Table Of ContentKRYSTALLOMETRISCHES
PRAKTIKUM
GRUNDBEGRIFFE UND UNTERSUCHUNGSMETHODEN
VON
ROBERT SCHROEDER
ASSISTENT AM MINERALOGISCHEN INSTITUT
DER UNIVERSITAT HEIDELBERG
MIT 156 ABBILDUNGEN
SPRINGER-VERLAG
BERLIN I GOTTINGEN I HEIDELBERG
1950
ALLE RECHTE, INSBESO~DERE DAS DER "GBERSETZUXG
IN FREMDE SPRACHEX, YORBEHALTEN.
COPYRIGHT 1950 BY SPRINGER. YERLAG OH G.
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1950
IN BERLIXi.GOTTINGEXjHEIDELBERG.
ISBN-13: 978-3-540-01495-9 e-ISBN-13: 978-3-642-94573-1
DOl: 10.1007/978-3-642-94573-1
DEM ANDENKEN
AN MEINEN HOCHVEREHRTEN LEHRER
GEHEIMRAT
PROFESSOR DR. V. GOLDSCHMIDT
Vorwort.
Dem Erscheinen dieses Buches liegt der Wunsch zugrunde, die Arbeits
methoden der KrystaIlometrie eingehender zu besprechen, als es in den neueren
Lehrbuchern angezeigt erscheint.
Die KrystaIlometrie beschaftigt sich, wie schon ihr Name sagt, mit den
geometrischen Eigenschaften, d. h. mit der Morphologie der KrystaIle.
Mit anderen Wort en, die KrystaIlometrie umfaBt aIle jene Eigenschaften
und den sich daraus ergebenden Disziplinen, die mit der auBeren Gestalt der
KrystaIle zusammenhangen.
Es wurden zuerst die fUr die Erklarung dieser morphologischen Eigen
schaften notwendigen Grundbegriffe besprochen, anschlieBend daran die Me
thoden, die natig sind, urn zur Erkenntnis dieser Krystallmorphologie zu ge
langen.
Sie wurden so dargestellt, daB der Leser imstande ist, ohne allzu viele theo
retische Betrachtungen den Inhalt der einzelnen Kapitel leicht und sicher zu
verstehen und ausfUhren zu kannen, es wurden deshalb stets einige Beispiele
gegebcn.
DaB dabei die GOLDSCHMIDTschen Methoden besonders berucksichtigt und
benutzt wurden, beruht darauf, daB GOLDSCHMIDT sich gerade mit diesem
Teil der Krystallographie, namlich mit der Krystallometrie, am eingehendsten
und mit vielen Verbesserungen und Vereinfachungen ihrer Methoden mit Er
folg beschaftigt hat.
Mit der kurzen geschichtlichen Einleitung zu den einzelnen Kapiteln hoffe
ich dem Leser eine EinfUhrung zu geben, wie man sich zu den aufeinander
folgenden Zeiten die beste Lasung und die geeignetste Darstellung jener La
Sllngen gedacht hat.
Sehr verbunden bin ich Herrn Prof. Dr. KLEBER fUr das Lescn der Korrektur.
1m ubrigen hoffe ich, daB dieses Buch dem Leser eine leichte und sach
liche Darstellung der krystallometrischen Arbeitsmethoden geben mage, ohne
daB er gezwungen ware, nach den einzelnen, in der Literatur weit verzweigten
Einzelabhandlungen suchen zu mussen.
Heidelberg, Herbst 1950.
ROBERT SCHROEDER.
Inhaltsverzeichnis.
Seile
A. Einleitung 1
B. Die krystallographischen Grundbegriffe und ihre gesehiehtliche Entwicklung 2
I. Einteilungsprinzip der Krystalle 2
a) Die Krystallsysteme nach CHR. S. \YEISS 2
b) Die Symmetrieoperationen. . . . . . . 3
c) Entdeckung des Einteilungsprinzips von HESSEL. 4
d) Ableitung der 32 Symmetrieklassen 6
a) Das synthetische Verfahren 6
fJ) Das analytische Verfahren 6
e) SCHOENFLIESS' Einteilung und Bezeichnung nach Gruppen 8
f) GOLDSCHMIDTS Definition eines Krystallsystems ] 0
g) Bezeichnung von HERMANN-:\!.U;GliIl' ]8
h) Gruppentheorie .......... 19
II. Die krystallographischen Elemente 20
a) Achsen und Achsenebenen. . . . . . 20
b) Zweck der Aufstellung eines Achsensystems . 22
c) Auffassung der Elemente von JVNGHANN. . 23
d) GOLDSCHMIDTS genetische Ableitung der Elemente . 26
III. Die krystallographischen Symbole 33
a) Grundlage fUr eine Symbolisierung. . 33
b) Parameterverhaltnisse als Symbole von \YEISS 34
c) Symbole von J\IoHS 35
d) BERNHARDIS Symbole. . 36
e) Symbole von NAUMANN. 39
f) Symbole von MILLER. . 41
g) GOLDSCHMIDTS polare Symbole. 43
h) Symbole im hexagonalen System. 50
a) WEIsssche Bezeichnung 50
fJ) MILLERS trigonale Symbole . . 51
y) BRAVAIS Symbole . . . . . . 54
15) GOLDSCHMIDTS Aufstellung und Bezeichnung 54
E) PARSONS' Bestimmung der BRAvAIs-Indices. 60
') PEACOCK verwendet nur GOLDSCH~IIDTS G] . 63
IV. Zwillinge 64
Definition 61
Inhaltsverzeichnis. VII
Seite
V. Uber Komplikation 66
a) Zur Beurteilung der Wahrscheinlichkeit einer Flache aus den Zonen 66
b) Einfiihrung der Komplikation durch JUNGHANN . 66
c) FEDOROWS Entwicklung der Komplikation 69
d) GOLDSCHMIDTS ausfiihrliche Betrachtungen 71
e) Untersuchung am Idokras als Beispiel . . 78
f) GOLDSCHMIDTS Auffassung der Komplikation als mathematische Operation 82
g) BAUMHAUERS Auffassung 90
h) Bemerkungen von HAAG und SmDIERFELD 92
c. Messen, Zeichnen und Berechnen der Krystalle . 97
VI. Uber Projektionen ..... 97
a) Die Projektion als Darstellung der Krystalle in einer Ebene 97
b) Die verschiedenen Arten der Projektion 98
c) Linearprojektionen 98
1. Linearprojektion mit Geraden (Euthygraphische Projektion) 98
2. Linearprojektion mit Kreisen (Zyclographische Projektion) 99
d) Punktprojektion 99
e) Die vier konjugierten Punkte und Linien der Projektion 100
f) Die perspektivische Projektion ]05
g) Die Winkelprojektion . . . . 107
h) Gnomonische Projektion 111
i) Beispiele zu diesen Projektionsarten III
k) Stereographische Projektion 115
VII. Messen der Krystalle 117
a) Einfiihrung in die Krystallmessung . 117
b) Vorteile der zweikreisigen Messung . 118
c) Beschreibung des zweikreisigen Goniometers 120
d) Justierung des zweikreisigen Goniometers 123
e) Polarstellen der Krystalle . 125
f) Die Messung von Zwillingen 132
g) Die Messung selbst . . . . 135
h) Das zweikreisige Anlegegoniometer 135
VIII. Uber graphische Krystallberechnung 139
a) Vorteile der graphischen Krystallberechnung ]39
b) Graphische Berechnung der Elemente 140
c) Wichtigkeit zur Erkennung von Zwillingen (Zwillingsbildung) 147
d) Rangordnung .............. ].35
IX. Arithmetische Berechnung der Krystalle 160
a) Hauptaufgabe der rechnenden Krystallographie J 60
b) Berechnung im rhombischen, monoklinen, hexagonalen und triklinen System. 162
ex) Berechnung im rhombischen System 162
(J) Berechnung im monoklinen System 166
y) Berechnung im hexagonalen System 171
(l) Berechnung im triklinen System. . 174
VIII Inhaltsverzeichnis.
Seite
X. Zeichnen der Krystalle . 185
a) Allgemeines 185
b) Kopfbilder und perspektivische Bilder 185
c) Zeichenmethode von A. NIES 189
XI. Krystallmodelle 190
a) Herstellung der Netze aus der gnomonischen Projektion 190
b) Korkmodelle .....•.............. 194
Anhang. Sehnen- und Tangententabelle . 195
Literaturverzeichnis . . 197
Sachverzeichnis . . . . 198
A. Einleitung.
Ais Folgerung tiber den molekularen Aufbau der Krystalle fand HAUY
das Grundgesetz der geometrischen Krystallographie, das Gesetz der ratio
nalen Indices. Da HAUY bemerkte, daB in den meisten beobachteten Fallen
die Indices nur den erst en Zahlen der nattirlichen Zahlenreihe angehi:iren, wurde
das Gesetz spater das Gesetz der einfachen rationalen Indices genannt.
Der Zusammenhang der verschiedenen Flachen eines Krystallsystems ist
bei jeder Krystallbestimmung das erste und hauptsachlichste Ziel. Wie dieser
Zusammenhang aber an den Krystallen in Erscheinung tritt, ist zuerst von
CHR. S. WEISS erkannt worden.
Dieser Zusammenhang bildet ein zweites Gesetz der geometrischen Krystallo
graphie: das Zonengesetz.
Dieses Zonengesetz besteht darin, daB in der Entwicklung der verschiedenen
Flachen jede spatere Flache durch Zonen fruherer Zonenglieder bestimmt wird.
WEISS hat nun bewiesen, daB samtliche Kanten (Zonenachsen) eines Kry
stalls auch rationale Indices haben.
Mit Hilfe der MILLERschen Symbole ist nun leicht, aus den Symbolen zweier
Flachen zu dem Symbol der entsprechenden Zone uberzugehen.
Sind also irgend zwei Flachen mit rationalen Indices gegeben, so sind die
Indices der durch sie bestimmten Zone ebenfalls rationale Zahlen.
Damit ist also bewiesen, daB beide Gesetze, das Rationalitatsgesetz und
das Zonengesetz als ein einziges betrachtet werden ki:innen.
Auf diesem Gesetz beruht nun die gesamte Grundlage der Krystallometrie,
und aus diesem haben sich die krystallographischen Grundbegriffe entwickelt.
Der erste Abschnitt behandelt die Definition und die geschichtliche Ent
wicklung der Grundbegriffe der Krystallometrie.
Der zweite Abschnitt gibt die geometrische Untersuchung der Krystalle
Bezug nehmend auf obige Grundbegriffe.
Die geometrische Untersuchung eines Krystalls beginnt mit der Messung.
Mit der zweikreisigen Messung, die wir ausschlieBlich verwenden, wird die Lage
jeder Flache durch zwei Winkelkoordinaten f{J und (! bestimmt. Diese beiden
Werte geben sofort die Lage der Flachenpunkte in gnomonischer Projektion.
Da nun in der normalen Aufstellung sowohl das Krystallsystem als auch
die Elemente und Symbole abgelesen und abgemessen werden ki:innen, so ist
fUr die meisten FaIle mit dem Eintragen in das gnomonische Projektionsbild
die Berechnung bereits beendet.
Fur Neubestimmung ist allerdings eine arithmetische Berechnung der Ele
mente, einmal fUr gewisse Durchschnittsrechnungen, aber auch wegen der
gri:iBeren Genauigkeit, wiinschenswert.
Schroeder, Krystallometrisches Praktikum. 1
2 Die krystallographischen Grundbegriffe und ihre geschichtliche Entwicklung.
Diese arithmetische Berechnung wird nun durch die zweikreisige Messung
wesentlich vereinfacht.
SchlieBlich wird aus diesem gnomonischen Bild mit Hilfe der Leitlinie und
des Winkelpunktes auch das Kopfbild und das perspektivische Bild gezeichnet
und wenn wunschenswert, auch ein Netz fUr Modelle hergestellt.
Aus dem gnomonischen Bild ist mithin alles zu entnehmen, was fUr die
krystallometrische Bestimmung eines Krystalles notwendig ist.
B. Die krystallographischen Grundbegriffe
und ihre geschichtliche Entwicklung.
I. Einteilungsprinzip der Krystalle (WEISS)
Ein Krystallsystem ist der Inbegriff von Gestalten, denen eine gemein
schaftliche Einheit zugrunde liegt. Es fragt sich nun, worin diese Einheit besteht.
WEISS erkannte den Zusammenhang der verschiedenen Glieder eines Kry
stallsystems in ihrem Bestimmtwerden durch Zonen. Er sagt: "Der Inbegriff
von Gestalten, die ihre Bestimmung sowohl durch die in dies en Formen ge
gebenen Zonen als auch die sich in diesen Zonen weiter entwickelten Formen
bilden ein Krystallsystem."
Die zweite Frage war nun die nach der bestimmenden Eigentumlichkeit
jedes Krystallsystems.
Zunachst wurden die primaren Formen untersucht, die der Entwicklung
der moglichen Formen zugrunde liegen. So wurde bei dies en das Gemeinschaft
Iiche erkannt, wodurch sie sich von den Formen anderer Systeme unterscheiden.
Daraus stellte WEISS [32J folgende Krystallsysteme auf:
a) Die Krystallsysteme nach eBR. S. WEISS.
1. Das regulare System, dessen primare Form das Oktaeder ist.
Der Name regular ist nicht ganz richtig, da ja die Formen der anderen KrystaIl
systeme aIle nach bestimmten Gesetzen und Regeln aufgebaut sind. Der Unter
schied des regularen Krystallsystems gegen die anderen Krystallsysteme be
steht vielmehr darin, daB aIle anderen Systeme mit Ausnahme des regularen
eine gewisse Anzahl variabler Elemente besitzen, wahrend das regulare System
eine in sich geschlossene Einheit bildet.
2. Vom reguHiren System abweichende Systeme.
a) So1che, we1che auf drei untereinander rechtwinkligen, aber nicht samt
lich unter sich gleichen Grunddimensionen beruhen.
I. Viergliedrige: zwei Dimensionen gIeich unter sich, aber ungleich der dritten
(tetragonal) .
II. So1che, wo aIle drei unter sich rechtwinklige Grunddimensionen unter-
einander ungleich sind.
1. Zwei- und zweigliedrig (rhombisch).
2. Zwei- und eingliedrig (monoklin).
Ein- und eingliedrig (triklin).
Die Symmetrieoperationen. 3
b) Solehe, welehe auf einer Hauptdimension und auf drei anderen unter
sich gleichen, von der ersteren verschiedenen und auf diesen senkrecht stehen
den Grunddimensionen beruhen.
Sechsgliedrige (hexagonal): Drei- und dreigliedrige oder rhomboedrisch
(rhomboedrisch oder trigonal).
b) Die Symmetrieoperationen.
Das Einteilungsprinzip der Krystalle beruht lediglich auf dem Symmetrie
begriff. SCHONFLIESS sagt dartiber:
"Es gibt Figuren, welche die besondere Eigenschaft haben, sich selbst auf verschiedene
Weise kongruent oder spiegelbildlich gleich zu sein. Solche Figuren heil3en symmetrische."
Wird eine raumliche Figur an einer Ebene gespiegelt, so geht sie dadurch
in ihr Spiegelbild tiber. 1m Gegensatz zu kongruent heiBt symmetrisch soviel
wie spiegelbildlich gleich.
Die Gesamtheit aller Symmetrieeigenschaften eines Krystalls bezeichnet man
als seine Symmetrie.
Es gibt 4 Arten der Symmetrie:
1. Symmetrieachsen - 2. Symmetrieebenen - 3. Symmetriezentrum -
4. Inversionsachse resp. Drehspiegelungsachse.
ad 1. Die krystallographisch gleichen Flachen sind deckbar gleich (kongruent).
Ein soleher Krystall laBt sich durch Drehung urn bestimmte Linien (Deck
achsen, Symmetrieachsen) mit sich selbst zur Deckung bringen. Diese Deck
achsen konnen infolge des Gitterbaues der Krystalle nur die Werte 2, 3, 4 und 6
annehmen. Diese Ziffern bezeichnen die Zahligkeit der Deckachsen. Ihr Zeichen
ist An.
ad 2. Zwei spiegelbildlich gleiche Flachen sind gleich geneigt gegen eine vor
handene oder mogliche Krystallflache. Eine parallel zu dieser durch den MiUel
punkt gelegten Ebene (Symmetrieebene) teilt dies en in zwei Halften, die sich
verhalten wie ein Gegenstand zu seinem Spiegelbild. Das Zeichen dieser Sym
metrieebene ist s.
ad 3. 1st Inversion fUr sich eine Deckoperation, so sind Richtung und Gegen
richtung einander gleichwertig, es gehort zu jedem Punkt in bezug auf den aus
gezeichneten Punkt (Symmetriezentrum) ein gleichwertiger Gegenpunkt.
ad 4. Die Kombination einer Drehung urn 3600jn mit einer Inversion be
zeichnet man als eine n-zahlige Inversionsachse.
Die Kombination einer Drehung urn 360 °I n mit einer Spiegelung an einer
zu dieser senkrechten Ebene bezeichnet man als Drehspiegelachse.
An sich ist es nun nattirlich gleichgiiltig, ob man die eine oder die andere
Art von Achsen verwendet, da vom geometrischen Standpunkt aus beide durch
aus gleichberechtigt sind. Es ist also nur eine Frage der ZweckmaBigkeit im
Hinblick auf die Erfordernisse der Systematik, welehe der beiden Achsen man
den Vorzug geben will.
Wie BECKE darlegt, verdient aber die Inversionsachse den Vorzug, da bei
Verwendung der Inversionsachse die Krystallklassen C3h und D3h in das hexa
gonale Krystallsystem kommen, wahrend diese beiden Klassen bei Verwendung
der Drehspiegelachsen in das trigonale System kommen wtirden, was ihrem
1*
