Lehrbuch der Technischen Mechanik - Dynamik: Eine anschauliche Einfuhrung

461 Pages·2010·16.15 MB·German

by  Rolf Mahnken (auth.)

Springer-Lehrbuch
Rolf Mahnken
Lehrbuch der Technischen
Mechanik - Dynamik
Eine anschauliche Einführung
1 3
Prof. Dr.-Ing. Rolf Mahnken, M.Sc.
Universität Paderborn
Fakultät für Maschinenbau
Institut für Prozess- und Werkstofftechnik
Lehrstuhl für Technische Mechanik
Warburger Straße 100
33098 Paderborn
Deutschland
[email protected]
ISSN 0937-7433
ISBN 978-3-540-36040-7 e-ISBN 978-3-540-36041-4
DOI 10.1007/978-3-540-36041-4
Springer Heidelberg Dordrecht London New York
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Vorwort
Nahezu jede Konstruktion im Maschinenbau erfa¨hrt Bewegungen und dynamische Bean-
spruchungen,wofu¨rdasAutomobileinallgegenwa¨rtigesBeispielist.Indenta¨glichenNach-
richten werden wir immer wieder mit Meldungen konfrontriert, in denen u¨ber den Ein-
sturz von Baukonstruktionen infolge von Erschu¨tterungen bei Erdbeben berichtet wird.
EineeingehendeBescha¨ftigungmitBewegungenunddynamischenBeanspruchungenistfu¨r
Studierende vieler Ingenieurbereiche also von grundsa¨tzlicher Bedeutung, um die Sicher-
heitstechnik im spa¨teren Berufsleben verantwortungsvoll umsetzen zu ko¨nnen. Das vor-
liegende Buch richtet sich somit insbesondere an Studentinnen und Studenten der Fach-
richtungen Maschinenbau, Bauingenieurwesen, Elektrotechnik, Wirtschaftsingenieurwesen,
Technomathematik, Ingenieurinformatik, Mechatronik, Verfahrenstechnik und Lehramt so-
wie an Ingenieure in der beruflichen Praxis, die sich mit dynamisch beanspruchten Struk-
turen bescha¨ftigen. Entsprechend wird die Dynamik starrer Ko¨rper umfassend behandelt.
ZumVersta¨ndnis desBuches werdendieGrundlagen derStatikstarrer Ko¨rper undderFes-
tigkeitslehrevorausgesetzt.
DasBuchistausgleichnamigenVorlesungenentstanden,diederAutorimWintersemester
1996/97anderUniversita¨tHannoverfu¨rStudentendesBauingenieurwesensgehaltenhatund
seit dem Wintersemester 2002/03 an der Universita¨t Paderborn fu¨r Studenten des Maschi-
nenbaus undderTechnomathematik ha¨lt. Dabeiwurdenundwerden auchweiterhin dieun-
terschiedlichen fachlichen Schwerpunkte der verschiedenen Ho¨rerkreise beru¨cksichtigt. Sie
sind in dieses Buch eingegangen und tragen zu der umfassenden Darstellung der Dynamik
starrerKo¨rperbei.
Besonders bedanken mo¨chte ich mich bei den Mitarbeitern des Lehrstuhls fu¨r Tech-
nische Mechanik, Universita¨t Paderborn, Herrn Dr.-Ing. Stefan Neumann, Herrn Dipl.-Ing.
Manuel Hentrich, Herrn Dipl.-Ing. Stefan Wilmanns und Herrn Dipl.-Ing. Kim Sauerland
fu¨r die Unterstu¨tzung bei der Erstellung der U¨bungsaufgaben. Des Weiteren sei den Hilfs-
assistenten Kai-Uwe Widany, David Wuttke, Vera Caylak und Jan Kohlhoff bei der Bear-
beitungderU¨bungsaufgaben undderDurchsichtdesSkriptesgedankt.DenGra(cid:191)kernHerrn
Kai Yang und Herrn Qiang Xu sowie der Gra(cid:191)kerin Frau Ilka Crimi sei fu¨r die sorgfa¨ltige
AnfertigungderanschaulichenAbbildungengedankt.Fu¨rdiefreundlicheBereitstellungvon
BildmaterialbedankeichmichbeidemMercedes-Benz WerkSindel(cid:191)ngensowiederFirma
ALSTOM(Schweiz)AG,Baden,Schweiz.DemSpringerVerlagundinsbesondereFrauEva
Hestermann-Beyerlemo¨chteichfu¨rdieguteZusammenarbeitdanken.
Paderborn,imJuni2009 RolfMahnken
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung ......................................................... 1
1.1 Aufgabenstellungen derDynamik..................................... 1
1.2 EinigeMeilensteineinderGeschichtederDynamik ..................... 3
1.3 EinteilungundInhaltedesBuches .................................... 5
1.4 ZieledesBuches................................................... 6
2 DieKinematikdesPunktes .......................................... 9
2.1 DiegeradlinigeBewegungvonPunkten ............................... 9
2.1.1 Ort,GeschwindigkeitundBeschleunigung ....................... 9
2.1.2 Integrationsaufgaben.......................................... 14
2.1.3 DiesechsGrundaufgabenderPunktkinematik .................... 16
2.1.4 AufgabenzuAbschnitt2.1 .................................... 21
2.2 Diera¨umlicheBewegungvonPunkten ................................ 26
2.2.1 Ort,GeschwindigkeitundBeschleunigung ....................... 26
2.2.2 RaumfestekartesischeKoordinaten ............................. 28
2.2.3 Zylinderkoordinaten .......................................... 31
2.2.4 Natu¨rlicheKoordinaten ....................................... 37
2.2.5 ZusammenfassungzudenverschiedenenKoordinatensystemen ...... 45
2.2.6 AufgabenzuAbschnitt2.2..................................... 46
2.3 KreisbewegungenvonPunktenumfesteundmomentaneAchsen .......... 51
2.3.1 Kreisbewegungen umfesteAchseninmitrotierenden kartesischen
Koordinaten ................................................. 51
2.3.2 Kreisbewegungenummomentanerichtungstreue Achsen ........... 55
2.3.3 KreisbewegungenummomentaneAchsenmitRichtungsa¨nderungen . 59
2.3.4 AufgabenzuAbschnitt2.3 .................................... 64
3 KinetikdesMassenpunktes .......................................... 69
3.1 DiedreiNewtonschenAxiomederklassischenMechanik................. 69
3.2 DasdynamischeGrundgesetzfu¨rdenMassenpunkt...................... 71
3.2.1 Vektorielle Formulierung des dynamischen Grundgesetzes und
Ersatzmodell ................................................ 71
3.2.2 DasdynamischeGrundgesetzinraumfestenkartesischenKoordinaten 73
VIII Inhaltsverzeichnis
3.2.3 Lo¨sungsschrittefu¨rAufgabenderKinetik ........................ 74
3.2.4 Gefu¨hrteBewegungen ........................................ 78
3.2.5 DasdynamischeGrundgesetzinZylinderkoordinaten .............. 79
3.2.6 DasdynamischeGrundgesetzinnatu¨rlichenKoordinaten ........... 82
3.2.7 Das dynamische Grundgesetz in mitrotierenden kartesischen
Koordinaten ................................................. 84
3.2.8 ZusammenfassungzudenverschiedenenKoordinatensystemen ...... 85
3.2.9 AufgabenzuAbschnitt3.2 .................................... 85
3.3 KraftgesetzederKinetik ............................................ 89
3.3.1 EinteilungvonKra¨ften ....................................... 89
3.3.2 DaslineareKraftgesetzfu¨rFedern .............................. 90
3.3.3 DaslineareKraftgesetzfu¨rDa¨mpfer ............................ 90
3.3.4 DasReibungsgesetznachCoulomb ............................. 91
3.3.5 DerRollwiderstandamRad.................................... 92
3.3.6 Kraftgesetzefu¨rBewegungenineinem(cid:192)uidenMedium ............ 94
3.3.7 Lo¨sungenfu¨rgeschwindigkeitsabha¨ngige Beschleunigungen ........ 97
3.3.8 DasGravitationsgesetz........................................ 100
3.3.9 DieKeplerschenGesetze ...................................... 103
3.3.10 AufgabenzuAbschnitt3.3 .................................... 106
3.4 DasPrinzipvond’Alembert ......................................... 110
3.4.1 Kra¨fte-undMomentengleichgewichtsbedingungen ................ 110
3.4.2 Zentrifugalkra¨fte ............................................. 111
3.4.3 AufgabenzuAbschnitt3.4..................................... 113
4 DerArbeitssatzundderEnergiesatzfu¨rdenMassenpunkt ................ 115
4.1 DieArbeiteinerKraftentlangeinerBahn .............................. 115
4.1.1 Vorbetrachtungen zumArbeitsbegriff............................ 115
4.1.2 BerechnungderArbeitimallgemeinenFall....................... 116
4.1.3 DasArbeitsdifferenzial inraumfestenkartesischenKoordinaten ..... 118
4.1.4 DasArbeitsdifferenzial inZylinderkoordinaten.................... 118
4.1.5 DasArbeitsdifferenzial innatu¨rlichenKoordinaten ................ 118
4.1.6 DasArbeitsdifferenzial inmitrotierendenkartesischenKoordinaten .. 119
4.1.7 LeistungundWirkungsgrad ................................... 125
4.1.8 ArbeitundLeistungbeieinerKreisbewegung..................... 127
4.1.9 AufgabenzuAbschnitt4.1 .................................... 128
4.2 DerArbeitssatzfu¨rdenMassenpunkt.................................. 132
4.2.1 HerleitungdesArbeitssatzes ................................... 132
4.2.2 AufgabenzuAbschnitt4.2 .................................... 133
4.3 DerEnergiesatzfu¨rGewichts-undFederkra¨fte.......................... 134
4.3.1 Kra¨ftemitundohnePotenzialeigenschaften ...................... 134
4.3.2 Potenzialfunktionen fu¨rGewichts-undFederkra¨fte ................ 135
4.3.3 HerleitungdesEnergiesatzesfu¨rGewichts-undFederkra¨fte......... 137
4.3.4 DerEnergiesatzfu¨rbeliebigeSysteme........................... 138
4.3.5 AufgabenzuAbschnitt4.3..................................... 141
Inhaltsverzeichnis IX
4.4 VektoranalysisderPotenzialkra¨fte .................................... 147
4.4.1 EigenschaftenvonPotenzialkra¨ften ............................. 148
4.4.2 DerEnergiesatzfu¨rPotenzialkra¨fte ............................. 151
4.4.3 AufgabenzuAbschnitt4.4 .................................... 152
5 KinematikundKinetikdesMassenpunktsystems ........................ 155
5.1 KinematikdesMassenpunktsystems .................................. 155
5.1.1 KinematischeGro¨ßendesSchwerpunktes ........................ 155
5.1.2 DieWinkelgeschwindigkeit desstarrenMassenpunktsystems ....... 158
5.1.3 AufgabenzuAbschnitt5.1 .................................... 162
5.2 GrundlagenderKinetikfu¨rdasMassenpunktsystem ..................... 163
5.3 DerSchwerpunktsatzfu¨rdasMassenpunktsystem ....................... 165
5.3.1 VektorielleFormulierungdesSchwerpunktsatzes.................. 165
5.3.2 DerSchwerpunktsatzinverschiedenenKoordinatensystemen ....... 166
5.3.3 AufgabenzuAbschnitt5.3..................................... 168
5.4 DerMomentensatzfu¨rdasMassenpunktsystem ......................... 169
5.4.1 DerMomentensatzmitdemBeschleunigungsvektor ............... 169
5.4.2 DerMomentensatzmitdemDrehimpulsvektor.................... 170
5.5 DerMomentensatzfu¨rdasstarreMassenpunktsystem inderEbene......... 172
5.5.1 HerleitungderskalarenGleichungen ............................ 172
5.5.2 Lo¨sungsschrittebeiVerwendungdesMomentensatzes.............. 176
5.5.3 AufgabenzuAbschnitt5.5 .................................... 179
5.6 DerMomentensatz fu¨rdieRotation desstarren Massenpunktsystems um
einefesteAchse ................................................... 182
5.6.1 HerleitungderskalarenGleichungen ............................ 182
5.6.2 Bedingungenfu¨reinenidealenRotorundAuswuchten ............. 186
5.6.3 AufgabenzuAbschnitt5.6..................................... 189
5.7 DerArbeitssatzundderEnergiesatzfu¨rdasMassenpunktsystem........... 191
5.7.1 HerleitungdesArbeitssatzesunddesEnergiesatzes ................ 191
5.7.2 DerEnergiesatzfu¨rdasstarreMassenpunktsystem................. 194
5.7.3 DiekinetischeEnergiefu¨rdasstarreMassenpunktsystem........... 195
5.7.4 AufgabenzuAbschnitt5.7 .................................... 198
6 KinematikundKinetikderebenenBewegungstarrerKo¨rper.............. 201
6.1 DerstarreKo¨rper .................................................. 201
6.2 DieebeneBewegung,TranslationundRotation ......................... 202
6.3 KinematikderebenenBewegungstarrerKo¨rper......................... 205
6.3.1 TranslationundRotation ...................................... 205
6.3.2 RollenundGleiten ........................................... 209
6.3.3 DermomentaneGeschwindigkeitspol ........................... 211
6.3.4 Regeln zur Bestimmung von Geschwindigkeiten und des
Geschwindigkeitspols......................................... 212
6.3.5 RastpolbahnundGangpolbahn ................................. 214
6.3.6 DermomentaneBeschleunigungspol ............................ 217
X Inhaltsverzeichnis
6.3.7 RelativbewegungeninrotierendenBezugssystemen................ 217
6.3.8 AufgabenzuAbschnitt6.3..................................... 220
6.4 KinetikderebenenBewegungstarrerKo¨rper ........................... 225
6.5 Massentra¨gheitsmomente............................................ 228
6.5.1 Massentra¨gheitsmomente fu¨r einfache Ko¨rper bezu¨glich der
Schwerpunkte ............................................... 228
6.5.2 Massentra¨gheitsmomente beiVerschiebung der Achsen: DerSatz
vonSteiner.................................................. 231
6.5.3 AufgabenzudenAbschnitten6.4und6.5 ........................ 236
6.6 RollenundGleiten ................................................. 238
6.6.1 Grundgleichungen............................................ 238
6.6.2 AufgabenzuAbschnitt6.6..................................... 240
6.7 DerEnergiesatzfu¨rdenstarrenKo¨rperinderebenenBewegung ........... 243
6.7.1 FormulierungdesEnergiesatzes ................................ 243
6.7.2 AufgabenzuAbschnitt6.7..................................... 246
6.8 Schnittgro¨ßeninbewegtenSystemen .................................. 247
6.8.1 AufgabenzuAbschnitt6.8..................................... 249
7 GrundlagenderRotordynamik ....................................... 251
7.1 DerSchwerpunktsatzundderMomentensatz ........................... 251
7.2 Massentra¨gheitsmomente undMassentra¨gheitsmatrix .................... 253
7.2.1 De(cid:191)nitionen................................................. 253
7.2.2 Auf(cid:191)ndenvonHauptachsen.................................... 254
7.2.3 Massentra¨gheitsmomente fu¨r einfache Ko¨rper bezu¨glich der
Schwerpunkte ............................................... 256
7.2.4 Massentra¨gheitsmomente bei Parallelverschiebung der
Koordinatenachsen: DerSatzvonSteiner ........................ 260
7.2.5 Massentra¨gheitsmomente beiVerdrehungderKoordinatenachsen .... 262
7.2.6 Bedingungenfu¨reinenidealenRotorundAuswuchten............. 266
7.3 Arbeit,Energie,Leistung,DrehimpulsundEnergiesatz................... 269
7.4 AufgabenzudenAbschnitten7.1bis7.3 .............................. 271
7.5 DiekritischeDrehzahlvonRotorenmitbiegeelastischer Welle ............ 277
7.5.1 DerLaval-La¨ufer............................................. 277
7.5.2 AufgabenzuAbschnitt7.5..................................... 279
8 KinematikundKinetikderra¨umlichenBewegungstarrerKo¨rper ......... 281
8.1 KinematikderRelativbewegungen .................................... 282
8.1.1 ZeitableitungenimbewegtenBezugssystem ...................... 282
8.1.2 DerWinkelgeschwindigkeits- undderWinkelbeschleunigungsvektor . 285
8.1.3 AufgabenzuAbschnitt8.1 .................................... 288
8.2 KinematikimRaummitEulerWinkeln................................ 291
8.2.1 Erkla¨rungderEulerWinkelaneinemBeispiel .................... 291
8.2.2 BeschreibungrotierenderBezugssystememitEulerWinkeln ........ 292
8.2.3 AufgabenzuAbschnitt8.2 .................................... 296
Inhaltsverzeichnis XI
8.3 KinetikstarrerKo¨rperimInertialsystem ............................... 297
8.3.1 DerSchwerpunktsatzfu¨rdenstarrenKo¨rper...................... 297
8.3.2 DerMomentensatzfu¨rdenstarrenKo¨rper........................ 298
8.3.3 AlternativeHerleitungdesMomentensatzesfu¨rebeneBewegungen .. 299
8.4 KinetikstarrerKo¨rperinbewegtenBezugssystemen ..................... 300
8.4.1 DerSchwerpunktsatzinbewegtenBezugssystemen................ 300
8.4.2 DerMomentensatzinbewegtenBezugssystemen.................. 304
8.4.3 Koordinatendarstellungen desMomentensatzes ................... 305
8.4.4 Diepermanente,stabileVerdrehungdesmomentenfreienKreisels.... 311
8.4.5 AufgabenzuAbschnitt8.4 .................................... 313
8.5 DerMomentensatzmitEulerWinkeln ................................. 318
8.5.1 DerFallΩ =ψ˙ +θ˙.......................................... 318
8.5.2 DerFallΩ =ω.............................................. 320
8.5.3 AufgabenzuAbschnitt8.5 .................................... 323
9 Impuls,DrehimpulsundStoßstarrerKo¨rper ........................... 329
9.1 Impuls-undImpulserhaltungssatz .................................... 329
9.1.1 Impuls-undImpulserhaltungssatz fu¨rdenstarrenKo¨rper ........... 329
9.1.2 Impuls-undImpulserhaltungssatz fu¨rdasSystemstarrerKo¨rper ..... 331
9.1.3 AufgabenzuAbschnitt9.1..................................... 333
9.2 Drehimpuls-undDrehimpulserhaltungssatz ............................ 336
9.2.1 Drehimpuls-undDrehimpulserhaltungssatz fu¨rdenstarrenKo¨rper .. 336
9.2.2 DerDrehimpulssatz fu¨r denstarren Ko¨rper mitDrehung umeine
Hauptachse.................................................. 337
9.2.3 DerDrehimpulssatzfu¨rebeneBewegungendesstarrenKo¨rpers ..... 337
9.2.4 Drehimpuls- undDrehimpulserhaltungssatz fu¨rdasSystemstarrer
Ko¨rper ..................................................... 339
9.2.5 AufgabenzuAbschnitt9.2..................................... 341
9.3 DerStoßstarrerKo¨rper ............................................. 344
9.3.1 BegriffezumStoßundEinteilungdesStoßes ..................... 344
9.3.2 AnnahmenzumStoß.......................................... 346
9.4 DergeradezentrischeStoß .......................................... 347
9.4.1 Voraussetzungen zumgeradenzentrischenStoß ................... 347
9.4.2 ErsterSonderfall:DerelastischeStoß............................ 348
9.4.3 ZweiterSonderfall:DerplastischeStoß ......................... 348
9.4.4 AllgemeinerFall:Derelastisch-plastische Stoß ................... 349
9.4.5 AufgabenzuAbschnitt9.4..................................... 356
9.5 DerexzentrischeStoß............................................... 359
9.5.1 FormulierungdesImpuls-unddesDrehimpulssatzes............... 359
9.5.2 AufgabenzuAbschnitt9.5..................................... 364
XII Inhaltsverzeichnis
10 GrundlagenderSchwingungslehre .................................... 369
10.1 EinteilungvonSchwingungennachverschiedenenMerkmalen ............ 370
10.2 EinteilungvonSchwingungennachdemzeitlichenVerlauf ............... 372
10.3 DieZeigerdarstellung unddieU¨berlagerungvonSchwingungen ........... 374
10.4 Freieungeda¨mpfteSchwingungen .................................... 376
10.4.1 Schwingungsbewegungen starrerKo¨rper ......................... 376
10.4.2 ErsatzsystemeelastischerSysteme .............................. 378
10.4.3 ErsatzfedernbeiFederschaltungen .............................. 380
10.4.4 VertikaleSchwingungenstarrerKo¨rperimSchwerefeld ............ 383
10.4.5 Pendelschwingungen starrerKo¨rperimSchwerefeld ............... 384
10.4.6 Pendelschwingungen des federgelagerten starren Ko¨rpers im
Schwerefeld................................................. 385
10.4.7 Energiebetrachtungen......................................... 387
10.4.8 AufgabenzuAbschnitt10.4.................................... 388
10.5 Freiegeda¨mpfteSchwingungen ...................................... 393
10.5.1 DieNormalformfu¨rfreiegeda¨mpfteSchwingungen ............... 393
10.5.2 StarkeDa¨mpfungmitD >1................................... 394
10.5.3 Grenzda¨mpfungmitD =1 .................................... 395
10.5.4 SchwacheDa¨mpfungmitD <1................................ 396
10.5.5 Da¨mpfungdurchtrockeneReibung.............................. 401
10.5.6 Schwingungendesfeder-undda¨mpfergelagerten Ko¨rperpendels..... 403
10.5.7 AufgabenzuAbschnitt10.5.................................... 404
10.6 Erzwungenegeda¨mpfteSchwingungen ................................ 406
10.6.1 VierFa¨llemitperiodischenAnregungen ......................... 406
10.6.2 VereinheitlichteLo¨sungfu¨rdiegeda¨mpfteSchwingungmitAnregung 408
10.6.3 SchwingungenumdiestatischeRuhelage ........................ 410
10.6.4 TabellarischeZusammenfassungderLo¨sungen.................... 411
10.6.5 Erzwungeneungeda¨mpfteSchwingungen ........................ 413
10.6.6 Ergebnissefu¨rdieBeispieleausAbschnitt10.6.1 ................. 415
10.6.7 AufgabenzuAbschnitt10.6.................................... 420
A Anhang ........................................................... 425
A.1 GrundlagenderVektorrechnung ...................................... 425
A.1.1 Rechenoperationen ........................................... 426
A.1.2 VektorbasisundBasisdarstellungvonVektoren ................... 428
A.1.3 BasiswechselinderEbeneundKoordinatentransformation.......... 429
A.2 BeweisderGleichungen(4.51) ...................................... 430
A.3 HerleitungenzumAbschnitt8.1 ...................................... 431
A.4 Lo¨sungenzudenAufgaben .......................................... 433
A.5 LehrprogrammemitverschiedenenSchwerpunkten...................... 441
Literaturverzeichnis .................................................... 443
Index................................................................. 445