Leerboek der differentiaal

463 Pages·2010·16.47 MB·Dutch

Huygens Institute - Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences (KNAW)

Citation:

H.A. Lorentz, Leerboek der differentiaal- en integraalrekening en van de eerste beginselen der
analytische meetkunde met het oog op de toepassingen in de natuurwetenschap, edition , volume

This PDF was made on 24 September 2010, from the 'Digital Library' of the Dutch History of Science Web Center (www.dwc.knaw.nl)
> 'Digital Library > Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences (KNAW), http://www.digitallibrary.nl'
- 1 -
..
LEERBOEK
DEH
DlFFERENTLUL- EN INTEGRAALREKENING.
- 2 -
- 3 -
LEERBOEK
DER
:lIFFERENTIAAL- INTEGRAALREKENING
EN
EN VAN
DE EERSTE BEGINSELEN DER ANALYTISCHE JlEETIUNDE
:MET HET OOG OP DE TOEPASSINGEN
IN DE NATUURWETENSCHAP
BEWERKT DOOR
DR. H. A. LORENTZ,
Hoocleeraar te Leiden.
LEIDEN. - E. J. BRILL.
1882.
- 4 -
---_._
....
GEIlRIJKT RU E. .l. BlULL. LElDEN.
I
- 5 -
VOO RREDE.
Sedert eenigen tijd helast met lessen over de differentiaal- en
integraalrekening voor toehoorders, die llezp vakken hoofdza,kelijk
als hulpmiddelen voor de studie der natuurwetenschap hebben te
beoefenen, miste ik een leerboek, naar hunne behoeften ingericht.
De bestaande werken, althans de Nederlandsehe, schenen mij voor
deze lezers aan den eenen kant te uitgebr!1id, aan den anderen
kant te zuiver wiskundig van inhoud. Wlen het vooral om de
toepassingen te doen is zullen vele beschouwingen over de eigen
~chappen van kromme lijnen en oppervlakken, over aanrakingen
ran verschillende orde, over buig- en keerpuuten en dergelijke
weinig belang inboezemen. Maar wel zal hij wenschen in te zien,
hoe vele vraagstukken uit de physica en mechanica tot de grond
hegrippen der differentiaalrekening leiden en slechts met behulp
daarvan kunnen worden opgelost. Hij zal in den regel den tijd
niet vinden, om zich op de hoogte te stellen van de vele vernuf
tige methoden, waardoor de waarden van integralen bepaald kun
nen worden, maar vertrouwdheid met de beginselen der integraal
rekening en· genoegzame bedrevenheitl, om vraagstukken, waarbij
"envoudige integralen optreden, te kunnen behandelen, zal hij niet
kunnen ontbeeren. Eveneens zal hij enkele belangtijke differentiaal-
. vergelijkingen moeten kunnen oplossen, oTschoon men niet mag
verwachten, dat hij aan vergelijkingen, die slechts door de mathe-
- 6 -
VOOBJU!DE.
matische ~choonheid hunner oplossing uitmunten, zijne aandacht
zal schenken.
Geen leerboek vindende, naar deze beginselen geschreven, besloot
ik er zelf een samen te stellen, waarbij ik zuiver wiskundige toe
passingen op den achtergrond schoof en tot opheldering van vele
voorbeelden uit de mechanica en de natuurkunde, voor dit doel
zoo bij uitstek geschikt, gebruik maakte.
Ook in sommige andere opzichten ben ik van den gebruikelijken
leergang afgeweken. Zoo heb ik het theorema van TayIor beban-
4eld op de plaats, die mij het natuurlijkst toescheen, nl. na de
hoofdstukken over enkelvoudige en dubbele integralen. Ik meende
dit zonder bezwaar te kunnen doen, daa.r toch voor de lezers, die
ik mij voorstelde, eene studie niet alleen van de differentiaal-, maar
ook van de integraalrekening een vereischte is.
Aan het theorema van Founer beb ik een hoofdstuk gewijd, dat,
naar ik hoop, al beva.t het geen gebeel volledig bewijs, toch een
voldoend inzicht in de beteekeni8 van deze belangrijke stelling kan
geven. Tegenover dit gewoonlijk in een elementa.iren cursus niet
behandelde onderwerp, zou ik op verschillende bekortingen en weg
latingen kunnen wijzen; o. 11.. is dl> theorie der complexe grootheden
1!lechts zoover behandeld als dit voor de oplossing "fan lineaire
differentiaalvergelijkingen noodig is.
Daar ik slechts bekendheid wenechte te onderstellen met hetgeen
men gewoonlijk de lagere wiskunde noemt. heb ik in het tweede
en derde hoofdstuk eene inleiding over de analytische meetkunde
gegeven. Wel ja waar zullen de meeste lezers die door eene opzet
telijke studie over dit onderwerp moeten aanvullen, maar het sal
mi8Schien sommigen niet onwelkom zijn, reeds vroeg met het
gebruik van coördinaten en vergelijkingen, ook in de meetkunde
der mimte, bekend te worden.
LEl1>Elf, Mei 1882." H. A. LQRENTZ.
- 7 -
INHOUD.
Blndz.
HOOFDSTUK 1. De eenvoudigste flIDctiën 3.
• Il. Graphische voorstelling van functiën. Grond·
beb-inselen der annlytiache meetkunde van het
platte vlak . . . . 27.
• lIl. Coördinaten in de ruimte . . . . . . 66.
IV. Grondbegrippen der dÜferentiaBlrekening . 84.
V. H.egels voor het dill'erentieeren. Toepassingen. 108.
• VI. Differcntiaalquotienten van hoogere ordc . . 14i\.
VII. Parlieele dilfcrentiaalquotienten . 172.
"
VIII. Grondbegrippen en grondformules der integraal-
rekening . .... 228.
IX. Dubbele en veelvoudige integralen 282.
X. Het theorema van Taylor . • 321.
• XI. Hulpmiddelen voor het integreeren 345.
• XII. Het theorema van Fourier 363.
XIIl. Differentiaalvergelijkingen 382.
H
(lplossing der vraagstukken 432.
,
..
\-.
- 8 -
- 9 -
INLEIDING.
In vele wetenschappen. met name in die, welke zich m~t
de verschijnselen der natuur, of met de toepassing der
natuurwetten bezig houden, spelen wiskundige beschou
wingen eene belangrijke rol. De sterrenkunde, in deze
richting ver ontwikkeld, onderwierp reeds voorlang de
bewegingen der hemellichamen aan mathematische bereke
ning. Niet mindel." bood de natuurkunde in den engeren
zin van het woord een steeds ruimer veld voor toepassin
gen der wiskunde. Met dit machtige hulpmiddel gewapend
kon men den inwendigen bouw der lichamen, ontoegan
kelijk voor onmi~dellijke waarneming, lee.ren kennen, e~n
blik [lIaan in het wezen van het licht en de warmte, den
electrischen stroore aan vaste wetten binden. Zuivere en
toegepaste mechanica zijn zonder de hulp der wiskunde
ondenkbaar. De scheikunde streeft er naar het voorbeeld
der natuurkunde te volgen en enkele hoofdstukken u:t de
physiologie, geologie en meteorologie laten reeds mathe
matische behandeling toe.
Eén onderdeel der wiskunde vooral vond veelvuldige
. toepassing. De verklareude natuurwetenschap onderwerpt,
. waar het slechts mogelijk is, de verschijnst'len aan meting
.. en tracht, na de daarbij voorkomende grootheden door ge-
tallen voorgesteld te hebben, in eene natuurwet uit te
drukken, hoe de verandering der eene die der andere ten
gevolge heeft. Gold het b. v. de beweging van een val
lend voorwerp of van een hemellichaam, dan werden op
1
- 10 -