Konvexität in der Komplexen Analysis: Neue Ergebnisse und Methoden

158 Pages·1981·3.498 MB·German

by  K. Diederich, I. Lieb (auth.)

DMV Seminar
Band 2
Springer Science+Business Media, LLC
K. Diederich
I. Lieb
Konvexität in der
Komplexen Analysis
Neue Ergebnisse und Methoden
1981 Springer Science+Business Media, LLC
Authors:
K. Diederich
UniversitHt-Gesamthochschule Wuppertal
Fachbereich Mathematik
Gauss-Str. 20
Postfach 10 01 27
56 Wuppertal 1
West Germany
I. Li eb
Venusbergweg 25
5300 Bonn 1
West Germany
Library of Congress Cataloging in Publication Data
Diederich, Klas, 1938-
KonvexitHt in der komplexen Analysis.
(DMV seminar; v.2)
Bibliography: p.
1. Holomorphic mappings. 2. Neumann problem.
3. Pseudoconvex domains. 1. Lieb, Ingo, 1939-
II. Title. III. Series.
QA331.D57 515 81-3852
AACR2
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Diederich, Klas:
Konvexitat in der komplexen Analysis: neue Ergebnisse u.
Methoden / K. Diederich; I. Lieb ~
Boston; Basel ; Stuttgart: Birkhauser, 1981.
(DMV-Seminar ; Vol.2)
NE: Lieb, Ingo:; Deutsche Mathematiker-Vereinigung: DMV-Seminar
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without prior permission of the copyright owner.
© Springer Science+Business Media New York 1981
Urspriinglich erschienen bei Birkhliuser Boston 1981.
ISBN 978-3-7643-1207-7 ISBN 978-3-0348-5153-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-5153-4
VORWORT
Dieses Buchlein ist aus den vier doppelstOndigen Vorlesungen her
vorgegangen, die die Autoren anlaBlich des DMV-Seminars gleichen Titels
auf der Jahrestagung der DMV 1979 in Hamburg gehalten haben. Sein Text
enthalt zwar wesentlich mehr Details als die Vorlesungen. Dennoch war
es nicht unsere Absicht, ein "luckenloses" Textbuch zu schreiben. Viel
mehr haben wir lediglich versucht, dem Leser ein moglichst ubersicht
liches Bild neuerer Ergebnisse und Methoden in der Theorie der Konvexitat
in der komplexen Analysis zu geben. Wir wollten damit zum einen dem Inter
esse desjenigen Nichtspezialisten entgegenkommen, der sich einen Eindruck
von dem hier behandelten Gebiet verschaffen will, und zum anderen dem (an
gehenden) Spezialisten als Vorbereitung auf die Lekture der technischen
Details in den Originalarbeiten einen Uberblick uber die Grundbegriffe,
Zusammenhange und motivierende Fragestellungen geben.
Wir hoffen, damit dem Ziel der 1979 zum ersten Mal durchgefuhrten
DMV-Seminare entsprochen zu haben. Und wir danken der DMV und ihrem Vor
sitzenden, Herrn Professor Dr. Gerd Fischer, dafur, uns die Moglichkeit
gegeben zu haben, das eigene Arbeitsgebiet einem groBeren Kreis insbeson
dere auch jungerer Mathematiker vorstellen zu konnen. Ebenso danken wir
allen Seminarteilnehmern fur ihr lebhaftes Interesse.
Bei der Anfertigung der Ausarbeitung hat uns Fraulein Mechthild
Behrens wertvolle Hi lfe geleistet. Ein besonderer Dank gebiihrt schliefl
lich Frau M. Arlt und Frau D. Lindner fur die sehr groBe Sorgfalt, die
sie auf die Herstellung des Typoskripts verwendet haben.
Wuppertal K. Diederich
Bonn I. Lieb
INHALTSVERZEICHNIS
EINLEITUNG
Kapitel I. STETIGE FOR'!'SETZBARKEIT EIGENTLICHER HOLOMORPHER
ABBILDUNGEN AUF DEN RAND
1. Der Satz von Henkin - Vormoor 17
2. Oie Kobayashi - Metrik 25
3. Streng plurisubharmonische, beschrankte Ausschopfungsfunktionen 31
4. Eine Erweiterung von Theorem 1.2 uber die stetige Fortsetzbar- 40
keit eigentlicher holomorpher Abbildungen auf den Rand
5. GleichmaBig pseudokonvex ausdehnbare Gebiete 42
a -
Kapitel II. DAS NEUMANN - PROBLEM FUR DEN OPERATOR
a
1. Regularitat von wld das Levische Problem 52
2. Das Neumann - Problem 56
3. Subelliptische Abschatzungen 68
4. Subelliptizitat und Pseudokonvexitat: Die Kohn - Morrey - Un- 78
gleichung
viii
a7
5. Subelliptizitat uno Pseudokonvexitat: Subelliptische Multi-
plikatoren
6. Die Geometrie subelliptischer Multiplikatoren 91
Kapi tel III. PSEUDOKONVEXE GEBIETE MIT REELL - ANALYTISCHEN
RJ\NDERN
1. Ergebnisse 100
2. Eine notwendige Bedingung far kleine holomorphe Dimension 101
3. Holomorphe Dimension im reell - analytischen Fall 102
4. Globale Eigenschaften reell - analytischer pseudokonvexer 114
Rander
...
Kapitel IV. DIE C - FOR'rSETZBARKEIT BIHOLOMORPHER ABBILDUNGEN
AUF DEN RAND
1. Ergebnisse und Historie 124
2. Die Bergman - Projektion 128
3. Eine Bemerkung iiber Sobolev - Raume 133
4. Beweis des Satzes von Fefferman 136
5. Konstruktion der Bell - Operatoren 140
LlTERATURVERZEICHNIS 147
E1NLE1TUNG
1. 1st g ein Gebiet in der komplexen Zahlenebene t und
Zo E bQ ein Randpunkt von g, so gibt es bekanntlich immer eine holo-
morphe Funktion f auf g, die in z singular wird. Man braucht nam-
o
lich nur
f(z) : =
z - z
o
zu setzen. DaB diese simple Tatsache fur Gebiete im en mit n > 1
uberraschenderweise im allgemeinen nicht mehr zutrifft, wurde schorn im
vorigen Jahrhundert beobachtet. Wir erinnern hier an das folgende Bei
spiel im c2 :
Sei & > 0 gegeben und
g g { (z,w) E C2 Izl < &, Iwl<1}U
&
{ (z,w) E t 2 Iz I < 1, 1 - & < Iwl < 1 }
Mit 62 bezeichnen wir den Einheitsdizylinder im [:2
{(z,w) E C2 Izl < 1, Iwl < 1}
Wir behaupten, daB sich im Gegensatz zur Situation in C jede auf g
holomorphe Funktion f zu einer auf 62 holomorphen Funktion ~ fort
setzen laBt. 1st namlich z E t mit Izl < 1 beliebig gegeben, so laBt
sich die Funktion f(z,·) auf dem Kreisring A: = {w E C : 1 - & < Iwl < 1}
in eine Laurentreihe entwickeln:
1
2
f(z,w) wk
Darin sind die Koeffizienten ak(z) durch Cauchyintegrale gegeben:
f(z,w) dw 0 < 5 < e
2fTi J ~w ,
Iw I 1 - <5
Sie sind deshalb holomorph in z auf 6 = { z E C : Izl < I}. 1st aber
Jzl < e, so ist f(z,') sogar auf ganz 6 holomorph, so daB die obige
Laurentreihe in diesen pallen in Wahrheit eine Potenzreihe ist. Mit ande-
ren Worten: Fur jedes k < 0 verschwindet die auf 6 holomorphe Funktion
auf ganz {zEc:lzl<e}. Also ist ak(') = 0 auf 6
und damit:
f(z,w) L wk
k=o
Wie man leicht sieht, konvergiert diese Ptenzreihe sogar auf ganz 6~'
"
gegen eine holomorphe Funktion f
2. Die soeben besprochene Erscheinung gibt AniaB zur folgenden
Definition. Ein Gebiet Q c tn heiBt Holomorphiegebiet, wenn es zu je-
dem Punkt Zo E bQ eine auf Q holomorphe Funktion gibt, die in z
o
voll-singular wird.
(Wegen der Definition des Begriffes "vol I-singular" vergl. Hormander [32J
oder Grauert / Fritzsche [2SJJ