Table Of ContentJan Evensmo
Kvantitative
metoder —
Analyse og simulering
av økonomisk/
administrative modeller
NBR-DEPOTBIBLIOTEKET
POSTBOKS 273 - 8601 MO
TANO 1991
© Jan Evensmo og TANO A.S., 1990
© 2. utgave Jan Evensmo og TANO A.S., 1991
Omslag: Inger Lise Engebretsen
ISBN 82-518-2994-1
Innhold
Forord
Del 1 — Modeller i økonomi og administrasjon 13
1.1 Hva er en modell? 14
1.1.1 En modell er en "forenkling av virkeligheten" 14
1.1.2 Modellteknikk 15
1.1.3 Innledning til simuleringsmetodikk 18
1.1.4 Modellbygging 22
1.1.5 Kvantitative metoder - i et storre perspektiv 25
Del 2 — Lineær programmering 29
2.1 Innledning 30
2.2 LP-modellering i det små 34
2.2.1 LP-modeller med to variabler 34
2.2.2 LP-modeller med tre variabler 67
2.3 LP-modellering for diverse anvendelsesområder 79
2.3.1 Kapasitetsplanlegging 79
2.3.2 Blanding og avbalansering 88
2.3.3 Trim 96 '
2.3.4 Transport 106
2.3.5 Jobbfordeling 120
2.3.6 Diverse planleggingsproblemer 129
Del 3 — Nettverksmodeller 151
3.1 Innledning 152
3.2 Introduksjon til Dynamisk Programmering 154
3.3 Dynamisk Programmering anvendt på heltallsoptimering 163
3.4 Dynamisk Programmering anvendt på ikke-lineær
optimering 168
3.5 Dynamisk Programmering anvendt på produksjons- og
lagerstyring 179
6
3.6 Prosjektplanlegging og prosjektstyring ved hjelp av
nettverk 192
3.6.1 Konstruksjon av nettverk og grunnleggende
beregninger 192
3.6.2 Konstruksjon av prosjektplan 206
3.6.3 Behandling av usikkerhet i prosjektplanlegging 221
3.6.4 Definisjon av aktiviteter 229
Del 4 — Lagermodeller og lagerstyring 237
4.1 Innledning 238
4.1.1 Faktorer som påvirker lagerhold 239
4.1.2 Lagerstyringsprinsipper 244
4.2 Deterministisk én-vare lager 248
4.2.1 Lagerteori - grunnleggende modell 248
4.2.2 Rabatt 255
4.2.3 Utsolgtkostnader 258
4.2.4 Servicegrad 264
4.2.5 Produksjonslager 266
4.2.6 Variabel deterministisk etterspørsel 268
4.3 Deterministisk fler-varelager 274
4.3.1 Fellesbestilling 274
4.3.2 Begrenset lagerplass 278
4.3.3 Begrenset kapital 282
4.4 Modeller under usikkerhet 284
4.4.1 Diskrete sannsynlighetsfordelinger 284
4.4.2 Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 292
4.5 Engangsbestilling under usikkerhet 302
4.6 Stokastisk én-varelager 308
4.6.1 Poissonfordelt etterspørsel 308
4.6.2 Bestillingspunktprinsippet 309
4.6.3 Sammenligning av deterministisk og stokastisk
modell 320
4.6.4 Periodebestillingsprinsippet 321
4.6.5 Stokastisk leveringstid 326
Del 5 — Køteori 329
5.1 Innledning 330
5.1.1 Klassifisering av køsystem 330
5.1.2 Klassifisering av køproblemer 336
5.2 Situasjonsbeskrivelse — et gjennomgangseksempel 340
7
5.3 Ankomstprosessen 342
5.4 Betjeningsprosessen 355
5.5 Køsystemet Nf. M 1 359
5.6 Økonomisk vurdering av køsystemet 372
5.7 Køsystem med plassbegrensning 378
5.8 Køsystem med flere ekspeditører 38-
5.9 Ikke-Markov ankomst- og betjeningsprosesser 397
5.10 Køsystemet M G 1 406
5.11 Rekonstruksjon av virkeligheten -10
5.12 Konsekvensberegning av endrede betj eningsregler 419
5.13 Når teori ikke lenger er tilstrekkelig... 423
r>el 6 — Stokastisk simuleringsmetodikk 425
6.1 Nlonte Carlo simulering 426
6.2 Generering av tilfeldige siffer 442
6.3 Pseudo-tilfeldige tall 447
6.4 Tilfeldige trekninger fra sannsynlighetsfordelinger 451
6.4 1 Tilfeldige trekninger fra diskrete sannsvnlighets-
fordelinger 451
6.4 .2 Tilfeldige trekninger fra kontinuerlige sannsynlighets
fordelinger 455
6.5 Simulering av køsystemer 471
6.6 Simulering av lagersystemer 486
Del 7 — Deterministisk simuleringsmetodikk 489
“.1 Befolkningsmodeller 490
7.1 .1 Fødsels- og dødsprosesser 490
".1.2 Befolkningsmodell med veksthindring 502
".1.3 Befolkningsmodeller under konkurranse 507
7.2 Introduksjon til Systemdynamikk 514
".3 Dynamiske modeller av produksjons- og lagersystemer 520
".4 Prognosemetoder i simuleringsperspektiv 533
8
7.5 Økonomiske modeller 555
7.5.1 En enkel markedsmodell 555
7.5.2 Akseleratorteori for investeringer 561
Appendix 1 — Maksimering/Minimering med heltallskrav 566
Appendix 2 —Trigonometriske funksjoner 571
Appendix 3 — Rekkeregning 577
Appendix 4 — Integralregning 580
Appendix 5 — Differensialligninger 583
Fasit til utvalgte oppgaver 598
Forord
Kjennskap til og utbredelse av kvantitative metoder, modellbygging,
operasjonsanalyse, "management science" eller hva vi nå velger å kalle det,
er nært knyttet til pedagogisk virksomhet i høyskoler og universiteter. Bare
gjennom grundig og systematisk presentasjon av matematisk/statistiske
metoders forklaringsevne i økonomisk/administrative problemstillinger er
det mulig å skape det faglige miljø som er en forutsetning for praktisk
anvendelse innenfor næringsliv og forvaltning. Kunnskaper og ferdigheter i
metodefag er ikke noe man leser seg til i voksen alder, grunnlaget må legges i
studietiden.
Forfatteren har sitt arbeid ved Handelshøyskolen BI (tidligere Bedrifts
økonomisk Institutt). BI har i mange år hatt matematikk, statistikk og
modellbygging som en del av sitt obligatoriske pensum, og det har vært lagt
stor vekt på de kvantitative deler av alle fag innenfor bedriftsøkonomien. Vi
har gjennom snart femti år bygget opp en betydelig erfaring om hvordan
metodefagene best skal angripes fra en pedagogisk vinkel.
Utviklingen innenfor datateknologien har vært en mektig stimulans for
disse fagene. Mens man tidligere bare kunne gi et innblikk i teorien under
selve studietiden og overlot databehandlingsaspektet til det miljø og de
stormaskiner den enkelte møtte på sin arbeidsplass, er nå PC’en et
obligatorisk men også kjærkomment hjelpemiddel i fagene fra første stund.
Det er derfor nå mulig å arbeide med ganske avanserte kvantitative problem
stillinger i store, unge studentkull innenfor siviløkonomstudiet i Sandvika og
diplomøkonomstudiet over hele landet.
Mangelen på god litteratur har vært tydelig, spesielt litteratur med en
pedagogisk profil som gjør studentene til aktive problemløsere. Teori er
nødvendig, men det er viktig å øve opp ferdigheter i modellbygging og
modellanvendelse gjennom øvelser. Formålet er å gjøre kvantitative
metoder til et praktisk fag, og da må pedagogikken legges opp deretter. Det
finnes mange gode engelskspråklige lærebøker, men det er likevel ingen
grunn til å utsette mange studenter for språkproblemer i tillegg til fagets egne
problemer, spesielt når det er lett å foreslå bedre pedagogiske utforminger av
stoffet.
10
Boken kan nærmest sies å være BI’s ”tredjegenerasjonsverktøy” innenfor
faget kvantitative metoder. Mye godt undervisningsmateriale i form av
kompendier og eksamensoppgaver ble på åttitallet utviklet til bokserien
'Kvantitative metoder i økonomi og administrasjon”, utgitt først på
Aschehoug, senere Tano forlag. Serien fikk tre bind: Jan Evensmo & Frode
Ihlen: Lagermodeller og lagerstyring (1981), Jan Evensmo & Gro Seim:
Analyse og simulering av køsystemer (1982), Jan Evensmo & Gro Seim:
Lineær Programmering (1982). Senere tilkom to kompendier på BI’s eget
forlag: Jan Evensmo: Nettverksmodeller (1988), Jan Evensmo: Simulering
(1989). Disse fem trykksakene er nå blitt bearbeidet og satt sammen til en
helhet. Samtidig har vi gitt en innføring i modeller, samt supplert med et stort
antall nye oppgaver.
Merk at boken ikke er dataorientert, i den forstand at den ikke refererer til
spesielle programmer, bruker utskrifter direkte, eller på annen måte.
Årsaken er at utviklingen går så hurtig at nye og bedre programmer ville
være tilgjengelig før manuskriptet var trykket! Derimot er en stor del av
oppgavene bare mulige å løse ved hjelp av dataverktøy, enten ved ferdige
spesialprogrammer, ved hjelp av regneark, eller ved selv å programmere i et
høynivåspråk. Det antas at andre undervisningsinstitusjoner som vil bruke
denne boken også sørger for at studentene har tilgang på egnet programvare,
slik som vi har gjort ved Handelshøyskolen BI.
Boken er ikke spesielt vanskelig hva angår formell bruk av matematikk og
statistikk. Dette vil studentene sikkert protestere på ved første gangs
gjennomsyn! Poenget er imidlertid at det ikke kreves mer matematikk enn
vanlige grunnkurs i matematisk analyse (Sydsæter. Risnes o.l.) samt et
grunnkurs i statistikk (som alle Bl-studenter på dette nivået har). Det vil
alltid være endel studenter som har dårlig bakgrunn i partiell derivasjon,
integralregning og matematisk statistikk, men det skulle likevel ikke by på
større problemer å lese selv det som mangler. Det er naturlig å presentere
endel utledninger av formler, men det skal være fullt mulig å ”hoppe over”
detaljene og likevel få full nytte av stoffet hva angår øvelser, bruk av
databehandling og forberedelse til eksamen (som på Handelshøyskolen BI
for tiden er 72 timers hjemmeeksamen med dataverktøy). Når boken er
ganske omfangsrik, er det faktisk fordi det har vært benyttet betydelig
grundighet til å forklare de forskjellige modelltypene; det er ikke vanskelig å
lage en bok på halvparten av sideantallet som det er dobbelt så vanskelig å
arbeide seg igjennom!
Boken som helhet er forhåpentlig original nok, men hva enkelteksempler
angår stammer noen fra en uidentifisert "urtid”, noen fra kursvirksomhet ved
Norsk Regnesentral på sekstitallet hvor forfatteren selv fikk sin opplæring,
samt noen fra pensumbøker som tidligere er benyttet ved BI (spesielt Harvey
Wagner: Principles of Operations Research (Prentice Hall), R. Ackoff & M.
Sasieni: Fundamentals of Operations Research (Wiley) og C. D. Lewis:
Scientific Inventory Control (Butterworths)).
11
Et stort antall nåværende og tidligere kollegaer har på forskjellige måter
bidratt i utviklingsprosessen over et tidsrom på snart tyve ar frem til denne
boken den kombinerer det ekstrem: velprOvede gjennom er stort antall kurs
med forfatterens v åkne oye og ore overfor forslag til pedagogiske
forbedringer Forst og fremst vil jeg nevne Gro Seim og Frode Ihlen som
tidligere medforfattere: de ble spurt om å være med i dette prosjektet mer
takkel nei. opptatt som de er i sitt arbeid utenfor BI X dere Harald
Bjomestad. Tran Foss. LTridt Goluke» Gerson Komissar. Dag Tore Mo. Tlf
Henning O.sson. Fred Wenstop og Bjarne Ytterhus som i egenskap av
ansatte eller: nær u knytning til BI har vær* aktive hjelpere t forskjellige
deler av boken. Tidligere kollegaer som Ragnar Andersen. B;?m Elvestad.
Er.k Engebretsen. Sindre Guldvogog XXtfly XV: k har ytet verdifulle bidrag:
tidligere stadier Et stort antall timelærere har gjennom tiden kommet med
forslag til endringerog forbedringer av lærestoffet som denne boken bygger
på X dere har nun studentassistent Inger Hegstad vurdert stoffet med
kritiske brukereyne. og Siv Bjercke samt Hege B Myreng har med uendelig
tålmodighet bidratt til klargjøringen av de to BI-kompendiene som gjorde at
hele bokprosessen tifelutt kom til veis ende'
Forfatteren har lært ihvertfall en ting gjennom de tyve årene det har vært
produsert “byggeklosser" til denne boken: Faglig stoff om kvantitative
metoder blir aldri feilfritt l Ting van alltid gjores enklere, eller ty deligere,
eller fy Idigere. Og det er alltid minst en try kkfeil som ikke er oppdaget Alle
lesere, lærere som studenter, bes derfor om å rapportere .tit som måtte
"skurre" i oye og hjerne.
Handelshoyskolen Bl. Sandvika, apnl 19A'
Jan EvfJtsmo
Takk til alle studenter og lærere som har rapporten feil og uklarheter eller
som har foreslått forbedringer Det .dier meste er bhtt innarbeidet i denne
nye utgaven. Dessuten er fasiten blitt betydelig fy Idigere. noe som oppfyIler
et "folkekrav"!
Handelshoyskolen Bl. Sandvika. september 1^1
d.i/5 Evensmo
