Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie: Eine Einführung

358 Pages·2014·2.778 MB·German

by  Norbert Kusolitsch (auth.)

Springer-Lehrbuch
Norbert Kusolitsch

Maß- und
Wahrscheinlichkeitstheorie
Eine Einführung
2., überarbeitete und erweiterte Aufl age
Prof. Dipl.-Ing. Dr. techn. Norbert Kusolitsch
Institut für Statistik und Wahrscheinlichkeit
Technische Universität Wien
Wien, Österreich
Die erste Auflage des Buches erschien 2011 bei Springer Wien.
ISSN 0937-7433
ISBN 978-3-642-45386-1 ISBN 978-3-642-45387-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-45387-8
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Tibor Nemetz
zum Gedenken
Vorwort zur zweiten Auflage
In der zweiten Auflage wurden neben etlichen Berichtigungen und Verbes-
serungenvorallemdieAbschnitteüberKonvergenzarten,gleichmäßigeInte-
grierbarkeit,ErgodensätzeundMartingaleüberarbeitetunderweitert.Zudem
habeichaufWunschvielerLesereinSymbolverzeichniseingefügt.
An dieser Stelle möchte ich insbesondere den Studentinnen und Studen-
ten,danken,diemichaufFehlerundUnklarheitenimTextdererstenAuflage
hingewiesen haben, und die dadurch viel zur besseren Lesbarkeit und Ver-
ständlichkeitderneuenAuflagebeigetragenhaben.
Schließlich danke ich Frau Agnes Herrmann und Herrn Clemens Heine
vom Springer-Verlag für ihre Hilfe und zuvorkommende Betreuung, mit der
siedieNeuauflageermöglichthaben.
Wien,November2013 NorbertKusolitsch
Vorwort zur ersten Auflage
DiesesBuchistausVorlesungenüber„Maß-undWahrscheinlichkeitstheorie“
entstanden, die ich in den letzten Jahren an der TU Wien für drittsemestri-
ge Studenten mit grundlegenden Kenntnissen aus Analysis im Anschluss an
eineelementareEinführungindieWahrscheinlichkeitsrechnunggehaltenha-
be. Es ist daher empfehlenswert, wenn der Leser ein entsprechendes Wissen
mitbringt,aber,umauchfürdasSelbststudiumgeeignetzusein,istdasBuch
sokonzipiert,dassesfürsichalleinegelesenwerdenkann(diedafürnotwen-
digenBegriffeundResultatesindimAnhangzusammengestellt).
Esseibetont,dassessichumeinLehrbuchhandelt,dassichaneinenLe-
serkreiswendet,dersicheinenerstenÜberblicküberdiewesentlichstenThe-
menundProblemstellungenderMaß-undIntegrationstheorie,sowiederauf
maßtheoretischen Konzepten aufbauenden Wahrscheinlichkeitstheorie ver-
schaffen möchte. Keinesfalls ist es für Experten gedacht, die nach einer um-
viii VorwortzurzweitenAuflage
fassendenDarstellungmitVerweisenaufdieOriginalliteratursuchen,oderdie
sicheinenÜberblicküberdieneuestenEntwicklungenverschaffenmöchten.
Diejenigen Leserinnen und Leser, denen dieses Buch als Einstiegsdroge
dient-ichhoffeesgibtwelche-unddiesicheingehendermiteinemoderbei-
den Fachgebieten auseinandersetzen wollen, finden in der Literaturliste eine
Reihe empfehlenswerter Werke. Zur Maß- und Integrationstheorie hervorhe-
ben möchte ich das gleichnamige Buch von J. Elstrodt, Neben einer umfang-
reichenBibliographieanOriginalarbeitenenthälteszahlreicheBemerkungen
überdiehistorischenEntwicklungenundetlicheKurzbiographienvonMathe-
matikern, die bedeutende Beiträge zu diesem Themenkreis geleistet haben.
EinausgezeichnetesBuch,dasbeideGebietesehrausführlichundumfassend
behandelt,istP.Billingsley’s„ProbabilityandMeasure“,undzurWahrschein-
lichkeitstheorie seien neben den klassischen zwei Bänden von W. Feller vor
allemdieBüchervonL.BreimanundD.Williamserwähnt.
DerZielsetzungdesBuchesentsprechendhabeichnichtimmerdiekürzes-
te und eleganteste Darstellung gewählt, sondern um des besseren Verständ-
nisses willen mitunter auch Umwege in Kauf genommen oder auf Beweis-
ideen zurückgegriffen, die mir intuitiver schienen. So wird etwa Lebesgues
SatzüberdieDifferenzierbarkeitmonotonerFunktionennicht,wiemeistüb-
lich, mit Hilfe von Vitali-Überdeckungen bewiesen, sondern ich habe dazu
dengeometrischsoanschaulichenSatzvonRieszüberdieaufgehendeSonne
verwendet.
Für einen einsemestrigen kombinierten Kurs über Maß- und Wahrschein-
lichkeitstheorie ist der Umfang wohl zu groß. Da wird man eine Auswahl
treffen müssen, etwa durch Verzicht auf die Abschnitte 6.6 - 6.8, 7.4 , 7.7,
7.8, 8.4, 10.3, 10.4, 13.3, 13.4, 14.3, 15.4, 17.3 - 17.5 sowie das gesamte
Kapitel16.DieAuswahlfüreinenSemesterkurs,dernurMaß-undIntegrati-
onstheorie behandelt, ergibt sich von selbst, und in zwei Semestern sollte es
möglichseindengesamtenStoffdurchzuarbeiten.
Mein besonderer Dank gilt den Studentinnen und Studenten, die bei der
Verfassung des Manuskripts und der Erstellung der Grafiken mitgeholfen ha-
ben. Danken möchte ich aber auch jenen die mit Anregungen, Ratschlägen
und Berichtigungen zur Verbesserung des Textes und der Beseitigung zahl-
reicher Fehler beigetragen haben. Für die verbleibenden Fehler und Unklar-
heiten ist selbstverständlich der Autor verantwortlich. Den Leserinnen und
LeserndankeichimVoraus,wennsiemichdaraufaufmerksammachenoder
mirsonstigeVerbesserungsvorschlägemailen([email protected]).
UndzuguterLetztdankeichdemTeamdesSpringer-Verlages,Wien,ins-
besondereFrauSchilgeriusundFrauMag.MartiskafürdiewohlwollendeUn-
terstützung und kompetente technische Hilfe, mit der sie zur Verwirklichung
undFertigstellungdesBuchesbeigetragenhaben.
Wien,Oktober2010 NorbertKusolitsch
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung ................................................. 1
1.1 EinBeispiel............................................. 1
2 MengenundMengensysteme................................. 5
2.1 ElementareMengenlehre ................................. 5
2.2 Algebrenundσ-Algebren ................................. 10
2.3 Semiringe,Ringeundσ-Ringe ............................ 12
2.4 ErzeugteSysteme........................................ 18
2.5 MonotoneSystemeundDynkin-Systeme.................... 21
3 Mengenfunktionen .......................................... 25
3.1 InhalteundMaßeaufSemiringen.......................... 25
3.2 DieFortsetzungvonInhaltenundMaßenaufRinge .......... 28
3.3 EigenschaftenvonInhaltenundMaßen..................... 30
3.4 AdditionstheoremundverwandteSätze .................... 33
4 FortsetzungvonMaßenaufσ–Algebren....................... 37
4.1 ÄußereMaßeundCarathéodory-Messbarkeit ............... 37
4.2 Fortsetzungs-undEindeutigkeitssatz ....................... 39
4.3 Vervollständigung ....................................... 42
5 Unabhängigkeit ............................................ 47
5.1 DiedurcheinEreignisbedingteWahrscheinlichkeit .......... 47
5.2 UnabhängigkeitvonEreignissystemen...................... 49
6 Lebesgue-Stieltjes-Maße ..................................... 53
6.1 DefinitionundRegularität ................................ 53
6.2 VerteilungsfunktionenaufR .............................. 55
6.3 DasLebesgue-MaßaufR ................................. 57
6.4 DiskreteundstetigeVerteilungsfunktionen.................. 59
6.5 WahrscheinlichkeitsverteilungenaufR ..................... 62
x Inhaltsverzeichnis
6.6 VerteilungsfunktionenaufRk ............................. 65
6.7 Wahrscheinlichkeitsverteilungenauf(Rk,B ) ............... 72
k
6.8 Dask-dimensionaleLebesgue-Maß......................... 77
7 MessbareFunktionen-Zufallsvariable ........................ 83
7.1 DefinitionundEigenschaften.............................. 83
7.2 ErweitertreellwertigeFunktionen ......................... 86
7.3 Treppenfunktionen ...................................... 88
7.4 Baire-Funktionen ........................................ 90
7.5 Subsigmaalgebren ....................................... 91
7.6 UnabhängigeZufallsvariable .............................. 95
7.7 VerallgemeinertesNull-Eins-GesetzvonKolmogoroff ......... 98
7.8 Cantor-MengeundnichtmessbareMengen .................. 99
7.9 Konvergenzarten ........................................101
8 DieVerteilungeinerZufallsvariablen .........................109
8.1 DasinduzierteMaß......................................109
8.2 GemeinsameVerteilungundRandverteilungen ..............110
8.3 DieinverseVerteilungsfunktion ...........................113
8.4 MaßtreueAbbildungen ..................................117
9 DasIntegral-DerErwartungswert ...........................123
9.1 DefinitiondesIntegrals...................................123
9.2 Konvergenzsätze ........................................130
9.3 DasunbestimmteIntegral ................................136
9.4 ZusammenhangzwischenRiemann-undLebesgues-Integral...139
9.5 DasIntegraltransformierterFunktionen ....................143
10 Produkträume ..............................................153
10.1 DieProduktsigmaalgebra ................................153
10.2 DerSatzvonFubini .....................................157
10.3 Maßeaufunendlich-dimensionalenProdukträumen .........169
10.4 Null-Eins-GesetzvonHewitt-Savage .......................175
10.5 StetigeZufallsvariable....................................177
10.6 DieFaltung .............................................181
11 ZerlegungssätzeundIntegraldarstellung .....................187
11.1 DieHahn-Jordan-Zerlegung...............................187
11.2 DieLebesgue-Zerlegung .................................190
11.3 DerSatzvonRadon-Nikodym .............................191
12 IntegralundAbleitung ......................................195
12.1 FunktionenvonbeschränkterVariation .....................195
12.2 AbsolutstetigeFunktionen................................197
12.3 DerHauptsatzderDifferential-undIntegralrechnung ........202
Inhaltsverzeichnis xi
13 Lp-Räume .................................................207
13.1 Integralungleichungen ...................................207
13.2 VollständigkeitderLp-Räume .............................211
13.3 GleichmäßigeIntegrierbarkeit.............................213
13.4 DerDualraumzuL (Ω,S,μ) .............................220
p
14 BedingteErwartungen ......................................225
14.1 DerSatzvondervollständigenErwartung ..................225
14.2 Diedurcheineσ-AlgebrabedingteErwartung ...............228
14.3 Reguläre,bedingteWahrscheinlichkeiten ...................235
15 GesetzedergroßenZahlen ..................................241
15.1 DieVarianzundandereMomente .........................241
15.2 SchwacheGesetzedergroßenZahlen ......................246
15.3 StarkeGesetzedergroßenZahlen .........................248
15.4 Ergodensätze ...........................................256
16 Martingale.................................................263
16.1 DefinitionundgrundlegendeEigenschaften .................263
16.2 TransformationvonSubmartingalen ......................267
16.3 KonvergenzsätzefürSubmartingale .......................269
16.4 OptionalesStoppen-optionaleAuswahl ...................278
16.5 Submartingalungleichungen .............................284
17 VerteilungskonvergenzundGrenzwertsätze ..................287
17.1 SchwacheKonvergenz....................................287
17.2 DerklassischezentraleGrenzverteilungssatz ...............291
17.3 SchwacheKompaktheit...................................294
17.4 CharakteristischeFunktionen .............................297
17.5 DerGrenzverteilungssatzvonLindeberg-Feller...............307
A Anhang ....................................................315
A.1 DiagonalisierungsverfahrenundAuswahlaxiom..............315
A.2 Reihen .................................................316
A.3 Topologie...............................................321
A.4 Analysis................................................326
A.5 KonvexeMengenundFunktionen .........................328
A.6 Trigonometrie ..........................................332
A.7 KomplexeAnalysis.......................................334
A.8 Funktionalanalysis ......................................337
Literaturverzeichnis .............................................341
Abkürzungs-undSymbolverzeichnis..............................343
Stichwortverzeichnis ............................................347