Kreisgeometrie: Eine elementare Einführung

261 Pages·2015·3.05 MB·German

by  Günter Aumann (auth.)

Günter Aumann
Kreisgeometrie
Eine elementare Einführung
Springer-Lehrbuch
Günter Aumann
Kreisgeometrie
Eine elementare Einführung
GünterAumann
Bretten,Deutschland
ISSN0937-7433
ISBN978-3-662-45305-6 ISBN978-3-662-45306-3(eBook)
DOI10.1007/978-3-662-45306-3
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
detailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar.
SpringerSpektrum
©Springer-VerlagBerlinHeidelberg2015
DasWerkeinschließlichallerseinerTeileisturheberrechtlichgeschützt.JedeVerwertung,dienichtaus-
drücklichvomUrheberrechtsgesetzzugelassenist,bedarfdervorherigenZustimmungdesVerlags.Das
giltinsbesonderefürVervielfältigungen,Bearbeitungen,Übersetzungen,MikroverfilmungenunddieEin-
speicherungundVerarbeitunginelektronischenSystemen.
DieWiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesemWerk be-
rechtigtauch ohnebesondere Kennzeichnung nicht zuderAnnahme, dasssolcheNamenimSinneder
Warenzeichen- undMarkenschutz-Gesetzgebung alsfreizubetrachtenwärenunddahervonjedermann
benutztwerdendürften.
DerVerlag,dieAutorenunddieHerausgebergehendavonaus,dassdieAngabenundInformationenin
diesemWerkzumZeitpunkt derVeröffentlichungvollständigundkorrektsind.WederderVerlagnoch
die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit,Gewähr für den Inhalt des
Werkes,etwaigeFehleroderÄußerungen.
GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier.
Springer-VerlagGmbHBerlinHeidelbergistTeilderFachverlagsgruppeSpringerScience+BusinessMe-
dia
(www.springer.com)
Vorwort
FürPlatonwardie–spätereuklidischgenannte–GeometrieeinunverzichtbarerBestand-
teilderBildung.DieseStellungbehauptetesiebisindasersteVierteldes20.Jahrhunderts.
DierenommiertestenMathematikerwidmetensich ihrundbereichertensieumneue,oft
überraschendeErkenntnisse. Später erhielt diese Geometrie das Attribut elementar. Das
meinte allerdings nicht, dass sie als grundlegend für die Mathematik betrachtet wurde
(wiediesfürdieElementarteilcheninderChemieoderPhysikzutrifft);siegaltvielmehr
alstrivialunddamitkeinerweiterenBetrachtungwert.SiewurdeindieSchulenund(im
günstigsten Fall) die Ausbildung der Lehrer abgeschoben. Inzwischen ist sie auch dort
nurmehrrudimentärvertreten.
Andererseits gab es noch nie so viele Geometrien wie heute. Dies ist zum einen der
Physikgeschuldet,fürderenmathematischeFundierungdieeuklidischeGeometrielängst
nichtmehrausreicht.ZumanderentragenabervieleTeilgebietederMathematikdieGeo-
metrieimNamen,derengeometrischerGehaltfürdenLaiennichtundfürdenFachmann
kaum erkennbar ist. Dass dort nicht mehr im eigentlichen Sinn geometrisch argumen-
tiertwird,verwundertnicht.DochauchinderElementargeometriegeschiehtdiesimmer
weniger.WährendFelixKleinnochEndedes19.Jahrhundertsinseinemberühmten„Er-
langer Programm“ den eigenständigen Wert der geometrischen Argumentation und der
damit verbundenen räumlichen Anschauung hervorhob, wurde im Laufe des 20. Jahr-
hunderts geometrische Beweisführung immer mehr von algebraischer oder analytischer
verdrängt. In den sechziger Jahren des letzten Jahrhunderts war es dann sogar möglich,
Bücher über Elementargeometrie zu schreiben, die keine einzige Abbildung enthielten.
WährendfrüherGenerationenvonGeometernvollerStolzihrenHörernineindrucksvol-
lenTafelbilderndenästhetischenWertgelungenergeometrischerIllustrationenvorAugen
führten,kokettierenheute„Geometer“damit,keinekorrekteSkizzezustandezubringen.
Der Wert eines rein abstrakten Vorgehens soll keineswegs geleugnet werden. Es ist
für die Weiterentwicklung der Mathematik unverzichtbar. Bedenklich ist allerdings die
vonseinenVertreternbeanspruchteAusschließlichkeit. NatürlichempfindenMathemati-
keraucheinenelegantenabstraktenBeweisals„schön“.DochlässtsichdieseSchönheit
– im Unterschied zur Schönheit einer geometrischen Figur – Nichtmathematikern nur
schwer vermitteln. Indem sie elementargeometrische Argumentation durch analytische
undalgebraischeersetzten,verschlossendieMathematikerAußenstehendenjenesTeilge-
V
VI Vorwort
biet,dasdeneinladendstenZugangzuihremReichbietet.Leichtfertigwirddadurcheine
Chance vertan, Interesse an dieser interessanten Wissenschaft zu wecken und ihr kaltes
ImagedurchwärmereTöneanziehenderzugestalten.
DasvorliegendeBuchversucht,hiereinStückweitgegendenStromzuschwimmen,
indemesdiegeometrischeArgumentationindenMittelpunktstellt.Dieszeigennichtzu-
letztdiemehrals250Abbildungen,diedieBeweisebegleiten.Dabeigehtesnichtdarum,
akribischallemöglichenFälleabzuarbeiten.EssollenvielmehrdieBeweisideendeutlich
und insbesondere deren geometrischer Kern transparent werden. Um dies zu erreichen,
werdendiemathematischenFachbegriffeaufeinMinimumbeschränktundnebendenRe-
sultaten,dieimBuchhergeleitetwerden,nurwenigeSätzederSchulgeometrieverwendet,
dieinjederFormelsammlungzufindensind.Auchwirdnurseltenintensiveralgebraisch
argumentiert.MeistgehtesdabeiumweiterführendeResultate,derenBeweisbeimersten
Lesenübersprungenwerdenkann.
DieKreisgeometrieistdasidealeGebiet,InteressiertendenReichtumderGeometriezu
erschließen.KreisesindnebenDreieckendievertrautestengeometrischenObjekte.Wäh-
rendjedochdieDreiecksgeometrie(wegenderErinnerungenan dieSchulzeit?) denRuf
hat,langweiligzusein,bietetdieKreisgeometrieeingroßesFeldgeometrischinteressan-
ter,vielfachaberkaumbekannterResultate.DiesedemLesernahezubringen,istdasZiel
diesesBuches.
DenAuftaktbildeteinKapitel,daszeigt,dasssichalleinschonmitdemSatzdesPy-
thagoras–demwohlbekanntestenallergeometrischenSätze–eineVielzahlkreisgeome-
trischerAussagenbeweisenlässt,derenBedeutungweitüberdieGeometriehinausreicht.
ImKap.2werdendieausderSchulebekannten,über2000JahrealtenklassischenSät-
zeder Kreisgeometrienochmalsvorgestelltundbewiesen. In der Schulgeometriebilden
sie meist den Schlusspunkt geometrischer Betrachtungen, hier dienen sie als Ausgangs-
punktfürweiteWanderungendurchdasGebietderKreisgeometrie.
Einen kräftigen Schub erfuhrdie Kreisgeometrie im 19. Jahrhundert,als die Geome-
ter – etwa der geniale Autodidakt Jacob Steiner – neue Werkzeuge entwickelten. Sie
erlaubtenes,dasArealderKreisgeometrieweiterzuerschließenundneueWegezubeein-
druckendenAussichtspunktenundbisher unerreichbarenGipfeln anzulegen.Diedamals
geschaffenenInstrumentestehenimMittelpunktderKap.3und4.
Die Mächtigkeit dieser Werkzeuge zeigt sich in den weiteren Kapiteln, die ein brei-
tesSpektrumkreisgeometrischerThemenbehandeln.VielenberühmtenKreisenwirdder
Leserdabeibegegnen,vieleprominenteSätzekennenlernen.
G.Aumann
Inhaltsverzeichnis
1 Ouvertüre:KreiseingotischemMaßwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 DerbekanntesteKreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 DergotischeSpitzbogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 PässeundFischblasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1 DieklassischenSätzederKreisgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 KreiseundÄhnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 OrthozentrischeQuadrupel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 BeschränkteBereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 PotenzgeradeundKreisbüschel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1 PotenzpunkteundPotenzgeraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Kreisbüschel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 DaskonjugierteBüschel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4 ErsteAnwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Krummessollgeradewerden–dieInversionamKreis . . . . . . . . . . . . 57
4.1 DefinitionundgrundlegendeEigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2 InversionundDreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3 InversionundKreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4 Geradführungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5 BerühmteKreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1 Apollonios-Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2 DerFeuerbach-Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3 DerPferchkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.4 DieMalfatti-Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6 VieleckeinundumKreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.1 Sehnenvielecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.2 DerSchmetterlingssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
VII
VIII Inhaltsverzeichnis
6.3 Tangentenvielecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.4 Sehnentangentenvielecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7 AuchGeradensindKreise–diekonformeEbene . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.1 KreisbüschelinderkonformenEbene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.2 Kreisverwandtschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.3 Trennung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.4 DiestereographischeProjektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8 DasApollonischeBerührproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.1 DiezehnProbleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.2 VomNutzenderInversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
8.3 ApolloniosaufderKugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
9 Kreisketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
9.1 Steiner-Ketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
9.2 EinSieben-Kreise-Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
9.3 Pappus-KettenundSchustermesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
9.4 KetteninKreissegmenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
9.5 Miquel-Ketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
10 (K)einerundeSache–KurvenkonstanterBreite . . . . . . . . . . . . . . . . 207
10.1 Reuleaux-Polygone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
10.2 Stützgeraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
10.3 DerSatzvonBarbier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
10.4 Ausgezeichnet:KreisundReuleaux-Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
11 Konstruktionen–ohneKreis(e)gehtesnicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
11.1 DerZirkelgenügt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
11.2 NapoleonischeProbleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
11.3 WanngenügtdasLineal? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Ouvertüre: Kreise in gotischem Maßwerk 1
WirbeginnenunserenSpaziergangdurchdieKreisgeometriemitderKonstruktioneiniger
interessanterundinderKunstvielfachauftretenderFiguren,diesichausKreisbögenzu-
sammensetzen.DietheoretischenGrundlagen,diewirhierfürbenötigen,sindsehrgering:
EsgenügtderSatzdesPythagoras.ZuvorwerfenwireinenkurzenBlickaufdieindiesem
BuchverwendetenBezeichnungen(sieheAbb.1.1).
DieGeradeg durchdiePunkteAundB bezeichnenwirmitAB,dieStreckemitden
EndpunktenAundB mitAB.JedeGeradeistdieTrägergeradederaufihrliegendenStre-
cken.PunkteP;Q;R:::aufeinerGeradenheißenkollinear.JederPunkteinerGeraden
AB teilt diese in zwei, in diesem Punkt beginnende Halbgeraden. Die in A beginnende
C
HalbgeradedurchB bezeichnenwirmitAB .
Die Länge der Strecke AB ist der Abstand der Punkte A und B, den wir als d.A;B/
schreiben.DaMissverständnissenichtzubefürchtensind,werdenwirbisweilenauchvom
VerhältniszweierStreckensprechen,wennwirdasVerhältnisihrerLängenmeinen.Der
C
F
B
S S S
A
g
Abb.1.1 Grundbegriffe
©Springer-VerlagBerlinHeidelberg2015 1
G.Aumann,Kreisgeometrie,Springer-Lehrbuch,DOI10.1007/978-3-662-45306-3_1
2 1 Ouvertüre:KreiseingotischemMaßwerk
Q
Sehne P
M M
Durchmesser
k
k
A
Abb.1.2 BegriffeamKreis
Abstand d.C;g/ eines Punktes C von einer Geraden g ist die Länge der Strecke CF,
wobeiF derFußpunktdesvonC aufggefälltenLotesist.
Zwei Halbgeraden mit dem gemeinsamen Anfangspunkt S bilden einen Winkel mit
dem Scheitel S. Zwei Geraden durch S erzeugen somit vier Winkel, von denen je zwei
gegenüberliegende (als Scheitelwinkel) gleich groß sind und zwei benachbarte sich zu
180ıergänzen.KenntmanalsoeinenWinkel,sokenntmanalle.Wirsprechendaherkurz
vom Schnittwinkel zweier Geraden. Handelt es sich bei den Geraden um die Tangenten
zweierKurvenineinemgemeinsamenPunktS,soistdiesauchderSchnittwinkeldieser
Kurven.Beträgter0ı (oder180ı),soberührensichdieKurven.
In einer Ebene ist ein Kreis k durchseinen Mittelpunkt M und seinen Radiusr fest-
gelegtalsOrtallerPunktederEbene,dievonM denAbstandr haben.DieVerbindungs-
streckezweierKreispunkteheißtSehnedesKreises,istsiedoppeltsolangwieeinRadius,
auchDurchmesser (sieheAbb.1.2).Besitztein KreisdenDurchmesser AB,so sprechen
wirkurzvomKreisüberAB.JedeSehneteiltdieKreisflächeinzweiSegmente.
EinendurchzweiRadienMPundMQausgeschnittenenKreisbogenunddessenLänge
(cid:2)
bezeichnen wir mit PQ (siehe Abb. 1.2). Es gibt davon zwei, die wir zueinander kom-
plementär nennen. Die beiden Halbgeraden MPC und MQC schließen den zugehörigen
MittelpunktswinkeloderZentriwinkelein.Wählenwireinen(vonP undQverschiedenen)
(cid:2)
PunktAaufdemzueinemBogenPQkomplementärenBogen,solieferndieHalbgeraden
C C (cid:2)
AP undAQ einen Umfangswinkeloder Peripheriewinkel über dem BogenPQ. Wenn
klar ist, welcher Bogen mit den Endpunkten P;Q gemeint ist, sprechen wir bisweilen
auchvomUmfangswinkelüberderSehnePQ.
SchließlichnennenwirzweiKreisemitgleichemMittelpunktkonzentrisch.DieGerade
durchdieMittelpunktezweiernichtkonzentrischerKreiseistderenZentrale.