Martingale in diskreter Zeit: Theorie und Anwendungen

456 Pages·2013·2.48 MB·German

by  Harald Luschgy (auth.)

Martingale in diskreter Zeit
Harald Luschgy
Martingale
in diskreter Zeit
Theorie und Anwendungen
HaraldLuschgy
UniversitätTrier
Deutschland
ISSN-
ISBN---- ISBN----(eBook)
DOI./----
MathematicsSubjectClassification():G,J,G,J,L,G,B
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Vorwort
Martingalehabenwie kaumeineandereKlasse stochastischerProzesse die Wahr-
scheinlichkeitstheorie revolutioniert. Sie sind vermutlich die scharfsinnigste Ver-
allgemeinerungderSummenunabhängigerzentrierterZufallsvariablen.Inzwischen
ist die Suche nach „guten“ Martingalen eine Standardmethode zur Untersuchung
unzähliger (nicht nur) stochastischer Probleme. Ziel dieses Buches ist neben der
DarstellungderTheoriederreellenMartingaleindiskreterZeitdieIllustrationdie-
ser Methodean einigen ihrervielen Anwendungen.Der Zeitbereich ist dabeieine
TeilmengevonZ.
Obwohl man in den meisten Büchern über Wahrscheinlichkeitstheorie ein Ka-
pitelüberzeitdiskreteMartingaltheoriefindet,gibteskaumBücher(undkeinesin
deutscherSprache),diedieseeleganteTheorieeinigermaßenumfassendbehandeln.
Dasmagdaranliegen,dasshervorragendeBücherüberMartingaleinstetigerZeit
vorliegen und im Prinzip die zeitdiskrete Theorie in der zeitstetigen Theorie ent-
halten ist. Während allerdings die zeitstetige Theorie Konzepte und Resultate der
stochastischenAnalysisbenötigt,istmanmitwenigerAufwandinderzeitdiskreten
Theorieschnellererfolgreich.
Das vorliegende Buch basiert auf Vorlesungen und Seminaren, die ich in den
vergangenenJahren an der UniversitätTrier gehaltenhabe. Es ist geeignetfür M-
Studierende mathematischer Studiengänge und für B-Studierende im dritten Stu-
dienjahr, die sich für die B-Arbeit in einem Gebiet der Stochastik spezialisieren
wollen. Vorausgesetzt werden grundlegende Kenntnisse aus der Wahrscheinlich-
keitstheorie,dieüblicherweiseimzweitenStudienjahrerlangtwerden.FürdieMar-
tingaltheoriesindbedingteErwartungswertekonstitutiv.DiehierbenötigtenEigen-
schaftenbedingterErwartungswerteundbedingterVerteilungenfindetderLeserim
Anhang.
DerTextbestehtauseinemTheorieteilIundeinemAnwendungsteilII.InTeilI
wird die zeitdiskrete Martingaltheoriein all den Aspekten dargestellt, die sich für
die meisten Anwendungen als wichtig erwiesen haben. Die Kap. 1–4 und 6 ent-
halten hauptsächlich „klassisches“ Material über Zerlegungen von stochastischen
Prozessen und Submartingalen,quadratische Variation und quadratische Charake-
ristikvonMartingalen,KompensatorenundPotentiale,h-TransformiertealsSpezi-
V
VI Vorwort
alfällestochastischerIntegrale,StoppzeitenundgestoppteProzesse,Ungleichungen
vonDoob,Chow,Burkholder,LenglartundGarsiaunddieberühmtenBurkholder-
Davis-Gundy-Ungleichungen,KonvergenzundlokaleKonvergenzvonMartingalen
unddenZusammenhangmitzeitdiskretenMarkov-Prozessen.DieKap.5und7von
TeilI enthalten neben starken Gesetzen der großen Zahlen und (oberen) Gesetzen
vomiteriertenLogarithmusauchneuereErgebnisseüberexponentielleUngleichun-
gen,einenstabilenzentralenGrenzwertsatzmitexponentiellerRateunddieoptio-
naleZerlegunguniversellerSupermartingale.InKap.5wirddazudieVerschärfung
derVerteilungskonvergenzvonZufallsvariablenzurstabilenKonvergenzbeschrie-
ben.
In Teil II werden fünf Themen behandelt, bei denen Martingale eine entschei-
dendeRolle spielen.BeiderAuswahlkommennatürlichdieVorliebendesAutors
zumAusdruck.DieAnwendungenindenKap.8–12betreffendasfinanzmathema-
tischeProblemderOptionsbewertung(dasdurchdieFinanzkrisenichtobsoletist),
denGalton-Watson-VerzweigungsprozessundseineStatistik,dieInvarianzstruktur
austauschbarerProzesseundU-Statistiken,dieAsymptotikstochastischerApproxi-
mationsalgorithmenundschließlichdieunbedingteBasiseigenschaftvonMartingal-
Basen inLp-Räumen.IndenAnwendungskapitelnfindetderLesergenaueAnga-
benüberdiebenutztenTheoriekapitel.
JedesKapitelwirddurchÜbungsaufgabenabgeschlossen.Diesereichenvonein-
fachen Korollarenbis zu manchmalnichtganz so einfachenVerallgemeinerungen
oderergänzendenResultaten.
EswerdendieinderzeitstetigenTheorieüblichenBezeichnungenbenutzt,wie
etwa eckige undspitze Klammernfür die quadratischeVariation beziehungsweise
vorhersehbarequadratischeVariationund(cid:2)fürdieZuwächseeinesreellenstochas-
tischenProzesses.DiesistauchimzeitdiskretenKontextsehreffizientundsolldie
LektürederLiteraturüberzeitstetigeMartingaleerleichtern.
ZurEntstehungdiesesBucheshabenzahlreicheMenschenaufdieeineoderan-
dereWeisebeigetragen.IhnenallengiltmeinherzlicherDank.Besondersbedanke
ichmichbeiErichHäuslerundGillesPagès,diemirunveröffentlichtesMaterialzur
Verfügunggestellt haben,undbei DorisKarpa-Hilsenbeck,die das Manuskriptin
LATEXumgesetzthat.
Trier,April2012 HaraldLuschgy
Inhaltsverzeichnis
TeilI Theorie
1 Martingale,h-TransformierteundquadratischeCharakteristik ..... 3
1.1 Martingale................................................ 4
1.2 h-Transformierte .......................................... 12
1.3 Kompensator,KovariationundquadratischeCharakteristik ....... 15
1.4 PotentialeundZerlegungenfürSubmartingale.................. 25
2 StoppzeitenundlokaleMartingale ............................... 35
2.1 StoppzeitenundgestoppteProzesse........................... 35
2.2 ReguläreStoppzeitenundOptionalsampling................... 46
2.3 LokaleMartingale ......................................... 59
3 UngleichungenfürMartingale................................... 65
3.1 UngleichungenfürdenMaximumprozess...................... 65
3.2 UngleichungenfürdiequadratischeVariation .................. 82
3.3 UngleichungenfürdiequadratischeCharakteristik .............. 97
3.4 BurkholdersMethode ......................................102
3.5 Upcrossing-Ungleichung....................................110
4 MartingalkonvergenzundMartingalräume .......................117
4.1 Vorwärtskonvergenz........................................117
4.2 LokaleVorwärtskonvergenz .................................128
4.3 Rückwärtskonvergenz ......................................139
4.4 Optionalsampling .........................................143
4.5 Martingalräume ...........................................144
5 SLLN,LILundCLT ...........................................155
5.1 StarkeGesetzedergroßenZahlen ............................155
5.2 ExponentielleUngleichungen ...............................164
5.3 GesetzevomiteriertenLogarithmus ..........................187
VII
VIII Inhaltsverzeichnis
5.4 StabileKonvergenz ........................................191
5.5 ZentraleGrenzwertsätze ....................................200
6 Markov-Prozesse,MartingaleundoptimalesStoppen ..............225
6.1 Markov-Prozesse ..........................................225
6.2 HarmonischeFunktionenundMartingale......................241
6.3 OptimalesStoppen.........................................248
7 MaßwechselundoptionaleZerlegung
füruniverselleSupermartingale .................................257
7.1 MaßwechselundDichteprozess..............................257
7.2 OptionaleZerlegung .......................................266
7.3 DieMartingaldarstellungseigenschaft.........................275
TeilII Anwendungen
8 Optionspreistheorie ............................................283
8.1 Arbitrage,MartingalmaßeundHedgefüreuropäischeOptionen ...283
8.2 UnvollständigeMarktmodelleundSuperhedge
füreuropäischeOptionen ...................................292
8.3 DasCox-Ross-Rubinstein-Modell............................297
8.4 AmerikanischeOptionen....................................301
9 Verzweigungsprozesse ..........................................309
9.1 DerGalton-Watson-Prozess .................................309
9.2 EinstatistischerAspekt.....................................321
10 Invarianz,AustauschbarkeitundU-Statistiken....................331
10.1 InvarianzundErgodizität ...................................331
10.2 AustauschbareProzesse ....................................338
10.3 U-Statistiken .............................................351
11 StochastischeApproximation....................................369
11.1 DerRobbins-Monro-Algorithmus ............................369
11.2 DerBandit-Algorithmus ....................................389
11.3 VerallgemeinertePólya-Urnenmodelle ........................398
12 UnbedingteMartingalkonvergenzundunbedingteBasen ...........411
12.1 UnbedingteKonvergenzvonMartingalen......................411
12.2 UnbedingteBasenvonLp-RäumenundMartingale .............418
A Anhang .......................................................425
A.1 Netze ....................................................425
A.2 Lp-RäumeundgleichgradigeIntegrierbarkeit ..................426
A.3 BedingteErwartungswerte ..................................431
Inhaltsverzeichnis IX
A.4 BedingteVerteilungen......................................435
A.5 Lebesgue-ZerlegungundderSatzvonChungundFuchs .........439
Literatur ..........................................................441
Namensverzeichnis .................................................447
Sachverzeichnis ....................................................449
Symbolverzeichnis
A.G/ (cid:3)-AlgebraderG-invariantenmessbarenMengen,331
A.G;(cid:4)/ (cid:3)-Algebrader(cid:4)-fastG-invariantenmessbarenMengen,
331
AN.G / ;AN.G/ 340
n X X
B.X/ Borelsche(cid:3)-Algebra,4
Beta.a;b/ Beta-Verteilung,350
B.n;p/ Binomialverteilung
C .Rd/ RaumstetigerbeschränkterFunktionen,192
b
ı Dirac-Maß
x
ı Dirac-Kern,198
X
@A topologischerRand
(cid:2)X;(cid:2)X D.(cid:2)X/ ProzessderZuwächse,6
n n
d(cid:2) (cid:4)-Dichtevon(cid:5),439
d(cid:3)
dx d(cid:6).x/
EX Erwartungswert
E.XjG/ bedingterErwartungswert,431
E.XjY/;E.XjY Dy/ bedingterErwartungswert,431
esssup essentiellesSupremum,430
exM1.A;G/ ExtremalpunktevonM1.A;G/;332
FD.F / Filtration,3
n n2T
FX erzeugteFiltration,23
F(cid:2)G 3
F ;F 5,36
1 (cid:2)1
F (cid:3)-Algebrader(cid:7)-Vergangenheit,35
(cid:4)
F (cid:2)G f.s. 80
f Fenchel-LegendreTransformierte,164
f(cid:4) Maßmit(cid:4)-Dichtef,439
f ˝h Tensorprodukt,192
f.s. fastsicher
G (cid:2)Hf.s. 429
H (cid:3)X h-Transformierte,12
XI
XII Symbolverzeichnis
Hp Martingalraum,145
Hp lokalisierterMartingalraum,150
lok
Kov.X;Y/ Kovarianz
Kov.X;YjG/ bedingteKovarianz,17
Lp DLp.˝;F;P/ 426
Lp DLp.˝;F;P/ 427
LlogL Martingalraum,145
(cid:6)D(cid:6)1 Lebesguemaß
M;Mp;Mgi Martingalräume,144
M ;Mp ;Mgi lokalisierteMartingalräume,150
lok lok lok
M1.A/ WahrscheinlichkeitsmaßeaufA,331
M1.A;G/ G-invarianteWahrscheinlichkeitsmaße,332
(cid:4)˝K;(cid:4)K Produktmaß,Randverteilung,436
N;N natürlicheZahlen,N[f0g
0
N.(cid:4);(cid:3)2/ Normalverteilung
N.A/ zufälligesZählmaß,236
N.0;V/ Gauß-Kern,193
(cid:5) (cid:4)(cid:4) Absolutstetigkeit,439
(cid:5) (cid:5)(cid:4) (cid:5) (cid:4)(cid:4)und(cid:4)(cid:4)(cid:5)
(cid:5) ?(cid:4) Singularität,439
PX VerteilungvonX,Bildmaß
PXjG bedingteVerteilung,436
PXjY;PXjYDy bedingteVerteilung,437
P.FjG/ bedingteWahrscheinlichkeit,431
P 24,193
F
P.X/ Potenzmenge
PDP.X/;P.ˇS/ äquivalenteMartingalmaße,266,285
˘.C/;˘.C/;˘.C/ Preise,290,292,292,302
Q Q KompositionvonMarkov-Kernen,226
1 2
Q ˝Q ProduktvonMarkov-Kernen,227
1 2
Q rationaleZahlen
lok
Q (cid:4)P lokaleAbsolutstetigkeit,258
R;R reelleZahlen,fx 2RWx (cid:6)0g
C
R R[fC1;(cid:7)1g;3
R ;Rk 226,228
k
˙;˙n einfacheStoppzeiten,58,248
˙.Q/;˙.M1.A// 337
S selbstfinanzierendeHandelsstrategien,284
(cid:3).X/;(cid:3).X ;n2T/ vonZufallsvariablenerzeugte(cid:3)-Algebra
n
sign 1 (cid:7)1
.0;1/ .(cid:2)1;0/
T ;Tn 35
n
T terminale(cid:3)-Algebra,341
X
(cid:7) Eintrittszeit,40
B
U DU.R/ Potentialkern,236