L3 Université de Toulon 2017/2018 Présentation de l'option Algèbre

29 Pages·2017·0.23 MB·French

by  Yves Aubry

Universit´e de Toulon
LicencedeMath´ematiques-L3 2017/2018Pr´esentationdel’optionAlg`ebre
Licence de Math´ematiques - L3
Universit´e de Toulon
2017/2018
Pr´esentation de l’option Alg`ebre
Yves Aubry
Septembre 2017
La l´egende raconte que sur sa tombe, on pouvait lire un probl`eme,
duˆ `a M´etrodore, permettant de calculer son ˆage `a son d´ec`es.
Voici une version de cette ´epitaphe en alexandrins :
Passant,souscetombeaureposeDiophante.
Cesquelquesverstrac´esparunemainsavante
Vonttefaireconnaˆıtre`aquelˆageilestmort.
Desjoursasseznombreuxqueluicomptalesort
Lesixi`ememarqualetempsdesonenfance;
Ledouzi`emefutprisparsonadolescence.
Desseptpartsdesavie,uneencores’´ecoula,
Puiss’´etantmari´e,safemmeluidonna
Cinqansapr`esunfilsqui,dudestins´ev`ere
Re¸cutdejoursh´elas!deuxfoismoinsquesonp`ere.
Dequatreans,danslespleurs,celui-cisurv´ecut.
Dis,situsaiscompter,`aquelˆageilmourut.
Universit´e de Toulon
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Vers l’an 280 apr`es J.-C, le p`ere de l’Alg`ebre,
Diophante d’Alexandrie, disparaˆıt...
Universit´e de Toulon
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Vers l’an 280 apr`es J.-C, le p`ere de l’Alg`ebre,
Diophante d’Alexandrie, disparaˆıt...
La l´egende raconte que sur sa tombe, on pouvait lire un probl`eme,
duˆ `a M´etrodore, permettant de calculer son ˆage `a son d´ec`es.
Voici une version de cette ´epitaphe en alexandrins :
Passant,souscetombeaureposeDiophante.
Cesquelquesverstrac´esparunemainsavante
Vonttefaireconnaˆıtre`aquelˆageilestmort.
Desjoursasseznombreuxqueluicomptalesort
Lesixi`ememarqualetempsdesonenfance;
Ledouzi`emefutprisparsonadolescence.
Desseptpartsdesavie,uneencores’´ecoula,
Puiss’´etantmari´e,safemmeluidonna
Cinqansapr`esunfilsqui,dudestins´ev`ere
Re¸cutdejoursh´elas!deuxfoismoinsquesonp`ere.
Dequatreans,danslespleurs,celui-cisurv´ecut.
Dis,situsaiscompter,`aquelˆageilmourut.
Universit´e de Toulon
LicencedeMath´ematiques-L3 2017/2018Pr´esentationdel’optionAlg`ebre
En 1621 est publi´ee la traduction du Grec au
Latin des Arithmetica, principal ouvrage de
Diophante.
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LicencedeMath´ematiques-L3 2017/2018Pr´esentationdel’optionAlg`ebre
En 1621 est publi´ee la traduction du Grec au
Latin des Arithmetica, principal ouvrage de
Diophante.
“J’ai trouv´e une merveilleuse d´emonstration de cette proposition.
Mais la marge est trop ´etroite pour la contenir.” Pierre de Fermat
Universit´e de Toulon
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Autour de 1660 quelque part en France...
“J’ai trouv´e une merveilleuse d´emonstration de cette proposition.
Mais la marge est trop ´etroite pour la contenir.” Pierre de Fermat
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Autour de 1660 quelque part en France...
Pierre de Fermat
Universit´e de Toulon
LicencedeMath´ematiques-L3 2017/2018Pr´esentationdel’optionAlg`ebre
Autour de 1660 quelque part en France...
“J’ai trouv´e une merveilleuse d´emonstration de cette proposition.
Mais la marge est trop ´etroite pour la contenir.”
Universit´e de Toulon
LicencedeMath´ematiques-L3 2017/2018Pr´esentationdel’optionAlg`ebre
Autour de 1660 quelque part en France...
“J’ai trouv´e une merveilleuse d´emonstration de cette proposition.
Mais la marge est trop ´etroite pour la contenir.” Pierre de Fermat
Exo : Il suffit de le montrer pour les exposants premiers impairs (cid:96).
Th´eor`eme
Soit ζ une racine primitive (cid:96)-i`eme de l’unit´e dans C. Si l’anneau
Z[ζ] est principal, l’´equation n’a pas de solutions enti`eres non
triviales.
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Conjecture de Fermat
Pour n ≥ 3 et x,y,z ∈ Z :
xn +yn = zn =⇒ xyz = 0