L'élimination en algèbre aux XVIIème et XVIIIème siècles

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e e
L’élimination en algèbre aux XVII et XVIII
siècles
∗
Erwan Penchèvre†
L’expression « théorie de l’élimination » semble apparaître en premier lieu
dansdestravauxalgébriquesdeLagrangeetdeBézoutàlafinduXVIIIe siècle,
puis connaître un grand succès au XIXe siècle. L’une des méthodes qu’ils dési-
gnaientsouscetermedateduXVIIe siècle:laméthoded’éliminationsuccessive
des plus hautes puissances de l’inconnue au moyende l’algorithme euclidien du
plus grand commun diviseur de deux polynômes, méthode que nous attribuons
à Hudde. Dans un premier temps, nous survoleronsles travaux de quelques au-
e
teurs du XVII siècle sur ce sujet, et nous verrons aussi comment la géométrie
cartésienneconditionnalaformulationdu«théorèmedeBézout»(deuxcourbes
de degrés m et n se coupent en mn points) par Newton, puis MacLaurin avec
l’éclosionduconceptdemultiplicitéd’intersection.Noussuivronsensuitelesten-
tativesdedémonstrationetdegénéralisationdu«théorèmedeBézout»pardes
auteursduXVIIIe sièclequidonnèrent,àcetteoccasion,denouvellesméthodes
d’élimination. L’élimination étant à la fois théorie et moyen, nous observerons
au long du parcours comment difficulté technique et difficulté conceptuelle se
chevauchèrent. Enfin, dans une seconde partie de l’exposé, nous reviendrons
sur la naissance de la théorie de l’élimination au XVIIe siècle et tenterons d’en
expliquer les conditions.
Développement de la théorie, difficulté technique
et conceptuelle
Deuxmotivationsessentiellespourledéveloppementdelathéoriedel’élimi-
nationalgébriqueauxXVIIe etXVIIIe sièclesfurentlestentativesderésolution
algébrique des équations et l’étude des courbes algébriques. La première mé-
thodegénéraled’éliminationalgébriquequenousayonstrouvéeestdécritedans
les Miracula Arithmetica (1622) du mathématicien allemand Johannes Faulha-
ber,quicherchaitàgénéraliserauxdegréssupérieursuneméthodederésolution
algébrique des équations de degré 4. On voit dès lors apparaître un thème ré-
current : la difficulté des calculs d’élimination. Faulhaber écrit :
∗ParudansHistoria Scientiarum vol.14–2(2004).
†Unitéderecherche CNRSUMR7062, Centre d’HistoiredesSciences etdes Philosophies
ArabesetMédiévales,7rueGuyMoquet,BP08,94801Villejuif,France.
1
Le fait que nous autres mortels ne puissions résoudre les équations
de tous degrés avec une règle, indéfiniment, ce n’est pas la faute de
l’art, mais plutôt de notre ignorance et de notre faiblesse.1
L’impossibilité de résoudre l’équation de degré 5 ne serait pas due à l’algèbre
(die Kunst). L’algèbre ne manque pas de moyens : Faulhaber expose, suite à
cela, une méthode d’élimination. C’est donc à la faiblesse humaine qu’il faut
s’en prendre, incapable de mener le calcul. Pourtant la méthode proposée par
Faulhaber est encore imparfaite. Son idée se résume à numéroter les équations
successivesL qu’ilobtientparlecalcul(encommençantparlesdeuxpremières
i
équations,données), et à appliquerà chaqueétape une opérationde la forme2 :
L =(monôme)L +(monôme)L
i+1 i j
A cet égard, Jan Hudde, dans son Epistola prima de reductione aequationum,
publiée en1657dans l’éditionlatine de laGéométrie de Descartes,semblemar-
quer un point, en comprenant que l’algorithme euclidien pour la recherche du
plusgrandcommundénominateur,appliquéauxpolynômes(commel’avaitdéjà
proposéStévindanssonArithmétique en1585),permetaussid’éliminer succes-
sivementlesplushautespuissancesdel’inconnueetpeutdoncservirdeméthode
générale d’élimination3. Insistons un instant sur la nouveauté et l’importance
d’une telle méthode générale : les systèmes d’équations à plusieurs inconnues
n’étaient pas un problème nouveau, mais il ne s’agissait plus ici de traiter une
classeparticulièredetelssystèmes(systèmesd’équationslinéaires,problèmesin-
déterminés dont on cherche des solutions rationnelles en analyse diophantienne
rationnelle,problèmesd’arithmétiqueentière,etc.).AlbertGirard(indépendam-
mentde Faulhaber)étaitpeut-être déjàconscientdecetenjeuen1629,lorsque,
contentd’avoirfait progresserles méthodes de résolutionsdes systèmes d’équa-
tions àdeux inconnues présentesdansle chapitre10de l’Ars Magna de Cardan
etexposéesparStévindanssonArithmétique en1585,ils’exclamait:«c’estici
où ils se sont arrestez [=Cardan et Stévin], mais nous achèverons et passerons
au travers de ce nuage »4.
Bien que Descartes n’eût pas de méthode générale d’élimination, c’est pour
montrerlesgénéralisationspossiblesdesaméthodedestangentesd’unepart,et
de sa méthode de résolution algébrique des équations de degré 4 d’autre part,
1«daswirsterblicheMenschennichtalleCossenReguliert...unendtlichaufflösenkönden/
istsolchesgarnichtderKunst/sondernunserunwissenheitundSchwachheitschuldt»,[12],
p.70.Surl’oeuvrealgébriquedeFaulhaber, cf.[29].
2cf. [12], p. 70–73. Quant à la nouveauté de cette méthode, Faulhaber remarque : « dise
Kunstzuunserer letsten zeitinTeutscher Sprach vilhöher gestigen /weder mansonsten in
keinerSprachzeigenkan».
3cf. [18]. L’algorithme est exposé p. 422. Cf. aussi son application à la résolution d’un
système d’équations p. 487–488, pour calculer une réduite de degré 15 d’une équation de
degré 6 au moyen de la méthode des coefficients indéterminés. Pour un exposé postérieur
plus accessible, on peut aussi consulter Lagrange [23], § 11, ainsi que [30]. Fermat était en
possessiond’uneméthode d’éliminationpeudifférente dès1650, commeentémoigneletexte
Novussecundarumetulteriorisordinisinanalyticisusus qu’ilenvoyaàCarcavi,cf.[13],tome
I,p.181–184. Ilnesemblepourtant pasavoirfaitlelienavecl’algorithmeeuclidien.
4[15],f.F4retGr.
2
au moyen de la méthode des coefficients indéterminés, que Hudde fournit une
telle méthode d’élimination5.
C’est aussi la méthode de Hudde qu’exposa Newton dans ses Lectures on
Algebra (1670–1684),en la formulant ainsi :
Quandchacunedeséquationsestdedegrésupérieuràunenlaquan-
titéàéliminer,lavaleurdesaplushautepuissancedoitêtredétermi-
née dans chacune; ensuite, si ces puissances ne sont pas les mêmes,
l’équation de plus bas degré doit être multipliée par la quantité à
éliminer, ou par son carré, ou son cube, etc. pour qu’elle devienne
de même degré que l’autre équation. Alors les valeurs de ces puis-
sances doivent étre posées égales l’une à l’autre, et il en résulte une
nouvelle équationde degré inférieur en la quantité à éliminer. Et en
itérant cette opération, cette quantité disparaîtra finalement com-
plètement.6
Entoutcas,laméthodedeHuddefitdate.Ellefitl’objetderecherchescom-
binatoiresprofondesde lapartdeLeibniz.PourtantLeibniz critiqual’approche
de Hudde, trop « laborieuse ». Face aux « calculs immenses », dont seuls les
résultats sont consignésdans des « tables » dans l’Epistola prima, pour étudier
différents cas de l’équation générale de degré 6 au moyen d’une « équation ré-
duite » de degré 15 (elle-même obtenue par la méthode d’élimination), Leibniz
écrit (en 1675) :
Je conviens que Hudde ait mis au jour, avec beaucoup d’esprit, une
adresse remarquable et un travailimmense, une table à l’aide de la-
quelle, en la parcourantentièrement, puisse être connu si une équa-
tion rationnelle quelconque de degré 5 ou 6 a ou non des diviseurs;
mais qui tiendra tant à une quelconque équation qu’il mènera un
tel examen au prix d’un travail incroyable, et qu’en sera-t-il, après,
pour les équations plus élevées, quand la table ainsi construite sera
d’une longueur immense...7
Pour résoudre cette difficulté calculatoire, Leibniz chercha, plutôt qu’un algo-
rithme d’élimination, une formule pour l’équation finale résultant de l’élimi-
5Lalettre deDescartes àCarcavi du17août 1649(cf.[7],t.V,p.392–393) dans laquelle
Descartesexprimesonincompréhensiondelaméthoded’éliminationdesradicaux(asymetria)
deFermat,témoignedufaitqueDescartesn’avaitpasdeméthodegénérale d’éliminationdes
inconnues (la méthode d’éliminationdes radicaux de Fermat repose en effet sur sa méthode
d’éliminationdesinconnues,proche decelledeHudde).
6cf.[28],vol.V,p.122:«Cuminneutra aequatione tollendaquantitas uniustantum di-
mensionisexistitvalormaximaepotestatisejusinutraquequaerendusest;deindesipotestates
istaenonsinteaedem, aequatio potestatis minorismultiplicandaestpertollendam quantita-
temautperejusquadratum autcubumetc.uteaevadatejusdempotestatis cumaequatione
altera.Tumvaloresillarumpotestatumponendaesuntaequalesetaequationovaprodibitubi
maximapotestassivedimensiotollendaequantitatisdiminitur.Ethancoperationemiterando
quantitas illatandem auferetur ».
7cf.[24],p.698:«Fateor,Huddeniumsummoingenioacmirisartibusimmensoquelabore
tabulam indeeruisse, cujus opeomniapertentando sciri possit,anaequatio aliquarationalis
quinti sextique gradus sit divisibilis; sed quis tanti putabit ullam aequationem, ut per tot
examina incredibili labore ducat, et quid futurum putamus in altioribus, ubi tabula ipsa ad
huncconstructa modumimmensaemagnitudinisfuturaesset...»
3
nation. Il étudia à cet effet les propriétés d’homogénéité de l’équation finale8.
Son approche, originale, est d’ailleurs semblable à celle qu’il adopta dans ses
recherches sur la résolution algébrique des équations de degré supérieur à 4 : il
s’agissait alors de faire une conjecture sur la forme des racines.
L’élimination des plus hautes puissances de l’inconnue inspirerait encore les
travaux de Bézout (1764, 1779), qui lui aussi trouverait sa motivation initiale
danslarecherched’uneméthodederésolutionalgébriquedeséquationsdedegré
supérieur à 4.
Parallèlement à la recherche d’une méthode générale d’élimination, certains
mathématiciensduXVIIe siècle,danslecadredelagéométrieanalytique,furent
conduits à formulerle théorèmedit aujourd’hui« de Bézout».L’extension,par
Descartes, du domaine de la géométrie analytique à des courbes de degré élevé
s’accompagnaitde l’échec d’une classificationdes problèmes et des courbes par
«genre»,fondée d’unepartsurunprincipedéjà admisdes«anciens»,lespro-
blèmes étant classés suivant les courbes qu’on emploie pour les construire9, et
d’autrepartsurunprincipeoriginal,lescourbesétantclasséessuivantla«com-
position»desmouvementsdesoutilsquipermettentdelestracer;cetteclassifi-
cationdevait de plus se prêter à une traductionalgébrique, faisantintervenir le
degrédeséquations(équationsàuneinconnuepourles«problèmes»,équations
à deux inconnues pour les courbes). Par exemple, les problèmes se traduisant
par des équations de degré 3 ou 4 en l’inconnue cherchée appartiennent à une
même classe,pour autantque larésolutiondes équationsde degré3 ou4puisse
se faire au moyende courbes planes de degré 2 (sections coniques, descriptibles
au moyen d’un « compas » particulièrement simple). La critique du système
cartésien, par Fermat d’abord, dans sa Dissertatio tripartita10, ne sut produire
que des contre-exemples particuliers. « Chez Descartes, nous dit Fermat, les
problèmes de degrés 8 ou 7 nécessitent des courbes de degrés 5 ou 6, ceux de
degrés10ou9descourbesdedegré7ou8,...,etainside suiteàl’infini;queces
cartésiensvoientcomme c’estloinde la simplicité et de la véritégéométrique».
Fermat montre par exemple comment construiretoute équationde degré 2n au
moyende deux courbesde degrén (et de l’extractiond’une racinecarrée);puis
il donne des exemples d’équations de degré n constructibles par deux courbes
de degrés √n + 1 : ainsi l’extraction de m(m + 1) moyennes proportion-
≤
nelles (équation de degré m(m+1)+1) peut se faire par l’intersectionde deux
courbes de degré (m+1); enfin il ajoute que la résolution des équations de la
forme xpq =a se ramène à l’intersectionde deux courbes de degrés p et q. Mais
bientôt, en 1688, toujours dans le cadre de la critique du système cartésien,
Jacques Bernoulli écrit :
8Nousnereviendrons pasicisurlestravaux deLeibniz,déjàconnusgrâceàE.Knobloch,
cf.[21],[25],et[22].Mentionnonssimplement[25],manuscritno56(1692–1693),p.248,l.48–
60, où Leibniz décrit les propriétés d’homogénéité de l’équation finale, auxquelles il semble
êtreparvenudemanièreempirique,maisdesquellesdécouleimmédiatementle«théorèmede
Bézout»pourdeuxéquations.
9cf.[7],t.VI,p.388.
10cf. [13], t. I, p. 118–131. Voir aussi la lettre de Fermat à Digby [14], p. 491–497, et [34]
pouruneanalysedelaDissertatio tripartita.
4
Je pense qu’il n’est pas difficile de démontrer que des courbes de
n’importe quel genre sont aptes à la construction d’équations d’au-
tant de dimensions, qu’en compte le carré du nombre de dimen-
sions, auxquelles montent les équations exprimant la nature de ces
11
courbes.
Il s’agit d’un cas particulier du « théorème de Bézout ». Dans un brouillon de
Newton, datant des années 1666–1671, dans le cadre de ses recherches sur la
classificationdescubiques d’unepart,etsurlagéométrieanalytique(préparant
le Tractatus de methodis serierum et fluxionum de 1670–1671) d’autre part,
Newton explore cette même direction et formule, pour la première fois à notre
connaissance, le théorème dit « de Bézout » pour deux courbes algébriques
planes, tout en indiquant le lien naturel entre ce théorème et l’élimination :
Etantdonnéesdeuxcourbes,trouverleurspointsd’intersection.C’est
plus un principe qu’un problème. Mais plutôt susceptible d’une so-
lution algébrique que d’une solution géométrique, et on le fait en
éliminant une des deux inconnues des équations. D’où il apparaîtra
qu’il y a autant de points d’intersection que le rectangle des dimen-
sions des courbes. 12
Ce théorème va former, au XVIIIe siècle, la clef de voûte des recherches sur
l’élimination algébrique. Dans le cas de deux équations, il est souvent attribué
à MacLaurin, et dans le cas d’un nombre quelconque d’équations, à Bézout,
ainsi que sa démonstration. Mais le théorème de Bézout, comme on vient de le
direétaitdéjàlàquandMacLaurin,en1720,publiasaGeometria Organica.Cet
ouvragefutpourtantcrucialdanslacompréhensionduthéorèmedeBézout:on
yvoitapparaîtreledécomptedespointsd’intersectiondedeuxcourbesavecleur
multiplicité dans l’application de ce théorème. Ceci suppose une classification
(encore grossière) des singularités des courbes algébriques et un concept (pas
encorenommé)de multiplicité d’intersectionI( , ;P) de deux courbes et
C D C D
en un point P, avec, en filigrane, la formule :
I( , ;P) µC(P).µD(P)
C D ≥
oùµC(P)désignel’ordredemultiplicitédupointP surlacourbe .Lethéorème
C
de Bézout s’énonce alors :
I( , ;P)=deg( ).deg( )
C D C D
P∈XC∩D
Enfin, dans le cadre traditionnel de la construction organique des courbes, le
théorème de Bézout permet à MacLaurin un nouveau genre de preuves pure-
ment géométriques, que reprendra Poncelet, en 1822, dans la dernière section
11cf.[1]:«Existimonamque,demonstratuhauddifficileesse,quodcujuslibetgeneriscurvae
aptae sint ad construendas Aequationes tot dimensionum, quot indigat quadratum numeri
dimensionum,adquasascendunt Aequationes,curvarum illarumnaturam exprimentes ».
12cf.[28], t. II, p. 177 : «Datis duabus curvis invenire puncta intersectionis. this is rather
a principle than a probleme. But rather propounded of the Algebraicall then geometricall
solutionandthatisdonebyeliminatingoneofthetwounknownquantitysoutoftheequations.
From whence itwillappear that there are somany cut points as the rectangle of the curves
dimensions.»
5
de son Traité des propriétés projectives des figures13. Certaines des méthodes
exposéesparMacLaurinpourconstruiredescourbesayantdessingularitésdon-
nées au moyende courbes de degrés inférieurs peuvent s’interpréter comme des
transformations birationnelles du plan. Ainsi par exemple, il montre comment
transformer une courbe de degré 2n, ayant trois points singuliers d’ordre n et
un quatrième d’ordre (n 1), successivement en une courbe de degré n ayant
−
seulementunpointsingulierd’ordre(n 1),puisenunecourbededegré(n 1)
ayant un point singulier d’ordre (n 2−), etc., jusqu’à obtenir une droite1−4. Il
−
saitd’autrepartque lacourbededegré2n,ayanttroispoints singuliersd’ordre
netund’ordre(n 1),ne peut avoird’autre pointsingulier.Enfin, ildémontre
qu’uncourbedede−grénnepeutavoirplusde (n−1)(n−2) pointsdoubles15.L’ob-
2
jectif de MacLaurin était de classer les courbes algébriques (sur le modèle de
l’Enumeratio de Newton pour les cubiques) au sein de chaque degré, suivant la
positiondes asymptotes,mais surtoutsuivantle nombreet la naturedes points
singuliers,ainsique de fournir des procédés mécaniques pour tracer une courbe
donnéeparsondegréetparuncertainnombredeconditions,uncertainnombre
de points donnés devant appartenir à la courbe, éventuellement des points sin-
guliers d’ordre de multiplicité donné. Il était donc conduit, nécessairement, à
se poser la question : combien de points déterminent une coube? C’est dans ce
cadre qu’il se heurta au « paradoxe de Cramer ». Sans entrer dans les détails
de ce « paradoxe » qui n’acquit toute son importance qu’au XIXe siècle, nous
ferons simplement une remarque à ce sujet : le « paradoxe » montre que, dans
certains cas, un système de N équations linéaires à N inconnues n’a pas une
solution unique. Il y a certes rupture avec un principe communément admis au
XVIIe siècle.C’estCramerquiutilisera,en1750,letermede«paradoxe»pour
désignercefait.Pourtant,ilenexpliqueralui-mêmelacause:lesformules(dites
aujourd’hui«formulesdeCramer»)exprimantlasolutiond’untelsystèmepar
des déterminants peuvent prendre la forme « indéterminée » 0! Mais « ce qui
0
estfâcheux,écrit-il,c’estqu’onnelepuissevoirintuitivementqueparuncalcul
immense »16.Lathéoriede l’éliminationdans lessystèmesd’équationslinéaires
n’avaitpasencoreatteintlaperfectiondésirable.Euler,sollicitéparCramer,ex-
plique le « paradoxe » par l’existence de relations de dépendance linéaire entre
les N équations. Il a même l’idée de compter le nombre de ces relations.
Revenons à MacLaurin. Dans son oeuvre se pose déjà la question de la dé-
monstration du « théorème de Bézout » : il prétend l’avoir démontré dans un
supplémentnonpublié à laGeometria Organica,quin’a pasété retrouvé.Deux
concurrents de MacLaurin, Braikenridge et George Campbell, prétendent aussi
en avoirune démonstration17. Mais il faut attendre les ouvragesd’Euler (1748)
13cf.[32],t.1,sectionIV,parexemple§475.Ponceletdonnera àcette occasion(au§598)
unedémonstrationgéométriqueduthéorèmedeBézout,aumoyendeson«principedeconti-
nuité»,enfaisant«dégénérer »l’unedes deuxcourbes «parsuccessioninsensible»enune
réuniondedroites.
14cf.[26],partieII,sectionV,prop.XXVetXXVII,p.137–139.
15cf.[26],p.137.
16cf.[11],I–26,p.XII.
17Braikenridge écrit dans [4] : « Cl. Geometra D. Georgius Campbel inter plurima alia
eximiainventa, quae ob summam ejus modestiam apud eum latent, hujus theorematis prae-
6
et Cramer (1750) pour lire les premières démonstrations parues. A l’instar du
théorèmefondamentaldel’algèbre,denombreusesdémonstrationsduthéorème
de Bézout vont voir le jour, posant aussi plusieurs problèmes conceptuels.
On distingue dès les premières démonstrations deux voies possibles. La pre-
mière, illustrée par Euler dans un mémoire en 1748, puis par Cramer dans son
traité Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques en 1750, ne sem-
P(x)=0
blait d’abordpouvoir s’appliquer qu’aucas de deux équations , et
(cid:26) Q(x)=0
supposait données les racines (a ) d’une de ces deux équations, soit P(x) = 0.
i
L’équation finale résultant de l’élimination de x (nommée aujourd’hui « résul-
tant de P et Q ») est alors Q(a ) = 0. Les coefficients des deux équations
i
Qi
peuvent renfermer une autre inconnue y. Ainsi pour deux équations à deux in-
connues x, y, l’équation finale résultant de l’élimination de x est un polynôme
en y, et l’on calcule son degré au moyen d’une étude combinatoire sur les fonc-
tions symétriques des racines(a ) (étude menée à bien en détails seulement par
i
Cramer). Les racines de l’équation finale correspondent géométriquement à la
projection sur l’axe des ordonnées des points d’intersection des deux courbes
d’équationsdonnées.Onpeuts’assurerquecesracinessontdistinctesaumoyen
d’un changement générique d’axes de coordonnées18. Le lien conceptuel entre
intersection, projection et élimination est particulièrement étudié, et étendu
au cas de l’intersection de deux surfaces dans l’espace, par Euler19. Se posent
aussi la question des points imaginaires, celle des intersections impropres (Eu-
ler remarque que deux courbes peuvent avoir des composantes communes, et
doncune infinité de pointscommuns),celle des«contacts»(points de contact,
«lignesdecontact»entredeuxsufaces).L’utilisationdesfonctionssymétriques
des racines pour l’élimination algébrique sera poursuivie par Lagrange, qui, en
1770–1771,étudiera plus généralement les fonctions des racines invariantes par
certainespermutations,danssesRéflexionssurlarésolutionalgébriquedeséqua-
tions. C’est aussi dans ce mémoire qu’est énoncé pour la première fois (à notre
connaissance)le théorème de Bézoutpour un système de n équationsde degrés
quelconques à (n 1) inconnues, dont il sera question ci-dessous20.
−
La deuxième voie possible est aussi ouverte par Euler en 1748 (dans son
Introductio in analysin infinitorum), toujours dans le cas de deux équations
P(x)=0
. Elle ne suppose plus les racines de P(x) = 0 comme données,
(cid:26) Q(x)=0
maispostule quel’équationfinaleestune équationdelaformePR+QS =0de
degré minimal. On cherche alors à déterminer les polynômes R et S au moyen
de la méthodes des coefficients indéterminés – il faut au préalable déterminer
claramhabetdemonstrationem,inlucembreviutsperoprodituram».BraikenridgeetGeorge
Campbellfurenttousdeuxengagés dansdescontroverses avecMacLaurin.
18cf.[5],§42.
19cf.[9],t.2,chap.XIX,etlechap. VIdel’appendicesurlessurfaces.
20cf.[23],§14.PouruneanalysedumémoiredeLagrange,cf.[17],p.44–49.EdwardWaring,
danslapréfaceàlasecondeéditiondesesMeditationesalgebraicae (1782),prétendavoiraussi
faitconnaîtrecethéorèmegénéraldanslapremièreédition(1770)desonouvrage,quejen’ai
hélaspasencore puconsulter(cf.[39],p.xxxv).
7
leurs degrés – et l’on est ainsi ramené à un problème linéaire. Cette approche
se trouvait aussi dans les brouillons de Leibniz21. On peut y voir un écho du
« théorème de Bézout arithmétique »22 qui affirme que le plus grand commun
dénominateurdedeuxentierspetq peuts’écriresouslaformepr+qs.Ellesera
poursuivie par Bézout, qui tentera (d’abord sans succès en 1764) de l’étendre
au cas d’un nombre d’équations supérieur à 2. En imposant la recherche d’une
équation de degré minimal, cette approche soulève le problème des « facteurs
superflus » que tout calcul d’élimination risque de faire apparaître dans l’équa-
tion finale. Ce problème avait d’ailleurs dû se poser à tout lecteur attentif de
l’Arithmetica Universalis de Newton : l’algorithme euclidien fait en effet appa-
raîtredetelsfacteurs,maislesformulesdonnéesparNewtonpourlesrésultants
de certains polynômes de bas degrés sont débarassés des facteurs superflus,
et il reste silencieux quant à la méthode employée pour les calculer (ou pour
supprimer les facteurs superflus après le calcul). Certains travaux d’Euler sur
l’éliminationtententde restituerla méthodeutilisée parNewtonpouréviterles
facteurssuperflus,sanstoutefoisparveniràunesolutiongénérale23.Leproblème
des facteurs superflus dut arrêter Bézout pendant longtemps dans sa recherche
d’uneméthodegénéraled’éliminationdesinconnuespourunnombrequelconque
d’équations. Il explique dans un mémoire de 1764 que la méthode consistant à
éliminer en comparant les n équations d’un système (n>2)
P =0
1
 ..
.

P =0
n

successivement deux à deux conduit à des facteurs superflus particulièrement
difficilesà repérer,etconclut:«Maisquelestlefilquiconduiraitdanscelaby-
rinthe?»24. Laméthode qu’iladopte dans ce mémoire consistealorsà chercher
un nouveau système d’équations résultant de l’élimination d’une inconnue, et
dont chacune est de la forme P R +...+P R = 0, de degré minimal. Il ré-
1 1 n n
itère ce procédé pour éliminer toutes les inconnues, l’une après l’autre. Cette
approche est encore imparfaite et ne permet pas d’éviter tout facteur superflu.
21cf.[25],parexemplelemanuscritno54(1684–1694), p.238,l.176–188.
22Le théorème de Bézout arithmétique était déjà connu de Bachet de Méziriac, en 1612,
cf. [19], p. 22–23 et 193–194. R. Rashed a montré la forte probabilité qu’Ibn al-Haytham
(965–1040) ait connu « de quelque manière » ce théorème (cf. [33], « Ibn al-Haytham et le
théorème deWilson»,p.227–243).
23Eulerexposecette méthode plusieursfois,dans[8],[9]et[10].Ilprécisedans[10]qu’elle
est « celle dont Mr. Newton paraît s’être servi ». Nous n’en avons pas trouvé trace dans les
travauxdeNewton,parcontreLeibnizl’utilisait(cf.[22],p.161).Whitesidealuiaussitenté
derestituerlecalculdurésultantdedeuxpolynômesdedegré3,aumoyendedeuxbrouillons
de Newton de la période 1720–1722 (premier brouillon : [28], vol. V, p. 518–519; deuxième
brouillonvol.VIII, p.461–466;restitution de Whiteside:vol.V,p. 519, note7). Maiscette
restitutionsembleêtreerronée,l’équationfinaleainsiobtenue(queWhitesiden’apascalculée)
étantidentiquement nulle!
24cf.[2],p.290.Euleraussisembleêtrefrappédeconfusiondansuncalculvisantàdémontrer
le théorème de Bézout : « le calcul conduit à des formules si compliquées que l’on en perd
patience»,écrit-ilàCrameren1750(citéparJ.J.Gray[16],p.190).
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C’est pourtant en y restant fidèle, et en en trouvant l’expression ultime, qu’il
parvient, en 1779, au concept d’« Equation-somme » :
Nous concevonsqu’on multiplie chacune des équations données,par
unpolynômeparticulier,etqu’onajoutetouscesproduits.Lerésul-
tat sera ce que nous appellerons l’Equation-somme, laquelle devien-
dra l’équationfinale par l’anéantissementde tous les termes affectés
des inconnues qu’il s’agit d’éliminer.25
Autrementdit,Bézoutpostulequel’équationfinalerésultantdel’éliminationde
toutes les inconnues sauf une dansunsystèmedenéquationsàn inconnuesest
uneéquationdedegréminimal,delaformeP R +...+P R =0.Cetteméthode
1 1 n n
n’a plus le caractère itératif des méthodes précédentes (élimination successive
des plus hautes puissances de l’inconnue; comparaison des équations deux à
deux; élimination des inconnues l’une après l’autre;...). Mais le problème est
alorsdedéterminer,d’abord,ledegrédes«polynômesmultiplicateurs»R ,ainsi
i
queledegrédecetteéquationfinale.C’estlàle«noeuddeladifficulté»nousdit
Bézout. Et c’est là qu’intervient le théorème général de Bézout, affirmant que
l’équationfinalerésultantdel’éliminationde(n 1)inconnuesdansunsystème
−
de n équations génériques a pour degré le produit des degrés des équations
proposées.
Leconceptd’équation-sommeétantprocheduconceptd’idéal(introduitpar
Kummer en 1844), il n’est peut-être pas inutile de donner une idée de la dé-
monstrationdecethéorème,faiteparBézouten1779,traduitedansunlangage
plus moderne. Soient f ,...,f des polynômes homogènes génériques à (n+1)
1 n
indéterminées de l’anneau gradué C =k[X ,...,X ] (où k est un corps), de de-
0 n
grés respectifs k ,...,k . Soit l’idéal I = (f ,...,f ). Il s’agit d’éliminer (n 1)
1 n 1 n
parmi les n rapports indéterminés Xi dans le système d’équations homogèn−es :
X0
f =0
1
 ..
.

f =0
n
Ladéterminationdudegréde l’équationfinaleparBézout,faite parrécurrence,
etencomptantlenombrede«coefficientsarbitraires»etlenombrede«coeffi-
cientsinutiles»–notionscorrespondantrespectivementaunombred’inconnues
et à la dimension de l’espace vectoriel des solutions lors de l’application de la
méthodedescoefficientsindéterminés–leconduitenfaitàcalculerladimension
de certains espaces vectoriels, composantes homogènes de l’anneau C ou de ses
quotients.Ilaboutitàl’expressionsuivantedu«degrédel’équationfinale»(où
r est un entier suffisamment grand, l’expression étant alors constante)26 :
(∗) dim(C/I)r =dimCr− dimCr−kα+ dimCr−kα−kβ−...+(−1)ndimCr−k1−...−kn
X X
25cf.[3],§224.
26cf. [3], § 62, où Bézout démontre en fait un résultat plus général, portant sur une classe
d’équationspluslarge(les«équationsincomplètesdepremièreespèce»,danslaclassification
de Bézout), et contenant comme cas particulier celle des équations génériques (les « équa-
tions complètes »). Aux § 42–48, il donne une autre démonstration restreinte aux équations
génériques, maisdifficilementtraduisibleenlangagemoderne!
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On pourrait montrer que le raisonnement de Bézout repose sur l’exactitude de
la suite :
0 (C/(f ,...,f )) f1 (C/(f ,...,f )) (C/(f ,f ,...,f )) 0
→ 2 n r−k1 −→ 2 n r → 1 2 n r →
où la première flèche désigne la multiplication par f , et la deuxième la projec-
1
tioncanonique.FaitnontrivialsurlequelBézoutnes’expliquepas.Cecirevient
àdémontrerquele«complexedeKoszul»suivant,associéàlasuite(f ,...,f )
1 n
est exact27 :
0→Cr−k1−...−kn →...→ Cr−kα−kβ → Cr−kα →Cr →(C/I)r →0
M M
D’ailleurs, la formule ( ) découle immédiatement de l’exactitude du complexe
∗
de Koszul. Au moyen du calcul aux différences finies et de ( ), Bézout montre
∗
finalement que dim(C/I) =k k ...k .
r 1 2 n
La structure du traité de Bézout est compliquée. Il n’introduit en fait son
concept d’équation-somme que dans la deuxième partie (« livre second »), res-
tant proche dans la première de la méthode d’élimination des plus hautes puis-
sances de l’inconnue héritée du XVIIe siècle (peut-être était-il conscient que la
nouveauté desapropreméthodeallaitposerproblème).Enfinilneselimite pas
àlaconsidérationdeséquationsgénériques(qu’iltraiteenpremier,aux§42–48),
maisétudiedesclassesd’équationsdeplusenplusvastes,obtenuesenimposant
que certains coefficients soient nuls, ou vérifient certaines conditions. Pour ces
classes d’équations, le théorème énoncé ci-dessus ne donne qu’une majoration
du degré de l’équation finale, degré que Bézout tente de calculer exactement
dans chaque cas. Il en résulte un travail aux proportions gigantesques,ordonné
suivant un gradient de généralité croissante, et laissant comprendre que le cas
deséquationsgénériquesn’estqu’uncastrèsparticulier.Bézoutnousprévient:
Quelque idée que nos lecteurs aient pu se faire déjà de l’étendue de
la matière que nous entreprenons de traiter, celle qu’il en prendra
par la suite, surpassera probablement la première.28
L’oeuvre de Bézout offre une solution concrète au problème technique de
l’élimination, toutes les étapes du calcul étant représentées par une unique
« équation-somme » et ainsi réduites à l’application de la méthode des coeffi-
cientsindéterminésetàlarésolutiond’ununique systèmed’équationslinéaires,
maiselleoffreaussiuneavancéeconceptuellenousrapprochantdelathéoriedes
idéaux.Pourtantl’exposédeBézoutmanquederigueur,etfutperçucommetel
par Poisson, qui écrivit en 1802,au sujet du théorème de Bézout :
Ce théorème important est dû à Bézout;mais la manière dont il l’a
démontré n’est ni directe, ni simple, et même elle n’est pas exempte
29
de toute difficulté.
Plutôt que de corrigerl’oeuvre de Bézout, Poissonpréfère revenir à la méthode
qu’avait utilisée Cramer dans le cas de deux équations, et la généralise au cas
27cf.[20],p.21–24,pourl’exactitudeducomplexedeKoszul.
28cf.[3],§52.
29cf.[31],p.199.
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