Lineare Algebra I für Informatiker [Lecture notes]

134 Pages·01.128 MB·German

by  Rudolf Fritsch

Rudolf Fritsch Wintersemester 2001/02
Lineare Algebra I fu¨r Informatiker
15. Oktober 2002
In der Vorlesung Lineare Algebra“, die Sie am Anfang Ihres Informatikstudiums h¨oren, werden
”
Sie mathematische Techniken kennenlernen, die grundlegend fu¨r die eigentliche Informatik sind
und dort immer wieder ben¨otigt werden. Aber ich kann Ihnen nicht alles einschl¨agige Material
vortragen. Um den Stoff voll und unter verschiedenen Gesichtspunkten zu erfassen, ist die
Hinzuziehung von Literatur notwendig.
Zu dem Thema der Vorlesung gibt es sehr viele Lehrbu¨cher. Einige wenige habe ich im Kom-
mentierten Vorlesungsverzeichnis angegeben, das Sie im Internet finden. Sie stehen im Lesesaal
unserer Institutsbibliothek. Ich empfehle Ihnen, sich zu Beginn noch nicht ein solches Buch zu
kaufen, sondern zun¨achst einmal im Lesesaal mit verschiedenen Werken zu arbeiten und sich
dann das anzuschaffen, mit dem Sie pers¨onlich am besten zurecht kommen; das kann indivi-
duell sehr verschieden sein. Fu¨r den Anfang besonders empfehlen m¨ochte ich die im Internet
genannten Bu¨cher:
• Gerd Fischer:
Lineare Algebra - Eine Einfu¨hrung fu¨r Studienanf¨anger
Braunschweig / Wiesbaden: 132002. X, 384 Seiten, Vieweg Verlag, ISBN: 3-528-97217-3
Ladenpreis: EUR 19,90
• Klaus Ja¨nich:
Lineare Algebra
Berlin / Heidelberg / New York / London / Paris / Tokio / Hongkong / Barcelona /
Budapest: 92003. XII, 271 Seiten, Springer Verlag, ISBN: 3-540-43587-5
Ladenpreis: EUR 19,95
• Herbert Mo¨ller:
Algorithmische Lineare Algebra
Braunschweig / Wiesbaden: 1997. X, 389 Seiten, Vieweg Verlag, ISBN: 3-528-05528-6
Ladenpreis: EUR 29,90
• Bodo Pareigis:
Lineare Algebra fu¨r Informatiker
Berlin / Heidelberg / New York / Barcelona / Hongkong / London / Mailand / Paris /
Singapur / Tokio: 2000. VI, 274 Seiten, Springer, ISBN 3-540-67533-7
Ladenpreis: EUR 24,95
sowie
• Albrecht Beutelspacher:
Lineare Algebra – Eine Einfu¨hrung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und
Matrizen
Braunschweig / Wiesbaden: 52001. XII, 289 Seiten, Vieweg Verlag, ISBN: 3-528-46508-5
Ladenpreis: EUR 19,90
1 GRUNDLEGENDES U¨BER LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME UND MATRIZEN 2
Die genannten Lehrbu¨cher stammen alle von deutschen Autoren und verwenden die deut-
sche Sprache. Solche gibt es eigentlich nur noch fu¨r wirkliche Anf¨angertexte. Fortgeschritte-
ne Lehrbu¨cher werden heute u¨berall auf der Welt in Englisch verfasst, wie vor 200 Jahren in
Latein. Aus diesem Grund empfehle ich Ihnen auch ein Buch zu unserem Stoff in englischer
Sprache, aus der Feder des 1916 in Ungarn geborenen, fru¨herem Pr¨asidenten der American
Mathematical Society,
• Paul R. Halmos: Finite-Dimensional Vector Spaces, erstmals 1942 in den Vereingten
Staaten von Amerika erschienen, neueste Ausgabe New York / Heidelberg / Berlin: 1993.
VIII, 200 Seiten, Springer-Verlag, ISBN: 3-540-90093-4
Ladenpreis: EUR 44,95
1 Grundlegendes u¨ber Lineare Gleichungssysteme und
Matrizen
Die Linearen Gleichungssysteme durchziehen wie ein roter Faden die ganze Lineare Algebra,
zun¨achst als Objekte eigenst¨andiger Untersuchungen, dann in Anwendungen. Wir wollen ganz
elementar beginnen. Eine lineare Gleichung einfachsten Typs ist ein Ausdruck der Form
a·x = c.
Dabei sind sogenannten Konstanten (Formvariablen) a und c Elemente eines Zahlbereichs, der
Einfachheit halber nehmen wir zun¨achst den Bereich R der reellen Zahlen:
a,c ∈ R.
Es ist h¨aufig hilfreich, sich die reellen Zahlen geometrisch als Punkte auf der Zahlengeraden vor-
zustellen.DerBuchstabexsymbolisierteineUnbestimmte, Unbekannte oderVariable (L¨osungs-
variable).EineZahlb ∈ RisteineL¨osung derGleichung,wenndieErsetzungderUnbestimmten
durch diese Zahl zu einer wahren Aussage fu¨hrt, das heißt, wenn sie Gleichung erfu¨llt:
a·b = c.
Im urspru¨nglichen Sinn beschreibt die Gleichung eine Aufgabe:
Man bestimme die L¨osungsmenge, das heißt, die Menge der L¨osungen:
L = {b ∈ R|a·b = c}.
Wir wollen diese Aufgabe allgemein l¨osen. Fu¨r spezielle Werte von a und c haben Sie das in der
Schule gelernt, im 6., sp¨atestens im 7. Schuljahr. Die allgemeine L¨osung aufzuschreiben, das ist
gar nicht so einfach, wie Sie zun¨achst denken m¨ogen. Wir ben¨otigen Fallunterscheidungen.
1. Fall: Ist a (cid:54)= 0, so ist eine A¨quivalenzumformung der Gleichung m¨oglich, man multipliziert
beide Seiten der Gleichung mit 1/a und erh¨alt die ¨aquivalente Gleichung
c
x = .
a
1 GRUNDLEGENDES U¨BER LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME UND MATRIZEN 3
Die L¨osungsmenge besteht aus genau einem Element, der Zahl x = c/a:
c
a (cid:54)= 0 ⇒ L = .
(cid:110)a(cid:111)
(allgemeiner Fall)
2. Fall: Ist a = 0, so ist eine weitere Fallunterscheidung notwendig.
1. Unterfall: Ist c (cid:54)= 0, die Gleichung also von der Form
0·x = c ((cid:54)= 0),
so erfu¨llt keine reelle Zahl die Gleichung:
a = 0∧c (cid:54)= 0 ⇒ L = ∅.
2. Unterfall: Ist auch c = 0, die Gleichung also von der Form
0·x = 0,
so erfu¨llt jede reelle Zahl die Gleichung:
a = c = 0 ⇒ L = R.
(Sonderfall)
Sie werden sich und mich vielleicht fragen, warum dieses akribische Vorgehen n¨otig ist. Man
sieht doch in jedem Fall sofort, was los ist. Gerade fu¨r Informatiker ist aber diese Auffassung
falsch. Wenn man einen Computer programmiert, so sieht dieser von selbst gar nichts. Ein
Programm ben¨otigt genau diese Schritte.
Die angegebene L¨osung der gegebenen linearen Gleichung ist auch noch abh¨angig von dem ge-
gebenen Zahlbereich, beziehungsweise m¨oglicherweise verschiedenen Zahlbereichen fu¨r die Kon-
stanten und L¨osungen. Nehmen wir etwa als Zahlbereich fu¨r beides die Menge der natu¨rlichen
Zahlen
N = {1,2,3,...},
so sieht die allgemeine L¨osung ganz anders aus; es sind allerdings wieder zwei F¨alle zu unter-
scheiden:
1. Fall: Ist c ein Vielfaches von a, also c = a·b mit b ∈ N, so ist diese Zahl b die einzige L¨osung:
c = a·b mit b ∈ N ⇒ L = {b}.
2. Fall: Ist c kein Vielfaches von a, also c (cid:54)= a·b fu¨r alle b ∈ N, so ist die L¨osungsmenge leer:
c (cid:54)= a·b fu¨r alle b ∈ N ⇒ L = ∅.
1 GRUNDLEGENDES U¨BER LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME UND MATRIZEN 4
Noch ein anderes Ergebnis erhalten wir, wenn wir die Konstanten den natu¨rlichen Zahlen
entnehmen, als L¨osungen aber auch Bruchzahlen z (mit z, n ∈ N) zulassen. Dann hat die
n
betrachtete Gleichung immer genau eine L¨osung:
c
L = .
(cid:110)a(cid:111)
Die Menge der Bruchzahlen wird durch B bezeichnet:
z
B = { |z,n ∈ N}.
n
Bis auf weiteres setze ich bei den folgenden Verallgemeinerungen wegen der geometrischen
Anschaulichkeit voraus, dass wir u¨ber dem Bereich R der reellen Zahlen arbeiten, das heißt, die
betrachteten Konstanten stehen fu¨r reelle Zahlen, die L¨osungen, die gleich keine Zahlen mehr
sein werden, werden aus reellen Zahlen aufgebaut.
Was wir bis jetzt behandelt haben, das ist der einfachste Fall einer linearen Gleichung, eine
lineare Gleichung in einer Unbekannten. Als n¨achstes betrachten wir lineare Gleichungen in
zwei Unbekannten. Wir schreiben sie in einer der folgenden Formen
a·x+c·y = e
oder
a ·x +a ·x = c.
1 1 2 2
Die erste Form du¨rfte ihnen von der Schule her vertraut sein, sie vermittelt auch besser die
geometrische Anschauung; die zweite benutzt sogenannte untere Indizes, hier 1, 2, und bringt
den mathematischen Hintergrund besser zum Ausdruck. Die L¨osungen einer solchen Gleichung
sind nun nicht mehr Zahlen, sondern geordnete Paare von Zahlen, sie bestehen also immer aus
zwei Zahlen, von denen die eine die erste Komponente, und die andere die zweite Komponente
ist. Dabei du¨rfen die beide Komponenten durchaus einander gleich sein. Ist die Gleichung in
der zweiten Form angegeben, so bietet es sich an, eine L¨osung allgemein als Paar (b ,b ) zu
1 2
schreiben. Ein solches Zahlenpaar ist genau dann eine L¨osung, wenn gilt:
a ·b +a ·b = c.
1 1 2 2
Fu¨r die erste Form k¨onnte man die L¨osungen als Paare (b,d) angegeben, fu¨r die gilt:
a·b+c·d = e.
Sind die Komponenten eines solchen Paare Zahlen in Dezimalbruchdarstellung, so verwendet
man zur Trennung der Komponenten einen Strichpunkt ;“ oder einen vertikalen Strich |“;
” ”
andernfalls k¨onnten Missverst¨andnisse auftreten:
(3;4,5) = (3|4,5) oder
(3,4,5) = (cid:26) (3,4;5) = (3,4|5).
Geometrisch kann man die L¨osungen als Punkte in der Anschauungsebene deuten. Die Kompo-
nenten heißen dann auch Koordinaten. Die Gesamtheit dieser Paare, geometrisch aller Punkte
der Ebene, wird durch R×R oder R2 bezeichnet:
R×R = R2 = {(b,d)|b ∈ R∧d ∈ R}.
1 GRUNDLEGENDES U¨BER LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME UND MATRIZEN 5
Intermezzo: Die Menge R × R aller Paare reeller Zahlen heißt cartesisches Produkt von R
mit sich selbst. Die Benutzung des Wortes Produkt“ wird dabei aus folgender U¨berlegung
”
abgeleitet. Sind A und B zwei endliche Mengen und so ist die Anzahl aller geordneten Paare,
deren erste Komponente ein Element von A und deren zweite Komponente ein Element von B
ist, gerade das Produkt der Anzahlen der Elemente von A beziehungsweise B:
#A×B = #A×#B.
(Ist A eine endliche Menge, so bezeichnet #A oder |A| die Anzahl der Elemente von A.)
Zuru¨ck zur Diskussion einer Gleichung mit zwei Unbekannten. Wieder geht es um die Bestim-
mung der L¨osungsmenge einer solchen Gleichung. Wir gehen dabei von der ersten Form aus
und haben wieder F¨alle zu unterscheiden.
1. Ist c (cid:54)= 0, so erh¨alt man durch eine A¨quivalenzumformung die Gleichung
a e
y = − ·x+ .
c c
Daraus erh¨alt man als L¨osungsmenge
e−a·b
L = (cid:26)(cid:18)b, (cid:19)(cid:12)b ∈ R(cid:27),.
c (cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
Geometrisch ist die L¨osungsmenge eine Gerade mit der Steigung −a/c und e/c als Ach-
senabschnitt auf der y-Achse. Sie l¨asst sich auch interpretieren als der Graph der linearen
Funktion
e−a·x
x (cid:55)→ .
c
2. Ist c = 0, so sieht die Gleichung aus wie eine lineare Gleichung in einer Unbekannten.
Aber die m¨oglichen L¨osungsmengen sind von ganz anderer Art. Es sind wieder F¨alle zu
unterscheiden.
2.1. Ist a (cid:54)= 0, so erh¨alt man durch ein A¨quivalenzumformung die Gleichung
e
x = .
a
Daraus erh¨alt man als L¨osungsmenge
e
L = ,d | d ∈ R ,.
(cid:110)(cid:16)a (cid:17) (cid:111)
Geometrisch ist die L¨osungsmenge eine zur y-Achse parallele Gerade.
2.2. Ist auch a = 0, ist eine weitere Fallunterscheidung n¨otig.
2.2.1. Ist e (cid:54)= 0, so gibt es keine L¨osungen:
L = ∅.
1 GRUNDLEGENDES U¨BER LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME UND MATRIZEN 6
2.2.2. Ist schließlich noch e = 0, so sind alle Zahlenpaare L¨osungen:
L = R2.
Geometrisch ist das die ganze Ebene.
U¨berall in der Natur, insbesondere in der Physik und in der Statistik treten nicht nur lineare
Gleichungen mit einer oder zwei Unbekannten auf. Die Zahl der Unbekannten kann sehr viel
gr¨oßer sein. Mein Ururgroßonkel Josef Loschmidt berechnete die Zahl der Moleku¨le pro Mol,
etwa 6 mal 1023, das ist die nach ihm benannte Loschmidtsche Zahl. Die Physiker beschreiben
jedes Moleku¨l mit drei Ortskoordinaten und drei Geschwindigkeitskoordinaten und kommen
damit zu Gleichungen in 36 mal 1023 Unbekannten!
Wir setzen nun solche Gleichungen allgemein an, eine Gleichung mit n Unbekannten (n ∈ N)
schreiben wir in der Form
a ·x +a ·x +...+a ·x = c.
1 1 2 2 n n
Man schreibt eine solche Gleichung auch in der Form:
n
a ·x = c,
(cid:88) j j
j=1
oder etwas ku¨rzer, wenn klar ist, welcher Index l¨auft:
n
a ·x = c.
(cid:88) j j
1
In einer Gleichung dieser Form ist es u¨blich, die Konstanten a , a , ..., a besonders zu benen-
1 2 n
nen,siestehenbeidenUnbestimmtenundheißendeshalbBeiwerte oderKoeffizienten,englisch:
coefficients. Eine L¨osung der Gleichung ist eine Folge reeller Zahlen der L¨ange n, geschrieben
(b ,b ,...,b ).
1 2 n
StattvonFolgensprichtmanindiesemZusammenhangallerdingsvonn-Tupeln(reellerZahlen).
Die Gesamtheit dieser n-Tupel heißt n-dimensionaler Raum (u¨ber R) – Bezeichnung: Rn – auch
wenndieserRaumfu¨rn > 3nursehrschlechtzuveranschaulichenist.Trotzdemverwendetman
auchindiesemZusmmenhanggeometrischeSprechweisen,bezeichneteinn-TupelalsPunktund
gewisse Teilmengen als Geraden oder Ebenen; das ist anschaulich und suggestiv. Ein n-Tupel
(b ,b ,...,b ) ist genau dann eine L¨osung, wenn gilt:
1 2 n
a ·b +a ·b +...+a ·b = c.
1 1 2 2 n n
Bei der Bestimmung der allgemeinen L¨osung dieser Gleichung wird nun der Unterschied zwi-
schen mathematischem und informatischem Vorgehen deutlich.
WirbeginnenmitdermathematischenSichtweise.Siefu¨hrtaufdiefolgendeFallunterscheidung:
1 GRUNDLEGENDES U¨BER LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME UND MATRIZEN 7
1. Nicht alle Koeffizienten a , a , ..., a sind gleich Null, das heißt, es gibt ein a (cid:54)= 0.
1 2 n j0
O.w.E. (= Ohne wesentliche Einchr¨ankung, oder O.B.d.A. = Ohne Beschr¨ankung der
Allgemeinheit) k¨onnen wir j = n, also a (cid:54)= 0 annehmen. Dann fu¨hrt eine A¨quivalen-
0 n
zumformung auf die Form
n−1
c 1
x = − · a x .
n a a (cid:88) j j
n n
j=1
Daraus ergibt sich die L¨osungsmenge
n−1
1
L = (cid:40)(cid:32)b ,b ,...,b , (c− a b )(cid:33)(cid:12)b ,b ,...,b ∈ R(cid:41) .
1 2 n−1 a (cid:88) j j (cid:12) 1 2 n−1
n (cid:12)
j=1 (cid:12)
(cid:12)
Wie im Fall n = 2 l¨asst sich die L¨osungsmenge als Graph der Funktion
n−1
c 1
(x ,x ,...,x ) (cid:55)→ − · a x
1 2 n−1 a a (cid:88) j j
n n
j=1
deuten. Das ist im Moment vielleicht nicht sehr hilfreich. Sie wissen von der Schule, dass
die L¨osungsmenge im Fall n = 3 eine Ebene ist, man w¨ahlt im dreidimensionalen Raum
zwei freie Variable, hat ein – wie man sagt – zweidimensionales Gebilde, eine Dimen-
sion niedriger als der ganze Raum. Im allgemeinen ist das Gebilde in einem zun¨achst
n-dimensionalen Raum anschaulich von der Dimension n − 1, eins weniger als die volle
Dimension. Dafu¨r hat man im linearen Fall den Begriff Hyperebene gepr¨agt, im nichtli-
nearen Fall spricht man von Hyper߬achen.
Es sei noch gezeigt, was passiert, wenn man auf die Einschr¨ankung j = n verzichtet.
0
Dann l¨ost man die Ausgangsgleichung nach x statt nach x auf:
j0 n
c 1 j0−1 1 n
x = − · a x − · a x
j0 a a (cid:88) j j a (cid:88) j j
j0 j0 j=1 j0 j=j0+1
und die explizite Angabe der L¨osungsmenge erfordert wesentlich mehr Schreibarbeit, aber
keine wirklich neuen Ideen.
2. Alle Koeffizienten verschwinden, das heißt, sind gleich Null:
a = a = ... = a = 0.
1 2 n
Dann ist wie in den fru¨heren U¨berlegungen eine weitere Fallunterscheidung notwendig.
2.1. Ist c (cid:54)= 0, so ist L = ∅.
2.2. Ist c = 0, so ist L = Rn.
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Wie behandelt nun ein Informatiker dieser Aufgabe?
1 GRUNDLEGENDES U¨BER LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME UND MATRIZEN 8
1. Es sei a (cid:54)= 0. A¨quivalenzumformungen ergeben
1
a a c
2 n
x + x +...+ x = ,
1 2 n
a a a
1 1 1
n
c 1
x = − · a x ,
1 a a (cid:88) j j
1 1
j=2
und daraus erh¨alt man die L¨osungsmenge
n
1
L = (cid:40)(cid:32) (c− a b ,b ,b ,...,b (cid:33)(cid:12)b ,b ,...,b ∈ R(cid:41)
a (cid:88) j j 2 3 n (cid:12) 2 3 n
1 (cid:12)
j=2 (cid:12)
(cid:12)
wie in der mathematischen Sichtweise; der Austausch von n und 1 ist dabei wirklich
unwesentlich. Dann geht es aber anders weiter.
2. Es sei a = 0. Dann kommt die Fallunterscheidung:
1
2.1. Es sei a (cid:54)= 0. Nun ergibt eine A¨quivalenzumformung:
2
n
c 1
x = − · a x ,
2 a a (cid:88) j j
2 2
j=3
und daraus erh¨alt man die L¨osungsmenge
n
1
L = (cid:40)(cid:32)b , (c− a b ,b ,b ,...,b )(cid:33)(cid:12)b ,b ,...,b ∈ R(cid:41) .
1 a (cid:88) j j 3 4 n (cid:12) 1 3 n−1
2 (cid:12)
j=3 (cid:12)
(cid:12)
2.2. Es sei a = 0. Dann kommt die Fallunterscheidung:
2
2.2.1. Es sei a (cid:54)= 0. Nun ergibt eine A¨quivalenzumformung:
3
n
c 1
x = − · a x ,
3 a a (cid:88) j j
3 3
j=4
und daraus erh¨alt man die L¨osungsmenge
n
1
L = (cid:40)(cid:32)b ,b , (c− a b ,b ,b ,...,b )(cid:33)(cid:12)b ,b ,b ...,b ∈ R(cid:41) .
1 2 a (cid:88) j j 4 5 n (cid:12) 1 2 4 n−1
3 (cid:12)
j=4 (cid:12)
(cid:12)
2.2.2. Es sei a = 0.
3
.
.
.
2.2.2.....1. Es sei a (cid:54)= 0. Nun ergibt eine A¨quivalenzumformung:
n
c
x = ,
n
a
n
und daraus erh¨alt man die L¨osungsmenge
c
L = (cid:26)(cid:18)b1,b2,...,bn−1, (cid:19)(cid:12)b1,b2,...,bn−1 ∈ R(cid:27) .
a (cid:12)
n (cid:12)
(cid:12)
1 GRUNDLEGENDES U¨BER LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME UND MATRIZEN 9
2.2.2.....2. Es sei a = 0. Dann kommt schließlich noch die Fallunterscheidung:
n
2.2.2.....2.1. Ist c (cid:54)= 0, so ist L = ∅.
2.2.2.....2.2. Ist c = 0, so ist L = Rn.
Im Fall n = 3 lassen sich die erhaltenen nichttrivialen L¨osungsmengen geometrisch veran-
schaulichen, wozu im dreidimensionalen Raum das folgende rechtwinklige Koordinatensystem
einfu¨hren.
(cid:54)
(cid:8)(cid:8)(cid:42)
(cid:8)
x (cid:8)
1 (cid:8)
(cid:8)
x (cid:8)
(cid:8)3
(cid:8)
(cid:8)
(cid:8)
(cid:8) (cid:45)
(cid:8)
(cid:8) x
(cid:8) 2
Die Diskussion folgt der Beschreibung der L¨osungsmengen in der Informatik.
1. a (cid:54)= 0: Die L¨osungsmenge l¨asst sich als Graph der in der (x ,x )-Ebene definierten
1 2 3
Funktion
1
(x ,x ) (cid:55)→ (c−a ·x −a ·x )
2 3 2 2 3 3
a
1
deuten und ist eine Ebene in allgemeiner Lage“, die die x -Achse im Punkt (c/a ,0,0)
” 1 1
schneidet.
2.1. a = 0 (cid:54)= a : Die L¨osungsmenge ist eine zur x -Achse parallele, also zur (x ,x )-Ebene
1 2 1 2 3
senkrechte Ebene, die die (x ,x )-Ebene in der durch die Gleichung a ·x +a ·x = c
2 3 2 2 3 3
beschriebenen Geraden schneidet.
2.2.1. a = a = 0 (cid:54)= a : Die L¨osungsmengeist eine zur (x ,x )-Ebene parallele Ebene, die die
1 2 3 1 2
x -Achse im Punkt (0,0,c/a ) schneidet.
3 3
Im Verlauf dieser U¨berlegungen haben mehrfach A¨quivalenzumformungen eine wichtige Rolle
gespielt. Sie sollten diesen Begriff aus Ihrer Schulzeit kennen. Eine A¨quivalenzumformungen
beschreibt bekanntlich den U¨bergang von einer Gleichung zu einer anderen, ohne dass sich die
L¨osungsmenge ¨andert. Dabei ist ein Typ von A¨quivalenzumformungen besonders wichtig.
Satz. Die L¨osungsmenge einer linearen Gleichung ¨andert sich nicht, wenn man sie mit einer
festen, von Null verschiedenen Zahl multipliziert.
Erkl¨arung und Beweis. Eine lineare Gleichung mit einer Zahl multiplizieren bedeutet, alle Kon-
stanten mit dieser Zahl zu multiplizieren, also den U¨bergang von der Gleichung
(∗) a ·x +a ·x +...+a ·x = c
1 1 2 2 n n
zu der Gleichung
(∗∗) (d·a )·x +(d·a )·x +...+(d·a )·x = d·c.
1 1 2 2 n n
1 GRUNDLEGENDES U¨BER LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME UND MATRIZEN 10
Esistzuzeigen,dassfu¨rd (cid:54)= 0L¨osungsmengenL∗ undL∗∗ beiderGleichungenu¨bereinstimmen,
das heisst, dass jede L¨osung von (∗) auch L¨osung von (∗∗) ist und umgekehrt. Wir schreiben
dies formal auf:
n
(b ,b ,...,b ) ∈ L ⇔ a ·b = c ⇔
1 2 n ∗ (cid:88) j j
j=1
n
⇔ d· a ·b = d·c ⇔
(cid:88) j j
j=1
n
⇔ (d·a )·b = d·c ⇔ (b ,b ,...,b ) ∈ L .
(cid:88) j j 1 2 n ∗∗
j=1
Der U¨bergang von der ersten zur zweiten Zeile funktioniert fu¨r jede Zahl d, die Ru¨ckrichtung,
das sogenannte Ku¨rzen durch d, ist aber nur fu¨r d (cid:54)= 0 m¨oglich. (cid:3)
Die bisherige Diskussion zeigt, dass die nichtleeren L¨osungsmengen einer linearen Gleichungen
in mehr als einer Unbekannten immer viele, u¨ber dem Zahlbereich R unendlich viele Elemente
enthalten. Aber sie sind trotzdem nicht ganz beliebig, sie haben spezielle Eigenschaften, die
sich geometrisch etwa in den Aussagen die L¨osungsmenge ist eine Gerade“, die L¨osungsmen-
” ”
ge ist eine Ebene“ widerspiegeln. Fu¨r die Darstellung solcher Eigenschaften ist die folgende
Begriffsbildung hilfreich. Eine lineare Gleichung
a ·x +a ·x +...+a ·x = c
1 1 2 2 n n
heißt homogen, wenn c = 0 gilt, sonst inhomogen.
Satz. Fu¨r eine homogene lineare Gleichung gilt:
1. Die L¨osungsmenge ist nicht leer.
2. Ein Vielfaches einer L¨osung ist wieder eine L¨osung.
3. Die Summe zweier L¨osungen ist auch eine L¨osung.
4. Jede Linearkombination von L¨osungen ist eine L¨osung.
Beweis. Wir betrachten die homogene lineare Gleichung
n
a ·x = 0
(cid:88) j j
j=1
in n Unbekannten.
1. Das n-Tupel 0=(0,0,...,0) mit allen Komponenten gleich Null ist L¨osung.
2. Ein Vielfaches eines n-Tupels (b ,b ,...,b ) erh¨alt man, in dem man alle Komponenten
1 2 n
mit derselben Zahl d multipliziert, es hat also die Form:
d·(b ,b ,...,b ) = (d·b ,d·b ,...,d·b );
1 2 n 1 2 n