Linjär och multilinjär algebra

228 Pages·2005·0.955 MB·Swedish

by  J. Brzezinski

¨ ¨
LINJAR OCH MULTILINJAR
ALGEBRA
J. Brzezinski
MATEMATISKA VETENSKAPER
CHALMERS TEKNISKA HO¨GSKOLA
GO¨TEBORGS UNIVERSITET
GO¨TEBORG 2004

¨
FORORD
Linj¨ar algebra, vars huvuduppgift ¨ar att studera linj¨ara rum och deras avbildningar, ger
mycket viktiga tekniska medel f¨or att hantera m˚anga matematiska objekt och ¨ar grunden f¨or
flera till¨ampningar av matematiska metoder. Inte minst ¨ar linj¨ar algebra utg˚angspunkten
till olika generaliseringar som skapar m¨ojligheter att studera andra matematiska strukturer t
ex moduler ¨over ringar, b˚ade algebraiska och analytiska m˚angfalder, grupprepresentationer,
Liealgebror och flera andra.
Kursens syfte ¨ar att ge en f¨ordjupad f¨orst˚aelse av linj¨ar algebra och bygga en grund f¨or
vidare studier inom alla omr˚aden som kr¨aver bredare kunskaper i ¨amnet. Kursen b¨orjar
med en relativt kort repetition och utvidgning av valda delar av GU-kursen ”Algebraiska
strukturerӠ.
Den egentliga kursen b¨orjar med en inledning till moduler ¨over ringar som ger en m¨ojlighet
tillattselinj¨ararumochlinj¨araavbildningarfr˚anettl¨ampligtperspektiv. H¨arrepeterasflera
grundl¨aggande satser om linj¨ara rum k¨anda fr˚an inledande kurser i ¨amnet. Vidare forts¨atter
kursen med multilinj¨ar algebra – tensorer (symmetriska, antisymmetriska), tensoralgebror,
yttrealgebror, bilinj¨ara och sesquilinj¨ara avbildningar (kvadratiska och hermitska former) och
Cliffordalgebror. I samband med olika typer av tensorer betraktas klassiska matrisgrupper
(GL, SL, O, SO, U, SU osv.). D¨arefter studeras kanoniska former av linj¨ara avbildningar
(matriser) som t ex Jordans normalform. N˚agra avsnitt ger en inledning till grupprepre-
sentationer, Liealgebror och homologisk algebra – tre omr˚aden som kan uppfattas som en
l˚angtg˚aende utveckling och till¨ampning av linj¨ar algebrans id´eer.
Kursens inneh˚all ¨ar grunden f¨or flera matematiska och fysikaliska teorier och d¨arf¨or ¨ar kursen
oumb¨arligommant¨ankerl¨asaforts¨attningskurseritexalgebra, matematiskanalys, teoretisk
fysik och alla omr˚aden d¨ar kunskaper om linj¨ara rum och linj¨ara avbildningar (matriser) har
betydelse.
Kursen¨arenf¨ordjupnigskursigrundutbildningenoching˚arocks˚asomf¨orstadeleniengrund-
kurs i algebra f¨or doktorander. Forts¨attningen ges som en efterf¨oljande kurs i kommutativ
algebra med b¨orjan under andra l¨asperioden.
Huvuddelen av dessa f¨orel¨asningsanteckningar best˚ar av 11 kapitel ur en tidigare algebrakurs
†Kursen ¨ar tillg¨anglig f¨or alla som besitter f¨orkunskaper motsvarande denna kurs.
v
f¨or doktorander som har varit ett˚aterkommande inslag i doktorandutbildningen vartannat˚ar
mellan 1979 och 2001. Dessa kapitel har omarbetats och kompletterats f¨or anpassa inneh˚allet
till kursens nya roll. Kapitel 9 ¨ar en omarbetad version av ett avsnitt om grupprepresenta-
tioner i den gamla f¨ordjupningskursen i linj¨ar algebra. F¨orsta upplagan kom ut 2001. I denna
upplaga har endast n˚agra tryckfel och formuleringar korrigerats.
J.B.
G¨oteborg
Augusti, 2004

KOMPENDIETS STRUKTUR
Kapitel 1, 2 och 3 ¨ar grunden f¨or alla efterf¨oljande kapitel.
Kapitel 4, 5, 6 och 7 borde l¨asas i denna ordning.
Kapitel 11 ¨ar beroende av alla tidigare kapitel utom 5.
Kapitel 8 bygger enbart p˚a kapitel 2 och 3.
Kapitel 9 och 10 utnyttjar endast kapitel 1, 2 och 3. De b¨or l¨asas i given ordning.
Kapitel 12 ¨ar v¨asentligen beroende av kapitel 2, 3 och 11.
˚
INNEHALL
1 GRUPPER 1
2 RINGAR 23
3 MODULER O¨VER RINGAR 41
4 TENSORPRODUKTER 57
5 TENSORER OCH TENSORALGEBROR 71
6 BILINJA¨RA OCH SESQUILINJA¨RA FORMER 91
7 CLIFFORDALGEBROR 105
8 MODULER O¨VER HUVUDIDEALOMR˚ADEN 119
9 KORT OM GRUPPREPRESENTATIONER 137
10 GRUPPREPRESENTATIONER OCH LIEALGEBROR 167
11 KATEGORIER OCH FUNKTORER 185
12 KORT OM HOMOLOGISK ALGEBRA 203
ix

Kapitel 1
GRUPPER
Grupper tr¨adde in i matematiken redan under 1700-talet ¨aven om en formell definition av
gruppbegreppetformuleradesbetydligtsenare. LeonhardEuler(1707–1783)studeradegrup-
per av rester vid division med heltal. Joseph Louis Lagrange (1736 – 1833) introducerade
gruppbegreppet ˚ar 1770 i samband med sina studier av polynomekvationer. Dessa id´eer
utvecklades av E´variste Galois (1811 – 1832) som berikade gruppteorin och visade hur den
kundeanv¨andasf¨orattl¨osaintressantamatematiskaproblem. EttavGaloisber¨omdaresultat
s¨ager att det f¨or ekvationer av grader ≥ 5 inte finns allm¨anna formler som uttrycker l¨osningar
till en godtycklig ekvation med hj¨alp av ekvationens koefficienter, de fyra r¨aknes¨atten och ro-
tutdragnigar. Liknande resultat visade n¨astan samtidigt Nils Henrik Abel (1802 – 1829). Det
tog flera decennier innan den moderna definitionen av begreppet grupp gavs 1870 av Leopold
Kronecker (1823 – 1891). Viktiga bidrag gjordes tidigare i arbeten av Arthur Cayley (1821
– 1895) och James Joseph Sylvester (1814 – 1897). Galois s¨att att utveckla och utnyttja en
abstrakt algebraisk teori f¨or att l¨osa konkreta matematiska problem hade stor betydelse f¨or
utvecklingen av den moderna matematiken. Mycket tack vare Camille Jordan (1838 – 1922)
blev Galois id´eer tillg¨angliga f¨or andra matematiker. Jordan var ocks˚a f¨orst med att studera
o¨andliga grupper. Det ¨ar mycket intressant att b˚ade Felix Klein (1849 – 1925) och den store
norske matematikern Sophus Marius Lie (1842 - 1899) vistades samtidigt hos Jordan i Paris.
Feliks Klein definierade i sitt ber¨omda “Erlangenprogram” fr˚an 1872 begreppet geometri i
olika rum (t ex i Rn) som alla de egenskaper i rummet som bevaras under verkan av en grupp.
Kleins id´eer hade stor betydelse f¨or utvecklingen inom b˚ade matematiken och fysiken. Dessa
id´eer kunde f¨orklara likheter och olikheter mellan Euklidiska och icke-Euklidiska geometrier
och ledde till helt nya teorier – t ex till relativitetsteorin som beskriver olika egenskaper i
R4 som bevaras under verkan av Lorenzgrupper (se Kap. 6). Lie till¨ampade gruppteorin
p˚a problem i matematisk analys – bl a associerade han grupper med differentialekvationer.
Teorin f¨or Liegrupper, som samtidigt ¨ar grupper och analytiska m˚angfalder (se Kap. 10),
har mycket stor betydelse b˚ade inom matematiken och fysiken. Kapitel 1 ¨agnas˚at en kort
introduktion till gruppteorin.
(1.1) Definition. Med en grupp menas en m¨angd G med en operation ◦ som
1
2 GRUPPER
(0) mot tv˚a godtyckliga element g ,g ∈ G ordnar ett element g ◦g ∈ G † varvid
1 2 1 2
(1) g ◦(g ◦g ) = (g ◦g )◦g f¨or g ,g ,g ∈ G,
1 2 3 1 2 3 1 2 3
(2) det finns e ∈ G s˚a att f¨or varje g ∈ G, e◦g = g◦e = g,
(3) till varje g ∈ G existerar g(cid:48) ∈ G s˚a att g◦g(cid:48) = g(cid:48)◦g = e.
(cid:164)
Elementet e i (2) ¨ar entydigt best¨amt, ty om e(cid:48) ∈ G ocks˚a satisfierar (2) s˚a ¨ar e(cid:48) ◦e = e och
e(cid:48)◦e = e(cid:48) enligt (2), dvs e = e(cid:48). e kallas det neutrala elementet i G eller enhetselementet
i G. Varje g ∈ G best¨ammer entydigt g(cid:48) ∈ G som uppfyller (3). I sj¨alva verket, om g(cid:48)(cid:48) ∈ G
ocks˚a uppfyller (3) s˚a ¨ar
g(cid:48)(cid:48) = e◦g(cid:48)(cid:48) = (g(cid:48)◦g)◦g(cid:48)(cid:48) = g(cid:48)◦(g◦g(cid:48)(cid:48)) = g(cid:48)◦e = g(cid:48).
g(cid:48) kallas inversen till g.
(1.2) Exempel. Z,Q,R och C ¨ar grupper d˚a man tolkar “◦” som vanlig addition av tal. I
dessa grupper ¨ar e = 0 och g(cid:48) = −g. De betecknas Z+,Q+,R+,C+.
(cid:164)
(1.3) Exempel. Q∗ = Q(cid:114){0}, R∗ = R(cid:114){0}, C∗ = C(cid:114){0} ¨ar grupper d˚a man tolkar “◦”
som vanlig multiplikation av tal. I dessa grupper ¨ar e = 1 och g(cid:48) = 1.
g
(cid:164)
(1.4) Anm¨arkning. Om i en grupp (G,◦) operationen “◦” betecknas med “+” (och kallas
addition) s˚a s¨ager man att notationen ¨ar additiv. D˚a betecknar man vanligen e med 0 och
g(cid:48) med −g. Om operationen “◦” skrivs som “·” (och kallas multiplikation), s˚a s¨ager man att
notationen ¨ar multiplikativ. D˚a betecknar man vanligen e med 1 och g(cid:48) med g−1. I detta
fall brukar man skriva g g i st¨allet f¨or g ·g .
1 2 1 2
(cid:164)
(1.5) Exempel. L˚at G = GL (R) vara m¨angden av alla reella (n×n)–matriser med de-
n
terminant (cid:54)= 0. GL (R) ¨ar en grupp med avseende p˚a matrismultiplikation. H¨ar ¨ar e = E
n n
((n×n) – enhetsmatrisen), och f¨or g = A ¨ar g(cid:48) = A−1 inversen till A.
†en (bin¨ar) operation p˚a G a¨r en funktion G×G→G.