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La mathématisation
du réel
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Seuil
LA MA TRÉMA TISA TION
DU RÉEL
GIORGIO ISRAEL
LA MA TRÉMA TISA TION
,,
DU REEL
ESSAI SUR LA MODÉLISATION MATHÉMATIQUE
OUVRAGE PUBLIÉ AVEC LE CONCOURS
DU CENTRE NATIONAL DU LIVRE
ÉDITIONS DU SEUIL
27, rue Jacob, Paris VI'
ISBN 2-02-021537-3
© ÉDITIONS DU SEUIL, JANVIER 1996
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A Paolo
Une multitude infinie de langages inonde le monde.
Gershom ScHOLEM
Introduction
L'intervention des mathématiques dans les activités théoriques et
pratiques des hommes est si répandue et si profonde qu'un célèbre
physicien, Eugene P. Wigner, s'est posé, il y a quelques années, laques
tion del'« irraisonnable efficacité des mathématiques» (WIGNERE . P.
1960). En fait, cette manière de poser le problème en réduit de beaucoup
la portée et l'importance, car l'expression de Wigner se fonde sur l'idée
d' «efficacité», et donc d' «utilisation» ou d' «utilité» des mathéma
tiques. Il s'agit d'un point de vue certainement proche de notre sensibi
lité contemporaine, mais il n'exprime que de façon très limitée le sens de
la présence des mathématiques dans nos rapports avec le monde. En effet,
depuis plusieurs siècles, les mathématiques sont non seulement un outil
extrêmement important pour agir sur la nature et la modifier, un des
piliers principaux de la technique et de la technologie, mais aussi (et peut
être surtout) un instrument majeur pour la comprendre. En ce sens, elles
sont non seulement source d'utilité mais aussi de« vérité». A partir du
xvne siècle, nos représentations du monde (pas seulement du monde de
la nature) sont de plus en plus souvent des images mathématiques. Cette
invasion des mathématiques, dans les processus de description et d'ana
lyse du monde comme dans les techniques d'intervention active sur lui,
est ce que nous appelons la « mathématisation » de la réalité.
Dans une perspective très générale, la vision mathématique du monde
(et le processus de« mathématisation» correspondant) ne commence pas
avec la révolution scientifique du xvne siècle. Il est vrai que l'idée selon
laquelle le monde ne peut être compris que si l'on connaît la langue dans
laquelle il a été écrit, à savoir les mathématiques, fut énoncée pour la
première fois d'une façon claire et explicite par Galilée. Mais cette idée
n'était pas complètement nouvelle : elle plonge ses racines dans une
longue tradition pythagoricienne, néopythagoricienne et platonicienne,
qui trouve son expression la plus claire dans la pensée de la Renaissance.
Suivant cette idée, les structures du monde sont représentées et détermi
nées par des nombres et par un réseau compliqué et mystérieux d 'har-
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Introduction
manies et d'associations. Certes, la distance est énorme entre ces visions
numérologiques, toujours qualitatives et souvent à caractère mystique, et
la vision objectiviste, rationaliste et quantitative du rôle des mathéma
tiques qui caractérise la pensée de Galilée; à tel point qu'il est tout à fait
naturel d'y voir une vraie rupture. Mais il s'agit d'une distance qui, dans
le parcours historique réel, est parsemée de transitions graduelles. Un
exemple caractéristique d'une telle transition est la conception képlé
rienne de la structure du cosmos, issue de la vision platonicienne d'un
Univers ordonné selon un plan mathématique préétabli. L'image du
monde proposé par Kepler à la fin du xvf siècle dans son Mysterium cos
mographicum - le nombre des cieux, leurs proportions et les relations
de leurs mouvements auraient été établis par Dieu en accord avec les
propriétés des cinq corps réguliers de la géométrie - recourt aux idées
géométriques plutôt qu'à la numérologie, mais conserve encore un lien
évident avec les visions mystiques et ésotériques qui caractérisaient la
pensée de la Renaissance.
Ce livre n'a pas pour but de traiter un thème aussi large. Son objet est
plutôt de traiter de la forme plus récente et plus moderne de la « mathé
matisation»: la modélisation mathématique. Cependant, ce n'est qu'en
prenant en compte la complexité conceptuelle du processus de mathé
matisation et la grande richesse de son évolution historique que l'on peut
définir d'une façon précise les thèmes dont nous nous occuperons ici.
Les différentes formes sous lesquelles se présente la vision mathématique
de l'Univers ont des liens qui ne doivent pas nous faire oublier leurs
diversités et leurs caractéristiques spécifiques. Si la numérologie de la
Renaissance est très différente de la cosmologie géométrique képlérienne,
elle-même différente des conceptions quantitatives du monde physique
d'un Galilée, d'un Descartes ou d'un Newton, la modélisation mathéma
tique est aussi une forme de mathématisation originale.
L'histoire des sciences ne nous aide en vérité pas beaucoup à saisir ces
différences, car, bizarrement, peu de travaux existent sur le thème de la
mathématisation. Stephen Brush l'a justement remarqué : « On admet,
en général, que le raisonnement mathématique est une caractéristique
essentielle du développement de la science des quatre siècles écoulés. Et
pourtant, avec l'émergence récente de l'histoire des sciences comme
discipline autonome, on a assisté à une tendance marquée à omettre toute
analyse critique sérieuse de ce genre de raisonnement.» (BRUSHS . G.
1976, p. 115.) Nous nous interrogerons, dans ce livre, sur l'analyse his
torique de la mathématisation et sur les causes de sa pauvreté, mais nous
ne pourrons certainement pas y remédier. Si nous parvenions à définir une
série de questions ouvertes et à établir les éléments d'une analyse cri
tique, nous serions déjà satisfaits.
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Introduction
Le terme « modèle » est si général, si ancien et si répandu qu'il est
tout à fait naturel - comme le fait la pratique scientifique présente - de
l'utiliser d'une façon extensive, et même de désigner par « modèle
mathématique» toute forme de description mathématique d'une classe
de phénomènes. Mais l'utilisation non critique de ce terme, ainsi que )
d'autres termes analogues, n'aide pas à comprendre ni à distinguer les
caractéristiques spécifiques des différentes formes de mathématisation.
Selon nous, la modélisation mathématique est une forme de mathémati-1
sation presque sans précédent, typique de notre siècle et présentant des
caractéristiques distinctives très nettes par rapport aux formes de mathé
matisation antérieures.
Sans vouloir anticiper sur la discussion qui fait l'objet de ce livre, nous
nous bornerons à observer que les caractéristiques spécifiques de la
modélisation mathématique sont essentiellement au nombre de deux.
En premier lieu, le renoncement à toute tentative d'aboutir à une image
unifiée de la nature : un modèle mathématique est un fragment de mathé- ~
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matique appliqué à un fragment de réalité. Non seulement un seul modèle J
peut décrire différentes situations réelles, mais le même fragment de
réalité peut être représenté à l'aide de modèles différents. En second lieu,
la méthode fondamentale de la modélisation est l' « analogie mathéma
tique » (o ù le fragment de mathématiques unifie tous les phénomènes
qu'il est censé représenter), et non plus l' « analogie mécanique», qui a été
pendant très longtemps le procédé principal de la mathématisation.
L'étude mathématique de la nature a débuté dans le contexte de la
science du mouvement (la mécanique), de l'astronomie et, plus générale
ment, del' étude des phénomènes physiques. Les mathématiques n'ont pas
fait irruption dans ce contexte comme un simple instrument pratique et sub
sidiaire d'une physique dont les buts fondamentaux auraient été définis
indépendamment. Dans la formation de la mécanique et plus généralement
de la physique, les mathématiques ont eu un rôle constitutif. On comprend
ainsi non seulement que la physique est liée d'une façon indissoluble aux
images mathématiques, mais qu'en outre, dans les descriptions mathéma
tiques des phénomènes, les images physiques sont les images privilégiées
et, pour ainsi dire, « naturelles ». D'où le recours « spontané » à l 'analo
gie mécanique, car la mécanique a été, tant du point de vue historique que
du point de vue conceptuel, le noyau de formation de la physique. De plus,
la mathématisation des phénomènes physiques a toujours visé à donner une
image mathématique unique et univoque de la réalité. Pour des raisons et
sous des formes que nous nous proposons d'analyser dans ce livre, la dis
solution de ces deux aspects dans la modélisation mathématique de notre
siècle a entraîné le renoncement à l'univocité de la représentation du réel
comme au rôle privilégié del' analogie mécanique. D'autre part, l'essor de
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