Table Of ContentSamuel Hetterich(cid:9) Lehrbuch
Mathematik II
Analysis und Numerik
1. Auflage
LEHRBUCH
Mathematik II
Analysis und Numerik
Samuel Hetterich
Analogverlag
Bibliographische Informationen Der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliographie; detailliertere bibliographische Daten
sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar.
ISBN 978-3-947940-20-2
1. Auflage
©2020
Analogverlag Samuel Hetterich, Idsteiner Straße 149, D-60326 Frankfurt
Umschlaggestaltung: Analogverlag Samuel Hetterich, Idsteiner Straße 149, D-60326 Frankfurt
Druck: WIRmachenDRUCK GmbH, Mühlbachstr. 7, D-71522 Backnang
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Printed in Germany
Meiner geliebten Frau Janice und unseren Söhnen.
VORWORT
Das Studium der Grundlagen der Mathematik Studierenden der vergangenen Jahre. Viele Bei-
stellt viele Studierende unterschiedlicher Studi- spiele und Abbildungen entwickelte ich, um meine
enrichtungen vor große Herausforderungen. Mit Vorlesung gezielt anschaulicher und lebendiger zu
diesem Buch möchte ich all jenen ein Hilfsmittel gestalten. Auch Ich bin dankbar für jede Anmer-
an die Hand geben, diese erste Klippe zu umschif- kung, jeden Verbesserungsvorschlag und ehrliche
fen. Ich lese im vierten Jahr epochal die Grundla- Kritik der Vergangenheit, aber auch der Zukunft.
genvorlesungen "Mathematik für die Informatik Das Skript zu der gleichnamigen Vorlesung vor-
I" und "Mathematik für die Informatik II" über angegangener Semester, gehalten von Herrn Dr.
die Themenfelder der linearen Algebra, Analy- Hartwig Bosse, diente mir als Quelle der Inspirati-
sis, diskreten Mathematik und Numerik an der on, Abschnitte durfte ich übernehmen, dafür dan-
Goethe-Universität Frankfurt am Main. Das vor- ke ich herzlich. Dank gilt auch meiner Familie und
liegende Lehrbuch entstand in der Dynamik eines meinen Freunden, die mich bei der Entstehung
kritischen Prozesses zwischen der von mir gehal- dieses Buches auf vielfältige Weise unterstützt ha-
tenen Vorlesung und dem Austausch mit meinen ben.
EIN WORT ZUM INHALT DES LEHRBUCHS
Bei der Auswahl der Themen haben mich zwei Schlussendlich mündete dieser Ansatz in das vor-
Grundsätze geleitet. liegende Lehrbuch. Zunächst wird ein grundlegen-
des Verständnis von Zahlen und Zahlendarstellun-
Methodisch sollen Leser befähigt werden, mathe-
gen auf Rechnern vermittelt. Dabei stehen die re-
matische Inhalte lesen und formulieren zu können.
ellen und komplexen Zahlen im Fokus. Folgen und
Dabei sollen Sie ein solides Fundament und ein
Reihen werden als grundlegendes Werkzeug der
grundlegendes Verständnis der formalen und ab-
Analysis und Numerik im Anschluss ausführlich
strakten mathematischen Herangehensweise ent-
studiert und dann mit dem Themenfeld von Funk-
wickeln.
tionen verknüpft. Dies soll die Grundlagen des
Inhaltlich sollen Leser über grundlegende The- Studiums der Stetigkeit, der Ableitung und des
men der Analysis und Numerik informiert werden. Integrals legen. Im Kontext der Ableitung werden
Es ist sicherlich nicht möglich, alle diejenigen The- Extremstellen studiert. Das Finden von Nullstel-
menfelder der Analysis und der Numerik in vollem len ist dabei essentielle Methode. Wir fügen einen
Umfang zu behandeln, mit denen Studierende un- numerischen Exkurs zur Nullstellenbestimmung
terschiedlichster Studienrichtungen im Laufe ihrer eindimensionaler reeller Funktionen ein. Für das
weiteren Studien konfrontieren werden. Deshalb Integral studieren wir numerische Berechnungs-
muss eine Auswahl geschehen. Ich habe den Fokus verfahren, nachdem wir auch dafür mit der Polyno-
bewusst auf die saubere Vermittlung und anspre- minterpolation Grundalgen legen. Wir schließen
chende Anschauung der Grundlagen gelegt. mit einer kurzen Diskussion des Themenkomple-
xes der Fehlerabschätzung in der Numerik.
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EIN WORT ZUM STUDIUM MIT DEM LEHRBUCH
Dieses Lehrbuch möchte genau dieses sein: Ein den mathematischen Objekte, die unterschiedli-
Lehrer für jeden grundlegend am Thema inter- chen ersten Sicht- und Herangehensweisen, oder
essierten Leser. Es hat zum Ziel, die abstrakten ungenügende oder falsche Motivation der Inhalte,
mathematischen Theorien nicht bloß sauber (und sowie schlecht gewählte Beispiele sein.
deshalb nur für Experten), sondern vor allem für
Das vorliegende Buch ist „aus einem Guss geschrie-
Jedermann lesbar darzustellen. Es will das Wissen
ben". Die gleiche Symbolik zieht sich durch das
an die Studierenden bringen, möchte lehren. Da-
ganze Buch. Verwirrung durch variierende Notati-
mit dies gelingt, sind einige Hinweis notwendig.
on sollte so vermieden sein.
„Eine Sprache erlernt man, indem man sie spricht"
Das Lehrbuch setzt die Inhalte meines Buchs
und „Wiederholung ist die Mutter allen Lernens", r
"Mathematik für die Informatik voraus. Es
diese beiden zweifellos wahren Aussagen gelten
sind mathematische Grundlagen der Themenfel-
auch für das Erlernen mathematischer Inhalte.
der Abbildungen, Mengenlehre, Logik und Be-
Nur wer sich mit den abstrakten Definitionen und
weise, aber auch der Linearen Algebra. In die-
Aussagen auseinandersetzt und sie dadurch „ver-
sem Lehrbuch wird außerdem das mathemati-
daut", Zeit investiert und übt, wird sie wirklich er-
sche Wissen aus der Schule vorausgesetzt. Soll-
fassen. Diesen Aufwand können Ihnen keine noch
ten Sie dabei eigene Defizite feststellen, empfeh-
so guten (und praxisorientierten) Bücher, keine
le ich einen Online-Mathematik-Brückenkurs, der
noch so „freshen" Erklärvideos und online Tutori-
den Übergang von der Schule an die Universität
als, aber auch keine Vorlesung abnehmen - diesen
unterstützten möchte. Abitur-relevantes mathe-
Aufwand werden Sie selbst betreiben müssen.
matisches Grundlagenwissen kann dort wieder-
Doch es gibt Bedingungen, die diesen Prozess holt und aufgefrischt werden. Sie finden Ihn unter
begünstigen - bei der Konzeption dieses Lehrbuchs www . ombplus . de.
habe ich dies berücksichtigt. Wenn Sie sich die fol-
Einen zweiten interessanten Blickpunkt liefert die
genden Aspekte durchlesen, sollte Ihnen auch klar
Lerntheorie. Lernen heißt Verknüpfen. Dazu muss
werden, warum ich immer noch an das „analoge
Wissen aufbereitet, sortiert und an existierendes
Lehrbuch" glaube, dass man anfassen, beschrei-
Wissen angedockt werden. In einer Zeit ständiger
ben, blättern und zerlesen kann.
Verfügbarkeit allen Wissens (man kann schnell
Schlüssige, klare Darstellung „aus einem googeln oder auf Wikipedia nachlesen) sind wir es
Guss". Möchte man neue mathematische Inhal- nicht mehr gewohnt (oder vielleicht schon nicht
te erfassen, dann stellt einen die Abstraktion vor mehr dazu in der Lage), Wissen dauerhaft für
große Herausforderungen. Es gibt nichts dem Ler- uns selbst zu erschließen. Das ist fatal. Das Lehr-
nerfolg gleich hinderliches, wie sekundäre Aspek- buch möchte Ihnen helfen, die behandelten Inhal-
te, die den klaren Blick auf das Wesentliche ver- te wirklich zu lernen. Dabei fördert es durch seine
wehren. Solche Aspekte können die ungenaue und aufeinander aufbauende Struktur das Verknüpfen
wechselnde Notation (Benennung) der auftreten- von Wissen.
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Intuitive Beispiele. Um abstrakte Definitionen Der Raum gehört Ihnen, nutzen Sie ihn.
oder Objekte, aber auch mathematische Aussa-
Ein gutes Gefühl. Mit Emotionen verknüpftes
gen zu erfassen, helfen intuitive Beispiele. In dem
Wissen bleibt. Das Lehrbuch ist beispielsweise be-
vorliegenden Lehrbuch findet sich eine Vielzahl
wusst in Farbe gedruckt. Sie sollen gerne Zeit mit
ausführlich kommentierter Beispiele. Dabei wird
ihm verbringen. Das Lehrbuch darf Ihnen ein treu-
besonders auf eine ausführliche Darstellung der
er Begleiter sein. Bücher sind Freunde. Sie wer-
Rechenwege Wert gelegt. Das hilft den Durchblick
den viel zusammen durchmachen, das schweißt
zu erlangen und Abstraktes mit Leben gefüllt bes-
zusammen. Mein Lehrbuch der linearen Algebra
ser zu erinnern.
aus dem ersten Semester findet immer noch sei-
Unterstützende Illustrationen. Was in Worten nen Ehrenplatz in meinem Bücherregal. Die von
umständlich beschrieben wird, kann oft leichter Notizen übersäten Seiten sehe ich immer noch vor
in einer Grafik erfasst werden. Deshalb verfügt mir, wenn ich meine Augen schließe und mich
das Lehrbuch über zahlreiche als Illustration und erinnere. Diese Erfahrung wünsche ich Ihnen mit
Beweisskizze unterstützende Abbildungen. Ihrem persönlichen Exemplar des Lehrbuchs.
Hilfreiche Erläuterungen. Das Lehrbuch Zwei gut gemeinte Ratschläge sollen diese „Ge-
ist durchsetzt mit einer großen Zahl an brauchsanweisung" abrunden: Bleiben Sie am Ball
Erläuterungen. Sie ergänzen den Lesefluss und und lassen Sie sich nicht frustrieren. Das Studi-
helfen Neues zu erfassen, es abzugrenzen und um der Mathematik bedarf Ausdauer und Frus-
einzuordnen. Wieder gilt der Grundsatz: "Lernen trationstoleranz. Geben Sie sich die Zeit, die Sie
heißt Verknüpfen". In den Erläuterungen möchte brauchen - beißen Sie sich rein. Es ist sicherlich
ich mit dem Lesenden und seinem schon gelernten naiv zu glauben, Sie könnten das Buch an einem
Wissen in den Dialog treten. Wochenende verschlingen. Das Erlernen der Ma-
thematik braucht „Verdauungszeit". Vertrauen Sie
Platz für Entfaltung. Das Lehrbuch bietet einen
mir jedoch, dass Sie in drei Jahren, wenn sie die
breiten Schreibrand. Dieser breite Streifen an
Inhalte verdaut und Komplexeres in Ihrem Studi-
der Buchaußenseite fasst nicht nur gedruckte
um erlernt haben werden, das Lehrbuch ungläubig
Erläuterungen und Abbildungen, sondern bietet
aufschlagen. Ungläubig, weil Ihnen die Inhalte lan-
Raum für Ihre Notizen. Markieren und kommen-
ge nicht mehr so schwer und abstrakt erscheinen,
tieren Sie die Inhalte, notieren Sie Ihre Fragen
wie sie das in den nächsten Wochen und Monaten
oder gefundene Antworten, ergänzen Sie Zwi-
noch tun werden.
schenschritte und halten Sie Eselsbrücken fest.
LETZTE ERSTE WORTE
Bei Anregungen, Kritik, Verbesserungsvorschlägen wünsche Ihnen viel Erfolg bei Ihren Studien.
oder falls Sie Fehler finden, melden Sie sich gerne
Frankfurt, im Frühjahr 2020
per Mail unter [email protected].
So ist nun alles gesagt und es kann losgehen. Ich Samuel Hetterich
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(cid:9)
INHALTSVERZEICHNIS •
Inhaltsverzeichnis
5.2.2 Mit Grenzwerten rechnen (cid:9) 69
5.2.3 Schranke, Monotonie, Inf & Sup (cid:9) 72
5.2.4 Ein Konvergenzkriterium für reelle Folgen 76
5.2.5 Teilfolgen und Häufungspunkte (cid:9) 78
5.2.6 Cauchyfolgen (cid:9) 89
5.3 Reihen (cid:9) 91
1(cid:9) Analysis und Numerik (cid:9) 11
1.1 Analysis (cid:9) 11 5.3.1 Einige wichtige Reihen (cid:9) 94
1.2 Numerik (cid:9) 14 5.4 Grenzverhalten von Reihen (cid:9) 98
5.4.1 Notwendige Konvergenzbedingung 99
(cid:9)
2 Reelle Zahlen 17 5.4.2 Absolute Konvergenz (cid:9) 99
2.1 Die reellen Zahlen beschreiben (cid:9) 19 5.4.3 Das Majorantenkriterium (cid:9) 100
2.1.1 Die reellen Zahlen konstruktiv beschreiben 19 5.4.4 Das Leibnitz-Kriterium (cid:9) 102
2.1.2 Die reellen Zahlen axiomatisch beschr. . . 20 5.4.5 Wurzelkriterium (cid:9) 103
2.2 Die Mächtigkeit der reellen Zahlen (cid:9) 25 5.4.6 Quotientenkriterium (cid:9) 104
2.2.1 Abzählbarkeit (cid:9) 25
(cid:9)
6 Funktionen und Folgen 107
(cid:9)
3 Komplexe Zahlen 29 6.1 Eine Konvergenz für reelle Funktionen (cid:9) 108
3.1 Die komplexen Zahlen (cid:9) 31 6.1.1 Konvergenz & verknüpfte Funktionen . (cid:9) 114
3.1.1 Die imaginäre Einheit (cid:9) 31 6.2 Konvergenz mehrdimensionaler Funktionen . . (cid:9) 115
3.1.2 Rechnen mit komplexen Zahlen (cid:9) 32 6.3 Funktionenfolgen (cid:9) 119
3.2 Nullstellen von Polynomgleichungen (cid:9) 36
(cid:9)
3.3 Die komplexe Zahlenebene (cid:9) 38 7 Stetigkeit 122
3.3.1 Betrag und Argument komplexer Zahlen 38 7.1 Stetigkeit (cid:9) 122
3.3.2 Konjugiert komplexe Zahlen (cid:9) 39 7.1.1 Varianten der Stetigkeit (cid:9) 124
3.4 Polardarstellung komplexer Zahlen (cid:9) 41 7.2 Analyse reeller stetiger Funktionen (cid:9) 128
7.2.1 Der Zwischenwertsatz (cid:9) 128
4 Zahlendarstellung(cid:9) 46 7.2.2 Der Satz von Heine (cid:9) 130
4.1(cid:9) Zahldarstellung im positionellen Zahlsystem(cid:9) 46 7.2.3 Der Satz vom Minimum und Maximum (cid:9) 131
4.1.1 Natürliche Zahlen zu einer Basis (cid:9) 47 7.3 Stetig fortsetzbare Funktionen (cid:9) 133
4.2 Maschinenzahlen (cid:9) 50 7.3.1 Gebrochen-rationale Funktionen (cid:9) 135
4.2.1 Darstellung von ganzen Zahlen (cid:9) 51 7.4 Stetigkeit mehrdimensionaler reeller Funktionen 140
4.2.2 Gleitkommazahlen (cid:9) 52 7.4.1 Stetigkeit mehrdimensionaler Funktionen 140
4.2.3 Binäre Gleitkommazahlen mit „hidden Bit" 53
8(cid:9) Die Ableitung 141
5(cid:9) Folgen und Reihen 55 8.1 Die eindimensionale Ableitung (cid:9) 142
5.1(cid:9) Folgen (cid:9) 56 8.1.1(cid:9) Alternative Beschreibung der Ableitung . 145
5.1.1(cid:9) Graphische Darstellung von Folgen(cid:9) . .(cid:9) 59 8.1.2(cid:9) Höhere Ableitungen (cid:9) 146
5.2(cid:9) Grenzverhalten von Folgen (cid:9) 62 8.2 Rechenregeln für Ableitungen (cid:9) 147
5.2.1(cid:9) Grenzwert, Konvergenz & Divergenz . . .(cid:9) 62 8.2.1(cid:9) Die Summenregel (cid:9) 147
9
• INHALTSVERZEICHNIS
8.2.2(cid:9) Die Produktregel 148 11 Polynominterpolation(cid:9) 220
8.2.3(cid:9) Die Kettenregel 150 11.1 Polynome - Definition und Eigenschaften (cid:9) . . . . 221
8.2.4(cid:9) Die Quotientenregel (cid:9) 151 11.1.1 Homer-Schema (cid:9) 223
8.2.5(cid:9) Die Ableitung der Umkehrfunktion . . . (cid:9) 153 11.2 Polynominterpolation (cid:9) 224
8.3(cid:9) Der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung) 154 11.2.1 Existenz und Eindeutigkeit der Polyno-
8.4(cid:9) Die mehrdimensionale Ableitung (cid:9) 156 minterpolation (cid:9) 226
8.4.1(cid:9) Die partielle Ableitung 159 11.2.2 Interpolationsfehler (cid:9) 228
8.4.2(cid:9) Höhere partielle Ableitungen (cid:9) 167 11.3 Verfahren zur Berechnung des Interpolationspo-
8.5(cid:9) Extremstellen für eindimensionale Funktionen 169 lynoms von kleinem Grad (cid:9) 232
8.5.1(cid:9) Wachstum von Funktionen (cid:9) 169 11.3.1 Lagrange-Interpolation (cid:9) 232
8.5.2(cid:9) Extrema einer Funktion (cid:9) 171 11.3.2 Aitken-Neville-Interpolation (cid:9) 237
8.6(cid:9) Extremstellen für mehrdimensionale Funktionen 177 11.3.3 Newton-Interpolation (cid:9) 241
8.6.1(cid:9) Extrema im Mehrdimensionalen (cid:9) 177 11.4 Spline Interpolation (cid:9) 244
8.7(cid:9) Taylorentwicklung (cid:9) 181 11.4.1 Kurzschreibweise für Splines (cid:9) 246
8.7.1(cid:9) Das Taylorpolynom (cid:9) 181 11.4.2 Kubische Splines (cid:9) 248
8.7.2(cid:9) Beispiele der Taylorentwicklung (cid:9) 183
12 Nummerische
Integration(cid:9) 252
9(cid:9) Nullstellen nummerisch finden(cid:9) 186
12.1 Numerische Integration - Einleitung (cid:9) 253
9.1(cid:9) Iterationsverfahren - Einführung (cid:9) 187
12.2 Die Newton-Cotes-Formeln (cid:9) 255
9.2(cid:9) Der Banachsche Fixpunktsatz (cid:9) 190
12.2.1 Äquidistanten Stützstellen (cid:9) 259
9.3(cid:9) Iterationsverfahren zur Nullstellenbestimmung (cid:9) 193
12.3 Newton-Cotes-Formeln von kleinem Grad . .(cid:9) 261
9.3.1(cid:9) Das Newton-Verfahren 193
12.3.1 Die Trapezregel (cid:9) 262
9.3.2(cid:9) Das Sekanten-Verfahren (cid:9) 194
12.3.2 Die Simpsonregel (cid:9) 263
12.3.3 Die e-Regel (cid:9) 264
10 Das Integral(cid:9) 197
10.1 Das bestimmte Integral (cid:9) 200 12.4 Quadraturfehler (cid:9) 266
10.1.1 Der orientierte Flächeninhalt (cid:9) 200 12.4.1 Exakte Quadraturformeln (cid:9) 266
10.1.2 Das Integral von Treppenfunktionen . . (cid:9) 201 12.4.2 Quadraturfehler für beliebige Funktionen 267
10.1.3 Das Integral allgemeiner Funktionen . . (cid:9) 203 12.4.3 Die summierten Newton-Cotes-Formeln . 267
10.1.4 Rechenregeln für das Integral (cid:9) 210
13 Fehlerabschätzung(cid:9) 269
10.2 Der Mittelwertsatz (der Integralrechnung)(cid:9) . 213
13.1 Runden von Inputzahlen (cid:9) 270
10.3 Der Hauptsatz der Different.- & Integralrechnung214
13.2 Fortpflanzung des Rundungsfehlers (cid:9) 274
10.3.1 Integrale berechnen (cid:9) 216
10.3.2 Zwei Integrationshilfen (cid:9) 217 Symbolverzeichnis(cid:9) 283
10
