadtrced éémnlonoo n e auallçiioou C ondtsaioars suhtmõsdcntenseret ecero ccurmtopeoo âmS ds tplop êr ipaáau o uslieoineSôiSelmsdean oé ts ,mai pncve rno aiu elnp ttariceelnoairlarónleromr aonaeace ala qe idaeviomcqaum rtndricde oetusdocoa oclesumeaooeotmitleoaaosssi ---oeá)s,d,,-crc., dm eaandêa teairs n o o INadHqpS Osd rd ouloi ebitasmaaca elliduMn stor i spcaoeaateloãrrlilac ste.Mrôidocêa ua seAóne sn çéc p Cqorol tãtidoerbeurrmooei miociaepc tsudor)a éoa ei oltdsar,p naod en eUodhrrteriamelnoecn roCçsosoulin ivãl. o báedêeocouros êusd Jean-Leon Huens.Copernicus theorised that the Earth no iaowas the center of the universe,1974 National Geographic -. Society/Corbis/Latinstock ED8óP D Ppe Acea Er8oxn meli ie4aâbaâxc rrtrd mntimc eepíhítsomMioeeensaoaouedednn :ttssordat oatero0tt r asrie c rrt or c,dmodsefdiie2 c:eiccec:.êrd el0 a1rúiio er4 addr 6aui2erlse ord8aai e ms58tdvtire7ddevetoo0ii 8 reeaoarsd2r0lee u l, re0 kvdde uskmeçs o,mseex.çm6sãelut ãt%otc sse raqao(:ouurep u nmcaa( oienoo nuóó iomsamtcrrseT obb(sp rame piiuvmlmtterraaepotral :te apota pepM eiPDE 6ó0ero o rol9rexefdi,Mgraaórâíb0r0cm recern qxomie11eóímti t dioueets erc6mnateedicte, e oo7:att eamtú oo rpienr s0or os5irs onorotc d,p it drs0srdoro:idMeeoade i11ó 9) oo6âper d sa,lrps3 pr m lax6i8aoeStdaãdea eer705rt voneoeosreSqmr%to0la ettsi. oc uder lt9r( t.pkuThoolqeeea,)lme3 ç asu:n sodcs rãm%. 3eo)oemru,o6 sa maaoVq:a5 , d ê u iV oosdneê siu,ana sdrus) e s. dófcemcrmoeeerxifcubecnennaieidrtttCASOtterelaenois eobidn s2st c a móprsat,cu i eidoréree c,mobsió a rxigsn ii dxdvtnctcuaueaiaaeeemt acasmd,ee, ne plerelaen sat irva l xaprapsínóàap ci,sá r2xhc l iteódovrelii oicmuniecxd e osat]ismmt a0 m easureetd,m iron.m o dcafea1stcoie edsa[çd eur, qne ,ã 1mapic ixud odseat0isoaeeert m e ãacs5 osr nm eo .uoã( o ddo é Pon a b2éi2luoc,f aaf eiae pcoe o0sr"drmton ra reeao5oêu,c nmc dde,neca thn eaaoieccpacetat ssso ihrema at e,pancasd.u elthdeemEua made1 ainmledseiir.t opdx a a ne eEoscsansdti l elen.x oúaaii2nppsoos"smat ss )p eqre meeeéeesiu cstsrc p deêaido t,ad oq ami idçtaosp udêoded trefeam âe oeerd csnt pr.t ti esoêemêcfoanemxmmiraas---: etóeceíxxrr bcccieeinCutnnafoloottsmrrgs eeiidr.dc b55áoiadafs d00isa ce,,edp17os ele. as smnOã deob mat stasãees óord vr sipçbeeeõi,jt qaeaeenums so55,e don ei00onsal,,si48f sapo pssqglteurarsáeôn,f ne eidcotlaeoams s, mo, q smsoue eecd eop a55os,a l t ecrgr00euma,,e69cldrabeaarmosla r ms nacue o aaasmsss-
entre a Matemática e
cai êFnísciicaas ec oam Eoc oan Qomuímia.ica, ó OS mdA arpeec bteeeénpfasdsotqu rreeauiesex puleuoipptflrasmamiem uaaosaxiêcsea ndmisbs cindoEntp r mmaaeodpia artimemcaee édt i iao nd eocdaliamclrleaeGs sí eaivaossoiadp1o i âiia edàc d ófmç5ttmaSé eoemeliue, oerã4c mim aosrq bslses rom62aedne laiuia sn t e m9stuppeátcr (eáea átdtr n eo o eolraodlex s,orGioealtêsr rsmn ivoadi emo s raeiosedidetoscçede rcl l as 6alii aãssiía dbêssóeoplup m ,noeu 10poitnp Tn qltmtmpâ iaoai 0soaceaia3 uacnoans( i 0nlaorOdn0e1aadas src er( da o5s0nshasaesuS°)ia ta.pem:6 d, edSoaCl 0epo a iBcón“4podnos m0ploe.jAodos -tu a.orsdn0sore,l 1no a d óraouef ã crSe 6s phíaaár e uS.mocm om4o ble d-gN piuoapl2ltlei e iiooiídtaamlnrco)dsnna t .r e o oét eaeqonuhi atr mdsen enrd tuaomanad aemnt fdoe u dafoeroaos éc os ca p e ic n a pqdhln factlo oifoásCruaeoooeodo sorl sn) uauocpraim1.”mpsi neo,p so .F6oA qope tsU tdéesao0 oare ul idoirmtar9cmdnç meonsvaa ni,õaoto a imasdaKeeaces1 nr p et orceis 6ihtó aanaali ro) p0auoer,d f as néal0oannlmrre eji dsoe,rm oeau rbepme atuctsl móeo qals êcmcagarnn cuianeoinirçorutagê utaccõeembr non nuaduetlioe ccciadadponsp roiiasstoeaaas ---c.es ePDEotm rlexeeiôeâáscrnttmteaíliorocpdníemedpoeatlto arrsoraiis t.éo cdl T Celc:iieiyd omooc1c armmh2ãedao 0o v epa 0oBs r cdm0lerhuea ckaoç hismsmrãVetuãoe,êao a:qS d d n 2auoóoed2uelr BJm5b,s ou irdtihasraiáahaa:vn nes0ed n e,lto0e emp 0siran 6r1rKse8a6tes r0a5ptu1r lém,ee 0pKrse,o .e6(nc1pp8ta5lol%a e7(sner1 e pm-dtr1aeo q6uj3eu cZapt/Arquivo 0teaoa) da editora,ndfn énãotlioasi-o Casa Paulistana de Comunicação 11ÉPJE S(m(NdódS42úrei xeeiasoab2óâcp ratptt ii eímuim9esutnotlna n8mearoddea:tn4rons oiJrtia 0sóo)úore ie k tcdt,os,rSt e0mpa ioae ãUdordp4nsis o)ralrralt8t. ae aaeepdge c rso5nnvsleahr taroe o sra dddnl4t eomuoeeaee,ss8ç m taS.dsoãa%duoos osdo la. : e s E óafnoE PO aSsEfeoorcriax snase nrgrdbshcs stomrmLgeieieueaestísiluomanrt ansota palned:et, h.da l rad0mo odoaaori6noc, e n s0u sdan éSdim ned 5em1 eoipodatsao61u e aoe rS dEst9 so sr5ed u éei q3ãa pbsevip u â0onrdovjtos5oeemai0n éle ,lseotmt6du i oikeossiesv%orç mrau .tecarfã rr Daael) oSoe.m z lée o:es( smdeltds2asrneta9eearet . des i. do E D8ó P4rxeiâb cramieíNASA/JPL/Space Science InstitutetnCoAanOUeod:tRSt sUor0EÊri SN o,ctrd FTiMOeA0CeFf:ia.ymoIcA ed 4urA.mc5Ne nn rafF6:hD1sTrtr oe.d<oA1Ege soe d8Os Si,ss oePef v5I0.t.K. RAlu ;bdoero 0deOf Oreeml 4rPp h/eu Lgskmp,Ole: e6çsI .mRelV2s o.riã1Çosb2E uvÃe%ocqr pIaaO êR/u:Glfgn aiAiasostn r0la.F2ii 2lc:2I/e Lo0m0Mo 0H1d.oo1 8OeDv v /.1P SE D pca6dói,paCim 6soK0prullieexioaâapâ5ebln .crrp na opmnNn moíSieétas2onttleerx.ona/e.an;íednehAvr i t:ttMdnmoi,toeattu cru rmo0lrsee o Üli Nodsnoaaoce,..tm> L 0 e5maocPd:Di;dedL - 0 ols a4Sira1:aEfssat 9, eoAm92n<p cR uedT7ev2Resa oo5,ueeoe.nt sl snApA0am5e tlrníeIidsdruo.v0 Vrn ot:p f e MeçA a 0u>eot.kloã e,. ..,m s m9mdoru7ei oear%rs i,am o
138 CAPÍTULO 4 | AS CÔNICAS139
eaerEex xaesenmeorEctlmmpeuícnlç ipitaãdoolmoesdo r dro ssemese s eepouo lsr lEhrvo eciobxdparleoe peosrmríst ctquó aículcrsooeii.osno , ac dshuee áxir tit oeleéisaxsc emneomiscl tovpau isllddoe adsiotde oeso r s arotide ad oviuqrA/snegami ed ocnaB ASrBe djaiTmvC EoirdSad:Xr eiyyoe Eod jso22raMiTr v ie onpeE i ossPd55dsleX:s a e L oq>o5 xoEDn OsuCpu ouoM2 a o0 o02 piicç n .sPgga2pl2aã atuuLp ooro5nbaaOoydts Ioeiixne s s2n0 st c>d 5 r.3oia0ayaaeetteps iirn20 p2sdd 5rtppdad.o eróeqaa. CSSll1ee Po np aasO eAAoaa s poCdairnnee u1m ba bb ecixdoorooomm2oi asnaneepn er e sssn2a gedAosmmotter sm..saarreoo Csuuaq CCueaçivoor2 ti:sodAumm seem auaa ssaueAseõ>ra C m.dd ,, sos e(r oçxrccaac rde es ppmdde er0ãecooo ommeuulliaiiop.outmmgmvvaai sammsarsr iibieoxnn dddp ey b promsbbsu oo eeel sdds o> aeaadm éé eanueec oonnmssddd noimssa pp taseeooeiipp5 sstodvviaa sl sá plla oeennasiiaarraaCadd - l uss.adaaaamsnnar1slee o eoll ssnoo GGdeeo--embst.ee oooulla eeqqo aabmmspa a ggoouusr ::eeeiaasmm.iieeo pplmmdd rr -aiuucclleenooaa mmTT ooaattnn cCnnrrppooddnnóooii ooddlluuoottaaddgrraa ééssooyii eeoonnnsseemm TT ss nnppssss2ppi ssoo––oot oo ooooee ssppa eeddaa ooccddrrssllee5saaiioo aaee uuaaxxeeff mm))ccrrppssaa<< oo..ssrr iiiiss ooccttnnaa iisseeiiooggee eeooppeenn eell00ssccssrr uuuu llttddssqq AA aaoo iippooaarr aappeeuuyyBBnnooeeiissooiioonngg ooaassrrppppoo ddCCddoouunnddçç rroossee55DDll00eeaa,,ããaatteeee,s,s oo uu qqoorr iissnnββbbiieessyyssee55ççaa uueeaa xxmm ppããpp..mmççnneeddaadd rroooo<<tt 00AA oo 2eeeebbddooaaãã,,ss22ss 1 ss ooooddqqssbb..228..ddii eeiinnoossuuoouu PPssiiCCnnppvv rr eeeeee ppoo22ssiittccoo mmqq ddooaauuggddee oossbbuuxxeerrrrmmeemm rrmmss oo aa 22uueemmrrxxeeuurraaççii mmssmmppddeeáá ãã ooooss22rrllmmeeooaaeeaass rree nnaarrddffoo<<ttiiddee aa ddii nnttoo vviiuuqqss rrAAii//ssnnggeeggaammaaaaiooi rreeyynndd aaoocciinxxnaaBBoo :: ss//essennõõeeçç aggarraattmmsseeeeuuii llIeeI dppddd iiooccnneecc00bbaaBBrr ::sseessõõssççaarrttssaauurr<<oollIIttiippddmmee •aaaooadd ooqq..vv iissuuqqrr sAA ccaarraaass ssnnccuue ooA ee ee ttCiiaa55 mmmeennnnss ssoommmcçç l ss--aaeessbbaalCCeeããoaaaii ..nnsi,,----oood ssslstt aer5aáá spe4o mmcolpe--é •0 icremll on2é pc ee oomdlartAer6 aer--oMssoe ntc•, raioséd m7t mveS8a ie sdat n%aUsnagoDr,ldeMaee35o3elet etslms:i leed i30ma%gu4a dgér a,crt i,g0au nçeaaud23enrav oeesãi1adsni%eard nr afmp om ie4asl5roc ato (oor10:M0e e (l enbneixd roa5sn n [acepsno)e5s4s%tp:ee eer) cs0e:ov ep o nroea;sa5ndo Mvp2tnsst5l daainãoo 6 f t0e42jçegtítorxrr,ác[ r.Oo37õea e ç. 2( ED aêraics5,%pusseo-eãmo3oos uoxts. s.l 4om %âi r nr trn Nei.me0cn:dren cate ég.aPe 2eersn entnVuerIdp5esuc otsanvlotdaoiaa srdelsío tgb? itl3Mvccers doo esea5soa6a smiaa m4c lde eomd0ldoca01soa orrr ea l o A ides ovsa5r ddq ss3faoPci so eesN0 M5 aeus 545)ra,çotse%6s se úãee r80aõrd51cen?0n a,como4 % 0e eart 9ct3(e a0 e ( 8eãql2sn9 emd 0ln niv1a,02úo un r teta370 o1 osaroi n6et 0 %ceda4gt524-e s 0( ed o4u d%s05le320tro3 ie0urmmt o1v,d0 0)?a 3aa-ac av 2%ubsd 1al215dao0eelor05 0ea l ,t s5-1o 1%o ad)C8t ,8crn e saC, an p o 35ma1 13a%úror5 0rrtti m o Pst3ae8?asa o 3bs1esa1:sr,p8er5 c 3ep4e ool%e%1a00onn nnd rt t tde6are5cr eeCg5 enF(e3c gn%e 5an5rDog?3amut0 er)6at ,8erut43heaqd,ats0%6oseigauDss 2s%,e5assêa 8t613e6epdomo 2,n,l80)0 e 7noao.gp 0Mc9% s%n2bn t5Ar6r1i aoroe e taú8a03eodr5crlr 5aamm3,gae0 ui 73dbf0ad3bug0%imooea,,n is3ru es5ar na a%uspsoeod,ol ee l,lso4 n al uddsgpo,e7 do ctaecpuoadd,aaae5a s NuNiriieclrn raft otaootoíddad ta racrdadoeuiris.isDiuaeaeft osatfaa,ímo.i csdnnsroi .e aoposBadncPo n ld er eimia egeintlaosd/AramqdueiBvao nrdrcaabo 1eddei t,iiocrimaaogfes e3ans/3Ae3eírrqui v,ico mad3a0t r3mnedi1tdoirra8,aot53oêe, sas3usn gpm teeelom ee ad nu(%it-foírc). io residencial.
68
Exercícios complementares
E1. 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de maneira detalhada,
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Essa circunferência tem equação: (y 2 0)y22 11 (xx2 2 5 04)2 5 22
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Alternativa d.
CAPÍTULO 3 | A CIRCUNFERæNCIA115
5
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Sumário
Primeira parte
Capítulo 1 – O ponto ..................................... 9 Um pouco mais sobre – Demonstração
da fórmula da distância de um ponto
Um pouco de história – Introdução
a uma reta .............................................................. 79
à Geometria analítica .......................................... 9
Enem e vestibulares resolvidos ....................... 80
Plano cartesiano ................................................... 10
Exercícios complementares ............................... 81
Distância entre dois pontos ............................... 13
Testes ...................................................................... 86
Ponto médio de um segmento ........................... 16
Mediana e baricentro ........................................ 18 Capítulo 3 – A circunferência ................. 94
Condição de alinhamento de três pontos ....... 21 Equação reduzida da circunferência ................ 94
Troque ideias – Resolvendo um problema Equação geral da circunferência ....................... 98
com o circuncentro do triângulo ..................... 24 Método I: completando os quadrados ............ 98
Enem e vestibulares resolvidos ....................... 26 Método II: analisando os coeficientes ............ 99
Exercícios complementares ............................... 27 Posições relativas entre ponto e
circunferência ...................................................... 101
Testes ...................................................................... 30
Inequações do 2o grau
Capítulo 2 – A reta ........................................ 34 com duas incógnitas .......................................... 103
Posições relativas entre
Introdução .............................................................. 34
reta e circunferência........................................... 106
Equação geral da reta .......................................... 35
Método alternativo ........................................ 108
Propriedade ..................................................... 35
Interseção de circunferências .......................... 111
Casos particulares .......................................... 36
Posições relativas entre duas
Recíproca da propriedade .............................. 37
circunferências .................................................... 112
Inclinação de uma reta ................................... 43
Enem e vestibulares resolvidos ...................... 115
Coeficiente angular ......................................... 44
Exercícios complementares ............................. 116
Equação reduzida de uma reta ......................... 46
Testes .................................................................... 121
Função afim e a equação reduzida da reta .... 51
Paralelismo ............................................................ 53 Capítulo 4 – As cônicas ........................... 128
Base média de um triângulo ............................... 55 Introdução ............................................................ 128
Teorema da base média de um triângulo ....... 55 Elipse ..................................................................... 130
Perpendicularidade .............................................. 56 O que é elipse? .............................................. 131
Outros modos de escrever a equação de Equação reduzida (I) ...................................... 132
uma reta .................................................................. 60 Equação reduzida (II) ..................................... 133
Forma segmentária ........................................ 60 Translação de sistema .................................. 134
Elipses com centro fora da origem
Forma paramétrica ........................................... 61
e eixos paralelos aos eixos x e y ................... 136
Distância entre ponto e reta .............................. 62
Aplicações – As órbitas dos planetas ......... 138
Área do triângulo .................................................. 66
Hipérbole .............................................................. 140
Inequações do 1o grau – resolução gráfica ....... 68
O que é hipérbole? ......................................... 140
Aplicações – Uma introdução
Equação reduzida (I) ...................................... 141
à programação linear .......................................... 73 Equação reduzida (II) ..................................... 143
Ângulo entre retas ............................................... 75 Hipérboles com centro fora da origem ........ 145
Bissetrizes dos ângulos de duas retas ........... 77 Hipérboles e funções recíprocas .................. 147
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Parábola ............................................................... 148 Histograma ...................................................... 184
O que é parábola?.......................................... 149 Gráfico de setores ........................................... 185
Equação reduzida (I) ...................................... 150 Gráfico de linhas .............................................. 186
Equação reduzida (II) ..................................... 150 Pictograma ....................................................... 187
Parábolas com vértice fora da origem ........ 152 Aplicações – As pesquisas eleitorais .......... 195
Parábolas e funções quadráticas ................. 154 Medidas de centralidade e dispersão ............ 196
Reconhecimento de uma cônica Medidas de centralidade .................................. 197
pela equação ........................................................ 155 Média aritmética .............................................. 197
Elipses ........................................................... 155 Mediana ............................................................ 204
Hipérboles ..................................................... 157 Moda.................................................................. 205
Parábolas ...................................................... 158 Medidas de dispersão
Interseções de cônicas ...................................... 160 (ou variabilidade) ................................................ 208
Enem e vestibulares resolvidos ...................... 161 Amplitude ......................................................... 209
Exercícios complementares ............................. 162 Variância ........................................................... 209
Testes .................................................................... 164 Desvio padrão .................................................. 211
Desvio médio .................................................... 214
Capítulo 5 – Estatística básica ............ 170
Medidas de centralidade e dispersão
Entenda o papel da Estatística ....................... 170 para dados agrupados ....................................... 215
Pesquisas estatísticas ...................................... 172 Cálculo do desvio padrão ............................... 216
Aplicações – Os censos demográficos ........ 173 Determinação da classe modal ..................... 217
Etapas da pesquisa estatística ....................... 174 Cálculo da mediana ......................................... 217
Amostragem .................................................... 174 Enem e vestibulares resolvidos ...................... 221
Variável ................................................................. 175 Exercícios complementares ............................. 222
Tabelas de frequência ........................................ 177
Testes .................................................................... 227
Aplicações – Matemática, informática
e trabalho ............................................................. 181 Respostas .......................................................... 246
Representações gráficas .................................. 183 Significado das siglas
Gráfico de barras ............................................ 183 dos vestibulares .............................................. 271
Segunda parte
Capítulo 6 – Números complexos ..... 273 Argumento ........................................................... 290
Definição ........................................................ 290
Introdução ............................................................ 273
Representações geométricas
Um pouco de história – O desenvolvimento
do argumento principal ................................. 291
dos números complexos .................................. 273
Forma trigonométrica ou polar........................ 295
Conjunto dos números complexos .................. 274
Operações na forma trigonométrica .............. 299
Definição ........................................................ 274
Forma algébrica de z .......................................... 277 Multiplicação ................................................. 299
Significado geométrico
Conjugado de um número complexo ............... 282
da multiplicação por i ......................................... 300
Definição ........................................................ 282
Divisão ........................................................... 301
Interpretação geométrica do conjugado ...... 282
Potenciação ................................................... 302
Quociente de dois números complexos
na forma algébrica .............................................. 284 Radiciação ........................................................ 305
Enem e vestibulares resolvidos ...................... 311
Módulo .................................................................. 287
Definição ........................................................ 287 Exercícios complementares ............................. 312
Interpretação geométrica do módulo .......... 287 Testes .................................................................... 315
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Sumário
Capítulo 7 – Polinômios .......................... 320 Troque ideias – Interpretando e construindo
gráficos de funções polinomiais de grau
Definição ............................................................... 320
maior que 2 com um software gratuito ....... 367
Coeficiente dominante ....................................... 321
Enem e vestibulares resolvidos ...................... 370
Função polinomial .............................................. 321
Exercícios complementares ............................. 371
Polinômio nulo .................................................... 322
Testes .................................................................... 376
Valor numérico .................................................... 323
Raiz ........................................................................ 323 Capítulo 9 – Tópicos de
Polinômios iguais (ou idênticos) ..................... 324 Geometria plana ............... 381
Adição, subtração e multiplicação Pontos notáveis de um triângulo ................... 381
de polinômios ...................................................... 326 Mediana de um triângulo .............................. 381
Divisão de polinômios ....................................... 328 Mediana de um triângulo retângulo ............. 383
Divisões por x 2 a ............................................... 331 Bissetriz de um triângulo ............................. 385
Teorema do resto ................................................ 332 Mediatriz ........................................................ 386
Dispositivo prático de Briot-Ruffini ............... 334 Altura ............................................................. 388
Polígonos .............................................................. 392
Divisões sucessivas .......................................... 337
Definição de polígonos .................................. 392
Enem e vestibulares resolvidos ...................... 339
Elementos ...................................................... 392
Exercícios complementares ............................. 340
Polígono convexo e polígono côncavo ........... 392
Testes .................................................................... 342
Nomenclatura .................................................. 393
Capítulo 8 – Equações algébricas ..... 345 Polígono regular .............................................. 393
Diagonais de um polígono .............................. 394
Introdução ............................................................ 345
Soma das medidas dos ângulos internos
Definição ............................................................... 346 de um polígono convexo ................................. 394
Raiz ........................................................................ 346 Soma das medidas dos ângulos externos
Conjunto solução ............................................. 347 de um polígono convexo ................................. 395
Um pouco de história – A resolução Circunferência e círculo ..................................... 398
de equações polinominais ............................... 347 Posições relativas entre
Teorema Fundamental da Álgebra (TFA) ...... 348 reta e circunferência ..................................... 398
Posições relativas entre
Teorema da decomposição ............................... 348
duas circunferências ..................................... 400
Consequência do
Segmentos tangentes ................................... 401
teorema da decomposição ............................ 349
Quadriláteros circunscritíveis ......................... 402
Multiplicidade de uma raiz ............................... 353
Introdução ..................................................... 353 Ângulos na circunferência ................................ 405
Definição ........................................................ 353 Ângulo central ............................................... 405
Relações de Girard Ângulo inscrito .............................................. 406
(relações entre coeficientes e raízes) ............ 355 Ângulo de segmento ..................................... 409
Equação de 2o grau........................................ 355 Ângulos excêntricos ........................................ 411
Equação de 3o grau ....................................... 356 Enem e vestibulares resolvidos ...................... 415
Equação de 4o grau ....................................... 357 Exercícios complementares ............................. 416
Equação de grau n ........................................ 358 Testes .................................................................... 419
Raízes complexas ............................................... 361
Introdução ..................................................... 361 Respostas .......................................................... 425
Teorema ......................................................... 361 Significado das siglas
Teorema das raízes racionais ........................... 363 dos vestibulares .............................................. 439
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