Table Of ContentLinearna Algebra - Predavanja
Vladimir Pavlovi(cid:19)c
January 9, 2013
2
Sadr(cid:20)zaj
I Operacije. Pojam vektorskih prostora 5
I.1 Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.2 Funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I.3 Operacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
I.4 Geometrijski vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
I.5 De(cid:12)nicija vektorskih prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
I.6 Linearna kombinacija kona(cid:20)cnog sistema
vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
II Osnovni pojmovi i (cid:20)cinjenice 37
II.1 Podprostor vektorskog prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
II.2 Potpuni sistemi i skupovi vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
II.3 Linearno (ne)zavisne n-torke vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
II.4 Linearno (ne)zavisni skupovi vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
II.5 Bazni skup, baza, dimenzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
II.6 Sume podprostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
II.7 Linearna preslikavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
II.8 Kako shvatiti pojam izomorfnih prostora . . . . . . . . . . . . . . . . 88
II.9 Tri o(cid:20)cigledna i jedan va(cid:20)zan izomor(cid:12)zam . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
II.10 Osnovna tvrd(cid:22)enja o linearnim preslikavanjima . . . . . . . . . . . . . 95
II.11 Kad za f End(V) va(cid:20)zi Ker(f) Im(f) = V? . . . . . . . . . . . . . 102
2 (cid:8)
II.12 Projekcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
II.13 Linearna preslikavanja iz Km u Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
II.14 Matrica linearnog preslikavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
II.15 Mno(cid:20)zenje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
II.16 Dva primera: rotacija i osna simetrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
II.17 Matrica linearnog preslikavanja i
promena baze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
II.18 Jedini(cid:20)cna matrica. Regularne matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
II.19 Hom(Km(cid:2)1;Kn(cid:2)1), Hom(K1(cid:2)n;K1(cid:2)m)
i mno(cid:20)zenje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
II.20 Linearna forma funkcionele u datoj bazi . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3
4 SADRZ(cid:20)AJ
II.21 Algebarski dual vektorskog prostora.
Dualne baze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
II.22 Kanonski izomor(cid:12)zam k.d.v. prostora
sa drugim dualom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
II.23 Rang matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
IIISistemi linearnih jedna(cid:20)cina. Determinanta 167
III.1 Sistemi linearnih jedna(cid:20)cina:
de(cid:12)nicija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
III.2 Sistemi linearnih jedna(cid:20)cina i linearna preslikavanja . . . . . . . . . . . 169
III.3 Re(cid:20)sivost sistema linearnih jedna(cid:20)cina
i rang matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
III.4 GJ- oblik matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
III.5 Permutacije, inverzije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
III.6 n-linearna preslikavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
III.7 De(cid:12)nicija determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
III.8 Osnovne osobine determinanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
III.9 Determinanta i rang matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
III.10Determinanta i inverzna matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
III.11Determinanta i sistemi linearnih
jedna(cid:20)cina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
IVStruktura linearnog operatora 209
IV.1 Sopstvene vrednosti/vektori linearnog operatora . . . . . . . . . . . . 209
IV.2 Teorema Cayley-Hamilton-a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
IV.3 Minimalni polinom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
IV.4 Jordan-ova normalna forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
V Realan i kompleksan skalarni proizvod 225
Deo I
Operacije. De(cid:12)nicija realnih i
kompleksnih vektorskih prostora
I.1 Literatura
Kao ud(cid:20)zbenik koristi(cid:19)cemo knjigu
Linearna algebra i analiti(cid:20)cka geometrija,
drugo, ispravljeno i dopunjeno izdanje.
Autor: Ljubi(cid:20)sa Ko(cid:20)cinac
Radimo samo Glave 1,2,6 i ako stignemo 4.
5
6 DEO I. OPERACIJE. POJAM VEKTORSKIH PROSTORA
I.2 Funkcije
df
a;b := a ; a;b { primaran ured(cid:22)en par. Va(cid:20)zi
h i f g f g
(cid:8) ako(cid:9)je bilo a = a bilo b = b onda a;b = a ;b
0 0 0 0
6 6 h i 6 h i
f je funkcija de(cid:12)nisana na skupu X sa vrednostima u skupu Y, ili f je funkcija
iz skupa X u skup Y skra(cid:19)ceno zapisujemo sa
f : X Y
!
X := u;v;w , gde u = v = w = u; Y := a;b;c;d
f g 6 6 6 f g
Slika I.2.1.
Po svojoj prirodi funkcije su specijalne vrste skupova primarnih ured(cid:22)enih
parova.
f := u;d ; v;b ; w;b
fh i h i h ig
f(u) = d, f(v) = b, f(w) = b.
u;a ; v;b ; u;c ; w;d nije funkcija ako a = c.
fh i h i h i h ig 6
Ako Y := a;b;d , Y := b;c;d onda je ta(cid:20)cno f : X Y i f : X Y . S
1 2 1 2
f g f g ! !
druge strane f : X a;b;c nije ta(cid:20)cno.
! f g
Dom(f) = X { domen funkcije f
Im(f) = d;b { imid(cid:20)z funkcije f ili skup slika funkcije f
f g
u;a ; w;b { ovo nije funkcija (de(cid:12)nisana) na skupu X ali jeste funkcija na
fh i h ig
skupu X := u;w .
0
f g
f (cid:22) X0 = u;d ; w;b { restrikcija funkcije f na skup X0.
fh i h ig
I.2. FUNKCIJE 7
XY
Oznaka: { skup svih funcija iz X u Y
Slika I.2.2.
8 DEO I. OPERACIJE. POJAM VEKTORSKIH PROSTORA
Primer De(cid:12)ni(cid:20)simo funkciju f : R Z tako da je za x R f(x) najve(cid:19)ci ceo broj r
! 2
za koji va(cid:20)zi r x.
(cid:20)
Imamo f RZ kao i f RR. Takod(cid:22)e je f( 3:7) = 4, f(9) = 9, f(14=3) = 4.
2 2 (cid:0) (cid:0)
f = :::; 3:7; 4 ; 9;9 ; 14=3;4 ;::: { beskona(cid:20)can skup
f h(cid:0) (cid:0) i h i h i g
3:7 9 14=3
f : (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:0) (cid:1)(cid:1)(cid:1)
4 9 4
(cid:18) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:0) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:19)
Primer De(cid:12)ni(cid:20)simo funkciju g : R R sa g(x) = 2x3 5x2+x+11, za x R. Ovo
! (cid:0) 2
je primer jedne polinomske funkcije.
Imamo g(0) = 11, g( 1) = 3.
(cid:0)
g = :::; 0;11 ; 1;3 ;::: = x;2x3 5x2 +x+11 : x R {beskona(cid:20)can
f h i h(cid:0) i g fh (cid:0) i 2 g
skup
0 1
g : (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:0) (cid:1)(cid:1)(cid:1)
11 3
(cid:18) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:19)
Neki specijalni slu(cid:20)cajevi
(1) (Ured(cid:22)ene n-torke) Funkciju h : 1;2;3 p;q;r;s de(cid:12)nisanu sa
f g ! f g
1 2 3
h : zapisujemo jednostavnije sa h = (p;p;q).
p p q
(cid:18) (cid:19)
Funkciju t : 1;2;3 p;q;r;s de(cid:12)nisanu sa
f g ! f g
1 2 3
t : zapisujemo jednostavnije sa t = (r;q;s).
r q s
(cid:18) (cid:19)
Dakle ako je domen funkcije skup 1;:::;n za neko n N onda umesto
f g 2
1 n
g : (cid:1)(cid:1)(cid:1) pi(cid:20)semo samo g = (g(1);:::;g(n)) ili g = (g ;:::;g ), i
g(1) g(n) 1 n
(cid:18) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:19)
za funkciju g ka(cid:20)zemo da je ured(cid:22)ena n-torka . Specijalno za n = 2 funkcije (a ;a )
1 2
nazivamo ured(cid:22)enim parovima (bez onog \primaran"). Za g ka(cid:20)zemo da je i-ta kom-
i
ponenta n-torke (g ;:::;g ). Obratimo pa(cid:20)znju:
1 n
(x;y) = 1;x ; 2;y
h i h i
(cid:26) (cid:27)
I.2. FUNKCIJE 9
Ako su datiskupovi A ;:::;A ondasa saA A ozna(cid:20)cavamoskup svih n-
1 n 1 n
(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) n
torki q = (q ;:::;q ) takvih da jeq A za i = 1;n (dakle g : 1;;:::;n A );
1 n i i i
2 f g !
i=1
[
A A nazivamo Descartes-ov proizvod skupova A ;:::;A tim redom.
1 n 1 n
(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
Ako je specijalno A = = A = X onda se ovaj Descartes-ov proizvod svodi
1 n
(cid:1)(cid:1)(cid:1)
na skup f1;:::;ngX kog kra(cid:19)ce ozna(cid:20)cavamo sa Xn . Za Xn ka(cid:20)zemo da je skup svih
n-torki elemenata skupa X ili n-ti Descartes-ov stepen skupa X. Recimo C3 je
skup svih (ured(cid:22)enih) trojki kompleksnih brojeva i (3; 2i;7+4i) C3.
(cid:0) 2
(2) (Matrice) Imamo
1;2;3 1;2 = (1;1);(1;2);(2;1);(2;2);(3;1);(3;2)
f g(cid:2)f g f g
Funkciju T : 1;2;3 1;2 C datu sa
f g(cid:2)f g !
(1;1) (1;2) (2;1) (2;2) (3;1) (3;2)
T :
8 5 i 1 3i 0 7
(cid:18) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:19)
zapisujemo preglednije tablicom
1 2
1 8 5 i
T : (cid:0)
2 1 3i
(cid:0)
3 0 7
(cid:0)
ili jo(cid:20)s kra(cid:19)ce sa
8 5 i
(cid:0)
T = 1 3i
2 (cid:0) 3
0 7
(cid:0)
4 5
Imamo T(1;1) = T((1;1)) = 8, T(3;2) = 7.
(cid:0)
Dakle ako je za neko n;m N domen funkcije skup 1;:::;n 1;:::;m onda
2 f g(cid:2)f g
umesto
(1;1) (1;m) (n;1) (n;m)
P : (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:1)(cid:1)(cid:1)
P(1;1) P(1;m) P(n;1) P(n;m)
(cid:18) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:19)
jednostavno pi(cid:20)semo
P(1;1) P(1;m)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)
. ... .
P = 2 .. ...... .. 3
P(n;1) P(n;m)
6 (cid:1)(cid:1)(cid:1) 7
odnosno 4 5
P P
1;1 1;m
(cid:1)(cid:1)(cid:1)
. ... .
P = 2 .. ...... .. 3
P P
n;1 n;m
6 (cid:1)(cid:1)(cid:1) 7
4 5
10 DEO I. OPERACIJE. POJAM VEKTORSKIH PROSTORA
a za funkciju P ka(cid:20)zemo da je
matrica formata n puta m
i to sa vrednostima u skupu X ako je Im(P) X (tj. P(i;j) X za svako i = 1;n
(cid:18) 2
i j = 1;m). Ako je (i;j) 1;:::;n 1;:::;m onda za P(i;j) ka(cid:20)zemo da stoji
2 f g(cid:2)f g
na mestu (i;j) u matrici P.
Skup svih matrica formata n puta m i to sa vrednostima u skupu X ozna(cid:20)cavamo
sa Xn(cid:2)m . Kvadratna matrica reda n N jeste matrica formata n puta n.
2
Ilustracija Gorede(cid:12)nisana funkcija T je matricaformata3puta2sa vrednostima
(cid:15)
u C (ili nad C kako se jo(cid:20)s ka(cid:20)ze). Na mestu (1;2) u matrici T stoji 5 i. Imamo
(cid:0)
T Cn(cid:2)m kao i
2
9
(cid:0)
U := 0 Z3(cid:2)1 R3(cid:2)1; U = U(3;1) = 7
3;1
2 3 2 (cid:18)
7
4 5
i
V := 4 5 p3 R1(cid:2)3 C2(cid:2)3; V = V(1;3) = p3
1;3
(cid:0) 2 (cid:18)
(cid:2) (cid:3)
(cid:15)
Ako su i 1;:::;n i j 1;:::;m onda za matricu
2 f g 2 f g
P
1;j
P(cid:15);j :=df 2 ... 3 Xn(cid:2)1
2
P
n;j
6 7
4 5
ka(cid:20)zemo da je j-ta kolona matrice P a za matricu
P :=df P P X1(cid:2)m
i;(cid:15) i;1 i;m
(cid:1)(cid:1)(cid:1) 2
(cid:2) (cid:3)
ka(cid:20)zemo da je i-ta vrsta matrice P .
