พีชคณิตเชิงเสน ๑ Linear Algebra I [Lecture notes]

145 Pages·2015·0.836 MB·Thai

by  Yotsanan Meemark

พีชคณิตเชิงเสน ๑
Linear Algebra I
ระบบเชิงเสน การแปลงเชิงเสนและพีชคณิตเมทริกซ
คาลักษณะเฉพาะ เวกเตอรลักษณะเฉพาะ และ การแปลงเปนทแยงมุม
เรขาคณิตเชิงเสนและฐานหลักเชิงตั้งฉาก
แนวคิดเชิงนามธรรมของพีชคณิตเชิงเสน
ยศนันต มีมาก
เรียบเรียงเพื่อใชประกอบรายวิชา
2301234 Linear Algebra I
ภาควิชาคณิตศาสตรและวิทยาการคอมพิวเตอร
คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
พิมพครั้งแรก มกราคม ๒๕๕๕ ปรับปรุง สิงหาคม ๒๕๕๘
สามารถดาวนโหลดไดที่
http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~myotsana/
ขอคิดเห็นหรือขอเสนอแนะตางๆ โปรดสงมาไดที่
[email protected]
คำนำ
ตำรา พีชคณิตเชิงเสน ไดเรียบเรียงขึ้นเพื่อตอยอดหัวขอทางเมทริกซที่นักเรียนได
2301234 1 (Linear Algebra I)
ศึกษามาบางแลว ตลอดจนใหนิสิต นักศึกษา และ ผูสนใจทั่วไปใชอานประกอบเพื่อเปนพื้นฐานและนำไปสูมโนภาพ
เบื้องตนกอนหรือระหวางการศึกษาวิชาพีชคณิตเชิงเสน ทั้งนี้ผูเขียนไดพยายามเรียบเรียงเนื้อหาใหตอเนื่องและเรียง
รอยกันโดยใชเมทริกซเปนแกนกลาง ไมใชภาษาที่ซับซอนหรือภาษาคณิตศาสตรขั้นสูงจนเกินไปและละบทพิสูจน
สำหรับทฤษฎีบทที่ยากแตแสดงใหเห็นการนำไปใชดวยการยกตัวอยางแทน และมีภาพประกอบการยกตัวอยางใน
สองมิติและสามมิติ เพื่อใหผูอานเขาใจไดดียิ่งขึ้น
ผูเขียนเห็นวาการศึกษาวิชาพีชคณิตเชิงเสนใหไดผลดีนั้น ผูเรียนควรเริ่มจากเขาใจเนื้อหาที่เกี่ยวของกับเมทริกซ
และเวกเตอรแนวตั้งอยางครบถวน เพื่อจะสามารถนำไปเปนพื้นฐานสำหรับหัวขอเชิงนามธรรมของพีชคณิตเชิงเสน
อาทิ ปริภูมิเวกเตอร การแปลงเชิงเสน และปริภูมิผลคูณภายใน ซึ่งหัวขอเหลานี้สามารถแปลงปญหากลับมาในรูป
แบบของเมทริกซไดทั้งสิ้น ผูเขียนจึงไดแบงเนื้อหาออกเปน บท ดังนี้
5
(cid:4) บทที่ 1 ระบบเชิงเสน มีเนื้อหาที่สำคัญคือการใชการดำเนินการแถวขั้นมูลฐานลดรูปเมทริกซจนไดเมทริกซ
ในรูปแบบขั้นบันไดและขั้นบันไดลดรูป การตรวจสอบวามีและหาผลเฉลยทั่วไปของระบบเชิงเสนซึ่งเนื้อหา
ในสวนแรกนี้จะถูกนำไปใชในหัวขอตางๆ อยางมากมาย ตอมาในบทนึ้จะกลาวถึงคำศัพทพื้นฐานของวิชา
พีชคณิตเชิงเสนอีก คำคือ แผทั่ว และ อิสระเชิงเสน
2
(cid:4) บทที่ 2 การแปลงเชิงเสนและพีชคณิตเมทริกซ เริ่มจากนิยามของการสงเวกเตอรจากปริภูมิหนึ่งไปยัง
อีกปริภูมิหนึ่งโดยใชการคูณดวยเมทริกซ ซึ่งเรียกวา “เมทริกซมาตรฐาน” โดยบทนี้มีเนื้อหาที่สำคัญคือ
ปริภูมิยอยและการหาฐานหลักและบอกมิติของปริภูมิยอยที่กำหนดให ตอดวยการมีอยูและการหาเมทริกซ
ผกผันของเมทริกซจัตุรัสและรวบรวมความรูตางๆ ที่เรียนมาแลวไวใน “ทฤษฎีบทเมทริกซหาตัวผกผันได
ทฤษฎีบท . . ” โดยปดทายบทนี้ดวยนิยามและสมบัติตางๆ ของดีเทอรมิแนนต
( 236)
(cid:4) บทที่ 3 คาลักษณะเฉพาะ เวกเตอรลักษณะเฉพาะ และการแปลงเปนทแยงมุม มีเนื้อหาที่สำคัญคือการ
เปลี่ยนฐานหลัก เมทริกซของการแปลงเชิงเสน การหาเมทริกซทแยงมุมที่คลายกับเมทริกซจัตุรัสที่กำหนด
ใหโดยใชคาลักษณะเฉพาะและเวกเตอรลักษณะเฉพาะ และนำไปประยุกตหาผลเฉลยของระบบสมการเชิง
อนุพันธบางรูปแบบ
(cid:4) บทที่ 4 เรขาคณิตเชิงเสนและฐานหลักเชิงตั้งฉาก กลาวถึงผลคูณจุดของเวกเตอร ซึ่งนำไปสูการศึกษาเวก
เตอรเชิงเรขาคณิต เชน ความยาว เวกเตอรหนึ่งหนวย การตั้งฉากกันของสองเวกเตอร การสรางฐานหลักเชิง
i
ตั้งฉากโดยใชกระบวนการกราม-ชมิดต รวมถึงการประยุกตกับปญหากำลังสองนอยสุด การแปลงเมทริกซ
สมมาตรเปนเมทริกซทแยงมุมเชิงตั้งฉาก และรูปแบบกำลังสอง
(cid:4) บทที่ 5 แนวคิดเชิงนามธรรมของพีชคณิตเชิงเสน ผูเขียนไดรวบรวมหัวขอเชิงนามธรรมของพีชคณิตเชิง
เสนที่สำคัญ กลาวคือ ปริภูมิเวกเตอร การแปลงเชิงเสน และปริภูมิผลคูณภายใน โดยอธิบายนิยามพรอมยก
ตัวอยางประกอบ อาศัยสิ่งที่ไดศึกษามาแลวในระดับมัธยมศึกษาตอนปลายและมหาวิทยาลัยปที่ และละ
1
การพิสูจนทฤษฎีบทตางๆ เพื่อใหเนื้อหาของบทนี้ไมหนักจนเกินไป และมีแบบฝกหัด ที่เรียกวา “ลองทำ”
( )
ซึ่งคลายตัวอยางในการบรรยายกระจายอยูทั่วหัวขอยอยนั้น ๆ ทั้งนี้หากนิสิตตองการเนื้อหาเชิงพิสูจนซึ่งลึก
(
ซึ้งขึ้น นิสิตสามารถศึกษาไดจากรายวิชา พีชคณิตเชิงเสน ในอนาคต
2301336 2 )
ซึ่งในแตละบทมีแบบฝกหัดซึ่งแยกตามหัวขอยอยตางๆ โดยคำตอบแบบฝกหัด เฉพาะขอคำนวณ จะถูกรวบรวม
( )
ไวทายบทนั้นๆ ผูเขียนหวังเปนอยางยิ่งวาหนังสือเลมนี้จะมีประโยชนทั้งกับนักเรียน นิสิต นักศึกษา ตลอดจนผูสนใจ
ทั่วไปที่จะนำทฤษฎีบทและความรูที่ไดรับเกี่ยวกับเมทริกซไปชวยในการทำโครงงาน ไปใชเตรียมตัวสำหรับการสอบ
เขาศึกษาตอ หรือ ประยุกตกับปญหาในศาสตรที่เกี่ยวของตอไป
ยศนันต มีมาก
ภาควิชาคณิตศาสตรและวิทยาการคอมพิวเตอร
คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
มกราคม
2555
ii
สารบัญ
คำนำ
i
สารบัญ
iii
ระบบเชิงเสน
1 1
. เมทริกซและระบบเชิงเสน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 1
. เมทริกซขั้นบันได . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12 6
. การรวมเชิงเสนและการแผทั่ว . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13 14
. เซตผลเฉลยของระบบเชิงเสนและอิสระเชิงเสน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 23
การแปลงเชิงเสนและพีชคณิตเมทริกซ
2 31
. การแปลงเชิงเสนและเมทริกซมาตรฐาน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21 31
. ปริภูมิยอยของปริภูมิยุคลิด ฐานหลัก มิติ และแรงก . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22 40
. . ปริภูมิยอยของปริภูมิยุคลิด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
221 40
. . ฐานหลัก มิติ และแรงก . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
222 42
. เมทริกซผกผันของเมทริกซจัตุรัส . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23 47
. ดีเทอรมิแนนต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24 53
คาลักษณะเฉพาะและเวกเตอรลักษณะเฉพาะ
3 63
. เมทริกซสำหรับการแปลงเชิงเสนและการเปลี่ยนฐานหลัก . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31 63
. คาลักษณะเฉพาะ เวกเตอรลักษณะเฉพาะ และการแปลงเปนทแยงมุม . . . . . . . . . . .
32 69
. . คาลักษณะเฉพาะ และ เวกเตอรลักษณะเฉพาะ . . . . . . . . . . . . . . . . .
321 69
. . การแปลงเปนทแยงมุม . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
322 74
. ระบบสมการเชิงอนุพันธ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33 81
เรขาคณิตเชิงเสนและฐานหลักเชิงตั้งฉาก
4 87
. ผลคูณภายในและเซตเชิงตั้งฉาก . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41 87
. การฉายเชิงตั้งฉาก และ กระบวนการกราม-ชมิดต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42 90
iii
. ปญหากำลังสองนอยสุด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43 99
. การแปลงเปนทแยงมุมของเมทริกซสมมาตร . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44 105
. รูปแบบกำลังสอง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45 110
แนวคิดเชิงนามธรรมของพีชคณิตเชิงเสน
5 121
. ปริภูมิเวกเตอรและปริภูมิยอย . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51 121
. . ปริภูมิเวกเตอร . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
511 122
. . ปริภูมิยอย . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
512 124
. . ฐานหลักและมิติ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
513 126
. การแปลงเชิงเสน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52 127
. ปริภูมิผลคูณภายใน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53 133
บรรณานุกรม
137
ดรรชนี
138
iv
บทที่
1
ระบบเชิงเสน
. เมทริกซและระบบเชิงเสน
1 1
ให R แทนเซตของจำนวนจริงทั้งหมด และให m และ n เปนจำนวนเต็มบวก เราเรียกฟงกชันในรูป
A : f1;2;:::;mg(cid:2)f1;2;:::;ng ! R
วา m(cid:2)n เมทริกซ (อานวา m คูณ n เมทริกซ) (m(cid:2)n matrix) บน R และเขียนแทน A ดวยตารางในรูปแบบ
2 3
a a ::: a
6 11 12 1n7
6a a ::: a 7
6 21 22 2n7
A = [aij]m(cid:2)n = 64 ... ... ... 75
a a ::: a
m1 m2 mn
โดยที่ อยูในแถวที่ และหลักที่ หมายถึงคาของ สำหรับทุกคา และ
a i j A(i;j) i = 1;2;:::;m j = 1;2;:::;n
ij
และเรียก m(cid:2)n วามิติของเมทริกซ (dimension of a matrix) ซึ่งในกรณีที่ m = n เราเรียก A วาเมทริกซ
จัตุรัส ขนาด
(square matrix) n
เราเรียก1(cid:2)nเมทริกซวาเวกเตอรแถว(rowvector)และเรียกm(cid:2)1เมทริกซวาเวกเตอรหลัก(column
vector) เมทริกซที่มีมิติ m(cid:2)n และสมาชิกทุกตำแหนงเปน 0 เรียกวาเมทริกซศูนย (zero matrix) เขียนแทน
ดวย
0
สมาชิกทแยงมุม ในเมทริกซ คือบรรดา ซึ่งเรียงกันเปนเสน
(diagonal entry) A = [aij]m(cid:2)n a11;a22;:::
ทแยงมุมหลัก ของเมทริกซ และเมทริกซทแยงมุม คือเมทริกซ
(main diagonal) A (diagonal matrix)
จัตุรัสที่สมาชิกอื่นนอกเสนทแยงมุมหลักเปนศูนย
ให A = [aij]m(cid:2)n และ B = [bij]m(cid:2)n เปน m(cid:2)n เมทริกซ และ c เปนจำนวนจริง
เรากลาววา ก็ตอเมื่อ สำหรับทุกคา และ
A = B a = b i = 1;2;:::;m j = 1;2;:::;n
ij ij
ผลบวกของเมทริกซ และ กำหนดโดย
A B
A+B := [aij +bij]m(cid:2)n
และผลคูณของจำนวนจริง กับเมทริกซ กำหนดโดย
c A
cA := [caij]m(cid:2)n
1
2 บทที่1 ระบบเชิงเสน
โดยทั่วไป เราเขียน (cid:0)B แทน ((cid:0)1)B และเขียน A(cid:0)B แทน A+((cid:0)B)
[ ] [ ]
(cid:0)1 3 2 1 (cid:0)1 1
ตัวอยาง . . ให และ
111 A = B =
4 0 5 7 5 (cid:0)2
เราไดวา
[ ] [ ]
(cid:0)1 3 2 1 (cid:0)1 1
A+B = +
4 0 5 7 5 (cid:0)2
[ ] [ ]
(cid:0)1+1 3+((cid:0)1) 2+1 0 2 3
= =
4+7 0+5 5+((cid:0)2) 11 5 3
และ
[ ] [ ] [ ]
(cid:0)1 3 2 2((cid:0)1) 2(3) 2(2) (cid:0)2 6 4
2A = 2 = =
4 0 5 2(4) 2(0) 2(5) 8 0 10
สำหรับเมทริกซ A;B;C และ 0 ที่มีมิติ m(cid:2)n และจำนวนจริง c และ d เราสามารถแสดงไดโดยงายวา
1. A+B และ cA มีมิติ m(cid:2)n 6. c(A+B) = cA+cB
. .
2 A+B = B+A 7 (c+d)A = cA+dA
. .
3 (A+B)+C = A+(B+C) 8 (cd)A = c(dA)
. . และ
4 A+0 = 0+A = A 9 1A = A 0A = 0
5. A+((cid:0)A) = ((cid:0)A)+A = 0
สมการเชิงเสน ในตัวแปร คือสมการซี่งเขียนไดในรูปแบบ
(linear equation) x ;x ;:::;x
1 2 n
a x +a x +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+a x = b
1 1 2 2 n n
โดยทพี่ จนคงตัว และสัมประสิทธิ์ เปนจำนวนจริง
(constant term) b (coefficient) a ;a ;:::;a
1 2 n
p
ตัวอยาง 1.1.2 1. 4x (cid:0)5x +5 = x และ (cid:25)x = 2( 3x (cid:0)4)+x เปนสมการเชิงเสน
1 2 3 2 1 3
p
2. 4x x = x (cid:0)2 และ x = x +3 ไมเปนสมการเชิงเสน
1 2 3 1 2
ระบบสมการเชิงเสน หรือระบบเชิงเสน ในตัวแปร
(system of linear equations) (linear system)
หมายถึงชุดจำกัดที่ประกอบดวยสมการเชิงเสนในตัวแปร
x ;x ;:::;x x ;x ;:::;x
1 2 n 1 2 n
ผลเฉลย ของระบบเชิงเสนคือจำนวนจริง ซึ่งเมื่อนำไปแทน ตาม
(solution) c ;c ;:::;c x ;x ;:::;x
1 2 n 1 2 n
ลำดับ แลวทำใหแตละสมการในระบบเชิงเสนเปนจริง และเรียกเซตของผลเฉลยทั้งหมดที่เปนไปไดของระบบเชิง
เสนวาเซตผลเฉลย
(solution set)
เรากลาววาระบบเชิงเสน ระบบสมมูลกัน ก็ตอเมื่อ ทั้งสองระบบมีเซตผลเฉลยเดียวกัน
2 (equivalent)
ตัวอยาง . . ระบบเชิงเสน
113
x + x (cid:0) x = 1
1 2 3
2x + x (cid:0) 3x = 2
1 2 3
x (cid:0) 5x = 6
2 3
มี ((cid:0)1;1;(cid:0)1) เปนผลเฉลยชุดหนึ่ง
1.1 เมทริกซและระบบเชิงเสน 3
โดยทั่วไป ระบบเชิงเสนในตัวแปร มีรูปแบบเปน
x ;x ;:::;x
1 2 n
a x + a x + ::: + a x = b
11 1 12 2 1n n 1
a x + a x + ::: + a x = b
21 1 . 22 2 2n n . 2 (1.1.1)
. .
. .
a x + a x + ::: + a x = b
m1 1 m2 2 mn n m
เมื่อ m (cid:21) 1 และ a x +a x +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+a x = b เปนสมการเชิงเสน ทุก i = 1;2;:::;m
i1 1 i2 2 in n i
ตัวอยาง . . จงหาเซตผลเฉลยของระบบเชิงเสนตอไปนี้
114
{
4x + x = 9 :::(1)
ก 1 2
( )
(cid:0)x + x = (cid:0)1 :::(2)
1 2
วิธีทำ จาก (2) เราไดวา x = (cid:0)1+x นำไปแทนในสมการ (1) จะไดวา
2 1
4x +((cid:0)1+x ) = 9
1 1
ดังนั้น และได
x = 2 x = 1
1 2
เพราะฉะนั้น เซตผลเฉลย คือ f(2;1)g (cid:3)
{
x (cid:0) 3x = 4 :::(1)
ข 1 2
( )
(cid:0)3x + 9x = 8 :::(2)
1 2
วิธีทำ นำ (cid:0)3 คูณตลอดสมการ (1) จะได (cid:0)3x +9x = 12
1 2
จาก ทำใหได ซึ่งเปนขอขัดแยง
(2) 8 = 12
ดังนั้น ระบบเชิงเสนนี้ไมมีผลเฉลย
เพราะฉะนั้น เซตผลเฉลย คือ เซตวาง (cid:3)
{
x + 2x = 3 :::(1)
ค 1 2
( )
(cid:0)2x (cid:0) 4x = (cid:0)6 :::(2)
1 2
วิธีทำ นำ (cid:0)2 หารตลอดสมการ (2) จะได x +2x = 3 ซึ่งคือสมการ (1)
1 2
ดังนั้น x = 3(cid:0)2x สอดคลองทั้ง 2 สมการทุก x 2 R
1 2 2
เพราะฉะนั้น เซตผลเฉลย คือ f(x ;x ) : x = 3(cid:0)2x และ x 2 Rg
1 2 1 2 2
หรือ f(3(cid:0)2x ;x ) : x 2 Rg (cid:3)
2 2 2
จากตัวอยาง . . สังเกตวาผลเฉลยของระบบเชิงเสนเปนไปได แบบ กลาวคือ
114 3
. ไมมีผลเฉลย . มีผลเฉลยเพียงชุดเดียว . มีผลเฉลยอนันตชุด
1 2 3
เราเรียกระบบเชิงเสนซึ่งมีผลเฉลย ชุดเดียว หรือ อนันตชุด วาระบบเชิงเสนตองกัน
( ) (consistent linear
และเรียกระบบเชิงเสนไมตองกัน ถาระบบเชิงเสนนั้นไมมีผลเฉลย
system) (inconsistent linear system)
พิจารณาระบบเชิงเสน . . เราเรียกเมทริกซ
(111)
2 3
a a ::: a
6 11 12 1n7
6a a ::: a 7
6 21 22 2n7
A = 6 .. .. .. 7
4 . . . 5
a a ::: a
m1 m2 mn
4 บทที่1 ระบบเชิงเสน
วาเมทริกซสัมประสิทธิ์ และเรียกเมทริกซ
(coefficient matrix)
2 3
a a ::: a b
6 11 12 1n 1 7
6 a a ::: a b 7
[A j⃗b] = 66 2..1 2..2 2..n ..2 77
4 . . . . 5
a a ::: a b
m1 m2 mn n
วาเมทริกซแตงเติม ของระบบเชิงเสน
(augmented matrix)
ในการหาผลเฉลยของระบบเชิงเสนเราจะใชการดำเนินการแถวขั้นมูลฐาน
(elementaryrowoperation)
ลดรูปเมทริกซแตงเติมซึ่งการดำเนินการแถวขั้นมูลฐาน หมายถึง การดำเนินการแถวแบบใดแบบหนึ่งตอไปนี้
. การสับเปลี่ยน สลับแถวที่ และ แถวที่ เขียนแทนดวย
1 [ (interchange)] p q R
pq
2. [การแทนที่ (replacement)] เปลี่ยนแถวที่ p โดยนำคาคงตัว c คูณแถวที่ q (q ̸= p) แลวบวกกับแถวที่ p
เขียนแทนดวย
R +cR
p q
3. [การปรับมาตรา (scaling)] คูณแถวที่ p ดวยคาคงตัว c ̸= 0 เขียนแทนดวย cR
p
เราอาจเรียกการดำเนินการแถวขั้นมูลฐานสั้นๆ วา “การดำเนินการแถว”
เรากลาววาเมทริกซ สมมูลแถว กับเมทริกซ ถาเมทริกซ ไดจากเมทริกซ โดย
B (row equivalent) A B A
การดำเนินการแถวกับเมทริกซ A และเขียนแทนเมทริกซ A สมมูลแถวกับเมทริกซ B ดวย A (cid:24) B ซึ่งเราสามารถ
แสดงไดวา
ทฤษฎีบท . . ถาระบบเชิงเสน ระบบมีเมทริกซแตงเติมซึ่งสมมูลกันแลวระบบเชิงเสนทั้งสองระบบมีเซต
111 2
ผลเฉลยเดียวกัน
ดังนั้น หากเราดำเนินการแถวกับเมทริกซแตงเติมของระบบเชิงเสนที่กำหนดให จะทำใหไดเมทริกซแตงเติมใหม
ที่สมมูลแถวกับเมทริกซแตงเติมเดิม โดยเมื่อเราดำเนินการแถวไปเรื่อยๆ เราจะลดรูปเมทริกซแตงเติมจนกระทั่ง
สามารถพิจารณาผลเฉลยของระบบเชิงเสนจากเมทริกซแตงเติมไดโดยงาย และผลเฉลยที่ไดก็จะเปนผลเฉลยของ
ระบบเชิงเสนที่เราตองการ
ตัวอยาง . . จงเขียนเมทริกซสัมประสิทธิ์ เมทริกซแตงเติม และหาเซตผลเฉลยของระบบเชิงเสน
115
x + x (cid:0) x = 1
1 2 3
2x + x (cid:0) 3x = 2
1 2 3
x (cid:0) 5x = 6
2 3
วิธีทำ ระบบเชิงเสนนี้มีเมทริกซสัมประสิทธิ์และเมทริกซแตงเติม ตามลำดับ เปน
2 3 2 3
1 1 (cid:0)1 1 1 (cid:0)1 1
6 7 6 7
A = 42 1 (cid:0)35 และ [A j⃗b] = 4 2 1 (cid:0)3 2 5
0 1 (cid:0)5 0 1 (cid:0)5 6