Lehrbuch der Technischen Mechanik - Elastostatik: Mit einer Einführung in Hybridstrukturen

492 Pages·2015·22.16 MB·German

by  Rolf Mahnken (auth.)

Lehrbuch der
Technischen Mechanik –
Elastostatik
Rolf Mahnken
Lehrbuch der
Technischen Mechanik –
Elastostatik
Mit einer Einführung
in Hybridstrukturen
Rolf Mahnken
Universität Paderborn
Fakultät für Maschinenbau
Lehrstuhl für Technische Mechanik
Paderborn, Deutschland
ISBN 978-3-662-44797-0 ISBN 978-3-662-44798-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-44798-7
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Vorwort
Dieser Band zur Elastostatik erscheint in Erga¨nzung zu den Ba¨nden u¨ber Statik und Dy-
namikinderReiheLehrbuchderTechnischenMechanik.AuchdiesesBuchrichtetsichvor-
rangig an Studentinnen und Studenten verschiedener Ingenieurstudienga¨nge sowie an Inge-
nieure in der beruflichen Praxis. Zum Versta¨ndnis des Buches werden Kenntnisse u¨ber die
Starrko¨rperstatikvorausgesetzt.
Das Buch ist in zehn Kapitel gegliedert, welche die Themen der Elastostatik in einem
GrundstudiumandeutschenUniversita¨tenundFachhochschulenumfassendabdecken.Dazu
werdenfu¨rdievierGrundlastfa¨lledesStabes-Zug/Druck,Biegung,TorsionundSchub-in
einemmethodischeinheitlichenVorgehendieGrundgleichungenhergeleitet.DerenAuswer-
tungenfu¨hrenaufBerechnungsformeln,dieinLo¨sungsschrittentabellarischaufbereitetwer-
den. Damit ko¨nnen typische Ingenieuraufgaben (z.B. Spannungs- und Verformungsnach-
weise fu¨r statisch bestimmte und statisch unbestimmte Systeme) praxisnah bearbeitet wer-
den. Neuartig gegenu¨ber vergleichbaren Lehrbu¨chern ist in dem Kapitel u¨ber mehrdimen-
sionale Spannungs- und Verzerrungszusta¨nde die Beru¨cksichtigung chemischer Verzerrun-
gen,wofu¨rdasSchwindenvonBetonoderdieAlterungvonKunststoffentypischeBeispiele
sind.
Besonderes Gewicht hat der Autor in dem Kapitel u¨ber Energiemethoden auf zwei
zueinander komplementa¨re, d.h. sich erga¨nzende, Ansa¨tze gelegt. Auf der Grundlage eines
kraftgesteuertenAnsatzeserha¨ltmandenSatzvonEngesser(bzw.imlinearenFallden1.Satz
vonCastigliano)unddasPrinzipdervirtuellenKra¨fte.DieseVerfahrenspielenfu¨rHandrech-
nungeninderIngenieurpraxiseineunverzichtbareRolle.Dazukomplementa¨rerha¨ltmanauf
derGrundlageeinesverschiebungsgesteuertenAnsatzesden2.SatzvonCastiglianounddas
Prinzip der virtuellen Verschiebungen. Diese beiden Verfahren haben ihre Berechtigung als
Grundlagefu¨rnumerischeMethoden.ZumbesserenVersta¨ndniswirdeineEinfu¨hrungindie
Finite-Elemente-Methode am Beispiel des Balkens gegeben, obwohl das Thema im Allge-
meinennichtBestandteildesGrundstudiumsist.
Ha¨ufig erlangen Konstruktionen oder Bauteile des Bauwesens und Maschinenbaus erst
durch das Zusammenwirken verschiedener Materialien verbesserte Eigenschaften, z.B. be-
zu¨glich Gewicht, Festigkeit oder Umweltvertra¨glichkeit. Gleichzeitig fu¨hren steigende For-
derungennachRessourcenschonungvonMaterialienundEnergiezusteigendenAnforderun-
genandieBerechnungsverfahren,wasineinemeigenenKapitelu¨berHybridstrukturenzum
Ausdruckkommt.
Besonders bedanken mo¨chte ich mich bei den Mitarbeitern des Lehrstuhls fu¨r Techni-
sche Mechanik, Universita¨t Paderborn, Christian Dammann und Martin Du¨sing fu¨r die Un-
terstu¨tzung bei der Erstellung der U¨bungsaufgaben. Des Weiteren sei den Hilfsassistenten
Daniel Weiner und Carlo Oberko¨nig fu¨r die Bearbeitung der U¨bungsaufgaben gedankt.
Dem Hilfsassistenten Julius Berse danke ich fu¨r die sorgfa¨ltige Anfertigung zahlreicher an-
schaulicherAbbildungen.DemSpringerVerlag,insbesondereFrauEvaHestermann-Beyerle
undFrauKollmar,mo¨chteichfu¨rdieguteZusammenarbeitdanken.
Paderborn,imJanuar2015 RolfMahnken
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung ......................................................... 1
1.1 AufgabenderElastostatik ........................................... 1
1.2 EinigeMeilensteineinderGeschichtederElastostatik ................... 4
1.3 MethodischesVorgehenzurErarbeitungdervierGrundlastfa¨lle ........... 5
1.4 InhaltedesBuchesundHinweisezudenU¨bungsaufgaben ................ 6
2 ZugundDruckinSta¨ben ............................................ 9
2.1 DerhomogeneZug/Druck-Stab ...................................... 9
2.1.1 Normal-undSchubspannungen................................. 9
2.1.2 Dehnungen.................................................. 13
2.1.3 MaterialverhaltenimExperiment ............................... 15
2.1.4 Stoffgesetze ................................................. 17
2.1.5 IngenieuraufgabenzurGebrauchsfa¨higkeit ....................... 19
2.1.6 DerhomogeneZug/Druck-Stab:VoraussetzungenundAnnahmen.... 20
2.1.7 Praktische Berechnung von statisch bestimmten, homogenen
Zug/Druck-Sta¨ben............................................ 21
2.1.8 Praktische Berechnung von statisch unbestimmten, homogenen
Zug/Druck-Sta¨ben............................................ 25
2.1.9 AufgabenzuAbschnitt2.1 .................................... 31
2.2 DerinhomogeneZug/Druck-Stab..................................... 37
2.2.1 VoraussetzungenundAnnahmen................................ 37
2.2.2 DieGleichgewichtsbedingung ................................. 37
2.2.3 InhomogeneSpannungenla¨ngsderStabachse..................... 38
2.2.4 InhomogeneDehnungenla¨ngsderStabachse ..................... 38
2.2.5 Stoffgesetze ................................................. 39
2.2.6 DieGrundgleichungendesinhomogenenZug/Druck-Stabes ........ 40
2.2.7 AuswertungderGrundgleichungen.............................. 41
2.2.8 Praktische Berechnung von statisch bestimmten, inhomogenen
Zug/Druck-Sta¨ben............................................ 41
2.2.9 Praktische Berechnung von statisch unbestimmten, inhomogenen
Zug/Druck-Sta¨ben ........................................... 45
VIII Inhaltsverzeichnis
2.2.10 ZusammenfassungzumZug/Druck-Stab ......................... 48
2.2.11 AufgabenzuAbschnitt2.2 .................................... 48
2.3 DasKraftgro¨ßenverfahrenfu¨rstatischunbestimmteZug/Druck-Sta¨be....... 51
2.3.1 DerGrundgedankedesKraftgro¨ßenverfahrens .................... 51
2.3.2 Lo¨sungsschrittefu¨rdasKraftgro¨ßenverfahren..................... 52
2.3.3 AufgabenzuAbschnitt2.3 .................................... 55
3 Fla¨chenmomente2.Ordnung......................................... 57
3.1 DefinitionenvonFla¨chenmomenten0.,1.und2.Ordnung ................ 57
3.2 PraktischeAuswertungderFla¨chenintegrale............................ 59
3.3 ParallelverschiebungderKoordinatenachsen:DerSatzvonSteiner ......... 75
3.4 Fla¨chenmomente2.Ordnungfu¨rzusammengesetzteQuerschnitte.......... 77
3.5 Fla¨chenmomente2.OrdnungbeiVerdrehungderKoordinatenachsen ....... 83
3.6 Haupttra¨gheitsachsen ............................................... 85
3.6.1 AchsendermaximalenundminimalenFla¨chentra¨gheitsmomente .... 85
3.6.2 AchsendesmaximalenundminimalenDeviationsmomentes ........ 89
3.7 AufgabenzuKapitel3 .............................................. 89
4 DietechnischeBiegetheorie .......................................... 95
4.1 Grundlagen ....................................................... 95
4.1.1 BegriffezurBiegetheorie ...................................... 95
4.1.2 EinteilungenzurBiegung...................................... 96
4.1.3 Voraussetzungen ............................................. 98
4.2 DiegeradeBiegung ................................................ 99
4.2.1 Annahmen .................................................. 99
4.2.2 DieKinematikinfolgeBiegung................................. 101
4.2.3 A¨quivalenzbedingungenfu¨rSchnittgro¨ßenundNormalspannungen... 102
4.2.4 DieGrundgleichungendergeradenBiegung ...................... 103
4.2.5 AuswertungderGrundgleichungen.............................. 103
4.2.6 PraktischeBerechnungvonstatischbestimmtenBalkensystemen .... 105
4.2.7 PraktischeBerechnungvonstatischunbestimmtenBalkensystemen .. 115
4.2.8 GeradeBiegungmitNormalkraft ............................... 121
4.2.9 Symmetrie-undAntisymmetriebedingungen...................... 125
4.2.10 AufgabenzuAbschnitt4.2..................................... 132
4.3 SchiefeBiegungmitNormalkraft ..................................... 135
4.3.1 DefinitionenvongeraderundschieferBiegung.................... 135
4.3.2 DieGrundgleichungenderschiefenBiegungmitNormalkraft ....... 136
4.3.3 AuswertungderGrundgleichungen.............................. 137
4.3.4 1.Sonderfall:KoordinatensystemimSchwerpunkt ................ 138
4.3.5 2.Sonderfall:TransformationaufHauptachsen.................... 140
4.3.6 3.Sonderfall:KoordinatenachsensindgleichzeitigHauptachsen ..... 141
4.3.7 4.Sonderfall:GeradeBiegungohneNormalkraft .................. 143
4.3.8 AufgabenzuAbschnitt4.3..................................... 146
4.4 DieKernfla¨cheeinesQuerschnitts .................................... 149
Inhaltsverzeichnis IX
4.4.1 Grundlagen ................................................. 149
4.4.2 PraktischeBerechnungvonKernfla¨chen ......................... 150
4.4.3 AufgabenzuAbschnitt4.4..................................... 153
4.5 DasKraftgro¨ßenverfahrenfu¨rstatischunbestimmteBalkensysteme ........ 154
4.5.1 DerGrundgedankedesKraftgro¨ßenverfahrens .................... 154
4.5.2 PraktischeBerechnungmitdemKraftgro¨ßenverfahren ............. 155
4.6 DiegeradeBiegungmitNormalkraftundTemperatura¨nderung ............ 159
4.6.1 HerleitungderGrundgleichungen............................... 159
4.6.2 AuswertungderGrundgleichungen.............................. 160
4.6.3 AufgabenzudenAbschnitten4.5und4.6 ........................ 165
4.7 DasWeggro¨ßenverfahrenfu¨rstatischunbestimmteBalkensysteme ......... 166
4.7.1 DerGrundgedankedesWeggro¨ßenverfahrens ..................... 166
4.7.2 PraktischeBerechnungmitdemWeggro¨ßenverfahren .............. 167
4.7.3 AufgabenzudenAbschnitten4.7 .............................. 175
5 MehrdimensionaleSpannungs-undVerzerrungszusta¨nde................. 177
5.1 Derra¨umlicheSpannungszustand..................................... 177
5.1.1 Grundlagen ................................................. 177
5.1.2 Gleichgewichtsbedingungen ................................... 180
5.1.3 DieA¨quivalenzbedingungenfu¨rdenStab ........................ 182
5.2 Derra¨umlicheVerschiebungs-undVerzerrungszustand................... 183
5.2.1 Verschiebungen .............................................. 183
5.2.2 Derra¨umlicheVerzerrungszustand .............................. 184
5.2.3 DieVolumendehnung ......................................... 187
5.3 Stoffgesetze ....................................................... 188
5.3.1 Das Hookesche Gesetz fu¨r dreidimensionales elastisches
Materialverhalten ............................................ 188
5.3.2 ZusammenhangzwischenE,Gundν ........................... 190
5.3.3 DasElastizita¨tsgesetzfu¨rdieVolumendehnung ................... 191
5.3.4 ThermischeDehnungen ....................................... 192
5.3.5 ChemischeDehnungen........................................ 192
5.3.6 DasverallgemeinerteHookescheGesetz ......................... 192
5.3.7 DieGrundgleichungendesThermo-Chemo-Elastizita¨tsproblems..... 193
5.4 DerebeneSpannungszustand ........................................ 197
5.4.1 DefinitiondesebenenSpannungszustandes ....................... 197
5.4.2 DrehungdesKoordinatensystems ............................... 198
5.4.3 Hauptnormalspannungen ...................................... 200
5.4.4 Hauptschubspannungen ....................................... 202
5.4.5 DerMohrscheSpannungskreis ................................. 204
5.4.6 Materialgleichungenfu¨rdenebenenSpannungszustand ............ 209
5.5 DerebeneVerzerrungszustand ....................................... 210
5.5.1 DefinitiondesebenenVerzerrungszustandes ...................... 210
5.5.2 VerzerrungeningedrehtenKoordinatensystemen .................. 210
5.5.3 Materialgleichungenfu¨rdenebenenVerzerrungszustand............ 211
X Inhaltsverzeichnis
5.6 DerrotationssymmetrischeSpannungs-undVerzerrungszustand ........... 214
5.6.1 DefinitionzurRotationssymmetrie .............................. 214
5.6.2 Stoffgesetzefu¨rRotationssymmetrie ............................ 215
5.7 GrundlagenderFestigkeitslehrefu¨rmehrachsigeSpannungszusta¨nde....... 218
5.7.1 EinflussderMaterialeigenschaft ................................ 218
5.7.2 EinflussdesSpannungszustandes:DieVergleichsspannungshypothese 219
5.7.3 HauptnormalspannungshypothesenachRankine................... 220
5.7.4 SchubspannungshypothesenachTresca .......................... 220
5.7.5 Deviatorspannungshypothesenach(Huber,Hencky)vonMises ...... 222
5.8 AufgabenzuKapitel5 .............................................. 224
6 SchubspannungeninBiegebalken ..................................... 231
6.1 DefinitionenzurSchubspannung...................................... 231
6.2 SchubspannungeninfolgeQuerkraftindickwandigenQuerschnitten........ 234
6.2.1 VoraussetzungenundAnnahmen................................ 234
6.2.2 HerleitungderSchubspannungsformelausGleichgewicht........... 235
6.3 SchubspannungeninfolgeQuerkraftindu¨nnwandigenQuerschnitten ....... 240
6.3.1 VoraussetzungenundAnnahmen................................ 240
6.3.2 HerleitungderSchubspannungsformelausGleichgewicht........... 241
6.3.3 PraktischeBerechnungvonSchubspannungen .................... 244
6.4 DerSchubmittelpunktvondu¨nnwandigenQuerschnitten ................. 248
6.4.1 Grundlagen ................................................. 248
6.4.2 PraktischeBerechnungdesSchubmittelpunktes ................... 251
6.5 DerschubweicheBalkennachTymoschenko ........................... 255
6.5.1 Grundlagen ................................................. 255
6.5.2 VoraussetzungenundAnnahmen................................ 255
6.5.3 HerleitungderGrundgleichungen............................... 256
6.5.4 AuswertungderGrundgleichungen.............................. 257
6.6 AufgabenzuKapitel6 .............................................. 259
7 DietechnischeTorsionstheorie........................................ 265
7.1 Grundlagen ....................................................... 265
7.1.1 BegriffezurtechnischenTorsionstheorie ......................... 265
7.1.2 EinteilungenzurTorsion ...................................... 266
7.1.3 Voraussetzungen ............................................. 267
7.1.4 DieGleichgewichtsbedingung.................................. 268
7.2 TorsionvonKreis-undKreisringquerschnitten.......................... 268
7.2.1 VoraussetzungenundAnnahmen................................ 268
7.2.2 HerleitungderGrundgleichungen............................... 269
7.2.3 AuswertungderGrundgleichungen.............................. 270
7.2.4 DimensionierungvonWellen................................... 278
7.2.5 Schraubenfedern:SchubspannungenundSteifigkeiten.............. 280
7.3 St.-VenantscheTorsiondu¨nnwandigergeschlossenerQuerschnitte ......... 281
7.3.1 VoraussetzungenundAnnahmen................................ 281
Inhaltsverzeichnis XI
7.3.2 HerleitungderGrundgleichungen............................... 283
7.3.3 AuswertungderGrundgleichungen.............................. 285
7.3.4 BerechnungderVerwo¨lbung ................................... 287
7.4 St.-VenantscheTorsiondu¨nnwandigeroffenerQuerschnitte ............... 292
7.4.1 VoraussetzungenundAnnahmen................................ 292
7.4.2 Du¨nnwandigeRechteckquerschnitte............................. 293
7.4.3 Zusammengesetztedu¨nnwandigeoffenegeradlinigeQuerschnitte .... 294
7.4.4 Zusammengesetztedu¨nnwandigeoffeneQuerschnitte .............. 296
7.5 St.-VenantscheTorsionbeliebigerQuerschnitte ......................... 298
7.5.1 VoraussetzungenundAnnahmen................................ 298
7.5.2 HerleitungderGrundgleichungen............................... 298
7.5.3 AuswertungderGrundgleichungenmitderTorsionsfunktion ........ 300
7.5.4 AnalogienzurTorsionbeliebigerQuerschnitte .................... 303
7.6 KombinierteBeanspruchungvonStabsystemen ......................... 308
7.7 AufgabenzuKapitel7 .............................................. 313
8 EnergiemethodenderElastostatik..................................... 319
8.1 A¨ußereArbeitundkomplementa¨reArbeit.............................. 319
8.2 DieArbeitssa¨tzevonBettiundMaxwell ............................... 323
8.3 ZweiArbeitssa¨tzederElastostatik .................................... 327
8.3.1 DerhomogeneZug/Druck-Stab................................. 327
8.3.2 DerdreidimensionaleKo¨rperuntermechanischerBelastung......... 329
8.3.3 Komplementa¨reForma¨nderungsenergiendesEinzelstabes .......... 331
8.3.4 DerArbeitssatzfu¨rStabsysteme ................................ 333
8.4 DieMethodederHilfskra¨fte ......................................... 336
8.4.1 DerBalkenuntermechanischerBelastung ....................... 336
8.4.2 DerStabunterthermo-mechanischerBelastung ................... 339
8.4.3 DieU¨berlagerungstabellen..................................... 342
8.4.4 DasKraftgro¨ßenverfahrenfu¨rstatischunbestimmteSysteme ........ 345
8.4.5 DerReduktionssatz........................................... 350
8.4.6 AufgabenzudenAbschnitten8.3und8.4 ........................ 354
8.5 DieSa¨tzevonEngesser,CastiglianoundMenabrea ...................... 360
8.5.1 DerSatzvonEngesserund1.SatzvonCastigliano ................ 360
8.5.2 DerSatzvonMenabrea ....................................... 363
8.5.3 Der2.SatzvonCastigliano .................................... 366
8.5.4 AufgabenzuAbschnitt8.5 .................................... 369
8.6 ZweivirtuelleArbeitsprinzipienderElastostatik ........................ 370
8.6.1 VirtuelleVerformungs-undKraftgro¨ßen ......................... 370
8.6.2 DasPrinzipdervirtuellenVerschiebungen ....................... 371
8.6.3 DasPrinzipdervirtuellenKra¨fte................................ 373
8.6.4 AufgabenzuAbschnitt8.6 .................................... 377
8.7 DieFinite-Elemente-Methodefu¨rdenBalken........................... 378
8.7.1 Diskretisierung, Prinzip der virtuellen Verschiebungen, N- und
B-Matrizen ................................................. 378