Table Of ContentSpringer-Lehrbuch
Klaus Weltner
Leitprogramm Mathematik
für Physiker 2
KlausWeltner
UniversitätFrankfurt
InstitutfürDidaktikderPhysik
Max-von-Laue-Straße1
60438Frankfurt,Germany
[email protected]
ISSN0937-7433
ISBN978-3-642-25162-7 ISBN978-3-642-25163-4(eBook)
DOI10.1007/978-3-642-25163-4
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SpringerSpektrum
©Springer-VerlagBerlinHeidelberg2012
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PlanungundLektorat:VeraSpillner,BirgitMünch
Einbandabbildung:GezeichnetvonMartinWeltner,nachgezeichnetvonKristinRiebe
Einbandentwurf:WMXDesign,Heidelberg
GedrucktaufsäurefreiemPapier
SpringerSpektrumisteineMarkevonSpringerDE.SpringerDEistTeilderFachverlagsgruppeSpringer
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Vorwort
DasLehrwerk„MathematikfürPhysiker“bestehtauszweigleichgewichtigenTeilen:demLehr-
buchunddenLeitprogrammen.DieLeitprogrammekönnennurinVerbindungmitdemLehrbuch
benutztwerden.SiesindeineausführlicheStudienanleitungmitindividualisiertenÜbungenund
Zusatzerläuterungen.DasKonzept,derAufbauunddieZielederLeitprogrammesindimLehr-
buch Band 1 auf Seite 3 beschrieben und könnendort nachgelesen werden. Nur ein Punkt sei
genannt:DieÜbungenundAufgabensindderaktuellenKompetenzderStudierendenangepasst
undkönneninderRegelrichtiggelöstwerden.DasführtzuhinreichendvielenErfolgserlebnis-
sen,undderLernendegewinntSelbstvertrauenundstabilisiertseineLernmotivation.
DieMethodik,dasselbständigeStudierendurchLeitprogrammedervorliegendenArtzuunter-
stützen,hatsichinderPraxisseitJahrenbewährt.VielenStudienanfängernderPhysik,aberauch
derIngenieurwissenschaftenundderanderenNaturwissenschaften,habendieLeitprogrammein-
zwischengeholfen,dieAnfangsschwierigkeiteninderMathematikzuüberwindenundgeeignete
Studiertechnikenzuerwerbenundweiterzuentwickeln.Sohabensiedazubeigetragen,Studien-
anfängerunabhängigervonPersonenundInstitutionenzumachen.DieseLeitprogrammehaben
sich als einpraktischerundwirksamerBeitrag zurVerbesserungderLehreerwiesen.Niemand
kann dem Studierenden das Lernen abnehmen, aber durch die Entwicklung von Studienunter-
stützungenkannihmseineArbeiterleichtertwerden.InsofernseheichinderEntwicklungvon
StudienunterstützungeneinenwirksamenBeitragzurStudienreform.
NuneinekurzeBemerkungzumGebrauchdiesesBuches:
DieAnordnungdesBuchesunterscheidetsichvonderAnordnungüblicherBücher.Esistein
„verzweigendesBuch“.Dasbedeutet,beimDurcharbeitenwirdnichtjederLeserjedeSeitelesen
müssen.JenachLernfortschrittundLernschwierigkeitenwerdenindividuelleArbeitsanweisun-
genundHilfengegeben.
InnerhalbdesLeitprogrammssinddieeinzelnenLehrschrittefortlaufendinjedemKapitelneu
durchnumeriert.DieNummernderLehrschrittestehenaufdemrechtenRand.Mehrbrauchthier
nichtgesagtzuwerden,alleübrigenEinzelheitenergebensichbeiderBearbeitungundwerden
jeweilsinnerhalbdesLeitprogrammsselbsterklärt.
Frankfurt/Main,November2011 KlausWeltner
v
Inhaltsverzeichnis
13 FunktionenmehrererVariablen.SkalareFelderundVektoren ................. 1
14 PartielleAbleitung,TotalesDifferentialundGradient......................... 26
15 Mehrfachintegrale,Koordinatensysteme..................................... 52
16 Parameterdarstellung,Linienintegral ....................................... 88
17 Oberflächenintegrale ...................................................... 110
18 Divergenz,RotationundPotential........................................... 132
19 KoordinatentransformationenundMatrizen ................................. 152
20 LineareGleichungssystemeundDeterminanten .............................. 174
21 EigenwerteundEigenvektoren ............................................. 189
22 Fourierreihen............................................................. 207
23 Fourier-Integrale.......................................................... 237
24 Laplace-Transformationen................................................. 257
25 DieWellengleichungen..................................................... 307
vii
Kapitel 13
Funktionen mehrerer Variablen
Skalare Felder und Vektoren
K.Weltner,LeitprogrammMathematikfürPhysiker2. 1
DOI10.1007/978-3-642-25163-4_13 ©Springer-VerlagBerlinHeidelberg2012
13 FunktionenmehrererVariablen.SkalareFelderundVektoren 2
1
Einleitung
DerBegriffderFunktionmehrerer Variablen
DerFunktionsbegriffwirdfürdenFallerweitert,dassmehralszweiVariablevoneinanderabhän-
gen.DasistinderPraxissehroftderFall.
Eine spezifische Arbeitstechnik beim Studium mathematischer und physikalischer
Ableitungen ist, eine ähnliche Aufgabe wie die im Text Schritt für Schritt parallel zum Text
zu bearbeiten. Führen Sie alle Überlegungen während der Arbeit mit dem Lehrbuch auch
fürdiefolgendeFunktiondurch
z= f(x,y)=e−(x2+y2)
STUDIERENSIEimLehrbuch 13.1 Einleitung
13.2 DerBegriffderFunktionmehrererVariablen
LehrbuchSeite7-14
BEARBEITENSIEDANACHLehrschritt ----------------------(cid:2) 2
25
LeiderIrrtum.GehenwirSchrittfürSchrittvor,umdieFlächezugewinnen:
1.Schritt: 2.Schritt: 3.Schritt:
Schnittmitderx-z-Ebene SchnittmitderEbene Schnittmitdery-z-Ebene
Bedingungy=0 parallelzurx-z-Ebene Bedingungx=0
z= f(x,y=0)=3 ImAbstandy z= f(0,y)=3
0
z= f(x,y )=3
0
z
z z
z = f(x,0) = 3 3 z = f(0,y) = 3
y y° y y
x x x
---------------------(cid:2) 26
49
(cid:3)A(1, 0, 0)= (0,√1, 0) =(0, 1, 0) z
1
(cid:3)A(1, 1, 0)= (√1, 1, 0) = √1 (1, 1, 0)
1+1 2
(cid:3)A(0, 1, 0)= (1,√0, 0) =(1, 0, 0) 1 2 3
1 y
1
2
3
ZeichnenSiedieVektorenein.
x
---------------------(cid:2) 50
13 FunktionenmehrererVariablen.SkalareFelderundVektoren 3
2
HabenSiedieRechnungimTextparalleldurchgeführtfürdieFunktion
z= f(x,y)=e−(x2+y2)?
Ja ----------------------(cid:2) 4
Nein ----------------------(cid:2) 3
z 26
4.Schritt:SchnittmiteinerEbeneparallelzur
y-z-EbeneimAbstandx
0
z= f(x ,y)=3 3 xo
0
y
x
z
5.Schritt:WirbringendieSchnittkurven
ineineSkizzezusammenundnehmen
weitereSchnittkurvenhinzu.
DasergibtdieSkizzeimLehrschritt24. yo y
x
o
x
---------------------(cid:2) 27
50
z
1 2
y
1 A (0,1,0)
A (1,0,0)
2
A (1,1,0)
x
Berechnen Sie den Betrag dieser drei Vektoren. Sie werden sehen, dass sie den Betrag 1
haben.
---------------------(cid:2) 51
13 FunktionenmehrererVariablen.SkalareFelderundVektoren 4
3
Eigentlichsehrschade.
Die Technik, eine Aufgabe parallel zum Text zu rechnen, ist nur scheinbar unbequem. Natür-
lichdauertes dannlänger.AberSie gewinneneinsichereresVerständnis.DasspartZeit inder
Zukunft.
Obes Ihnennichtvielleichtdochmöglichist, diefolgendeFlächeparallelzumLehrbuch,Ab-
schnitt13.2,zuskizzieren?
z=e−(x2+y2)
----------------------(cid:2) 4
27
Nungehtesweiter:
GegebenseidieFunktion
z=x2+y2
SkizzierenSiedieSchnittemit z
a) derx-z-Ebene y=0
b) dery-z-Ebene x=0 2
1
1 2 y
1
2
x
---------------------(cid:2) 28
51
Nungehtesweitermitdem3.Schritt:
(cid:3)
WirberechnendieVektorenAfüreineweitere
Ebene,z.B.fürdieEbene,dieimAbstandz=1
parallelzuderx-y-Ebeneliegt.
WirwählendiePunkte
P =(1,0,1), P =(1,1,1) P =(0,1,1)
4 5 6
GebenSiedenVektorfürP an:(cid:3)A(1,0,1)=...............
4
Erinnerung,eswar: (cid:3)A(x,y,z)= (cid:2)(y,x,0)
x2+y2
---------------------(cid:2) 52
13 FunktionenmehrererVariablen.SkalareFelderundVektoren 5
4
Sehrgutso.
Natürlich ist es mühsamer, statt rasch zu lesen, noch eine Rechnung parallel zum Text
durchzuführen.AberesisteinweitererSchrittzurSelbständigkeit.
HiersindnunHinweisefürdieLösungz=e−(x2+y2)
Wertegerundet Wertematrix
e−1≈0,4 x
e−4≈0,02 y 0 1 2
0 1 0,4 0,02
1 0,4 0,1 0,007
2 0,02 0,007 0,0003
----------------------(cid:2) 5
z z 28
Hinweis:
3 3 DieSchnittkurven
2 sindParabeln.
1 1
2 1 1 2 y 2 1 1 2 y
x x
.............................................................................................................................
z Skizzieren Sie nun noch die
Schnitte mit Parallelen zur x-y-
Ebenein den Höhenz=1, z=2,
z=3, z=4fürz=x2+y2
1
y
1 1 ---------------------(cid:2) 29
x
52
(cid:3)A(1,0,1)= (0√,1,0) =(0,1,0) z
1
(cid:3)
BerechnenSieAfürdieweiterenPunkte
(cid:3)A(1,0,1)=(0,1,0) 1 P6
P
(cid:3)A(1,1,1)=(.........) 4 P5
(cid:3)A(0,1,1)=(.........) 1 A(0,1,0)
y
1
Erinnerung:(cid:3)A(x,y,z)= (cid:2)(y,x,0) A(1,0,0) A(1,1,0)
x2+y2
x
ZeichnenSiedieVektorenein.
---------------------(cid:2) 53
