Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger

405 Pages·2010·63.35 MB·German

by  Prof. Dr. Gerd Fischer (auth.)

Gerd Fischer
Lineare Algebra
Gerd Fischer
Lineare Algebra
Eine Einführung für Studienanfänger
17., aktualisierte Auflage
STUDIUM
BBiibblliiooggrraaffiisscchhee IInnffoorrmmaattiioonn ddeerr DDeeuuttsscchheenn NNaattiioonnaallbbiibblliiootthheekk
DDiiee DDeeuuttsscchhee NNaattiioonnaallbbiibblliiootthheekk vveerrzzeeiicchhnneett ddiieessee PPuubblliikkaattiioonn iinn ddeerr
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Prof. Dr. Gerd Fischer
Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Boltzmannstr. 3
85748 Garching
[email protected]
Der bisherige Titel der Reihe „Grundkurs Mathematik“ lautete „vieweg studium – Grundkurs
Mathematik“.
1.Auflage 1975 9.Auflage 1986 17.Auflage 2010
2.Auflage 1975 10.Auflage 1995
3.Auflage 1976 11.Auflage 1997
4.Auflage 1978 12.Auflage 2000
5.Auflage 1979 13.Auflage 2002
6.Auflage 1980 14.Auflage 2003
7.Auflage 1981 15.Auflage 2005
8.Auflage 1984 16.Auflage 2008
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Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch | Nastassja Vanselow
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Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
Printed in Czech Republic
ISBN 978-3-8348-0996-4
Wemustnotaccepttheoldblasphemousnonsense
thattheultimatejustificationofmathematicalscience
isthe .gloryofthehumanmind",
Abstractionandgeneralization
arenotmorevitalformathematics
thanindividualityofphenomena
and,beforeall,
notmorethaninductiveintuition.
Onlytheinterplay of theseforcesandtheirsynthesis
cankeepmathematicsalive
andpreventitsdryingoutintoadeadskeleton.
RICHARDCOURANT
Vorwort zur 10. Auflage
DieersteimJahr 1975veröffentlichteAuflagediesesBucheswarentstanden aus
meinerVorlesungimWintersemester 1972/73anderUniversitätRegensburgund
einervonRichardSchimplangefertigtenAusarbeitung,diealsBand IderReihe
,,DerRegensburgerTrichter"erschienenwar.Esfreutmich,daßdasBuchinden
vergangenen 20Jahren sovielAnklanggefunden hat.
ImJahr 1994/95hatteichander UniversitätDüsseldorfwieder einmal Gele
genheit,eine Anfängervorlesung über ,,LineareAlgebra" zuhalten.Dabei fand
ichindemaltenBuchzahlloseDinge,diemanwohlbessererklären kann.Dazu
kam die Versuchung, die Möglichkeiten von I5fEX zu nutzen, was schließlich
dazugeführt hat,daßichfastdasganzeBuchneuaufgeschrieben habe.
GebliebenistdieÜberzeugung,daßamAnfangjederTheorieProblemestehen
müssen, und daßdieentwickelten Methoden danach zubewerten sind, wassie
zurLösungderProbleme beigetragenhaben.Diesdeutlich zumachen,istinder
linearen Algebra eine vordringliche Aufgabe, weil hier die axiomatische Me
thode sehr ausgeprägt ist. Mit Hilfe eines wohlorganisierten Instrumentariums
vonBegriffenkönnenBeweisekurzundklardurchgeführtwerden,Rechnungen
können weitgehend vermieden werden und erhalten - wosie notwendig sind
eineInterpretationvoneinemabstrakterenStandpunkt aus.
Eshatlangegedauert,bissichdielineare Algebravoneinem Hilfsmittel der
sogenannten"analytischenGeometrie" (dasistdieLehre vonden linearen und
VI
quadratischen geometrischen Gebilden) zu einer selbständigen Disziplin ent
wickelt hat. Diegrößten Veränderungen gabes zuAnfang dieses Jahrhunderts,
alsdieaxiomatischeMethodedurchdenEinflußvonD.HILBERTundspeziellin
der Algebra durch EMMY NOETHER ausgebaut wurde.Das zeigtganzdeutlich
ein Blick inLehrbücheraus dieser Zeit, etwa die .klassische" Darstellung von
KOWALEWSKI [Kow2]*ausdemJahr 1910unddie 1931erschienene ,,moder
ne"VersionvonSCHREIER-SPERNER [S-S].DieserWandelistvergleichbar mit
demÜbergang vomJugendstil zumBauhaus.Inzwischen istdielineareAlgebra
durchdrungen von einer Ökonomie der Gedanken sowie einer Ästhetik in der
Darstellung, und sieistunentbehrlichesHilfsmittel invielen anderen Gebieten
geworden,etwaderAnalysisundderangewandten Mathematik.
Dieser eindrucksvolle Fortschrittist nicht frei vonGefahren.Die Axiomatik
beginntmitdenallgemeinstenSituationenundschreitetfortinRichtung zuspe
zielleren Sachverhalten.DieserWegwurde mitletzter Konsequenz indenWer
kenvonN.BOURBAKI [Bo],[C] beschritten.Erläuftderhistorischen Entwick
lung- die einem ,,natürlichenWachstum" der Mathematikentspricht- jedoch
meistentgegen.So wurden etwa Determinanten schon von LEIBNIZ um 1690
benutzt, CAYLEY begann 1850Matrizen alseigenständigeObjekte anzusehen,
der allgemeine Begriff des Körpers ist erstmals in dem 1895 bei Vieweg er
schienenen ,,Lehrbuch der Algebra" vonH. WEBER [We]zufinden.Abstrakte
BegriffeundihreAxiomeentstehen ausderEntdeckung vonGemeinsamkeiten,
siesetzenlangeErfahrungimnaivenUmgang undkreativeAuseinandersetzung
mit den Gegenständen der Mathematik voraus. Eine Darstellung, die mit den
Axiomenbeginnt,könntedenverhängnisvollenEindruckerwecken, alsseiendie
aufgestellten Regelnzufälligoderwillkürlich.EinersolchenGefahrentgegenzu
wirken,istdassteteBestreben diesesBuches. DieneueAuflagesollhelfen, die
abstrakten Begriffe nochmehr zumotivierenunddieBeziehungenderlinearen
Algebra zuihrenAnwendungendeutlicherzumachen.
VieletheoretischeÜberlegungenderlinearen Algebra dienen der Rechtferti
gungoderderEntwicklungvonRechenverfahren, mitderen Hilfeman schließ
lich gegebene Probleme durch eine Iteration lösen kann.Dies wirdhier invie
lenFällen biszurBerechnung konkreter Beispiele vorgeführt.InderPraxisläßt
man besser einen Computerrechnen, aber die Schwelle zur Beschreibung von
Programmendafür wurde in diesem Buch mit Vorsatznicht überschritten.Für
einen Anfänger erscheint es mir viel wichtiger, zunächst einmal ohne Ablen
kung durch Probleme der Programmierung die Struktur des Lösungsweges zu
verstehen undmiteinfachsten,imKopfberechenbarenBeispielen die unmittel-
'EckigeKlammembeziehensichaufdasLiteraturverzeichnis
VII
bareguteErfahrung zumachen,daßeinAlgorithmus funktioniert. Danach kann
mangetrostdieAusführung derRechnungen einemfertigenProgrammpaketwie
MapleoderMathematicaüberlassen.EtwaimRahmendernumerischenMathe
matikhatmanGelegenheit,dieRechenverfahren genauer zustudieren unddazu
weitereHilfsmittel derlinearen Algebra kennenzulernen(vgl.etwa [Str]).
DiesesBuchistentstanden ausVorlesungenfürStudienanfängerindenFäch
ernMathematik,PhysikundInformatik;anVorkenntnissenistnurdassogenann
te.Schulwissen"(etwaimUmfang von[Sch])nötig.Esenthält insgesamtgenü
gendvielMaterialfürzweiSemester,dabeigibteszahlreiche Möglichkeitenfür
Auswahl und Reihenfolge. Der Text ist meist nach den Regeln der Logik an
geordnet, ineiner Vorlesungkann es gute Gründe geben, davon abzuweichen.
*
EinigeAbschnittesinddurcheinenStern markiert,alsAnregung,siebeimers
ten Durchgang zu überspringen und später (etwa im zweiten Semester) darauf
zurückzukommen.Die Anwendungender linearen Algebra auf affineund pro
jektiveGeometriesowiedielineareOptimierungsindineinemeigenenBand[Fi]
enthalten, auchdamitkannmanden vorliegendenTextnachBelieben mischen.
Um Mathematikzu verstehen, genügt es nicht, ein Buch zu lesen oder eine
Vorlesungzuhören,manmußselbstanProblemen arbeiten. AlsAnregungdazu
dienen die zahlreichen Aufgaben. Die dort eingestreuten Sterne sind nicht als
Warnung,sondernalsbesondererAnspornzuverstehen.
Derdurchdiese Neuauflage abgelöste Textwardurch zahllose Hinweise von
Lesern fast restlos vonDruckfehlern befreit worden.Nun gibtes sicher wieder
reichlichNachschub,ichmöchteauchdieneuenLeserermuntern, mir,,Ansichts
karten" zuschreiben.
MeinDank giltalldenen,diebeiderNeubearbeitungbeteiligt waren:Iners
ter Linie Hannes Stoppel, durch dessen Begeisterung,Bücher zuI5I'EX-en, ich
indieses Projektgeschlittertbin,MartinGräf, dermitvielSorgfaltdie Übungs
aufgaben zusammengestellthat,Carsten Töller,demeinfallsreichenMeisterder
Bilderunddem VerlagfürseinestetigeUnterstützung.
Düsseldorf,imSeptember1995 GerdFischer
VIII
Vorwort zur 17. Auflage
Seitder10.Auflagehatesnurwenigegr¨oßereA¨nderungengegeben.Siebetreffen
Erg¨anzungenzuQuotientenr¨aumen,Tensorproduktenund¨außerenProdukten.Die-
se grundlegenden abstrakten Begriffe bereiten erfahrungsgem¨aß Studienanf¨angern
einigeSchwierigkeiten;mansollteihnenjedochnichtzulangeausweichen,dennsie
treten sp¨ater als unentbehrliches Hilfsmittel an vielen Stellen wieder auf. Zudem
sindsieimhierbehandeltenFallvonVektorr¨aumenmitHilfevonBasennochrecht
konkretzubeschreiben.
Birgit Griese und Hannes Stoppel haben die Aufgaben teilweise u¨berarbeitet
undeineigenesBuchmitL¨osungenver¨offentlicht.DassolltedieLesernichtdavon
abhalten,zun¨achstselbstdaranzuarbeiten.
NeuindieserAuflageisteineEinfu¨hrungzumThemaWarumLineareAlgebra?
Sieistdieu¨berarbeiteteFassungeinereinfu¨hrendenVorlesungs-Doppelstunde,die
Gu¨nterM.ZieglerimApril2006anderTUBerlingehaltenhat.Zumgenaueren
Verst¨andnisderdarinausgefu¨hrtenBeispielesindKenntnisseu¨berdieeinfachsten
Begriffe und Techniken der Linearen Algebra nu¨tzlich. Wer damit noch gar nicht
vertrautist,kannEinzelheitenimLaufeseinesStudiumsderLinearenAlgebranach-
lesen.
ZuvielenThemenderLinearenAlgebrafindetmaninteraktiveVisualisierungen
unter
www.mathe-vital.de
DiesewurdenvonJu¨rgenRichter-GebertanderTUMu¨nchenimRahmendes
Projektesmathe-vital mitdemProgrammCinderella erstellt
MeinDankgiltdenzahlreichenLesern,diemichaufUnklarheitenundFehler
hingewiesenhaben,ganzbesondersKollegenundStudierendenausBerlin,Mu¨nchen
undRegensburg.Ichhabeversucht,dien¨otigenVerbesserungeneinzuarbeiten.Es
wirdnunschwersein,nochetwaszufinden;werdennochErfolggehabthat,wird
gebeten,mirdasmitzuteilen.
Mu¨nchen,imJuni2006 GerdFischer
IX
Warum Lineare Algebra?
(vonGerdFischerundGu¨nterM.Ziegler)
Was ist Lineare Algebra?
DieLineareAlgebrageh¨ortnebenderreellenAnalysiszumCurriculumfu¨rStudie-
rendederMathematikundandererF¨acher,diemathematischeMethodenintensiv
benutzen.Dasliegtdaran,dasssiezudenGrundpfeilernderMathematikz¨ahlt,auf
denenallesandereaufbaut.Zudendaru¨berliegendenGeb¨audeteilenderMathema-
tik geh¨oren beispielsweise Algebra, Differentialgleichungen, Numerik, Differential-
geometrie,Funktionalanalysisusw.DieBeziehungenundVerwindungenzwischenall
diesenGebietensindvielf¨altigundschwerschematischzuskizzieren.AberKonsens
besteht,dassLineareAlgebrazurunverzichtbarenBasisgeh¨ort.Sieistentstanden
aus der Aufgabe, lineare Gleichungssysteme zu l¨osen und solche Aufgaben treten
inallenGebietenderMathematikundihrenAnwendungenimmerwiederauf.Wie
schoninderEinleitungerw¨ahntwurde,hateslangegedauert,bisdieLineareAl-
gebraalseigenst¨andigesGebietindieLehrpl¨aneaufgenommenwurde.LangeZeit
wurdesievorwiegendalstechnischesHilfsmittelderGeometrieangesehen,zurBe-
schreibungvonlinearenGebildenwieGeradenundEbenen,sowieKegelschnitten.
Eine der ersten zusammenfassenden aber wenig beachteten Darstellungen war die
1844inLeipzigerschienene,,Ausdehnungslehre”vonH. Grassmann.Erstinder
G¨ottingerSchulewurdendieabstraktenHintergru¨ndekonsequentherausgearbeitet,
undVektorr¨aumealsdiewesentlichenObjektederUntersuchungeingefu¨hrt.Neben
demBuchvonSchreierundSperner[S-S]isthierzuauchdie1931erstmalser-
schienene,,ModerneAlgebra”vonB. L. Van Der Waerdenhervorzuheben.Bis
in die 50er Jahre des vorigen Jahrhunderts hatten die entsprechenden Anf¨anger-
vorlesungenmeistnochdenTitel,,AnalytischeGeometrie”,erstdanachwurdedie
Geometriealseinevonmehrerenm¨oglichenAnwendungenindenHintergrundge-
dr¨angt. Sorgf¨altige historische Hinweise zu dieser langen Entwicklung findet man
beiBrieskorn[B].
Seither wird in der Ausbildung in Linearer Algebra neben der Besch¨aftigung mit
linearen Gleichungssystemen auch der Umgang mit abstrakten mathematischen
Strukturen,wieGruppen,Ringen,K¨orpern,Vektorr¨aumenusw.geu¨bt.Dabeimuss
manzun¨achstdiemathematischeSprachelernen,d.h.pr¨aziseFormulierungenfin-
den, mit denen Strukturen definiert sind, sowie korrekte Behauptungen daru¨ber
aufstellen,undstichhaltigeBegru¨ndungendafu¨rerarbeiten.DieAnschauungkann
dabeihelfen,Beweisezufinden;aberdannbeginntdieKnochenarbeit,siepr¨azise
aufzuschreiben.Dasisterfahrungsgem¨aßdiegr¨oßteHu¨rdefu¨rStudienanf¨anger.
X
Anwendungen der Linearen Algebra
MansolltesichnichtderIllusionhingeben,dasseineinzelnesmathematischesTeil-
gebiet,wiedieLineareAlgebra,dieHilfsmittelzurL¨osunggroßerpraktischerPro-
blemeliefernk¨onnte.WennMathematikindiePraxisgeht,danngehendaimmer
verschiedene mathematische Teilgebiete gemeinsam. Aber trotzdem: Es gibt sehr
markanteBeispielefu¨rAnwendungenderLinearenAlgebra-einpaarwollenwirim
Folgendenbeschreiben.
1StatikvonGeru¨sten. DasProblem,BauwerkeundandereKonstruktionen
auszufu¨hren,diestabilsind,istaltundbeiweitemnichttrivial.Betrachtenwiretwa
einGeru¨st,d.h.einGebilde,dasausStrebenundKnotenbesteht(inderBaustatik
spricht man von einem Fachwerk). Soll es stabil gebaut werden, so muss man
wissen,welcheKr¨afteaufdieBauteilewirken.GrundlegendeUntersuchungendazu
hatu.a.J. C. Maxwell(1831-1879)geleistet,denmanvorallemwegenseiner
Beitr¨agezurElektrodynamikkennt;dannaberauchC. Culmann,vondem1866
dasBuch,,DieGraphischeStatik”erschien.DieMethodebenutztLineareAlgebra,
seinSchu¨lerM.KoechlinhatalsIngenieurdieStatikdesEiffel-Turmsgerechnet,
derseitderWeltausstellung1889nochheutesteht.
WirwollendieMethodeinihrergraphischenundihrerrechnerischenFormaneinem
ganzeinfachen,aberdochcharakteristischenBeispielillustrieren.
Zur Vereinfachung betrachten wir ein ebenes Problem, n¨amlich die Aufh¨an-
gungeinesGewichtes(etwaeinerLampe)aneinerMauermitHilfeeinesGest¨anges
inFormeinesrechtwinkligenDreiecks.DieStangenundihreBefestigungenmu¨ssen
so ausgelegt sein, dass sie den entstehenden Zug- und Druckkr¨aften standhalten.
Zun¨achstwirktimPunkt(cid:2)1 eineKraftK senkrechtnachunten,siesollgroßsein
imVergleichzumGewichtderStangen.
Kr¨afteaddierensichwieVektoren,imPunkt(cid:2)1 istK=K1SummevonK2undK3;
K2verursachteinenZuginRichtung(cid:2)2,K3einenDruckinRichtung(cid:2)3.Graphisch
kannmanK2 undK3 durcheineParallelogrammkonstruktionermitteln.
XI
ImPunkt(cid:2)2 zerf¨alltdieZugkraftK4=K2 inK5=−K3 undK6=K1,imPunkt
(cid:2)3 istdieDruckkraftK7=K3.DergesamteFlussvonKr¨aftenundGegenkr¨aften
siehtdannsoaus:
Gleichgewichtbedeutet,dassinjedemBefestigungspunktdieSummeallerangrei-
fendenKr¨afteverschwindet;rechnerischergibtsichdarauseinSystemvonlinearen
Gleichungen.DazubeschreibtmanjedederbeteiligtenKr¨afteKi alsVektor
Ki=(xi,yi,zi)
mit reellen Komponenten xi,yi,zi. Im obigen ebenen Beispiel sind die zi =0, das
GleichgewichtimPunkt(cid:2)1 ergibtfolgendeBedingungen:K1 istvorgegeben,etwa
K1=(0,−1),dasbedeutet
x1=0 und y1=−1.
AusderGeometriedesDreiecksundtan(15◦)≈0.268folgt
0.268x3+y2=0 und y3=0
SchließlichergibtdieGleichgewichtsbedingungK1−K2−K3=0,dass
x1−x2−x3=0 und y1−y2−y3=0.