Lineare Abbildungen und Lineare Gleichungssysteme

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7. LINEAREABBILDUNGENUNDLINEAREGLEICHUNGSSYSTEME 151
7 Lineare Abbildungen und Lineare Gleichungssysteme
7.1 Lineare Abbildungen
7.1.1 Abbildungen: Eine Verallgemeinerungen des Funktionsbegriffs
Bemerkung:
   
x y
1 1
SeienA ∈ Rm×n,x =  ...  ∈ Rn ≡ Rn×1.Dann:A·x =  ...  ∈ Rm.
x y
n m
Also:DieProzedur,vonlinksAheranzumultiplizieren,liefertfu¨rjedesx ∈ Rngenaueiny ∈ Rm.
InAnalogiezumfru¨herenFunktionsbegriff(siehe3.1.1)kannmansagen:DiebetrachteteProze-
durdefinierteineFunktionodereineAbbildungvonRn nachRm .
Das gibt uns die Gelegenheit, in einem kurzen Exkurs den allgemeinen Funktions- oder Abbil-
dungsbegriffeinzufu¨hren:
Definition(AllgemeinerAbbildungbegriff)
SeienM, N Mengen(siehe1.1.2).
Eine Abbildung von M nach N ist eine Zuordnung, die jedem x ∈ M genau ein
y ∈ N zuordnet.
ManbenutztdieselbeSchreibweisenwiein1.1.2fu¨rdieFunktionen:
f : M −→ N,x 7−→ f(x)fu¨rdieAbbildung,
f(x)fu¨rdasdemx ∈ M zugeordneteElementausN usw.
Auchdamitzusammenha¨ngendeBegriffeundObjektesindwiefru¨herdefiniert:
M =:Definitionsbereichvonf ,
N =:Zielvonf,
f(x)=:Bildvonxunterf ,
Bild(f) := {f(x)|x ∈ M } ⊆ N ,
f(S) := {f(s)|s ∈ S}fu¨rS ⊆ M ,
f−1(y) := {x ∈ M |f(x) = y}=:Urbildvony ,fu¨ry ∈ N ,
f−1(T) := {x ∈ M |f(x) ∈ T }=:UrbildvonT ,fu¨rT ⊆ N ,
u.a..
AuchderBegriffdesGrapheneinerFunktion(s.Def.2in3.1.2)la¨ßtsichverallgemeinern:
Bezeichnung:
Ein geordnetes Paar sind zwei Objekte in festgelegter Reihenfolge, ein erstes Objekt – etwa x
1
genannt–undeinzweitesObjektx .
2
Fu¨rdasgeordnetePaarschreibtman(x ,x ).Dasx heißtdieersteKoordinatedesPaares,das
1 2 1
x heißtdiezweiteKoordinate.
2
DaskartesischeProduktderMengenM ×N istdefiniertalsdieMengeallergeordnetenPaare
(x ,x )mitersterKoordinateausM undzweiterKoodinateausN .
1 2
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!
Ist f : M −→ N eine Abbildung , so heißt G(f) := {(x ,x )|x ∈ M,x ∈ N } ⊆ M ×N
1 2 1 2
derGraphvonf .
Beispiele:
(1) Unter diesen allgemeinen Begriff der Abbildung fallen viele Sachverhalte, die wir bereits
behandelthaben.ZumBeispiel:
Die Anfangsbemerkung fu¨hrt zur Abbildung f : Rn −→ Rm,x 7−→ A·x ( 7.1.2
A
Bezeichnung1).
DieAddition,etwainRn,isteineAbbildung“+”:Rn×Rn −→ Rn,(x,y) 7−→ x+y.
(Dabei:M istdaskartesischeProduktRn×Rn vonRn mitsichselbstundN ist
gleichRn).
DieskalareMultiplikationisteineAbbildungdesTypsR×Rn −→ Rn .
DasSkalarproduktisteineAbbildungdesTypsRn×Rn −→ R.
DasTransponierenvonMatrizenisteineAbbildungdesTypsRm×n −→ Rn×m .
(2) AuchdieabgeleiteteBegriffeinderDefinitionspielenbesondereRollen,etwa:
DasUrbild f−1(b) von b ∈ Rm unter f istdie“Lo¨sungsmenge”deslinearenGleichungs-
A A
systems Ax = b !
7.1.2 Matrizen als lineare Abbildungen
Wirkommenzuru¨ckzurBemerkungin7.1.1:
Bezeichnung1:
ZuA ∈ Rm×n seif : Rn −→ Rm dieAbbildungx 7−→ A·x.
A
Beispiele:
InniedrigenDimensionenkannmanBeispielesolcherAbbildungengeometrischdeuten:
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
1 0 x x
(1) Sei A = .Dannistf = .
0 −1 A y −y
Also: f istSpiegelunganx-Achse.
A
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
cosα −sinα x cosα·x−sinα·y
(2) A = .Dannistf = .
sinα cosα A y sinα·x+cosα·y
Mankannsichklarmachen:f istDrehungumdenNullpunkt)umdenWinkelα.
A
Tatsache1:
SeiA ∈ Rm×n,f := f wieinderBezeichnung1.Danngiltfu¨rallex,y ∈ Rn undalleλ ∈ R:
A
(LA1) f(x+y) = f(x)+f(y),x,y ∈ Rn ,und
(LA2) f(λx) = λ·f(x),λ ∈ R
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Beweis: FolgtausdenRechenregelnfu¨rdasMatrizenproduktausdemSatzin6.2.4:
(LA1)ausdemDistributivgesetz(D),(LA2)ausderdortigenRegel(Al).
Definition:
SeienV undW Vektorra¨umeund f : V −→ W seieineAbbildung.Dann:
f heißtlinear:⇐⇒ (LA1)und(LA2)gelten.
LineareAbbildungenvonV nachR heißenauchLinearformenaufV .
Beispiele
DieAbbildungenf zuMatrizenA.
A
DieTranspositionA 7−→ At isteinelineareAbbildungvonRm×n nachRn×m .
Z b
DasIntegral f 7−→ f(x)dx isteineLinearformauf V := {f : [a,b] −→ R|f stetig}.
a
Die Ableitung ist eine lineare Abbildung von V := {f : [a,b] −→ R|f differenzierbar} nach
{f : [a,b] −→ R|f stetig}.
Tatsache2
Zu jeder linearen Abbildung f : Rn −→ Rm gibt es genau eine Matrix A ∈ Rm×n , so daß
f = f .Andersgesagt:JedelineareAbbildungkanndurchdasHeranmultipliziereneinerMatrix
A
realisiertwerden.
Beweis: Zuf nimmtmanalsAdieMatrix,derenj-teSpaltegeradedasBildf(e )desj-ten
j
Einheitstupels (siehe das Grundbeispiel in 6.4.5 ), so folgt die Behauptung aus dem Prinzip
derlinearenFortsetzung(siehe7.1.3).
Bezeichnung2:
DasAmitf = f heißtdieMatrixvonf oderdiezuf geho¨rigeMatrix.
A
DieTatsachen1und2kannmansozusammenfassen:
Satz(LineareAbbildungenzwischenTupelra¨umen):
Die linearen Abbildungen zwischen Tupelra¨umen sind gerade die Abbildungen f aus der Be-
A
zeichnung1.
7.1.3 Prinzip der linearen Fortsetzung
Satz(PrinzipderlinearenFortsetzung):
SeienV undW Vektorra¨umeundX ,X ,...,X seieineBasisvonV.Dann:
1 2 n
Zu jeder Folge Y ,Y ,...,Y von Elementen aus W gibt es genau eine lineare Abbildung f :
1 2 n
V −→ W mitf(X ) = Y fu¨rallej = 1,2,...,n.
j j
n n
X X
Diesesf istgegebendurchf(x) = λ Y ,wenn x = λ X .
j j j j
j=1 j=1
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n n
X X
Beweis: Manrechnetnach:DieAbbildungx= λ X 7−→f(x):= λ Y istwohl-
j j j j
j=1 j=1
definiert und linear und erfu¨llt f(X ) = Y fu¨r alle j = 1,2,...,n . Und: Jede Abbildung
j j
mit der im Satz geforderten Eigenschaft muß x notwendigerwise auf das angegebene f(x)
abbilden.
AnwendungdesSatzesaufzweierleiWeise:
Erstens:ZurDefinitionlinearerAbbildungen.
DerSatzbesagtna¨mlich:MankannlineareAbbildungendurchbeliebigeVorgabe(d.h.inderPra-
xisdurchgezielteVorgabe)vonWertenfu¨rdieBasiselementeX ,j = 1,...,n definieren.
j
Zweitens:Umfestzustellen,obzweilineareAbbildungendieselbensind.Na¨mlich:
Zwei lineare Abbildungen f,g : V −→ W sind gleich, wenn sie auf einer Basis von V u¨berein-
stimmen.
EinAnwendungsbeispiel:DerBeweisderTatsache2in7.1.2.
Man hat V := Rn,W := Rm,X := e ,j = 1,...,n (die Einheitstupel). Nehme als Matrix A
j j
diejenige(m,n)-MatrixmitA := f(e ) fu¨rj = 1,...,n,d.h.dieMatrixmitdenf(e )alsj-ter
·j j j
Spalte. Man rechnet nach: Dann ist f(e ) = f (e ) fu¨r alle j . Nach dem Prinzip der linearen
j A j
Fortsetzungistalsof = f .
A
7.1.4 Komposition linearer Abbildungen entspricht Matrizenprodukt
SeienV,W,Z Vektorra¨umeundf : V −→ W undg : W −→ Z,seienlineareAbbildungen.
Tatsache:
DieKompositiong◦f : V −→ Z,x 7−→ g(f(x)), istlinear.
Beweis: g◦f(λx+y)=g(f(λx+y)) = g(λf(x)+f(y)) = λg(f(x))+g(f(y))=
flinear glinear
λg◦f(x)+g◦f(y).
Satz:
Seienjetzt V = Rn,W = Rm,Z = Rk .
Esseienf = f : Rn −→ Rm mit A ∈ Rm×n undg = f : Rm −→ Rk mit B ∈ Rk×m.
A B
Dann: f ◦f = f : Rn −→ Rk.
B A BA
In Worten: Die Komposition linearer Abbildungen zwischen Tupelra¨umen ist gegeben durch das
Produktderzugeho¨rigenMatrizen.
Beweis: Manrechnetnach: Fu¨rdieEinheitstupele ,j =1,2...,nistsowohlg(f(e ))=
j j
j-te Spalte von BA als auch f ◦ f (e ) = j-te Spalte von BA . Nach dem Prinzip der
B A j
linearenFortetzungistalso g◦f = f ◦f .
B A
Anmerkung:DieAussagedesSatzesistaucheineMotivationfu¨rdieDefinitiondesMatrizenpro-
duktes.
7. LINEAREABBILDUNGENUNDLINEAREGLEICHUNGSSYSTEME 155
7.1.5 Markov-Prozesse
Lineare Abbildungen werden angewandt bei der Beschreibung sogenannter linarer Prozesse. Wir
werdehiereinenTypsolcherPozessebeschreiben.
 
x
1
Bezeichnung:Seienx =  ...  ∈ Rn, A ∈ Rm×n
x
m
(cid:27)
xheißtstochastisch(oder ⇐⇒ 0 ≤ x ≤ 1fu¨ralleiund Pn x = 1
einWahrscheinlichkeitsvektor) i i=1 i
Aheißtstochastisch ⇐⇒ AlleSpaltensindstochastisch(inRm×1 ≡ Rm)
Gegeben sei ein “System” (Beispiel siehe unten), das n Zusta¨nde annehmen kann, die sich ge-
genseitigausschließen.ZumZustandi, i = 1,...,n,seix dieWahrscheinlichkeit,daßsichdas
i
SystemimZustandibefindet.
 
x
1
x2
Man nennt x =  .  den Zustandsvektor des Systems. Das System unterliege nun einer
 . 
 . 
x
n
Transformation.Dabeisei
a := Wahrscheinlichkeit,daßsichdasSystem,wennesvorderTransformationimZustand
ij
j war,nachderTransformationimZustandibefindet.
DieMatrix A := (a ) ∈ Rn×n heißtdieU¨bergangsmatrix.
ij
DieDefinitiondera ergibt:
ij
 
y
1
.
IstxderZustandsvektorvorderTransformationundy =  .. derjenigedanach,soist
y
n
n
X !
y = a x +...+a x +...+a x = a x = (A·x)
i i1 1 ij j in n ij j i
j=1
Somit:
y = A·x (∗)
NunwerdedieTransformationeinmal,zweimal,...iteriert.IndieserSituation:
Bezeichnung:
IstbeiallenaufeinanderfolgendenTransformationendieU¨bergangsmatrixdiegleiche,sospricht
manvoneinemMarkov-Prozeß.
Der“Prozeßverlauf”istdannderfolgende:
Seien x(0) = ZustandsvektorzuBeginn, x(k) =Zustandsvektornachderk-tenTransformation.
MitHilfevon (∗) erha¨ltman
x(1) = A·x(0), x(2) = A·x(1) = A2·x(0),... undnachInduktion
7. LINEAREABBILDUNGENUNDLINEAREGLEICHUNGSSYSTEME 156
x(k) = A·x(k−1) = A2·x(k−2) = ... = Ak ·x(0) .
Ergebnis:
x(k) = Ak·x(0) .
DabeiistAk := A·A·...·Adiek-tePotenzvonA.
| {z }
k−Faktoren
Es interessiert vor allem der Zustand fu¨r große k, d.h. fu¨r k −→ ∞ und dabei die Frage, ob der
ZustandunterUmsta¨ndenstabilwird.
KonkretesBeispiel
Eine Firma habe drei Autoverleihfilialen. Tageweise werden Autos verliehen mit abendlicher
Ru¨ckgabepflicht.NachtssindalleWagenaufdiedreiFilialenverteilt.Esseien
 
x
1
x = x2WahrscheinlichkeitsverteilungderWagenaufdieFilialen.
x
3
a :=Wahrscheinlichkeit,daßsicheinWagen,dersichvordemVerleihinFilialej
ij
befand,danachinFilialeibefindet.
Dann:
x(k) = Ak·x(0) =Wahrscheinlichkeitsverteilungnachk-temTag,
wennx(0) =Anfangsverteilung
KonkreteDaten:
   
0 0,8 0,3 0,2
x(0) = 1, A = (aij) = 0,1 0,2 0,6
0 0,1 0,5 0,2
↑ ↑
stochastisch! stochastisch!
Manrechnetaus:
     
0,3 0,533 0,557
x(1) = 0,2 ,..., x(5) = 0,238 ,..., x(11) = 0,230
0,5 0,219 0,213
Esstelltsichheraus: x(k) = x(11) bisaufdreiDezimalenfu¨rk ≥ 11.
DasisteindeutlichesIndizdafu¨r,daßderZustandstabilwird.Tatsa¨chlich:
Information: Mit tiefer gehender Mathematik kann man in diesem Fall und in entsprechenden
Fa¨llenbeweisen,daßderZustandgegeneinestabileVerteilungkonvergiert.
7. LINEAREABBILDUNGENUNDLINEAREGLEICHUNGSSYSTEME 157
7.2 Lineare Gleichungssysteme: Die Theorie
Wir haben in 6.2.3 Beispiel (3) gesehen, daß sich lineare Gleichungssysteme (LGS’e) als Matri-
zengleichungschreibenlassen.
IndenfolgendeAbschnittenwirdallgemeindasLGS
Ax = b (∗)
behandelt,wo A ∈ Rm×n und b ∈ Rn .
ParalleldazuuntersuchenwirdaskonkreteLGS
− 2x + x + x − x = 1
3 4 5 6
x − x + x + 2x − x = −1
1 2 3 5 6
2x − 2x + x + 5x − 2x = −1 (∗∗)
1 2 4 5 6
−x + x − 3x − 3x − 3x + 2x = 0
1 2 3 4 5 6
−x + x − x − 4x − 4x + 3x = a
1 2 3 4 5 6
mit m = 5,n = 6.
Dabei ist das a (rechte Seite der letzten Gleichung) ein Parameter, den wir vorerst offenhalten,
ummehrereVariantenbeimLo¨sungswegbehandelnzuko¨nnen.
7.2.1 Grundbemerkungen und Grundbegriffe
Bezeichnung:
DasAin (∗) heißtdieKoeffizientenmatrixdesLGS.
Dasbin (∗) heißtdierechteSeitedesLGS.Die(n+1)-spaltigeMatrix,diemanerha¨lt,indemman
hinterderletztenSpaltevonAnochdieSpaltebhinzufu¨gt,wirdmit (A|b) oder A˜ bezeichnetund
heißtdieerweiterteKoeffizientenmatrixdesLGS.Dieses A˜ beschreibtdasLGSvollsta¨ndig.
ImkonkretenBeispiel (∗∗):
   
0 0 −2 1 1 −1 0 0 −2 1 1 −1 1
 1 −1 1 0 2 −1   1 −1 1 0 2 −1 −1 
A =  2 −2 0 1 5 −2  und A˜ =  2 −2 0 1 5 −2 −1 
   
−1 1 −3 −3 −3 2  −1 1 −3 −3 −3 2 0 
−1 1 −1 −4 −4 3 −1 1 −1 −4 −4 3 a
Der senkrechte Strich rechts steht dabei nur aus suggestiven Gru¨nden. Er soll betonen, daß die
letzteSpaltediehinzugefu¨gterechteSeitedesLGSist.
InZukunftwerdenwirauchderEinfachheithalberdieKlammernumdieMatrizenweglassen.
Definition(desLo¨sungsraumes):
GegebenseidasLGS
Ax = b (∗)
SeinLo¨sungsraumistdieTeilmenge
7. LINEAREABBILDUNGENUNDLINEAREGLEICHUNGSSYSTEME 158
L(∗) := {x ∈ Rn|Ax = b} im Rn
DasGleichungssystemheißtlo¨sbar,wenn L(∗) 6= ∅ ist.
Grundbemerkung
ElementareZeilenumformungenandererweitertenKoeffizientenmatrix (A|b) entsprechengera-
dedemu¨blichenerlaubtenRechnenmitdenGleichungendesLGS.
Beweis: Dasmachtmansichumittelbarklar.
Wir nennen die den elementaren Zeilenumformungen an (A|b) entsprechenden Umformungen
desGleichungssystemselementareUmformungen desLGS.
Z.B.bedeutetdieUmformung M(1,2|λ) dasAddierendesλ-fachenderzweitenGleichungzur
erstenGleichung.
Grundtatsache
DieMatrix A˜0 entsteheaus A˜ durchendlichvieleelementareZeilenumformungen.Dann:
Daszu A˜0 geho¨rigeLGShatdenselbenLo¨sungsraumwiedasurspru¨nglichezu A˜ geho¨rigeLGS.
Beweis: Manrechnetdirektnach:JedeLo¨sungdesdurcheineelementareUmformungent-
standenenSystemsistaucheineLo¨sungdesaltenSystemsundumgekehrt.
Diese Tatsache suggeriert die Strategie beim Lo¨sen eines LGS : Man vereinfacht das LGS durch
elementareUmformungensolange,biseinLGSentstandenist,dasmaneinfachunddirektlo¨sen
kann.
Das Ergebnis in 6.5.2 liefert z.B.: Man kann das LGS elementar so umformen, daß die neue er-
weiterte Koeffizientenmatrix Zeilenstufenform hat (und die Lo¨sungsmenge die gleiche geblieben
ist).
7.2.2 Ein Lo¨sbarkeitskriterium
Bemerkung:
WirbetrachtendasLGS Ax = b alsGleichungindenSpalten.Manerha¨lt
         
a a a a b
11 12 1j 1n 1
a21 a22 a2j a2n b2
Ax = b ⇐⇒ x1 .. +x2 .. +···+xj .. +···+xn ..  =  .. 
 .   .   .   .   . 
a a a a b
m1 m2 mj mn m
AlsFolgerungergibtsich:
Tatsache:
Ax = b istlo¨sbar ⇐⇒ b istLinearkombinationderSpaltenvonA.
⇐⇒ b ∈ SpaltenraumvonA ⇐⇒ RangA = Rang(A|b)
InWorten:EinGleichungssystemistgenaudannlo¨sbar,wennderRangdererweitertenKoeffizi-
entenmatrixgleich(undnichtgro¨ßer!)istdemRangder(einfachen)Koeffizientenmatrix.
7. LINEAREABBILDUNGENUNDLINEAREGLEICHUNGSSYSTEME 159
7.2.3 Die Struktur des Lo¨sungsraumes
Zugegebenem A ∈ Rm×n und b ∈ Rm betrachtenwirdieLGS’e
(∗) Ax = b und(∗) Ax = 0.
0
Bezeichnung1:
LGS’ederForm Ax = 0,alsosolchemitrechterSeite b = 0,heißenhomogeneLGS’e.
DasLGS (∗) heißtdaszumLGS (∗) geho¨rigehomogeneLGS.
0
ErinneredieTatsache2in6.4.3:
DerLo¨sungsraum L = L(∗) ) eineshomogenenLGSisteinlinearerUnterraum.
0 0
DerLo¨sungsraumeinesallgemeinenLGShatfolgendeEigenschaften:
Tatsache2:
Sei L der Lo¨sungsraum von Ax = b und L der Lo¨sungsraum des zugeho¨rigen homogenen
0
LGS Ax = 0.Esgilt:
(1) Fu¨r x,y ∈ L ist y−x ∈ L .
0
Ist x ∈ L und z ∈ L ,soist x+z ∈ L.
0
(2) Sei x ∈ L.Jedes y ∈ L la¨stsichdarstellenals y = x+z miteinem z ∈ L .
0
Schreibtmankurz x+L fu¨r {x+z|z ∈ L },soistalso
0 0
L = x+L .
0
Mandru¨cktdasauchsoaus:
(cid:26)
spezielleLo¨sungplusLo¨sungsraumdes
Lo¨sungsraumeineLGS =
zugeho¨rigenhomogenenSystems
Beweis: (1) A(y−x)=Ay−Ax=b−b=0.
A(x+z)=Ax+Az =b+0=0.
(2) Seiz :=y−x.Dannistz ∈L nach(1)undy =x+z.
0
Bezeichnung2:
Untermengen L von Rn , die sich (wie die Lo¨sungsra¨ume von Gleichungssystemen) darstellen
lassenals
L = x+W (= {x+w|z ∈ W }
miteinemx ∈ LundeinemlinearenUnterraumW ,heißenaffineUnterra¨umevon Rn .
DieDimensiondesaffinenUnterraums L = x+W istdefiniertals dim L := dim W .
Insbesondere:DieaffinenUnterra¨umederDimension0sinddiePunktevon Rn
Bisherhabenwirherausgearbeitet:DieLo¨sungsra¨umelinearerGleichungssystemesindaffineUn-
terra¨umeim Rn.EsbleibtnochdieBestimmungderDimension.WirgebendasErgebnisanund
fassennocheinmalzusammen:
Satz:
DieDimensiondesLo¨sungsraumes L deshomogenenLGS Ax = 0 ist n−RangA.
0
Also:DasLGS Ax = b hatkeineLo¨sungenoderderLo¨sungsraumistderd-dimensionaleaffine
Unterraum x + L , wo x eine (spezielle) Lo¨sung des LGS , wo L der Lo¨sungsraum des
0 0
zugo¨rigenhomogenenLGS Ax = 0 undwo d = n−RangA ist.
7. LINEAREABBILDUNGENUNDLINEAREGLEICHUNGSSYSTEME 160
7.3 Lineare Gleichungssysteme: Die Lo¨sungspraxis
7.3.1 Lo¨sbarkeit bei Zeilenstufenform
DerSatzin6.5.3unddiegrundsa¨tzlichenU¨berlegungenin7.2.1liefern:
Tatsache1
JedesLGS Ax = b kannelementarsoumgeformtwerden,daßdieneueerweiterteKoeffizienten-
matrixinZeilenstufenformist.(DieLo¨sungsmengebleibtdabeidiegleiche.)
IndiesemStadiumla¨ßtsichdieLo¨sbarkeitdesLGSbequemablesen:
Tatsache2
EinLGS,dessenerweiterteKoeffizientenmatrix A˜ inZeilenstufenformist,istgenaudannlo¨sbar,
wenn die letzte Spalte von A˜, also die (n+1)-te Spalte (und neue rechte Seite), keine Pivotspalte
ist.
Beweis: Seikder(Stufen-)Rangvon A˜ .Diek-teGleichunglautetdann
0·x +0·x +···+0·x =a (=b ).
1 2 n kn+1 k
OffenbaristdieseGleichungundsomitdasganzeLGSnichtlo¨sbar,wenn a 6= 0 d.h.
kn+1
wennn+1Pivotindexist.
Umgekehrt macht man sich ohne Mu¨he klar, daß im Falle a = 0 die letzte Spalte im
kn+1
SpanndererstennSpaltenliegt,daßalsodanndasLGSgema¨ßderTatsachein7.2.2lo¨sbar
ist.
7.3.2 Normierte Zeilenstufenform
Definition:
EinA ∈ Km×n, A 6= 0heißtinnormierterZeilenstufenform,wenngilt:
(1) AistinZeilenstufenform(s.6.5.3).Der(Stufen-)RangvonAseik.
(2) Sindj ,j ,...,j diePivot-Indizes,sogilt:
1 2 k
DieSpaltenA ,A ,...,A sind–indieserReihenfolge–dieEinheitsspaltene ,e ,...,e
·j1 ·j2 ·jk 1 2 k
imRn.
Beispiel:
1 −1 0 0 9 0 −3
4 4
0 0 1 0 −1 0 −1
4 4
0 0 0 1 1 0 1
2 2
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0
↑ ↑ ↑ ↑
e e e e
1 2 3 4